运筹学教材编写组《运筹学》章节题库(第13章 排队论——第15章 对策论基础)【圣才出品】
运筹学排队论
3 .排队问题的特征
• 总体来源
• 排队纪律（服务顺序）
• 服务员数量（通道）
15
第十五页，课件共有25页
3.1 总体来源
• 分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量
是否有限。
潜在顾客数量
有限顾客源
无限顾客源
例如：公司只有
三台机器时，需
要维修的数量
例如：排队等候
公共汽车的乘客
人
收银员
电影院售票窗口人
售票员
第六页，课件共有25页
Where the Time Goes ?
人一生中平均要花费---6个月 停在红灯前
8个月 打开邮寄广告
1年 寻找放置不当的物品
五年排队等
2年 回电话不成功
4年 做家务
待
5年 排队等待
6年 饮食
第七页，课件共有25页
为什么会出现排队现象？
顾客
顾客离开
顾客排队
服务设施
假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每
位顾客的平均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间
隔时间正好是15分钟，而服务人员为每位顾客的服务时
间也正好是15分钟，那么，就只需要一名服务人员，顾
客也根本用不着等待。
在以下情况将出现排队现象：
平均到达率高于平均服务率
顾客到达的间隔时间不一样（随机）
服务时间不一样（随机）
第八页，课件共有25页
8
普通能力
到达数量
时 间
• 排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与管理的控制
有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客
留出特定的时间段；也可以通过使用更快的服务人员、机器或
运筹学答案_第_15_章__对策论
α
1
3
分为 12.6582；乙队教练应以 0.6709的概率出策略 β1，以 0.3291 的概率出策略3 ， β
平均得分为 27-12.6582=14.3418。 管理运筹学 2.0 可从损益矩阵直接求得上述问题答案，结果如下图。
对策最优解如下
************************* 局中人甲： X*=(.671,.329)T 局中人乙： Y*=(.671,.329)T
由 1 = x +x +x +x + x + x 得v= 2.5126 v
由x =v⋅ x 可得： x =0.3266,x =0.2739,x ′=0.2186,′x =0,x
i
i
1
2
3
4
′=0.1809,x ′=0
5
6
所以齐王的最优对策是以 0.3266 的概率出 ，以 0.2739 的概率出α ，以 0.2186
3
3α
4
4
α 、β 表示做电视、报纸、广播广告；α 、β 表示做报纸广告；α 、β 表示
5
5
6
6
7
7
做报纸、广播广告；α8 、 β8表示做广播广告。
局中人 A 的损益矩阵为：
β1
ββ ββββ
2
3
4
5
6
7
8
β
α1 50% 25% 10% 15% 0 35% 25% 40%
α2 75% 50% 35% 40% 25% 60% 50% 65%
第 15 章 对策论
1、解：因为
max
i
min
j
a
ij
= min
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对策论基础)
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（2）2× 或 ×2 对策的图解法
注意：该方法用在赢得矩阵为 2× 或 ×2 阶的对策上特别方便，也可用在 3× 或
×3 对策上。但对 和 均大于 3 的矩阵对策就丌适用了。
设缩减后的赢得矩阵为二阶无鞍点对策问题，局中人Ⅰ的混合策略为
的最优纯策略。 定理 1 矩阵对策 使得对一切
在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势
，均有
。
定义 2 设
为一个定义在
及
上的实值函数，如果存在
，使得对一切
和
，有
，则称
为
函数 的一个鞍点。 矩阵对策解的性质：
性质 1 无差别性。即若 性质 2 可交换性。即若
也是解。 定义 3 设有矩阵对策
记
是对策 G 的两个解，则
定理 11 设矩阵对策
的值为 ，则
6．矩阵对策的解法 （1）2×2 对策的公式法 所谓 2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为 2×2 阶的，即
如果 A 有鞍点，则很快可求出各局中人的最优纯策略；如果 A 没有鞍点，为求最优混 合策略可求下列等式组：
上面等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）一定有严格非负解
和
，其中
6 / 33
是对策 G 的两个解，则
和
，其中
，
，
则 和 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混的混合策略（或策略）；对
，称
为一个混合局势（或局
势），局中人Ⅰ的赢得函数记成
这样得到的一个新的对策记成
，称 为对策 G 的混合扩充。
定义 4 设
是矩阵对策
的混合扩充，如果
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(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）BA.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）BA.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？BA.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
