函数的傅里叶级数展开

f(x)~2[sinx1sin2x 1sinkx ]
2
k
x, 0x2
, x0,2
x 1sinkx
2 k1 k
该函数傅里叶级数图形？ 0x2
作业：P126 2; 3; 5; 6;
正弦级数和余弦级数
例 4 将函数 f ( x) x 1 (0 x )分别展开成
正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数. 对f(x)进行奇延 , 拓
bn 20f(x)sin nxdx22n2
当n1,3,5, 当n2,4,6,
n
x 1 2 [ ( 2 ) sx i s n 2 x i 1 ( n 2 ) s 3 x i n ]
23
(0x )
(2)求余弦级数. 对f(x)进行偶延, 拓
a0 20(x1)dx2,
an 20(x1)consxdx n0 4 2
(1)当 x是 f(x)的 连 续 点 时 ,级 数 收 敛 于 f(x);
( 2 ) 当 x是 f(x )的 间 断 点 时 , 收 敛 于 f(x0 )f(x0 ); 2
注: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
1.把周期函数展为Fourier级数步骤:
(1)找出f(x)的间断点,求出收敛于?
( t ; t 0 , , 2 , )
和函数图象为
u
u
Em
Em
o
t
o
t
Em
Em
例 3 在[0,2 ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
解：
12
2
b n
xsin n x d x
0
n
1 2
1 2
a 0 0x d x 2 , a n 0x c o s x d x 0
(2)按公式算出an,bn,写出Fourier级数
a0
2
(an
n1
cosnx
bn
sinnx)
(3)根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况
例 1 在[ , ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
例 2 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t ) EEmm, ,
0 t t 0
将其展开为傅立叶级数.
u 4 (s t 1 isn 3 i t n 1 s5 i t n 1 s7 i t)n 3 5 7
u 4 (t s 1 s i3 n t i 1 n s5 t i 1 n s7 t i 1 n s9 t i )n 3 5 7 9
u ( t ) 4 (t s 1 s i3 n t i 1 n s5 t i 1 n s7 t i n ) 3 5( 7 t , t 0 )
(3)求 bn.
f(x)sin nxa d 0 x sin nxdx
2
[a k ck o sx s n in x b kd sk x is n x n in ] x bnd ,
n 1
b n 1 f(x)sin nxd( n x 1 ,2 ,3 , )
傅里叶系数
an 1 f(x)co nsx,d(nx 0,1,2, ) bn 1 f(x)sin nx,d(nx 1,2, )
或 b an n 1 10 0 2 2 ff((x x))scio n n nsx x,,d d((n n x x 1 0 ,,2 1,, 2, ))
傅里叶级数
a 2 0 n 1 (a ncn o s x b nsinn )x
问题:
f( x )条 ? a 2 0 件 n 1 ( a n cn o b n x s sn i)n x
一般地，
若 有 f(x ) A 0A n s in (nx n ) n 1 A 0(a n c o snx b n sin nx ) n 1
称 右 端 级 数 为 f ( x ) 所 确 定 的 傅 里 叶 ( F o u r i e r ) 级 数
问题：
( 1 ) 什 么 条 件 下 可 以 把 一 个 周 期 函 数 展 开 为 傅 里 叶 级 数 ？
consx d0x , sin nx d0x ,
sm in sn ixn x 0 d ,, m m x n n , cm oc sx n os x 0 d ,, m m x n n , sim ncxo nsxd 0.x( 其 m ,n 1 中 ,2 , )
在声学、光学、热力学中有非常重要的作用
在偏微分方程的研究中有着非常重要的应用
物理学中最简单的波__谐波 A s in ( t )
A _ _ 振 幅 , _ _ 角 频 率 , _ _ 初 相 位 .
在电子信号处理技术中常见的方波,锯齿波,三角 波等,它们的合成和分解都大量用到三角级数.
