3讲--弹丸质心运动方程组

•（3）弹头飞行速度较高时，弧形部高度hr和口径d的比值越高，
空气阻力Rx越小。
§1.5.3 弹尾部形状和长度
•（1）若弹头为亚音速，弹尾做成流线型； •（2）射程较远时，弹头尾部为截锥体，α=6 °~9 °
§ 2.1 弹道诸元的计算公式
§2.1.1 基本假设
由于膛线的作用，弹丸在飞出枪炮口后绕弹轴高度旋转。在理想 情况下，弹轴与弹道切线重合，这时弹丸在飞行中的空气阻力Rx是通
§ 2.2 真空弹道特性
真空弹道是假设空气阻力为零的弹道，这种情况是弹丸质心运动
最简单的情况，也就是在前述假设成立的前提下 ax 0 的情况。
真空弹道上任意一点的弹道诸元可用下列公式表示：
1、弹道高
gx2 y xtg0 2 2v0 cos2 0
2、速 度
v v0 2 2 gy

将上面切向及法向加速度方程连同确定x和y的两个方程一起写出，即得
到以t为自变量的自然坐标系的弹丸质心运动方程组：
dv cH ( y ) F (v) g sin dt
①
d g cos dt v
dy v sin dt
②
(2-2)
③
dx v cos dt
3、飞行时间
t x v0 cos 0
4、切线倾角的正切
gx tg tg0 2 v0 cos 2 0
式中，
y——飞行高度 x——飞行距离
0 ——射角
v0——初速
g——重力加速度
由上述公式可知，真空
弹道有以下特性：
（1）真空弹道是一条对称的抛物 线，其对称轴y与最大弹道高重合， 升弧OS和降弧SC的形状相同，如 右图示； （2）弹道上任意一点的速度取决于该点的弹道高，同一弹道高处得速 度值相同。因此，初速与末速数值相等，顶点的速度最小； （3）在弹道等高的两点上，其切线倾角绝对值相等； （4）最大射程的发射角为45 °； （5）弹丸在升弧的飞行时间等于弹丸在降弧段得飞行时间。
（2-2′ ）
式（2-1 ′ ）或（2-2 ′ ）即为弹丸质心运动的向量方程。
•众所周知，向量方程无法进行计算，一般将其向取定的坐标系
上投影，得出相应的标量方程。为此，我们下面进行进一步讨
论。
二、以t为自变量的直角坐标系的弹丸质心运动微分方程组
所谓直角坐标系的弹丸质心运动微分方程组，就是将向量方程(2-
dx u dt
④
v u w
2
2
⑤
几点说明：
1、积分的起始条件为：
t=0时， u
u0 v0 cos0 , w w0 v0 sin 0 , x y 0
2、当积分(2-1)式时，①②③三式必须同时积分，联立求解，此 三式具有联解性。⑤式叫联系方程，联系u、w和v之间的关系。
自变量的运动方程组。此时取变量
2
u ( v cos ) 及 p( tg )来代替θ
及 v ( u sec u 1 p ) ，从而有：
du du dt 1 cH ( y )G (v)u cH ( y )G (v) dx dt dx u dp d d d dt 1 g cos 1 g tg tg ( ) 2 dx dx d dt dx cos 2 v u u
再加上：
dy dx w， u dt dt
综合以上各式就得到了以t为自变量的直角坐标系的弹丸质心 运动方程组,如下：
以t为自变量的直角坐标系的弹丸质心运动方程组：
du cH ( y )G (v)u dt
①
dw cH ( y )G (v) w g dt
dy w dt
②
③
(2-1)
心上，且Rx与v、ξ共线反向；
② 气象条件是标准的，无风雨；
③ 地球表面为平面，重力加速度为标准值（g=9.80m/s^2），且垂直向下；
④ 忽略由于地球自转而产生的作用在飞行弹丸上的科氏惯性力。
根据这些假设，可以将弹丸的运动看作是全部质量集中在质心的质点运 动问题，即研究弹头质心运动的问题（基本问题）。而研究围绕弹头旋 转理论和摆动理论称为特殊问题。
2′)式分别向前面介绍的地面直角坐标系中x及y轴上投影所得到的方
程组。下图中O-xy显然是射击面。
将(2-2′)式两端均向x轴上投影得：
du ax cos dt cH ( y )vG (v) cos cH ( y )G (v)u
将(2-2′)式两端均向y轴上投影得：
dw ax sin g dt cH ( y )vG (v) sin g cH ( y )G (v) w g
④
几点说明：
1、积分的起始条件为：
