高三数学教案 函数的值域和最值

3、函数的值域和最值

教学目标：理解值域的概念，掌握求函数值域的基本方法，理

解函数的最值与值域的联系，能求函数的最值，熟悉函数值域

与最值的求解方法，能解大应用问题。

教学重难点：目标。

教学过程

一、基础知识：

1、函数的值域经常穿插于高考的大小试题中，函数的值

域与最值的求法：配方法、换元法、判别式法、单调性法、不

等式法、导数法、等价转化等。求值域和最值得前提条件是先

求出函数的定义域。

2、确定函数值域的原则：

当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域y f x

1)()

及其对应法则唯一确定。

2）当函数由实际问题给出时，函数的值域有问题的实际意义确定。

二、例题讲授

考点一：求函数的值域

例一：求下列函数的值域

22212410(03)

43

2)1

1

3)14)5)x x y x x x x y x e y e y x y =-+≤≤+=+-=+=+=）

点评：根据题目特点：（1）是二次函数，可用图像法。

（

2用判别式法。3）用反求法。

4）用换元法。5）用基本不等式法。

练习：求下列函数的值域

2221)1

2)11()(0)3)22(1)(0)x x x

y x x y x

x y x x -=-+=+⎧

⎫+≤⎪⎪

=⎨⎬

⎪⎪-⎩⎭

考点二：求复合函数的值域和最值

2(1)

1)x x a a -∈例2：已知函数f(x)=1-2a 求函数f(x)的值域

2）若x [-2,1]时，函数f(x)的最小值为-7，求a 并求函数f(x)的最大值。

点评：求函数的值域或最值时，要考虑内层函数的定义域和值域的变化，同时也要考虑适合外层函数解析式结构类型的求值域和最值得常用方法，两者结合才能准确地解决复合函数的值域和最值。

∈x 322练习：已知f(x)=2+log ,x [1,9]，求函数y=[f(x)]+f(x )的值域。

考点三：含参数的函数值域和最值

281x n x +++∞∞2mx 3

例3：已知f(x)=log 的定义域为（-，+），值域为[0,2]，求m,n 的值。

点评：1）一直函数的定义域和值域，求函数解析式中的参数的值域取值范围，其主要方法是转化为定义遇上恒成立的不等式来求解。

2）解题过程中要注意求函数至于方法的逆用。

411

-+2ax+b 练习：若函数f(x)=的最大值为，最小值为，x 求实数a,b 的值。

考点四：函数值域的综合问题

4426()

12ax a a R -++∈∞2例：已知函数f(x)=x ）若函数f(x)的值域为[0,+)，求a 的值。

）若函数f(x)的值都是非负数，

求函数g(a)=2-a|a+3|的值域。

∞⇔⇔∆∆≤点评：本题第一问中，函数f(x)的值域为[0,+)f(x)的图像恰好与x 轴相切=0。第二问中，先有0求得a 的范围，而这个范围正是函数g(a)的定义域，最后利用单调性求出g(a)的值域。三、反思

1、我还有更好的求值域与最值的方法吗？

2、哪种类型的题用哪种方法最合适呢？所有的函数都可用导数法吗？

四、小结：

(1)求函数的值域常用方法

配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等

式法、导数法等。无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域。

(2)函数的综合性题目

主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目。

(3)运用函数的值域解决实际问题，关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决。

五、作业：练习册

六、教学后记