3-1+大气中的波动(1)

1
（3.3）
（二维波，平面波，对应偏微分方程中的膜振动）
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
q ( x, y, z , t ) = A cos ( kx + ly + mz − ωt − δ )
（3.4）
（三维波，立体波，对应偏微分方程中的空间振动） 链接曲面函数绘图软件 Grapher 动态演示:1D_2D_3D 谐波
（3.26）
7
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图 3.1 复数的旋转性和周期性
由于复数具有旋转性和周期性并且容易进行微分运算，通常用复数函数表示波动。根据复数的欧拉公 式：
eiθ = cos θ + i sin θ
则（3.2）式改写
（3.5）
q ( x, y, z , t ) = Re Aei( kx −ωt −δ ) = Re Qei( kx −ωt ) Q = Ae − iδ （复振幅）
q ( x, y, z , t ) = A ( y, z ) cos ( kx − ω t − δ )
（3.2）
（一维波，直线波，对应偏微分方程中的弦振动） 链接 2D 函数绘图软件 Advanced Grapher 演示:1D 谐波 其中 A, k , c, ω , δ 皆为波参数。同样：
q ( x, y, z , t ) = A( z ) cos ( kx + ly − ω t − δ )
u = u + u ' , 且设 u = const.， （恒定的平均纬向风，即常数型基本气流） v = v' , v = 0 w = w' , w = 0 p = p + p ' , p = p ( y, z )
（无平均经向风） （无平均垂直运动） （3.21）
（平均气压在南北和垂直方向分布不均匀）
3．
二维波的波数矢 K 和波速矢 C 波数矢 K = ki + l j 其中 k = （3.15）
∂θ ∂θ 2π 2 2 , l= ， K =| K |= k + l ， K = ∂x ∂y L
3
等位相面沿 x、y 方向的移速分别为：
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⎛ g ∂θ ⎞ 其中 N = ⎜ ⎟ ⎝ θ ∂z ⎠
2) p 系的大气运动方程组
1/ 2
⎡g ⎤ = ⎢ (γ d − γ ) ⎥ ⎣T ⎦
1/ 2
, CL =
χ p / ρ = χ RT 为 Laplace 声速。
⎛∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∂φ ⎜ + u + v + ω ⎟ u − fv = − ∂x ∂y ∂p ⎠ ∂x ⎝ ∂t ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∂φ ⎜ + u + v + ω ⎟ v + fu = − ∂x ∂y ∂p ⎠ ∂y ⎝ ∂t ∂φ RT = −α = − ∂p P ∂u ∂v ∂ω + + =0 ∂x ∂y ∂p
§1.
1.
波动的基本概念
波动的表示方法 波动：质点由于受力的作用围绕某个平衡位置振动（振荡） ，而振动在空间的传播形成波动。 波动与振动的联系与区别： 1）波动是振动的传播形式； 2）波动是能量传播的一种基本形式； 3）振动是质点的运动，是仅以时间为自变量的运动，主要属于常微分方程问题（如惯性振荡） ； 4) 波动是以时间、空间为变量的方程，属于偏微分方程问题（如惯性波） 。 根据 Fourier 迭加原理，大气中所有运动=不同频率、不同振幅的简谐波的迭加。 ，则可以用周期函数表 对于空气的微团，若其任何一物理量 q 仅在 x 方向呈现周期变化（波动） 示： q = A cos ⎡ ⎣ k ( x − ct ) − δ ⎤ ⎦ 或 (3.1)
2
（波速矢 C 不服从三角形合法法则）
2
⎛k ⎞ ⎛ l ⎞ ∵ C = ⎜ ⎟ cx i + ⎜ ⎟ c y j ⎝K⎠ ⎝K⎠
链接 3D 函数绘图软件 3D Grapher 动态演示:三维表面重力波 4． 横波与纵波 4.1 横波：振动方向与波传播方向垂直的波。
（3.20）
V ⊥C
1） 2）
即
V ⋅C = 0
2. 波参数 1) 振幅：振动所产生的最大位移
（3.8） （3.9）
A = max | q |
2
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2) 位相（角） ； θ = k ( x − ct ) − δ
δ ：初位相
图 3.2 简谐波
3) 相速度（波速）c：等位相线（面）移动的速度。
1）z 系大气运动方程组
（
d 必须先展开） dt