CA.降低的B.不增不减的C.增加的D.难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
CA.1200B.1400C.1300D.17009.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。
DA.最短路线—定通过A点B.最短路线一定通过B点C.最短路线一定通过C点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )AA.存在一个圈B.存在两个圈C.存在三个圈D.不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
CA.大于B.小于C.等于D.不一定等于12.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
CA.一定是一条最短的路线B.一定不是一条最短的路线C.是使某一条支线流量饱和的路线D.是任一条支路流量都不饱和的路线13.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）CA.树的逐步生成法B.求最小技校树法C.求最短路线法D.求最大流量法14.为了在各住宅之间安装一个供水管道．若要求用材料最省，则应使用( )。
最新运筹学试题及答案(共两套)
运筹学A卷）一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，答案选错或未选者，该题不得分。
每小题1分，共10分）1．线性规划具有唯一最优解是指A．最优表中存在常数项为零B．最优表中非基变量检验数全部非零C．最优表中存在非基变量的检验数为零D．可行解集合有界2．设线性规划的约束条件为则基本可行解为A．(0, 0, 4, 3) B．(3, 4, 0, 0)C．(2, 0, 1, 0) D．(3, 0, 4, 0)3．则A．无可行解B．有唯一最优解mednC．有多重最优解D．有无界解4．互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 和Y，存在关系A．Z > W B．Z = WC．Z≥W D．Z≤W5．有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征A．有10个变量24个约束B．有24个变量10个约束C．有24个变量9个约束D．有9个基变量10个非基变量A．标准型的目标函数是求最大值B．标准型的目标函数是求最小值C．标准型的常数项非正D．标准型的变量一定要非负7. m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件是A．m+n－1个变量恰好构成一个闭回路B．m+n－1个变量不包含任何闭回路C．m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路D．m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关8．互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A．原问题无可行解，对偶问题也无可行解B．对偶问题有可行解，原问题可能无可行解C．若最优解存在，则最优解相同D．一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解9.有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征A．有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量B．有m+n个变量mn个约束C．有mn个变量m+n－1约束D．有m+n－1个基变量，mn－m－n－1个非基变量10．要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值，目标函数是A．)(m in22211+-+++=ddpdpZB．)(m in22211+-+-+=ddpdpZC．)(m in22211+---+=ddpdpZD．)(m in22211+--++=ddpdpZ二、判断题（你认为下列命题是否正确，对正确的打“√”；错误的打“×”。
运筹学-排队论习题(B5打印)
1. 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。
求1、收费处空闲的概率；2、收费处忙的概率；3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
根据题意, λ=100辆/小时，μ1=15秒=2401（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。
因此： 125240100==μλ=ρ 系统空闲的概率为：583.012712511P 0==-=ρ-= 系统忙的概率为：417.0125)1(1P 10==ρ=ρ--=-系统中有1辆车的概率为：243.014435127125)1(P 1==⨯=ρ-ρ=系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P 222==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=系统中有3辆车的概率为：0422.020736875127125)1(P 333==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=2．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