非正弦周期函数:矩形波
当 n2,4,6, 当 n1,3,5,
x 1 2 1 4 (x c 3 1 2 o c 3 x o s 5 1 2 c s 5 x o ]s
(0x )
例5 应当如何把区间(0,)内的可积函数
2 延拓后，使它展开成的傅里叶级数的形如
f(x) ancos(n1)x (x) n1
3、以T为周期的函数傅里叶级数
f(x) a 2 0n 1(a nc o snx b nsinnx)
其中傅里叶系数公式
anT 2 T T //22f(x)co nsxd , (x n0,1,2, )
bnT 2 T T //22f(x)sin nxd , (x n1,2, )
将欧拉公式代入得
f(x) 12n cneint,
第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换
•第一节函数的傅里叶级数展开
一、傅里叶级数的引进
前面所研究的幂级数是18世纪初英国数学家泰勒 建立的，在分析学中，函数的泰勒展开起着很重 要的作用，但是它对函数的要求很高，而且只能 作局部逼近。19世纪法国数学家傅里叶研究热传 导方程时建立了把函数展为三角级数的方法，其 要求为函数黎曼可积或在反常积分意义下绝对可 积，并且它可以整体逼近函数。
设f(x) 周期为T,在(-T/2,T/2)可积和绝对可积,
令x T ， 则 () f ( T ) f ( x ) 为 周 期 2 的 周 期 函 数 ，
2
2
设 f( x )~ a 2 0 n 1 ( a n c o s n x b n s in n x )
其中anT 2
四.傅里叶级数的收敛判别法
设 f ( x)在[ , ]上可积和绝对可积，若 f(x)在 x 点的
左右极限都存在，并且两个广义单侧导数：
lif( m x x ) f( x 0 ) ,lif( m x x ) f( x 0 ) 都
x 0
x
x 0
x
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则f(x)的傅里叶级数在x点收敛,并且
(2)如 何 展 开 ？
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f(t) A 0 A n si n n t n ()
n 1
A 0 ( A n s i n c n n o t A n s c n o sn i s t ) n
n 1
令a0 2
A0,
a nA nsi n n ,b nA nc on ,s tx,
记 ( u ) = f ( x + u ) + f ( x - u ) - 2 s
则 f(x)的 傅 里 叶 级 数 在 x点 收 敛 的 问 题 归 结 为
取 到 适 当 的 s,使 得
2n+1
1
lim
n
0(u)sin2sin2uudu=0
2
2、黎曼引理
设函数(u)在[a,b]上可积和绝对可积，
u (t) 1 1 ,,
当 t0 当 0t
u
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
st ,i n 1 s3 t i , n 1 s5 t i , n 1 s7 t i , n 4 4 3 4 5 4 7
u 4sint
u4(sti n 1si3n t) 3
u 4 (st i1 n s3 itn 1 s5 it) n 3 5
五、傅里叶级数的复数形式
欧拉 (Euler) 公式
e ix co x is six,n e ix cx o isi x ,n称为欧拉公式.
则
cosx
sinx
eix eix
eix 2 eix 2i
也称为欧拉公式.
欧拉公式揭示了三角函数和复变量指数函数之 间的一种关系.
由函数的傅立叶级数
三、傅里叶级数系数
1.傅里叶系数
若 有 f(x)a 2 0k 1(akcoskxbksinkx),
且 右 端 级 数 一 致 收 敛 于 f(x) (1)求 a0. f ( x ) d x a 2 0 d x [ k 1 ( a k c k o b k x s s k i ) ] d n x x
复 振 幅 c n 的 模 恰 为 n 阶 谐 波 的 振 幅
作业：P127 4; 7; 8; 9; 11
六、收敛判别法的证明
1、狄利克雷积分
设 f ( x ) 在 [ - , ] 可 积 或 （ 在 反 常 积 分 意 义 下 ） 绝 对 可 积
其傅里叶级数为
f(x ) a 2 0 n 1 (a n c o sn x b n s in n x )
a n 1 u (t)co ns t d 0 t ( n 0 , 1 , 2 , )
b n 1 u (t)sinntdt
(2k 4E m 1), n2k1,k1,2,
0,
n2k,k1,2,
所求函数的傅氏展开式为
u (t) n 1 (2 n 4 E m 1 ) si2 n n 1 )( t
2
2n+1
=10(f(xu)+f(x-u))sin 2sin 2uudu
2
以上表达式都称为狄利克雷积分
注意到
2n+1
1
2sin 2
0
u
2sin
u du
=20(1 2+kn =1cosku)du=1
2
sn (f(x ))-s= 10 (f(xu )+ f(x-u )-2 s)sin 2 s 2 in n 2 + u 1u d u 2
其 部 分 和 为
sn(f(x))=a 20kn 1(akcoskxbksinkx)
2n+1
1
=
-
sin (t-x)
f(t)
2 2sint-x
dt
2
2n+1
=1
x+ x-
sin (t-x)
f(t)
2 2sint-x
dt
2
2n+1
=1
sin f(x+u)
2
u du
-
2sinu
2
=1( -0+0)f(x+u)sin2s2inn2+u1udu
a0 2, 2
a01
f(x)dx
(2)求 an. f(x )co nsxa d 2 0 x co nsxdx
[ a k ck o cx n s o x s b k d sk i x c n x n o] x s n 1
an co2n s xdaxn,
a n 1 f(x)co nsxdx( n 1 ,2 ,3 , )
则以下极限式成立：
limb(u)sinpudu=0,
p a
limb(u)cospudu=0
p a
利用黎曼引理可得傅里叶级数的一些性质
a 2 0 n 1 (a n cn o s x b n sn in )x 三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1 , c x , s x , c o 2 x , s i 2 x , o n c s n i , s n n , o s i
正交 :
任意两个不度 同2为 函 （数 通在 常 [ 长 取 ,]为 或 [0,2]上 ) 的积分 . 等于零
T/2 f(x)cosnxdx,
T/2
2
bnT
T/2 f(x)sinnxdx.
T/2
2 T 角a 频 n cn o x 率 s b n sn ix n ， n 阶
例 6 设 f ( x)在[2,2)上的表达式为
f
(
x)
0 k
2 x0
,
0 x2
将其展成傅氏级数.
并求其傅氏级数的和函数.
就是f(x)的傅里叶级数复数形式.
其中 c n a n ib n ,c n a n ib n
互 为共轭复数.
傅里叶级数复数形式的系数
cnT 2 T 2 T 2f(t)ein td t, (n0 , 1 , 2 , )
也称为傅里叶级数的复振幅. n 阶 谐 波 的 振 幅 在 实 数 形 式 中 为 ： A n a n 2 b n 2 = |c n |