飞机排队模型数学建模
飞机起飞的最优排序
4
添加合理假设
所有飞机都在同一专用跑道上起飞， 所有飞机都在同一专用跑道上起飞，任 何飞机在专用跑道上起飞时间相同， 何飞机在专用跑道上起飞时间相同，这 样可将时间划分为间隔△的起飞时间段； 样可将时间划分为间隔△的起飞时间段； 标号为i的飞机在第j 标号为i的飞机在第j时段起飞所需费用
假 设
仅与起飞次序有关，而与前面飞机无关， 仅与起飞次序有关，而与前面飞机无关， 这样费用可以作为飞机调度的线性函数； 这样费用可以作为飞机调度的线性函数； 如果飞机尚能正点到达所允许的最大推 迟起飞时间为t,假定当飞机误点时， 迟起飞时间为t,假定当飞机误点时，以 t,假定当飞机误点时 最大安全飞行速度飞行； 最大安全飞行速度飞行；晚点但能准时 到达时，以保证准点到达速度飞行； 到达时，以保证准点到达速度飞行； 因误点而要求改航的赔偿费对每一个乘 客是相同的。 客是相同的。
2001年11月学术报告
飞机起飞的最优排序
赵立强
美国大学生数学建模竞赛题目
2011-9-16 飞机起飞的最优排序 1
简 介
问题 假设 简要分析 记号及其意义 建模 模型检验 模型评价及结论
2
问 题
3
给定假设
假 设
控制塔上的快速数据库存储着每架飞 机的正点起飞、到达时间、乘客数量、 机的正点起飞、到达时间、乘客数量、 飞行距离等参数
D(t ) = ap(e − 1) + bwu(t − τ )
at
表示机上乘客数； 表示机上乘客数； 表示下站转机乘客数； w 表示下站转机乘客数； α 表示乘客不满意的增长率； 表示乘客不满意的增长率； 表示晚点时间； 表示晚点时间； 不满意度为零； t = 0 不满意度为零；
飞机排队问题
《数学建模与计算》问题飞机排队问题(1)问题机场通常都有用“先来后到”的原则分配飞机跑道.即当飞机准备离开登机口时,驾驶员电告地面控制中心,加入等候跑道的行列.假设控制塔可以从快速反应数据库中得到每架飞机的如下信息:1)预定离开登机口的时间;2)实际离开登机口的时间;3)机上乘客人数;4)预定在下一站转机的人数和转机时间;5)到达下一站的预定时间.又设共有7种飞机,载客量从100人起以50人递增,最大的飞机载客量为400人.这7种飞机可能分属不同的航空公司.试开发和建立一种能使乘客和航空公司双方都满意的数学模型,以安排飞机起飞的先后次序.(2)假设1)机场控制塔上有一个快速反应的数据库,该库中存贮着每一架飞机的正点起飞时间,正点抵达目的地的时间,乘客数量,飞行距离等信息,其他一些有用的参数,可以根据数据库中已有数据估计出来.2)所有飞机都在同一专用跑道上起飞,任何一种飞机在跑道上起飞所需要的时间相同,这样可以把时间划分成间隔为△的起飞时段.3)标号为i的飞机在第j个时段起飞所需费用与先前起飞的飞机无关,仅与其安排的次序有关.这一假设使我们可以把总费用作为飞机调度排序的线性函数.4)所有飞机从登机口到跑道起点的时间相同.5)记τ为使飞机尚能正点到达目的地所推迟起飞的最长时间.同时假定,当飞机的误点时间超过τ时,则飞机将以最大的安全速度飞行.6)如果飞机推迟起飞的时间超过τ,则机上所有下站转机的乘客都将耽误转机.7)因误点而要求改航的赔偿费对每一个乘客都是相同的.(3)记号及意义△: 飞机起飞的时间间隔;0t 最早起飞的飞机离港时间; dt : 正点起飞的时间;A T : 正点到达目的地的时间; t: 晚点时间;τ: 最大允许晚点起飞的时间;k: 各种类型的飞机因晚点起飞而引起耗油的费用常数;av V : 平均飞行速度; max V : 最大的安全飞行速度;r: 要求改航的乘客的赔偿费; π: 下站转机的乘客数; P: 乘客总数;: 由于晚点起飞所引起的乘客不满意程度的增长率;a: 全体乘客由于飞机晚点起飞所引起的不满意度折合成美元的折合率; b: 耽误转机的乘客不满意度折合成美元的折合率. ★分析与建模若有n 架飞机都要求在时刻正点起飞,并且认为所有飞机都有直通跑道.我们以总费用最小作为目标来安排飞机起飞的次序.总费用由两部分组成,即航空公司的费用和乘客不满意程度所折合的费用.设ij c 为标号i 的飞机在第j 个起飞时段起飞的费用,引入状态变量ij x ,其定义为⎩⎨⎧=，其它个起飞的飞机第当标号为0,1j i x ij则总费用为∑∑===ni nj ijij x c Z 11为了保证每一架飞机只安排在一个时段内起飞及每一个时段△内只有一架飞机起飞,因此对状态变量ij x 增加约束条件:∑==iijn i x,...,2,1,1∑===nj ijn j x1,...,2,1,1由假设条件可知,ij c 与ij x 无关,因而总费用C 是一个线性函数.这是一个指派问题.假定每隔△时间只有一架飞机离开登机口加入到请求起飞的行列中,这样就保证总有飞机请求起飞.每隔△时间,执行一次程序,以安排在当前状态下最优的起飞次序.这里需要说明一点,该程序运行时间极短,不到一分钟便可完成,因此,如果数据发生变化时,如飞机晚点进港等, 几乎可以立即决策. ★下面来分析费用系数的确定问题.总费用应包括航空公司的费用和乘客的不满意度所折合的费用.首先把基本费用视为0,即设飞机在正点起飞时的费用为0,仅考虑由于飞机晚点起飞所导致的额外费用.航空公司的费用主要由两部分组成.