解：单位时间为小时，5.063,6,3=====μλρμλ （1）店内空闲的时间： 5.021110=-=-=ρp ；（2）有4个顾客的概率：03125.02121121)1(5444==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=ρρρ；（3）至少有一个顾客的概率：{}5.0110=-=≥p N P ；（4）店内顾客的平均数：11=-=ρρL ；（5）等待服务的顾客的平均数：5.0=-=ρL L q（6）平均等待修理的时间：1667.035.0===λqL W； （7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
运筹学教材习题答案
教材习题答案部分有图形的答案附在各章PPT文档的后面，请留意。
第1章线性规划第2章线性规划的对偶理论第3章整数规划第4章目标规划第5章运输与指派问题第6章网络模型第7章网络计划第8章动态规划第9章排队论第10章存储论第11章决策论第12章对策论习题一1.1 讨论下列问题：（1）在例1.1中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A有5台，利用率为0.8,设备B有7台，利用率为0.85,其它条件不变，数学模型怎样变化．（2）在例1.2中，如果设x j(j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．（3）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路．（4）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．（5）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．1.2 工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－22所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：【解】设x j （j =1,2,…，14）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为14112342567891036891112132347910121314min 2300322450232400232346000,1,2,,14jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩∑ 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X (2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （2）余料最少数学模型为134131412342567891036891112132347910121314min 0.60.30.70.40.82300322450232400232346000,1,2,,14j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩ 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根 X (2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根 显然用料最少的方案最优。
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dFT dt
et ， t 0
（3）爱尔朗分布（Erlang）
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设1, 2 , , k 是 k 个独立的随机变量，服从相同参数 k 的负指数分布，那么，
T 1 2 k 的概率密度是：
fk
(t)
图 13-1 这种系统状态（n）随时间变化的过程就是生灭过程（Birth and Death Process）， 它可以描述细菌的生灭过程。
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6．几个重要的参数
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：单位时间平均到达的顾客数；
e ：系统的有效达到率； ：单位时间能被服务完成的顾客数；
那么一顾客走完 k 个服务台总共所需要服务时间就服从上述的 k 阶 Erlang 分布。
5．生灭过程（稳态）
稳态时， Pn (t) 与时间无关，可以写成 Pn ，它对时间的导数为 0，所以
PnP01
P1 0 Pn1 (
) Pn
0
上式即为关于 Pn 的差分方程。由此可得该排队系统的状态转移图如图 13-1 所示：
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①服务机构分为单服务台和多服务台。不同的输入形式与排队规则和服务机构联合后形
成不同的排队服务机构。
②服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。
③服务时间分为确定型（定常时间）和随机型。
④服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
1
)
,
1 N
, 1
1
1 ，
e (1 PN ) (1 P0)
： / 。
7．排队论公式整理
（1）无敌的 Little 公式
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a1, a2 ,…, am ，局中人Ⅱ有 n 个纯策略 1, 2 ,…, n ，则局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为
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定义 4
设 G*
S1*
,
S
* 2
;
E
是矩阵对策 G S1, S2; A 的混合扩充，如果
记其值为VG 。则称VG 为对策 G* 的值，称混合局势 x*, y* 为 G 在混合策略意义下的
