双曲线的定义及标准方程 (1)

双曲线的定义及标准方程题型一、圆锥曲线的标准方程 例1、讨论192522=-+-kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论． 解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上． （3）与双曲线141622=-yx有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+nymx∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259n mnm 解得⎩⎨⎧=-=916n m ∴所求双曲线方程为191622=+-y x说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：1622=--λλyx（其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλyx∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为181222=-yx说明：（1）注意到了与双曲线141622=-yx有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλyx后，便有了以上巧妙的设法．例3、求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程．解：设所求双曲线方程为：()0122≠=-k kykx，则()1312=--kk，∴191=-kk，∴8-=k ，∴所求双曲线方程为18822=-xy说明：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率2=e 是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：设等轴双曲线()0222>=-m m y x ，则222m b a ==，∴22222m b a c =+=∴m c 2=，∴22===mm ac e反之，如果一个双曲线的离心率2=e ．∴2=a c ，∴a c 2=，222a c =，∴2222a b a =+，∴22b a =，b a =∴双曲线是等轴双曲线（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．例4、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点)2,3(-P ，离心率25=e ．(2)已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点为)0,10(F ，离心率2=e ．(3)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且︒=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ，又离心率为2．分析：(1)、(3)用待定系数法，(2)用定义法．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-by ax 为所求． 由25=e ，得4522=ac ． ①由点)2,3(-P 在双曲线上，得12922=-ba． ② 又222c b a =+，由①、②得12=a ，412=b ． ③若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-by ax 为所求．同理有4522=ac ，19222=-ba，222c b a =+．解之，得2172-=b （不合，舍去）．∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ．(2)设双曲线上任意一点),(y x P ，因为双曲线右准线4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率2=e ，根据双曲线的第二定义，有24)10(22=-+-x yx ，化简，得03612322=---x y x ，即14816)2(22=--yx ．∴所求双曲线方程为14816)2(22=--yx ．(3)设双曲线方程为12222=-by ax ，因c F F 221=，而2==ac e ，由双曲线的定义，得c a PF PF ==-221．由余弦定理，得212122212cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=)60cos 1(2)(21221︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，∴21224PF PF c c ⋅+=． 又31260sin 212121=︒⋅=∆PF PF S F PF ，∴4821=⋅PF PF ．∴4832=c ，162=c ，得42=a ，122=b ．∴所求双曲线的方程为112422=-yx．题型二、双曲线的定义及焦点三角形 例5、P 是双曲线1366422=-yx上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解． 解：在双曲线1366422=-yx中，8=a ，6=b ，故10=c ．由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ． （2）方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____例6、已知双曲线116922=-yx的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小．解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF ∵()100441222221=+==ba c F F ∴9021=∠PF F例7、 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积． 解：∵P 为双曲线1422=-y x上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F练习、设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 ；例8、已知：()11y x M ，是双曲线12222=-by ax 上一点．求：点M 到双曲线两焦点1F 、2F 的距离．分析：利用双曲线的第二定义．解：如图，设点M 到相应焦点1F 、2F 的准线的距离为1d 、2d ． 当M 点在双曲线的右支上时，a x ≥1，且有e d MF d MF ==2211a ex cax e ed MF +=+==12111a ex cax e ed MF -=-==12122当点M 在双曲线的左支上时，a x -≤1，且有e d MF d MF ==2211∴()a ex cax e ed MF +-=+==12111，()a ex cax e ed MF --=-==12122说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果． 例9、若椭圆122=+nymx)0(>>n m 和双曲线122=-ty sx)0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ． A ．s m - B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF 的关系式，再变形得结果． 解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)．练习、已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满1M F ·2M F＝0， |1M F |·|2M F |＝2，则该双曲线的方程是 ( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1 解析：∵1M F ·2M F ＝0，∴1M F ⊥2M F，∴MF 1⊥MF 2， ∴|MF 1|2＋|MF 2|2＝40，∴(|MF 1|－|MF 2|)2＝|MF 1|2－2|MF 1|·|MF 2|＋|MF 2|2＝40－2×2＝36， ∴||MF 1|－|MF 2||＝6＝2a ，a ＝3，又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1. 答案：A题型三、双曲线的轨迹例10、求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A（2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x（2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切∴11+=r MC ，22+=r MC ， 112=-MC MC ∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有： 21=a ，1=c ，43222=-=a c b∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422y x y（3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切（4）∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b ∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x yx说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法． （2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，体会，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标． 例11、在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ，∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ． 以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by ax )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ．由20=MN ，得202=c ，10=c ． 由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-yx．例12、在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ． 设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB∵2=BC ∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a by ax ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分。