⎛∂ 1 ∂p ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ + u + v + w ⎟ u − fv = − ∂x ∂y ∂z ⎠ ρ ∂x ⎝ ∂t ⎛∂ 1 ∂p ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ + u + v + w ⎟ v + fu = − ∂x ∂y ∂z ⎠ ρ ∂y ⎝ ∂t ⎛∂ 1 ∂p ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ + u + v + w ⎟ w = −g − ∂x ∂y ∂z ⎠ ρ ∂z ⎝ ∂t ⎛∂ ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ ∂ ∂ ∂⎞ ⎜ +u +v +w ⎟ρ + ρ⎜ + + ⎟=0 ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂t ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ p = ρ RT ⎛∂ p⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ +u +v + w ⎟ p = χ ⎜ +u +v + w ⎟ρ ρ ⎝ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂t
' ∂ ρv ' ∂ ρ w' ∂ ⎞ ' ∂ ρu ⎛∂ + + =0 ⎜ +u ⎟ρ + ∂x ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂t
( ) ( ) ( )
（3.25）
p' ρ ' T ' = + p ρ T
⎡⎛ ∂ ∂ ⎞ ' ∂ ⎞ ∂ρ ⎤ CL 2 N 2 ⎛∂ ' u p f u v ρ ρ w' = C L 2 ⎢⎜ + u ⎟ ρ ' + w' + − + ⎥ ⎜ ⎟ g ∂x ⎠ ∂x ⎠ ∂z ⎦ ⎝ ∂t ⎣⎝ ∂t
其中 χ = C p / Cv 。 （3.22）
预备知识：
1 = = ρ ρ + ρ'
1
1
ρ ⎜1 +
⎝
⎛
ρ' ⎟ ρ⎠
1⎡ ⎛ ρ' ⎢1 − ⎜ ⎞ ρ << 1 ρ ⎢ ⎝ ⎣
⎤ ρ' ⎞ ⎛ ρ' ⎞ ⎥ + − ⋅⋅⋅⋅ ⎟ ⎜ ⎟ ρ⎠ ⎝ρ⎠ ⎥ ⎦
2
≈
1 ⎛ ρ' ⎞ ⎜1 − ⎟ ρ⎝ ρ ⎠ 1
6
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线性化方程组。
' ⎛ 1 ⎡∂ ρ' ⎞ ∂ p + p ∂ ' ' ∂ ' ∂ ⎤ ' ' 例如： ⎢ + u + u +v + w ⎥ u + u − fv = − ⎜ − 2⎟ ⎜ρ ∂x ∂y ∂z ⎦ ∂x ⎣ ∂t ρ ⎟ ⎝ ⎠
c=
dx dt θ =co n s t
（3.10）
等位相线（面） ：位相相同的点构成的线（面） 。 4）波长 L：固定时刻相邻两个等位相点之间的距离。 5）波数 k：用位相角所表示的单位距离内所包含的波长为 L 的数目。
k=
2π L
（3.11）
而气象中的绕地球一周波的数目 =
2π R 2π a cos ϕ ，其中 L 为波长。 = L L
| F' | << 1 。 F
3）当扰动量为零时，基本量也要满足原来的方程组和边界条件。 4）扰动量（或扰动量的微商）的二次乘积项可以在方程组中忽略（线性化的具体体现） ，即
' ∂F ' ' ∂F = 0, F = 0, F F = 0, F ∂x ∂y ' ' '
对于地球大气运动，进一步可对主要物理量做如下具体假定:
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平第三章大气中的波动
§1 波动的基本概念 §2 微扰法与方程组的线性化 §3 大气声波 §4 重力外波和重力内波 §5 惯性振荡与惯性波 §6 水平无辐散的 Rossby 波 §7 有水平辐合辐散的 Rossby 波 §8 大气混合波—惯性重力外波 §9 群速度，波的频散效应 重点：微扰法， 重力波和罗斯贝波，相速度和群速度。
4
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§2.
微扰法与方程组的线性化
1. 目的
大气运动方程组是非线性的，直接求解非常困难。
∴ 用微扰法（小扰动法）将方程组线性化，讨论简单的波动（线性波）问题 。即对波动采用间接
研究方法：求振动解 → 求波速 c 1） 2） 小振幅波：振幅远小于波长的波，即 A << L ，为线性波，可用小扰动法。 有限振幅波：振幅不比波长小很多的波，波动方程组是非线性的（非线性波） ，不能用小扰动法。