解（或简称解）， x* 和 y* 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优混合策略（或简称最优策略）。
两个策略。 （3）赢得函数（支付函数）
在一局对策中，各局中人选定的策略形成的策略组称为一个局势。对任一局势 s S ，
局中人 i 可以得到一个赢得值 Hi s 。显然，Hi s 是局势 s 的函数，称为第 i 个局中人的
赢得函数。
3．对策的分类
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和
S
* 2
分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略集（或策略集）；
x
S1*
和
y
S2*
分别称
为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略（或策略）；对 x S1*, y S2* ，称 x, y 为一个混合局势（或局
势），局中人Ⅰ的赢得函数记成
这样得到的一个新的对策记成 G*
S1*
,
S
* 2
;
运筹学答案_第_14_章__排队论
2）M/M/2 系统：λ=30 人/小时，μ=40 人/小时 P0=0.4545、Lq=0.1227、Ls=0.8727、Wq=0.0041 小时、Ws=0.0291 ：λ=5 辆/小时，μ=12 辆/小时 P0=0.5833、Lq=0.1726、Ls=0.5893、Wq=0.0345 小时、Ws=0.1179 小时
7、某单位电话交换台有一部 300 门内线的总机，已知上班时，有 30%的内线电 话平均每 30 分钟要一次外线电话，70%的分机每一小时要一次外线，又知从外 单位打来的电话呼唤率平均 30 秒一次，设通话平均时间为 2 分钟，以上均服从 负指数分布。如果要求外线电话接通率为 95%以上，问应设多少条外线？
（2）为 M/M/1/3 系统：λ=3 人/小时，μ=5 人/小时 P0=0.4596；Lq=0.364；Ls=0.9044；Wq=0.1347； Ws=0.3347
8、为 M/M/n 系统：λ=10 台/小时，μ=4 台/小时 至少需要 3 名修理工才能保证及时维修机器故障。 A、假设雇佣 3 名修理工，则系统为 M/M/3 模型： Ls=6.0112、Wq=0.3511 小时、Ws=0.6011 小时、Z=630.6742 元 假设雇佣 4 名修理工，则系统为 M/M/4 模型： Ls=3.0331、Wq=0.0533 小时、Ws=0.3033 小时、Z=541.9857 元 假设雇佣 5 名修理工，则系统为 M/M/5 模型： Ls=2.6304、Wq=0.013 小时、Ws=0.263 小时、Z=476.73 元、Z=607.824
运筹学 排队论
S个服务台，一个队列的排队系统
排队系统类型：
服务台1
顾客到达 服务完成后离开
服务台2 服务台s
服务完成后离开
服务完成后离开
S个服务台， S个队列的排队系统
排队系统类型：顾客到达来自服务台1服务台s
离开
多服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚 （输入）
服务机构
散 （输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。 一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
列车在系统中的平均停留时间
W=L/= 2/2=1（小时）
系统中等待编组的列车平均数
Lq=L-= 2-2/3=4/3（列） 列车在系统中的平均等待编组时间
Wq = Lq/ =(4/3)/(1/2)=2/3（小时）
记列车平均延误（由于站内2股道均 被占用而不能进站）时间为W0 则W0 = WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2}
n：当系统处于状态n 时，整个系统的 平均服务率（单位时间内可以服务完 的平均顾客数）；
当n为常数时记为；当每个服 务台的平均服务率为常数时，记每个 服务台的服务率为，则当n s 时， 有n=s。因此，顾客相继到达的平 均时间间隔为1/ ，平均服务时间为 1/ ，令= / s，则为系统的服 务强度。
W=E(T) ：顾客在系统中的平均逗
留时间；
Tq：顾客在系统中的排队等待时间； Wq=E(Tq)：顾客在系统中的平均
排队等待时间。
排队论研究的基本问题：
通过研究主要数量指标在瞬时或平稳 状态下的概率分布及数字特征，了解 系统运行的基本特征。 统计推断问题：建立适当的排队模型 是排队论研究的第一步，建立模型过 程中，系统是否达到平稳状态的检验； 顾客相继到达时间间隔相互独立性的 检验，服务时间的分布及有关参数的 确定等。
运筹学第十三章
b.从占有空间来看，队列可安排具体的场所 eg. 售票处，候诊室；也可以是抽象的eg.向电话交换 台要求通话的交换。有点系统容量是有限的，有 的是无限的。 c.从队列的数目来看，可以是单列，也可以是多 列。在多列的情形下，各列顾客有的可以互相转 移，有的不能。 ⑶服务机构 将提供服务的服务者称为“服务员” 或“服务机构”它的含义是广义的。
指标 模 型 P0 Lq Ls Wq Ws Pw M/M/3型 0.0748 1.70 3.95 1.89 4.39 0.57 M/M/1型 0.25（每个子系统） 2.25 9.00 7.5 10 0.75
⑴输入过程：顾客源无限，顾客单个到来，相互独 立，一定时间的到达数服从Poisson分布 ⑵排队规则：单队，队长无限制，先到先服务 ⑶服务机构：单服务台，各顾客的服务时间相互独 立，服从相同的负指数分布 简单记作M/M/1
M/M/1的数量指标的公式 设λ为单位时间的平均到达率，μ为单位时间的平 均服务率，则有： 1 ⑴在系统中没有顾客的概率：P 0
第三节 单服务台负指数分布排队系统的分析
本节讨论输入过程是服从普阿松分布过程，服务 时间服从负指数分布单服务台的排队系统，现将 其分为： ⑴标准的M/M/1模型，即：M/M/1/∞/∞/FCFS ⑵系统的容量有限制，即：M/M/1/N/∞/FCFS ⑶顾客源有限，即：M/M/1/∞/m
