典型例题一数项级数共51页

函数项级数典型例题

的收敛域为 (0,+ ∞) .
∞
∑ 例 3 设 a0 , a1, a2, "为等差数列， a0 ≠ 0 ，求级数 an xn 的收敛域. n=0
解
由于 an = a0 + nd ,
lim an+1 a n→∞
n
= 1，所以 R = 1 ，
∞
∞
∑ ∑ 当 x = ±1 时，级数成为 (±1)nan, n=0
,
x ∈(−1,1)
∑ 例 7 求幂级数 ∞ ( ) −1 n−1 x2n 的和函数.
n=1 n(2n −1)
3
∑ 解
设
y
=
x2
，则原级数化为
∞ n=1
(−1)n−1 yn
n(2n −1)
，记 an
=
( ) −1 n−1
n(2n −1)
，因
∑ ∑ ∑ ( ) ( ) lim n
n→∞
an
∞
= 1，故
⋅
(2n +1)3n (−1)n−1 x2n−1
=1 3
x 2 ，故收敛半径
R=
3.
∑ 当 x =
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n−1 2n +1
3
，收敛；
∑ 当 x = −
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n 3 2n +1
，收敛，故所求收敛域为
⎡⎣−
3,
3⎤⎦ .
∑ (2)
设
y
=
1− 1+
x x
，则级数成为
1
+
⎛ ⎜⎝
b a
⎞n ⎟⎠

第十二章数项级数

这是不可能的.
级数发散 .
2项
2项
4项
8项
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
16

(
1 2m
1

1 2m
2

1 2m1
)

每项均大于1
2m项
2
即前m 1项大于(m 1) 1 2
2 (1)n1 2(2 (1)n )

an ,
lim
n
a2n

1, 6
lim
n
a2n1

3, 2
lim un1 u n
n

lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1

1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
证明当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 ,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,
则
lim
m

m

lim
n
sn

s.
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.

有关级数的典型例题

n > N 1 时， x n ↘．现证 n ® ¥ 时， x n ® 0 ．取 0 < k < a ， $N 2 > N 1 ，当 n > N 2 时有
k æ 1 ö a æ 1 ö ç1 + ÷ = 1 + + oç ÷ < 1 + ． n è n ø n è n ø
¥
例 5 设正项级数 å x 且数列 { x 单调减少．利用 Cauchy 收敛原理证明： n 收敛， n }
n =1
lim nx n = 0 ．
n ® ¥
¥
证
由 å x { x 单调减少，有 x u n < +¥ 和 "e > 0 ，由 å n 收敛及 n } n ↘ 0 ．对
另一方面，注意 z n = cos nx + i sin nx ，又有
¥
å ( qz )
n =1
n
n =qz + ( qz )2 + ( qz )3 + L + ( qz ) +L
= qz + q 2 z 2 + q 3 z 3 + L + q n z n + L = q cos x + qi sin x + q 2 cos 2 x + q 2 i sin 2 x + L + q n cos nx + q n i sin nx
e
，因而 0 £ 2 kx 2 k < e ； 2
e
2
， ( 2 k + 1 ) u 2 k +1 2 k + 2 ) u 2 k +1 < e ． £ (

典型例题一数项级数

(a2 n1 a2 n )
n 1

(a1 a2 ) (a3 a4 )
而收敛的级数加上括号仍收敛; A,B中的 a2n1 ,
a
n 1

2n
均发散;
C.发散级数加上括号不一定收敛。
例3（04 ，三）设有以下命题： ① 若 (u2 n1 u2 n )收敛，则 un 收敛。
散，而 (un vn ) 收敛。
n 1

故选B。
例4（04，一）设为正项级数,下列结论中正确的是
an 收敛。 A.若 lim nan 0，则级数 n 1
n

nan ,则级数发散。 B.若存在非零常数，使得 lim n
2 a lim n an C.若级数 n 收敛，则
n 1
n 1
② 若 un 收敛，则
n 1

u
n 1

n 1000
收敛。
un1 1 ，则 un 发散。 ③ 若 lim n u n 1 n
(un vn ) 收敛，则 un, vn 都收敛。则以上命 ④ 若 n 1 n 1 n 1 题中正确的是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④
n
1 1 ) 则级数 (1) ( un un1 n 1
n 1

