双曲线的定义及标准方程 (1)

双曲线的定义及标准方程

题型一、圆锥曲线的标准方程 例1、讨论

19252

2

=-+

-k

y

k

x

表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．

分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252

，k b -=92

，

162

2

2

=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．

（2）当259<-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252

，k b -=92

，162

2

2

=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．

（3）25

说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．

例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）过点⎪⎭

⎫

⎝

⎛

4153，P ，⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-

5316

，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2）

，焦点在x 轴上． （3）与双曲线

14

16

2

2

=-

y

x

有相同焦点，且经过点()

223，

解：（1）设双曲线方程为

12

2

=+

n

y

m

x

∵ P 、Q 两点在双曲线上，

∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1

2592561162259

n m

n

m 解得⎩⎨⎧=-=916n m ∴所求双曲线方程为191622=+-y x

说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．

（2）∵焦点在x 轴上，6=

c ， ∴设所求双曲线方程为：

162

2

=--

λλ

y

x

（其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴

16425=--

λ

λ

∴5=λ或30=λ（舍去）

∴所求双曲线方程是

15

2

2

=-y x

（3）设所求双曲线方程为：

()16014162

2

<<=+-

-λλλy

x

∵双曲线过点()

223，

，∴144

1618

=++

-λ

λ

∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为

18

12

2

2

=-

y

x

说明：（1）注意到了与双曲线14

16

2

2

=-

y

x

有公共焦点的双曲线系方程为

14162

2

=+-

-λ

λ

y

x

后，便有

了以上巧妙的设法．

例3、求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程．

解：设所求双曲线方程为：

()012

2

≠=-

k k

y

k

x

，则

()1312

=--

k

k

，

∴

191=-

k

k

，∴8-=k ，∴所求双曲线方程为

18

8

2

2

=-

x

y

说明：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率2=e 是双曲线的等轴双曲线

的充要条件，它的证明如下：

设等轴双曲线()02

22>=-m m y x ，则2

2

2

m b a ==，∴2

2

2

2

2m b a c =+=

∴m c 2=，∴22==

=

m

m a

c e

反之，如果一个双曲线的离心率2=e ．

∴

2=

a c ，∴a c 2=

，2

2

2a c =，∴2

2

2

2a b a =+，∴2

2

b a =，b a =∴双曲线是等轴双曲线

（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．

例4、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．

(1)过点)2,3(-P ，离心率2

5=

e ．

(2)已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点为)0,10(F ，离心率2=e ．

(3)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且︒=∠6021PF F ，3122

1

=∆F PF S ，又离心

率为2．

分析：(1)、(3)用待定系数法，(2)用定义法．

解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．

如双曲线的实轴在x 轴上，设

12

22

2=-b

y a

x 为所求． 由2

5=e ，得

4

52

2=

a

c ． ①

由点)2,3(-

P 在双曲线上，得

1292

2

=-b

a

． ② 又2

2

2

c b a =+，由①、②得12

=a ，4

12

=

b ． ③

若双曲线的实轴在y 轴上，设

12

22

2=-

b

y a

x 为所求．

同理有

4

52

2=

a

c ，

1922

2

=-

b

a

，222c b a =+．解之，得2

172

-

=b （不合，舍去）．

∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ．

(2)设双曲线上任意一点),(y x P ，因为双曲线右准线4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率2=e ，根据

双曲线的第二定义，有24

)10(2

2

=-+-x y

x ，化简，得0361232

2=---x y x ，即

148

16

)2(2

2

=-

-y

x ．

∴所求双曲线方程为

148

16)2(2

2

=-

-y

x ．

(3)设双曲线方程为

12

2

2

2=-

b

y a

x ，因c F F 221=，而2==

a

c e ，由双曲线的定义，得

c a PF PF ==-221．

由余弦定理，得21212

2

212

cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=

)60cos 1(2)(212

21︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，

∴212

24PF PF c c ⋅+=． 又312

60sin 2

1212

1

=︒⋅=

∆PF PF S F PF ，