一、M/M/1/∞/∞/FCFS
第十五章 排队论
第一节 排队系统及其基本概念
一、排队系统及排队论 排队论是研究排队系统（又称随机服务系统）的数学理 论和方法，是运筹学一个重要分支。它是要揭示反映各 拥挤现象的排队系统的概率规律性，并借助相应过程统 计的推断方法来解决有关排队系统的最优化问题。 排队论研究的内容有下列三部分： ⑴性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要 是研究队长分布，等待时间分布和忙期分布等，包括了 瞬态和稳态两种情形。 ⑵最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优 设计，后者指现有排队系统的最优运营。 ⑶排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符 合于那种模型，以便根据排队理论进行分析研究。
排队论,对策论、存储论-习题及考题
n0
R Q0
50(次 )
3. 已知R=18000个/年，P=3000个/月，C1=0.15元/月个， C3=500元。求（1）Q0，C0 解
Q0 2C 3 R C1 P PR 2000 5 4472
C0
2 C 1C 3 R
PR P
4024.8
1. 工厂每年需某零件2000件，零件单价100元，零件可以在市场采购，每次 采购费25元，每件年存储费为单价的20%，提前订购期为零，允许缺货，但 需要下次补足。缺货损失费用每件每年30元。求经济订购批量和年总费用。 2. 工厂每年需某零件6400件，每次订购费150元，每件年存储费为3元。 （1）若工厂对此零件的需求是连续均匀的，且不允许缺货，问每次订购多少 个零件为最佳？ （2）若一次订购量为1—999件，零件单价为3元，一次订购量为1000—1999 件时，单价为2.9元，预测订购量为2000或2000以上时，零件单价2.8元，问在 此情况下，如何采购最佳？
2 2 3 2
4 3 2 6
（2）
1 3 11 8 5 2
• 4. 已知矩阵对策
3 0 0
0 0 8
0 2 0
的解为
6 13 2 x* 13 5 13
1.某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达次数服从普阿松分布，平均每小时4人， 修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。求： （1）修理店空闲时间概率； （2）店内有3个顾客的概率； （3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内顾客平均数； （5）在店内平均逗留时间； （6）等待服务的顾客平均数； （7）平均等待修理时间； 2. 在某单人理发店顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分 布，平均时间为15分钟。求 （1）顾客来理发不必等待的概率； （2）理发店内顾客平均数； （3）顾客在理发店年平均逗留时间；（4）若顾客在店内平均逗留时间超过1.25小时，则 店主将考虑增加设备及理发员，问平均到达率提高多少时店主才作这样考虑？ 3. 上题中，若店内已有3个顾客，那么后来的顾客即不再排队，其他条件不变，试求 （1）店内空闲的概率；（2）Ls,Lq,Ws,Wq 4. 在第2题中，若顾客平均到达率为每小时12人，仍为普阿松流，服务时间不变，增加了 一个工人。求 （1）店内空闲的概率； （2）店内有2个或更多顾客（即工人繁忙）的概率； （3）Ls,Lq,Ws,Wq 5. 某工厂为职工设立了昼夜24小时都能看病的医疗室（按单服务台处理）。病人到达的平 均间隔时间为15分钟，平均看病时间为12分钟，且服从负指数分布，因工人看病每小 时给工厂造成损失为30元。 （1）试求工厂每天损失的期望值； （2）问平均服务率提高多少，方可使上述损失减少一半？
运筹学-排队论
2.1 基本概念 2.2 几个主要概率分布 2.3 单服务台负指数分布排队系统分析 2.4 多服务台负指数分布排队系统分析 2.5 一般服务时间M/G/1模型 2.6 经济分析—系统的最优化
2.1 基本概念
2.1.1 排队过程的一般表示 2.1.2 排队系统的组成和特征 2.1.3 排队模型的分类 2.1.4 排队系统的求解 2.1.5 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题，包括最优设计和最优运营 问题。
2.2 几个主要概率分布
2.2.1 经验分布 2.2.2 普阿松分布 2.2.3 负指数分布
2.2 几个主要概率分布
2.2.1 经验分布
在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料 进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分 布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。
系统的各项运行指标计算如下： 平均队长：
Ls=ΣnPn=λ (μ–λ) 平均排队长：
Lq=Σ(n–1)Pn =ρλ (μ-λ) =Ls–ρ =Ls–(1-P0)
逗留时间分布函数为: F(ω)=1–e－(μ－λ)ω
平均逗留时间: Ws=1 (μ–λ)=Ls λ
平均等待时间: Wq=Ws–1 μ=Lq λ
等待时间有限，即顾客在系统中的等待时 间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动离去，并不再回来。如损坏的 电子元器件的库存问题。
逗留时间有限（等待时间和服务时间之和） 有限。例如用高射炮射击敌机。 （2）排队规则
当顾客到达时，若所有服务台都被占用且 又允许排队，则该顾客将进入排队系统。服务 台对顾客进行服务所遵循的规则它通常有：
=
kμ (kμt ) k −1
e −kμt
(k −1)!