A.发散；
B.绝对收敛；
C.条件收敛；
D.收敛性根据所给条件不能判断。
n 解答：选C. 由un 0 ，且 lim 1 ，知 n u n 1 n 1
lim lim(
)0 n u n u n n n 令 S n (1)k 1 ( 1 1 ) 1 (1)n1 1 n uk uk 1 u1 un1 k 1 1 1 n 1 1 lim S ( 1) ( ) 收敛,但则 n n 从而 un un1 u1 n 1

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典型例题一数项级数
11、战争满足了，或曾经满足过人的好斗的本能，但它同时还满足了人对掠夺，破坏以及成教育的手段。纪律是教育过程的结果，首先是学生集体表现在一切生活领域—— 生产、日常生活、学校、文化等领域中努力的结果。— —马卡连柯(名言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领导者本身在这方面以身作则才能收到成效。—— 马卡连柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅精神以及同全世界劳动者的团结一致，是取得最后胜利的保证。—— 列宁摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德谟克利特 67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 ——歌德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

数项级数经典例题大全

第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n . ⇒n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =, 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11sinn n n 的敛散性.(验证0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、判断级数()() +-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。

数项级数经典例题大全（1）

数项级数经典例题大全（1）第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||q-11( 注意n 从0开始 ).2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 ,=n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--?-=+n n n ,) (∞→n . ? n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当2≥n 时,有∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11s i n n n n 的敛散性.(验证0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-?>+- 9、判断级数()()+-+??-+??+++??+)1(41951)1(32852951852515212n n 的敛散性.解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ?∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+?+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<="">∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ?∑+∞<. 13、判断级数∑??+21n n n 和∑??+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<="" p="" 判别法="" 时,="" 由leibniz=""> 收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈?x 收敛.证 ++??? ??-+=??+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21sin() 21sin() 21 sin(+=??--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ?∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。