t=0时， v v0 ,
0 , x y 0
2、当积分(2-2)式时，①②③三式具有联解性必须同时积分。
3、使用范围： 方程组(2-2)常用于对弹道特性的分析以及在加入适当的项后 求解火箭弹道等等。
四、以x为自变量的弹丸质心运动微分方程组
应用复合微分的方法，可以根据上面的结果导出一组十分简单的以x为
为了求y和t，还应加上：
dy dt 1 p, dx dx u
最后整理得：
du cH ( y )G (v ) dx
①
dp g 2 dx u
dy p dx
②
③
(2-3)
dt 1 dx u
④
v u 1 p2
⑤
几点说明：
1、积分的起始条件为： x=0时， u
u0 v0 cos0 , p p0 tg0 , y 0, t 0
由于矢量ax 和 g 在切向 上的投影分别为：
ax cH ( y) F (v) g g sin
故得切向加速度的方程为：
dv cH ( y ) F (v) g sin dt
由于矢量 ax和 g在切向 上的投影分别为：
§2.1.3 弹丸质心运动方程(组)
一、向量方程
对于弹头，仅受空气阻力Rx和重力G的影响，所以：
dv m Rx G dt
（2-1 ′ ）
将（2-1 ′ ）两端同除以弹头质量m，得：
或
d v Rx G dt m m d v ax g dt
圆弧形，阻力次之，数量最多
椭圆形，阻力最大
§1.5.2 弧形部的锐钝
•（1）圆弹头比平弹头阻力小，但平弹头在近距离精度好； 有些为了设计或使用上的某些要求，有时可能采取增大弹丸
空气阻力的外形作为合理弹形，像有的弹上安装阻力环，从
而使射击精度得以改善。(手枪弹) •（2）速度较小时，弹形对空气阻力的影响小；
2、当积分(2-3)式时，①②③三式具有联解性必须同时积分，⑤式为
联系方程。
3、使用范围： 方程组(2-3)显然形式上比前面(2-1)、 (2-2)要简单，适用于自动武器的 弹道计算。 应注意的是，由于在大角度时，p(=tgθ)随θ角的变化而激剧变化，此 时用(2-3)方程组计算弹道不够准确，一般此组方程不适宜于θ>60 °时 的弹道计算，而方程组(2-1)则无此限制。
过质心的。但实际上弹轴与弹道切线往往不重合，即它们之间有章动
角δ存在，空气阻力就不作用于弹丸的质心，而作用于质心与弹尖之间 的某一点，这时弹丸就受一翻转力矩的作用。因此，要描绘弹丸在空
气中的运动情况是比较困难的。
为了使问题简化，下面引进一些基本假设：
① 弹轴与弹道切线重合，δ=0，气流对称于弹轴，空气阻力Rx作用在质
§2.1.2 描述弹丸质心运动规律的参量
在外弹道计算中，常用直角坐标系，即 取水平面向炮口的方向为x方向，取铅垂 向上的方向为y方向，炮口为坐标原点O， 如图所示。要知道弹丸质心在空中运动 的规律，只要知道在弹丸出炮口任意时
刻t时弹丸质心的坐标（x，y）以及该时
刻弹丸质心运动的速度矢量v即可。
因此用来描述弹丸质心运动规律的参量共有t、x、y、v、θ五个 变量，其中θ为速度矢量与水平方向的夹角。有时速度矢量不用v、 θ表示，而用其水平和铅垂分速度vx、vy来表示。
第三讲
§1.5 第二章 § 2.1
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外弹道计算公式
弹形的选择 外弹道的计算 弹道诸元的计算公式
真空弹道特性
§1.5 弹形的选择
目的：是使弹丸的形状在给定的速度范围内，除满足弹丸的主要要
求外，应使其平均阻力尽量小。这里主要针对旋转弹的弹形进行讨论。
§1.5.1 弹头弧形部母线形状
抛物线形，阻力最小 弹头弧形部 母线形状
ax 0 g g cos
故得法向加速度的方程为：
d d g cos v g cos 或 dt dt v
补充： 矢量对时间t求全导数
d 0 dv dv dv d 0 v 0 v 0 dt dt dt dt dt
3、使用范围：
方程组(2-1)多用于解高射弹道，也可以用于解地面火炮弹道。
三、以t为自变量的自然坐标系的弹丸质心运动微分方程组
所谓自然坐标系的弹丸质心运动方程组，就是将向量方程(2-2′)式
向弹道切线 和法线
标系O-xy而言的。
(见下图)，即自然坐标轴上分别投影所得到
的方程组。注意，此时表示质心运动规律的参量仍是相对于不动坐