第六章常微分方程

例7. 解微分方程 dy x y dx x y
解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量x
dy dx
1 1
y
x y
此为齐次方程，令
y u x
x
du 1 2u u2 x
dx 1 u 1 2u u2 1
C2x2
分离变量，再两边积分 将u带回得
C2 (x2 2xy y2 ) 1
2.
型方程
作变换
例8. 求方程 dy (x y)2 的通解 dx
解：令
则
得方程通解为
将
代回得原方程通解
6.2.2一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程
定义3 如果方程中未知函数的导数（微分） 的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导 数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为 一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
解： 设 x示(t)在 时t刻细菌数目，依题意有
两边积分
即 又因，x(t) t0为已知,故特解为
C 0或C ec
(C为任意常数)
x(0)
例4（自然生长模型）y y(表t) 示一种生物在时间
t时种群总数，开始时种群总数 y(0) y0, n, m 分别表示该总群的出生率和死亡率，实践证明
n m r ky,其中r>0，k>0，试求该种群的自然 生长规律。 解：在t到△t 这段时间内种群总数改变量为
分类 偏微分方程
2.微分方程中所含未知函数的导数（或微分） 的最高阶数叫做微分方程的阶.
例如
为二阶微分方程
微分方程的基本概念 3.代入微分方程后，能使之成为恒等式的函数 称为微分方程的解 .
特解 (不含任意常数) 分类
通解
4.用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.
5.寻求微分方程的解的过程称为解微分方程.
1. 齐次方程 形如
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得
du
(u) u
dx x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
例6. 解微分方程 dy y tan y . dx x x
解: 令 u y , 则y u x u, 代入原方程得 x
解：分离变量
V
ln
dV V
ln
V
adt
两边积分
V
dV
lnV
lnV
adt
ln lnV lnV at ln C
由初始条件 V 0 V0
，可确定C
ln V V0
k， a
故特解是 V
V
k e at
ea
V V e 即
k (1eat ) / a
0
此为贡柏茨方程
此为贡柏茨方程图形
二、可化为分离变量的某些方程*
y(t t) y(t) ny(t)t my(t)t
当t 时0 dy lim y(t t) y(t) (n m) y(t)
dt t0
t
采用可分离变量后，积分得
y cen r ky
由 y(0) y0确定常数C，则可得生物总群自然
增长规律：
y(t)
r
k r ky0 en
y0
代入标准方程得 C(x)eP(x)dx Q(x)
两端积分得 C(x) Q(x) eP(x)dx dx C
故原方程的通解
y
e
Fra Baidu bibliotek
P(
x)
d
x
Q(
x)
e
P(
x)
d
x
dx
C
即 y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
1.齐次方程dy P(x) y 0通解为：
P( x) y
Q(x)
改写为
dy Q(x) dx P(x)dx yy
两边积分
ln
y
Q(x) y
dx P(x)dx
令
Q(x) y
dx
u(x)
令 C(x) eu(x)
y eu(x)e P(x)dx y C(x)e P(x)dx
（1）
下面求C（x），对（1）求导得
y C(x)eP(x)dx P(x)C(x)eP(x)dx
6.2一阶微分方程
6.2.1可分离变量的微分方程 6.2.2一阶线性微分方程
6.2.1可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
转化
两边积分
f (x)dx
例3 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞的 繁殖率与细菌的数目成正比，若 t 时0 细菌的数目
为 ，x(0求) 系统的细菌繁殖规律。
6.1 微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题 微分方程的基本概念
例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点
M (x处, y的) 切线斜率为2x，求这曲线的方程。
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
u x u u tan u
分离变量 cos u d u dx
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
此式称为Logistic方程，显然当t 时，y r
其曲线图为
k
例5（肿瘤生长模型）设V (t是) 肿瘤体积。免疫
系统非常脆弱时，V呈指数式增长，但V长大到 一定程度后，因获取的营养不足使其增长受限 制。描述V的一种数学模型是：
dV dt
aV ln V V
,V (0) V0 (a 0)
V V0ek /a是肿瘤可能长到的最大体积，确定肿 瘤生长规律
例2 质量为m的物体从空中自由下落，若略 去空气阻力．求物体下落的距离s与时间t 的函数关系s(t)。
解； 未知函数s(t)应满足方程
d 2s
m mg dt 2
,即
d 2s dt 2
g
两边积分得
再积分一次，得
此外，设运动开始时，物体的初始速度和初始
位移为零，得
微分方程的基本概念
1.含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微 分方程 . 常微分方程 (本章内容)
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
这里 P( x) d x 仅表示p(x)的一个原函数
2.
解非齐次方程
dy dx