数学分析12数项级数总练习题

第十二章数项级数总练习题1、证明：若正项级数∑n u 收敛，且数列{u n }单调，则n ∞n nu lim +→=0.证：∵级数∑n u 收敛，∴n ∞n u lim +→=0，∴单调数列{u n }必递减.由柯西准则知，任给正数ε，存在N ，对n>N ，有0<u N+1+u N+2+…+u n <2ε. 又当n>N 时，u N+i ≥u n , i=1,2,…,n-N ，从而当n>N 时，0<(n-N)u n ≤u N+1+u N+2+…+u n <2ε. 取n>2N ，则0<2n u n ≤(n-N)u n <2ε，即0<nu n <ε (n>2N)，故n ∞n nu lim +→=0.2、若级数∑n a 与∑n c 都收敛，且不等式a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…)成立. 证明级数∑n b 也收敛. 若∑n a 与∑n c 都发散，问∑n b 一定发散吗？证：∵a n ≤b n ≤c n ，∴ 0≤b n -a n ≤c n -a n ，又级数∑n a 与∑n c 都收敛， ∴正项级数∑)a -(c n n 收敛，根据比较原则，正项级数∑)a -(b n n 收敛， ∴∑n b =∑)a -(b n n +∑n a 收敛.若∑n a 与∑n c 都发散，∑n b 不一定发散，如：当∑n a =∑)n1(-,∑n c =∑n 1时，∑n a 与∑n c 都发散，而∑n b =∑2n1满足a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…)，但∑n b 收敛.3、若nn∞n b a lim+→=k ≠0, 且级数∑n b 绝对收敛，证明∑n a 也收敛. 若只知道∑n b 收敛，能推得∑n a 收敛吗？证：∵n n ∞n b a lim+→=k ≠0, ∴nn∞n b a lim +→=|k|>0, 又∑|b |n 收敛，根据比较原则知∑|a |n 收敛，∴∑n a 也收敛. 若只知道∑n b 收敛，则∑n a 不一定收敛. 如：取a n =n (-1)n+n 1，b n =n (-1)n ，则nn ∞n b a lim +→=n(-1)n1n (-1)lim n n∞n ++→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→n (-1)1lim n ∞n =1≠0, 且∑n b =∑n (-1)n收敛，但∑n a =∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n 1n(-1)n 却发散.4、(1)设∑n u 为正项级数，且n1n u u +<1，能否断定∑n u 收敛？ (2)对于级数∑n u ，有n1n u u +≥1，能否断定级数∑n u 不绝对收敛，但可能条件收敛?(3)设∑n u 为收敛的正项级数，能否存在一个正数ε，使得ε1n∞n n 1u lim++→=c>0. 解：(1)不能. 如取u n =n1，则n 1n u u +=1n n +<1，但∑n u =∑n1却发散. (2)不能. ∵n1n u u +≥1，∴|u n+1|≥|u n |≥|u 1|>0. ∴|u |lim n ∞n +→≠0，从而n ∞n u lim +→≠0，∴级数∑n u 发散.(3)不一定. 如：对收敛的正项级数∑p n1(p>1)，则总存在ε=p-1>0，有1)-p (1p ∞n n 1n 1lim ++→=1>0.但对收敛的正项级数∑n n1，却对任何正数ε，有ε1n ∞n n 1n 1l i m ++→=ε-1-n ∞n n 1lim +→=0.5、证明：若级数∑n a 收敛，)b (b n 1n ∑-+绝对收敛，则级数∑n n b a 也收敛.证：若级数∑n a 收敛，)b (b n 1n ∑-+绝对收敛，则任给正数ε，存在N 1，使当n>N 1时，对任何自然数p ，都有∑+=pn n k k a <ε，且存在N 2，使当n>N 2时，对任何自然数p ，都有|b b |k pn nk 1k ∑+=+-<ε.由)b (b n 1n ∑-+收敛知：其部分和数列)b (b k n1k 1k ∑=+-=b n+1-b 1有界，即|b n |<M(n=1,2,…).由阿贝尔变换知：当n>N=max{N 1,N 2}时，对任何自然数p 有：∑+=pn nk k kb a=∑∑∑+=+-+=+-++=++++-+⋯+-+-pn nk kp n 1p n nk k p n 1p n 1n nk k 2n 1n n 1n n a b a )b b (a )b b (a )b b (≤|b n -b n+1||a n |+|b n+1-b n+2|∑+=1n nk k a +…+|b n+p-1-b n+p |∑-+=1p n nk ka+|b n+p |∑+=pn nk ka≤ε∑-+=+-1p n nk k 1k b b+εM ≤ε(ε+M). 根据柯西准则，级数∑n n b a 收敛.6、设a n >0，证明级数∑+⋯++)a 1()a 1)(a 1(a n 21n是收敛的.证：∵a n >0，∴级数∑+⋯++)a 1()a 1)(a 1(a n 21n是正项级数，其部分和S n =∑=+⋯++n1k k 21k )a 1()a 1)(a 1(a =∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯++-+⋯+n 1k k 211-k 1)a 1()a 1)(a 1(1)a 1()a 1(1 =1-)a 1()a 1)(a 1(1n 21+⋯++<1，即{S n }有界，∴该级数收敛.7、证明：若级数∑2n a 与∑2n b 收敛，则级数∑n n b a 和级数∑+2n n )b (a 也收敛，且(∑n n b a )2≤∑2n a ·∑2n b ，∑+2n n)b (a≤∑2na+∑2nb.证：∵|a n b n |≤2b a 2n2n +，且∑2n a 与∑2n b 收敛，∴∑n n b a 绝对收敛. 从而∑+2n n )b (a =)b b a 2(a 2n n n 2n ∑++也收敛.由柯西—旋瓦兹不等式：(∑=n1k k k b a )2≤∑=n 1k 2ka ·∑=n1k 2k b ，及明可夫斯基不等式：∑=+n1k 2k k)b (a≤∑=n1k 2ka+∑=n1k 2kb，令n →∞取极限，得证！。