一部分为额外的汽油费,这个费用主要是由于飞机晚点起飞时,要在空中快速飞行所额外消耗的汽油费;另一部分为耽误了转机的乘客需要改航时的赔偿费.若飞机晚点起飞,为了正点抵达目的地,它必须在空中以更快的速度飞行,这样由于风阻力的增大和其它因素,就要增加汽油的消耗.我们不太清楚速度的增加如何引起耗油费和增加,但当飞机加速过程结束,在空中以最大安全速度飞行时,额外的耗油费将是一个常数.为简单起见,选用线性函数来表示额外的油耗费,其公式为:⎩⎨⎧><=τττt k t kt t F ,,)(其中,t 为飞机晚点起飞的时间,显然当飞机正点起飞时,t =0,若t 0为首架起飞的时刻,d t 为正点起飞的时刻,△为起飞的时间间隔,则第j 个起飞的飞机晚点起飞的时间为:d t j t t -∆-+=)1(0由于τ为最长的晚点起飞时间,即当晚点起飞的时间超过τ以后,即使在空中以最大速度飞行,也不能正点抵达目的地,因此m a x V d t T d A --=τ其中A T 为正点抵达目的地的时刻,d 为飞行距离, max V 为最大的安全飞行速度.d 可用公式来表示av d A V t T d )(-=其中d t 为正点起飞时刻, av V 为正点起飞时平均飞行速度.常数k 与油价、单位晚点时间油耗的增加率及最大安全飞行速度有关,同时还应与飞行距离有关,当然飞行距离越长,额外的油耗就越大.由于飞行距离为τ--d A t T ,乘以最大安全飞行速度,则有:⎩⎨⎧>--<--=τττττt t T k t t t T k t F dA d A ,)(,)()(下面再计算改航旅客的赔偿费.为简单起见,由假设条件,记每一个改航旅客的赔偿费用为一个常数r(若赔偿不同,则令r 为赔偿的期望值).由于当飞机晚点起飞时,所有下站转机的乘客都将改航,则改航的赔偿费为:)()(τπ-=t u r t Rπ为转机旅客总数,u(t)为单位阶梯函数,即⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(s s s u费用系数中还应考虑乘客的不满意程度.一般地,飞机晚点起飞的时间越长,旅客就越抱怨,其不满意程度就越大.如果晚点时间只有1~2分钟,旅客就不会太不满意.但是,随着晚点时间的增加,旅客会非常生气,而不满意度会急骤增加,因此我们选用指数函数描述旅客的不满意程度.这个不满意程度对机上每一旅客都是如此,但对下站要转机的乘客,还需要追加另外的不满意度,用D(t)表示总的不满意程度所折合的费用,则)()1()(τπα-+-=t u b e ap t D tp 为机上乘客总数,π为下站转机的乘客总数,为了保证在正点起飞时乘客的不满意度为0,因而采用了)1(-t e α的形式,显然t=0时,D(0)=0. α为乘客不满意度的增长率,a,b 为折合率,)1(-t e ap α代表全体乘客不满意度折合的费用,)(τπ-t u b 为下站转机乘客追加的不满意度所折合的费用,这一项只有当τ≥t 才起作用.综上所述，费用系数ij c 应为额外油耗费、赔偿费、及不满意度所折合的费用之和)()()(t D t R t F c ij ++=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-+--<≤-+--<∞=τππττττααt b r e ap t T k t t e ap t t T k t t c t dA d td A d ij ,)1()(),1()(,t 和τ由下式给出m a x0)()1(v V t T t T j t t t avd A d A d ---=∆-+-=τ2）计算实例为了执行简单，再作一些假设。
代码附件排队模型
%M/M/S/m排队模型
%s——机场
%m——初始延误
%T——缓冲区
%mu1——飞机离开-到达时间服从指数分布
%mu2——机场分布
%事件表：
% p_s——机场空闲概率
% arrive_time——飞机到达事件
end
else %飞机离开子过程
leave_time(1)=[];%从事件表中抹去飞机离开事件
arrive_time=[arrive_time,current_time+exprnd(mu1)];
out=[Ws,Wq,Wb,Ls,Lq,p];
for i=0:m
p(i+1)=sum((LL==i).*diff([tt,T]))/T;%队长为i的概率
fprintf('队长为%d的概率:%f\n',i,p(i+1));
end
fprintf('飞机不能马上得到起飞的概率:%f\n',1-sum(p(1:s)))%机器不能马上得到起飞的概率
leave_time=sort(leave_time);%离开事件表排序
else %无空机场
L=L+1; %更新队长
c=[c,current_time];%记录飞机到达时间序列
fprintf('机场空闲概率:%d\n',p_s)%机场空闲概率
fprintf('到达机器数:%d\n',a_count)%到达机器数
fprintf('平均逗留时间:%f\n',sum(e-c(1:length(e)))/length(e))%平均逗留时间
数学建模 飞机的登机顺序安排问题
飞机的登机顺序安排问题摘要美国航空机场服务规划副总裁马克.都彭的话来说：“登机就好比是跟在一辆慢吞吞的卡车后行驶，又不能超车。
”长期以来，航空公司为了使飞机按时出发费尽了心思。