(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值 量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没 有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作 为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章 线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目 录
第1章 运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章 线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章 对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章 运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化 （1）线性规划的标准型
或
（2-4） （2-5） 线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约 束；决策变量非负。 （2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令 ，于是得到
第13章 排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解 第14章 存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解 第15章 对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解 第16章 单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解 第17章 多目标决策 17.1 复习笔记
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-对策论基础(圣才出品)
于是
VG = 84 /13
x* = VG (2 / 21,0,5 / 84,0)T = (8 /13,0,5 /13,0)T y* = VG (3 / 28,0,0,1/ 21)T = (9 /13,0,0, 4 /13)T
所以，最优混合策略为
x* = (8 /13,0,5 /13,0)T , y* = (9 /13,0,0, 4 /13)T
答：让两个企业单独汇报独立生产能获得的利润，分别记为 z1、z2。如果 z1 + z2≤z ， 则将合作后的额外收益 z − (z1 + z2)，按照 z1、z2 的比例进行分配。这样的分配方式，两个
企业说真话，是一个均衡策略。
三、证明题
证明矩阵对策 G={S1，S2；A}在纯策略意义下有解的充要条件是：存在纯局势（ai·，βj·），
3/28
1
0
1/7
0
-1/28
0
y6
1/6
0
0
－2/3
1
－1/6
1
y4
1/21
0
j
0
1
-1/21
0
2/21
0
-2/21
0
-5/84
从表 15-2 中可以得到，第二个问题的最优解为
y = (3 / 28,0,0,1/ 21)T
=13 / 84
由最终单纯形表的检验数可知，第一个问题的最优解为
x = (2 / 21,0,5 / 84,0)T
aij
=ai*
j*
且VG =ai* j*
现在证明必要性，设有 i*,j* ，使得
min j
ai*
j
=
管理运筹学 第15章 对策论
3
§1
对策论的基本概念
“齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表（单位：千金）
齐王 益损值 S1
α 1(上中下) α 2(上下中) α 3(中上下) α 4(中下上) α 5(下上中) α 6(下中上) 3 1 1 -1 1 1 1 3 -1 1 1 1 1 1 3 1 1 -1 1 1 1 3 -1 1 -1 1 1 1 3 1 1 -1 1 1 1 3
S2
β1 (上中下)
β2 (上下中)
β3 (中上下)
β4 (中下上)
β5 (下上中)
β6 (下中上)
4
§1
对策论的基本概念
其中：齐王的策略集: S1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }， 田忌的策略集：S2={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }。
下面矩阵称齐王的赢得矩阵：
求得
i j j
max min a 1 min max a 3 ij ij
故不存在纯策略问题下的解，可求其混合策略。 A中有负元素，可以取k=2,在A的每个元素上加2得到A′如下：
5 3 3 A' 1 3 3 3 5 1 3 3 3 3 3 5 3 3 1 3 3 3 5 1 3 1 3 3 3 5 3 3 1 3 3 3 5
§3
矩阵对策的混合策略