考研级数典型例题（完美版讲析）

考研级数典型例题（完美版讲析）常数项级数内容要点一，概念与性质(一)概念由数列 ,,,,21n u u u 构成的式子=∑∞=1n nu++++n u u u 21称为无穷级数，简称为级数.n u 称为级数的一般项，∑== ni in us 1称为级数的部分和.如果s s n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛，s 称为该级数的和.此时记=∑∞=1n nus .否则称级数发散.（二）性质 1, 若∑∞=1n nu收敛，则.11∑∑∞=∞==n n n nu k ku2, 若∑∞=1n n u ,∑∞=1n nv收敛，则().111∑∑∑∞=∞=∞=±=±n n n n n n nv u v u3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛. 5(收敛的必要条件), 若∑∞n nu收敛，则.0lim =∞→n n u注意：若.0lim ≠∞→n n u 则∑∞=1n nu必发散.而若∑∞=1n nu发散,则不一定.0lim ≠∞→n n u(三) 两个常用级数 1, 等比级数≥<-=∑∞=1,1,10q q qaaq n n2, -p 级数≤>=∑∞,1,11p p n n p二，正项级数敛散性判别法(一) 比较判别法设∑∑?=∞=11,n nn n vu 均为正项级数，且),2,1( =≤n v u n n ,则∑∞=1n nv收敛?∑∞=1n nu收敛；∑∞=1n nu发散?∑∞=1n nv(二) 极限判别法如果)0(lim +∞≤<=∞→l l nu n n ,则∑∞=1n nu发散；如果对,1>p )0(lim +∞<≤=∞→l l u n n pn ,则∑∞=1n nu则收敛.(三) 比值判别法设∑∞=1n nu为正项级数，若>?=?<==+∞→fb cu u n n n 111lim1ρ 二，交错级数收敛性判别法莱布尼兹判别法：设())0(111=-n n n n u u 为交错级数，如果满足：1, ),2,1(1 =≥+n u u n n 2, 0lim =∞→n n u则此交错级数收敛.三，任意项级数与绝对收敛（一）绝对收敛如果∑∞=1n nu收敛，则称∑∞=1n nu绝对收敛.（二）条件收敛如果∑∞=1n nu收敛，但∑∞=1n nu发散,则称∑∞=1n nu条件收敛.（三）定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛.函数项级数一、主要内容 1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、函数列{()}n f x一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→（4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→（5）Dini -定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。

第一单元数项级数

1 xp
dx,
∑ ∑ ∑ ∫ ∫ n+1
∴ ak
k=2
=
n+1 1 np
k=2
≤
n +1 k=2
n n −1
1 xp
dx
=
n1 1 x p dx
=
1 p −1
⎛⎜⎝1
−
1 n p −1
⎞ ⎟⎠
<
1 p −1
即，部分和数列有界，因而级数收敛。
∞
∞
比较审敛法´ 设∑an 与 ∑bn 是两个正项级数，且
3n
n =1
证
设
an
=
n2n 3n
，, 则
lim an+1 a n→∞
n
=
lim
n→∞
(n
+1)2n+1 3n+1
/
n2n 3n
= lim n +1 2 n→∞ n 3
=
2. 3
故，级数收敛。
g
∑ 例7 判定级数 ∞ n! 的收敛性。
解
令 an
=
n! nn
n=1 n
，, 则
n
lim
n→∞
an+1 an
∑ ∑ ∑ ∞
∞
n=1
n=1
n=1
∞
(1) an, cn 收敛；(2) an ≤ bn ≤ cn ，则 bn 收敛。
n=1
n=1
∞
∞
n=1
∑ ∑ 证作级数 (cn −an), (cn −bn) ，级数为正项级数，且
n=1
n=1
∞
∞
cn −bn ≤ cn −an, ∞

函数项级数典型例题

1
+
⎛ ⎜⎝
b a
⎞n ⎟⎠
，由于其一般项不趋向于
0，
∑ 故级数发散；当 a
< b 时，级数化为
∞ (−1)n
n
=1
1
+
⎛ ⎜⎝
a b
⎞n ⎟⎠
，其一般项不趋向于
0，级数发散.
同样，在 x = R 时，级数发散，综上所述，所求收敛域为 x = (−R, R) ，其中 R = max{a,b} .
∞
例 6 求幂级数 ∑(2n +1) xn 的收敛域，并求其收敛域内的和函数. n−0
n−0
n−0
n−0
∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ x S (t )dt = ∞ 2
x (n +1)tndt −
x
∞
t ndt
∞
=2
xn+1 −
x1Leabharlann dt0n=0 0
0 n=0
n=0
0 1−t
∫ = 2x − x 1 dt 1− x 0 1−t
求导得
S
(x)
=
2
(1− x)2
−1 1−
x
=
1+ x
(1− x)2
的收敛域为 (0,+ ∞) .
∞
∑ 例 3 设 a0 , a1, a2, "为等差数列， a0 ≠ 0 ，求级数 an xn 的收敛域. n=0
解
由于 an = a0 + nd ,
lim an+1 a n→∞
n
= 1，所以 R = 1 ，
∞
∞
∑ ∑ 当 x = ±1 时，级数成为 (±1)nan, n=0

