飞机排队模型数学建模

模型设计与可行性分析
如果在t0时刻仅有一架飞机或没有要求起飞的飞机，则机场就
直接安排其起飞或闲置 。因此设在t0有n架飞机同时要求起飞。
由假设1，可将n架飞机起飞所需要的总时间分成n个等长的小时 间段（如∆长）。下面如何安排哪架飞机在哪个时段上起飞要依 赖于实际航班的花费和顾客的满意程度来确定。
设为Cij第i架飞机从第j个小时间段上起飞时所需一切费用之
x11 x12 ... x1n
x
x21
x22
...
x2n
（2）
... ... ... ...
xn1
xn 2
...
xnn
由于xij 只取 0，1 值，故如下的一个距阵（2）即对应一个排序方案：
飞机
1
2
3
…
n
窗口
1
0
1
0
…
0
2
1
0
0
…
0
…
…
…
…
…
n
0
0
0
…
1
即第一架飞机排第2个窗口起飞，第2架排第一个窗口起飞…， 最后一架排最后起飞。并由上表的安排结构，知道（2）中的距 阵满足每行中仅有一个元素为1，即每个窗口上仅有一架飞机占 用；该阵每列中也有一个元素为1，即每架飞机占用n个窗口中的
一个。即变量Xij须满足约束：
n
xij =1
j 1
i 1, 2,..., n
n
xij =1
i 1
(3)
j 1, 2,..., n
由于xij 为取 0，1 值的变量，因此不同的分派安 排对应的仅仅是 xij 取 1 的位置不同而已。
于是设c1 为安排第一架飞机的费用 c1 c11x11 c12 x12 ... c1n x1n 由此全部飞机安排的总费用为：
又设共有七种飞机，载客从100人起以50人递增，载客最多 的一种是400人。试开发和分析一种能使乘客和各航空公司双 方源自文库满意的数学模型。（注：七种飞机可能分属于不同的航空 公司）
在目前的各国机场，一般都使用“先到先 服务”的排队系统，这一系统虽一直延用， 但效率不高，且不能调节意外情况的发生。 在这里将要给出一个利用数据库系统快速排 队的模型，以使机场高效的服务，并使航空 公司在尽量小的花费情况下，达到顾客满意 的目的。
i 1
xij 0或1
此模型是一个运输问题的特例----指派模型，其中
c = (c11, c12 ,..., c1n , c21, c22 ,...c2n ,..., cn1, cn2 ,..., cnn ) 为一行向量。
x=(x11, x12 ,..., x1n , x21, x22 ,...x2n ,..., xn1, xn2,..., xnn ) 为一列向量， 为转 置符号。
nn
z
cij xij
i1 j1
即构成目标函数。（由于假设 2，cij 独立于 xij 的取值， 故此目标函数是一线性函数）。为求得使c 达最小的
xij ，构造了如下的线性规划模型：
min c x
n
xij 1, i 1, 2,...n
j 1 n
xij 1, j 1, 2,..., n
更重要的是。在设有意外发生的情况下，还可利用机场的原有时间 表，由数据库事先安排好起飞顺序，并让飞机安排起飞顺序起飞， 而唯一需要重新安排的情况仅仅发生在有飞机晚点或紧急的情况， 而这时的运算也会在一秒钟左右解决问题。而且由假设（3），也不 会因改变而产生临时的拥挤情况。
模型的基本假设
1. 机场上所有要起飞的飞机，都必须使相同一条跑道，并且任 何一架飞机在起飞的时候都需要完全地占有整条跑道，每架 飞机占用的时间是一样长的。这一假设可把整个时间分割成 离散的等长的小时间段（也称为起飞窗口宽度），在每个小 时间段上可容纳一架飞机完成起飞操作。
2. 第i架飞机由第j个时间段上起飞时，其所需费用仅与该飞机 和时间位置有关，而与它前面是哪架飞机无关。即费用不是 前面飞机的函数，因此这一假设可把对应于不同排序的总费 用都统一描述为一个线性函数。
4.设 是一架飞机要按时到达目的地所必须起飞的最
晚时限，并假设如果一架飞机在 时限以后才起飞，
则它必须以最大安全速度飞完全程。（而在 以内起
飞者可着情加速）。
5.如果一架飞机在时限 以后起飞，则该机上所有需
转机的乘客都将误下次班机，并设给每个乘客用于赔 偿重新安排旅行计划的补偿费用是一样的。
MCM-89题机场安排最优排队调度问题
机场通常是用“先到先服务”的原则来分配飞机跑道，即 当飞机准备好离开登机口时，驾驶员电告地面控制中心，加入 等候跑道的队伍。假设控制塔可以快速在线数据库中得到每架 飞机的如下信息： 1、预定离开登机口的时间； 2、实际离开登机口的时间； 3、机上乘客人数； 4、预定在下一站转机的人数和转机时间； 5、到达下一站的预定时间。
对于分派问题，已有专门为此种特殊结构而设计的有效的解题 算法，它被称为Graver—Thrall primal算法。对于1个随机产生的 具有16个变量的分派问题，最多只须2.9秒即可完成求解，而使用现 代的计算机，对任意适当个变量的指派问题，只须不到一秒钟即可
求得解。
同时，由于模型中费用系数阵（1）须要经过量化，而他们可由 下一段四中的公式求得。并由数据库中的数据进行计算，这一量化 模型的过程须要另一个不到一秒钟。因此整个模型的建立与求解所 用时间是以秒为数量级的，故当机场控制塔在面临一串连珠炮一样 的起飞请求时都可几乎立即对排序作出响应。而飞机的起飞间隔远 不是以秒为数量级的。一般至少几分钟，因此模型是可行的。
3. 任何飞机从离开自己的通道口到达跑道入口处所需要的时间 假定都一样。同时为了避免有一大堆飞机挤在跑道入口处等 待飞机（一般机场也不太可能这样），这时如有另一架飞机 需要紧急起飞，这就须将所有排在前面的飞机挤到一边来腾 地方，因此假设每架飞机都有立即进入跑道口的通道。这样 在须要调整次序时，只须在数据库中的次序上进行调整，而 不必对飞机实地重排。并且飞机须在为其指定的小时间段上 才准许离开自己的通道口。
和，于是所有可能的排序带来的费用计算有如下的费用距阵表示：
c11 c12 ... c1n
c c21
c22
...
c2n
... ... ... ...
cn1
cn 2
...
cnn
（1）
并设
Xij=0或1，当第i架飞机在第j个时段上起飞时Xij=1，否则Xij=0 于是相应地安排方案距阵为 ：