同样可以建立对策G′={S1，S2，A′}中求乙方最佳策略的线性规划如下： Max y1+y2+y3+y4+y5+y6 约束条件： 5y1+3y2+3y3+3y4+y5+3y6 ≤1 3y1+5y2+3y3+3y4+3y5+y6 ≤1 3y1+y2+5y3+3y4+3y5+3y6 ≤1 y1+3y2+3y3+5y4+3y5+3y6 ≤1 3y1+3y2+3y3+y4+5y5+3y6 ≤1 3y1+3y2+y3+3y4+3y5+5y6 ≤1 yi≥0,i=1,2,…,6 可解得解为： y1=y4=y5=0.111, y2=y3=y6=0, v′=3, y1′=y4′=y5′= 1/3， y2′=y3′=y6′=0，即Y′* =(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T。 所以田忌的最优混合策略为作出策略1、4、5的概率都为1/3,而作出2，3，
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*小于 0.00005 （4）设请领工具的工人等待的费用损失为每小时 6 元，发放工具的服务员空闲费用损 失为每小时 3 元，每天按 8 h 计算，问设几个服务员使总费用损失为最小? 解：（1）平均到达率=到达总数／总时间
解：（1）该系统为 M／M／1 模型， = 60 = 5(人 / h) ， = 60 = 4(人 / h) ，所以每
12
15
位病人在系统中的时间期望为Ws
=
1 −
=
1 5−4
= 1(h)
，而每天共有
24×4=96（人）到
达医疗室。所以，工厂每天损失的期望值为 96×30=2880（元）。
（2）要使损失减少一半，则必须使Ws
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（8）必须在店内消耗 15 min 以上的概率。
解：该系统为 M/M/1 模型， = 4, = 60 =10, = = 2
6
5
12.3 在某单人理发店顾客到达为泊松流，平均到达间隔为 20 min，理发时间服从负
试完成下列问题: （1）平均到达率和平均服务率(单位：人／分钟)。
（2）利用统计学的方法证明：若假设到来的数量服从参数 =1.6 的泊松分布，服务时 间服从参数 = 0.9 的负指数分布，这是可以接受的。
（3）这时只设一个服务员是不可行的，为什么?试分别就服务员人数 c=2，3，4 各种
情况计算等待时间Wq (注意用表 12-3 的数据)。 表 12-3 多服务台Wq 的数值表
证明：（1）对于
M／M／1
模型，Wq
=
运筹学（）——精选推荐
4
1.3 设有单人打字室一间，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达时间间隔为 20 分钟，打字 时间服从负指数分布，平均为 15 分钟。求： （1）顾客来打字不必等待的概率； （2）打字室内顾客的平均数； （3）顾客在打字室内的平均逗留时间； （4）若顾客在打字室内的平均逗留时间超过 1.25 小时，则主人将考虑增加设备及打字员。 问顾客的平均到达率为多少时，主人才会考虑这样做？
（1）根据 / 说明增加工人的原因；
（2）增加工人后店内空闲的概率；店内至少有 2 个或更多的顾客的概率 ；
（3）求 L, Lq ,W ,Wq 。
1.13 某火车站的电话问讯处有 3 部电话，可以视为 M/M/3/3 系统。已知平均每隔 2 分钟 有一次问讯电话（包括接通和未接通的），每次通话平均时间为 3 分钟。试问打来问讯处的 电话能接通的概率为多少？
1.15 顾客以每小时 4 人的平均到达率到一个双人理发店理发，顾客到达过程为 Poisson 流。当顾客到达理发店 时发现理发店已 有顾客在理发， 则该顾客就拒绝 进入此店，并不再 来。若理发店的理发时间服从负指数分布。试问：
（1）若要保证在可能到达的顾客中至多有 40% 的顾客不进入理发店，则每个理发师 必须以怎样的服务率进行服务？
（2）进入理发店的平均顾客数是多少？ （3）顾客的平均理发时间是多少？
二、对策论题（以下试题选做一道题，20 分）
2.1 甲、乙两游泳队举行包括两个项目的对抗比赛，两队各有一名健将级运动员（甲队为
李，乙队为王），在 3 个项目上的成绩都很突出。但规则规定他们每人只许参加两项比赛，
每队的其他两名运动员可参加全部 3 项比赛。已知各运动员的平时成绩（秒）见表 2。假定 各运动员在比赛中正常发挥水平，又设比赛的第一名得 5 分，第二名得 3 分，第三名得 1 分。问教练应决定让自己队健将参加那两项比赛，可使本队得分最多？
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（4）顾客在系统中的逗留时间W ，服从参数为 的负指数分布。在本题中，逗留
时间W ，服从参数为 20 6 14 的负指数分布。分布函数为 F 1 e14 ；
所以打一次电话要逗留 10 分钟以上的概率为：
F 1 (1 e141600）=0.097
（5）安装两部电话机后，系统变为 M/M/2 模型
（5）等待服务的平均顾客数；
（6）每位顾客平均等待时间；
（7）顾客损失的概率。[北京交通大学 2010 研]
解：该问题属于 M/M/1/N 模型， = 5人 / h, = 6人 / h ， 5 ，N=5。 6
（1） P0
1
1 N 1
0.2506 ，∴1-P0=0.7494
即为理发店忙的概率；
要超过 5 分钟，则该信息中心最少需要聘用多少个服务人员？
（2）如果公司经理考虑聘用服务人员的成本以及因为等待或正在接受 MIS 维护服务造
成的企业损失成本，使两者成本之和尽量小，则此时该信息中心需要雇佣多少个服务人员。
[南开大学 2011 研]
解：（1）要求等待 MIS 维护服务时间小于等于 5 分钟，已知平均服务时间是 3 分钟，