数项级数习题课完整版

un 设 un 与 v n 都是正项级数,如果lim l, n v n 1 n 1 n
则(1) 当0 l 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当l 0 时，若
v
n 1

n
收敛,则
u
n 1

n
收敛;
(3) 当l 时, 若
v n 发散,则 un 发散; n 1 n 1
1 1 n 1 n2 n lim(1 2 ) lim[(1 2 ) ] e 0 1; n n n n 1 1 1 n x lim n lim x exp{lim ln x } n x x x
1 exp{lim } e 0 1; x x

1 n ln(n 2) n n,
n 1 n 由于 n lim n 1 , lim ln( n 2 ) 1 , n lim un . n n a
1 当 a 0 即 0 1 时, 原级数收敛； a 1 当 0 a 1 即 1 时, 原级数发散； a ln( n 2) 当 a 1 时, 原级数为 , 1 n n1 (1 ) n ln( n 2) lim , 原级数也发散． n 1 n (1 ) n
1 x2 x ' 0( x 1) 设f ( x ) ( x 1) 则 f ( x ) 2 2 2 1 x 1 x un un1 f ( x )在[1 ，）上单调递减 n n 1 由莱布尼兹判别准则， 1 收敛。（* * ） 2
又 lim un lim
定义

正、负项相间的级数称为交错级数.

n 1 n ( 1 ) u 或 ( 1 ) un (其中un 0) n n 1 n 1

无穷级数-级数综合题

n =1
解设 un =
( − 1 )n − 1 ⋅ n 3
n
,则
例12 若
∞
∞ ∞ 1 2 2 2 2 证因 a n bn ≤ ( a n + bn ) , 而 ∑ a n , ∑ b n 收敛 , 2 n=1 n =1
n =1
a n b n , ∑ (a n + b n )2 也收敛 . ∑
故级数 ∑ u n 发散 .
n =1
∞
例3 设 u n =
∞ n =1
( n + 1 )2 + 1 − n 2 + 1 ,
判别 ∑ un的敛散性 .
解
因 lim u n = lim
n→ ∞
n→ ∞
(
(1 + n ) + 1 − n 2 + 1
2
)
= lim
2n + 1
n→ ∞
(n + 1 ) + 1 + n + 1
都收敛 ,
(
)
二、幂级数
例13 设幂级数
1 试指出点 − 2 , − 1,0 ,1, 2 , 3 ,4 , 5 , e , 中, 哪些点 e ∞ n 为幂级数 ∑ a n ( x − 3 ) 收敛点 ( 发散点 ).
n=0
∑ a n x n 的收敛半径
∞
R = 2,
解知 ∑ a n x 当 x < 2时收敛，x > 2时发散 .
n n=0 n= 0
∞
∞
故有 R ≥ 4.下证 R 不可能大于 4. 设 R > 4 , 则在 x = 3 处 , 即 ∑ a n (3 + 1 ) = ∑ a n 4 n 必绝对收敛 , 矛盾.

12.1数项级数资料

n
Sn
S n1 )
S
S
0
例
判别级数
(
n
)n 的敛散性
n1 n 1
解
lim
n
an
lim ( n )n n n 1
lim 1 n (1 1 )n
1 0 e
n
级数
(
n
)n
n1 n 1
发散
例
判别级数
1
的敛散性
n1 n
解由于其 n 项部分和 Sn 满足
Sn 1
1 2
1 3
1 n
n 1 n
lim
m
Snm
lim (
m
Sn
Sm ' )
Sn
S'
an
收敛
n1
说明: 此性质说明: 截去级数前面的有限项不改变级
数的敛散性
这同样说明: 在级数的前面增加有限项也不改变级数的敛散性
性质 2 改变级数 an 的有限项 , 不改变级数的 n1
敛散性
性质 3 若级数 an , bn 收敛 , 则有
级数收敛:
an
n1
lim
n
Sn
(
级数
an
n1
的和是其部分和数列
S n 的极限
)
例
讨论级数
1
的敛散性
n1n(n 1)
解
Sn
n1
k1k(k 1)
n1 1
( )
k1 k k 1
1 1 n1
lim
n
Sn
1
所以原级数收敛 , 且有
1
1
n1n(n 1)
例
讨论等比级数