度增加到多少时，装第二台电话机才合理？
（4）打一次电话要逗留 10 分钟以上的概率是多少？（可用指数式表示）
（5）目前情况下，安装第二台电话机后，顾客的平均等待时间是多少？[北京理工大学
2008 研]
解：（1） 60 6 （人/小时）， 60 20 （人/小时）
10
3
Hale Waihona Puke 3 / 31圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
，即
0.0699
2．某电话亭有一部电话，来打电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达间隔的平
均时间为 10 分钟，通话时间服从负指数分布，平均数为 3 分钟。
求：
（1）顾客到达电话亭要等待的概率。
（2）等待打电话的平均顾客数。
（3）当一个顾客至少要 3 分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到达速
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第 13 章 排队论
一、判断题 1．假如到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负 指数分布。（）[北京交通大学 2010 研] 【答案】√
【解析】设 N（t）为时间[0，t]内到达系统的顾客数，则 N t, t 0 为参数为 的
故服务时间是 2 分钟，约是 0.0333 小时，查上表可知，该信息中心最少需要聘用服务人员
6 顾客到达电话厅要等待的概率为：1 P0 1 20 0.7 。
（2）
Lq
2
66
2020 6
0.13
（人）；
（3）由题意，令到达速度为
人/小时，Wq
60
2020
60
3，
解得 10人/小时 ；
所以，当到达速度增加到 10 人/小时时，装第二台电话机才合理。
泊松流的充要条件是：相继到达时间间隔服从相互独立的参数为 的负指数分布。
二、概念题 排队论[上海海事大学 2014 研] 答：排队论也称随机服务系统理论，就是为解决排队问题而发展的一门学科，它研究的 内容有下列三部分。 （1）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间 分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。 （2）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计，后者指现有排队系统 的最优运营。 （3）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排 队理论进行分析研究。 一般的排队系统都有三个基本组成部分：输入过程；排队规则；服务机构。
我们已经通过软件计算出服务中心的服务人员个数与等待接受 MIS 维护服务的平均职 员数（不包括正在接收 MIS 维护服务地职员）以及平均等待时间（不包括接受 MIS 维护服 务的时间）之间的关系，如表 13-1：
表 13-1
请分析下面两个问题：
（1）如果公司经理希望职员等待 MIS 维护服务（排队等待和服务等待的平均时间）不
（2） Pn P0 n ，∴
；
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（3）
（人）；
（4）Ws
Ls (1
P0 )
0.44h
；
（5）
（人）；
（6）顾客的平均等待时间是 （7）
顾客损失的概率。 注：类似于上海交通大学 2002 研
；
P7
P0 7
0.2506*（5）7 6
=6, =20, 0.3,= =0.15
2
P0
0.30
0!
0.31
1!
1
0.32
2！
1 1 0.15
=0.74
c c
0.32 0.15
Lq
c!1
2
P0
1 0.152
0.74 2!
0.007
3．案例分析：需要多少个服务人员？ 某商科技公司的 MIS 中心处理本公司信息系统的维护服务。公司其他部门职员打电话 到信息中心进行咨询和服务请求，不过如果恰巧所有服务人员都在忙的时候，该职员就必须 等待。该中心每小时平均接收到 40 个服务请求，服务请求的到达服从泊松分布。每个请求
三、简答题
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试写出 M/M/1 排队系统的 Little 公式。[北京交通大学 2010 研]
答：M/M/1 排队系统的 Little 公式为：
LS WS , Lq Wq
Ws
Wq
1
, LS
Lq
四、计算题
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的平均服务时间是 3 分钟，且服从负指数分布。 信息中心服务人员每小时的平均工资是 15 元。公司职员每小时为公司创造的收益是 25
元。（如果该职员在等待或正在接受 MIS 维护服务，则这段时间内该职员不为公司创造任何 收益）。
1．某理发店只有一个理发员，来理发的顾客到达过程为 posson 流，平均 5 人/小时；
理发时间服从负指数分布，平均需要 10 分钟；店内备有 5 把椅子供顾客等候，多余顾客将
到其他理发店理发。
求：
（1）该理发店忙的概率；
（2）该店内恰有 2 个顾客的概率；
（3）在该店内的平均顾客数；
（4）每位顾客在该店内的平均逗留时间；