有的公司安排从后排开始登机，有的公司从靠窗座位开始，还有些公司设计出两者的组合方案。
但实际情况却没有如航空公司所愿。
近年来随着民用航空业飞速发展,无论是航空公司还是旅客都希望缩短登机时间,这样航空公司可以赢得更多时间用于飞行获得丰厚利润,旅客也可以缩短旅途时间。
然而随着乘坐飞机的旅客越来越多以及飞机的容量不断增加,使得登机时间却在不断加长。
如何缩短登机时间这一问题亟待解决。
针对客机登机顺序问题，文章将登机过程类比于总线型局域网的数据传输过程，建立了总线状态模型，在此基础上建立了蒙特卡洛随机模拟模型。
总线状态模型的主要思想是：利用总线型局域网拓扑结构的原理，将客机登机所需时间转化为拓扑结构中总线从空载状态到负载状态再到空载状态所经过的时间。
通过查阅相关资料文献，我们筛选出六种比较具有代表性的登机方案---Back to Front、Rotating Zone、Random、Reverse Pyramid、Outside in、block。
对选择的不同机型进行模型求解，对模拟结果进行分析，得出不同飞机设计登机方案的原则。
在此原则的基础上，提出新的方案，并对新方案进行模拟求解，最后从已有方案的六种方案和新提出的方案中提出适合各型飞机最优的登机方案。
关键词：客机、登机、总线状态模型、蒙特卡洛随机模拟模型一.问题重述航空公司可以自由的安排等待登机的旅客的登机顺序，首先安排有特殊需要的乘客登机就座已经成为惯例. 按照常规有特殊需要的轮椅旅客首先登机，紧跟着是头等舱的乘客(他们坐在飞机的前部). 然后是安排经济舱和商务舱的乘客按行排队登机，从飞机后排的乘客依次往前安排登机。
从航空公司的角度来看,除了考虑到乘客的等待时间外,时间就是金钱,所以登机时间最好应该减小到最少. 只有飞机载客飞行，航空公司才能赚钱,而过长的登机时间将会限制飞机在一天内的飞行次数.发展大型飞机，诸如空客A380-800客机(载客800人) 这样的最小化登机（离机）时间的问题就更显得重要了。
数学建模(航空公司的预定票策略).
数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B我们的队号为：11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。
建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。
首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。
可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2) +a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。
单方面拟合出的模型并不具有实际价值。
之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。
通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。
所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为)122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~xx x x xx ytππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。
1019-数学建模-AMCM2002B
AMCM2002问题-B航空公司超员订票
你备好行装准备去旅行，访问New York城的一位挚友。
在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。
乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。
航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航班。
因而，大多数航空公司超员订票?也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。
而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。
航空公司安排延误乘客的方式各有不同。
有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。
根据当前情况，考虑超员订票问题：
航空公司安排较少的从A地到B地航班
机场及其外围加强安全性
乘客的恐惧
航空公司的收入迄今损失达数千万美元
建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略，就是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，使得公司的收入达到最高。
确保你的模型反映上述问题，而且考虑处理“延误”乘客的其他办法。
此外，书写一份简短的备忘录给航空公司的CEO（首席执行官），概述你的发现和分析。
2019年数学建模c题苏南硕放机场求解程序代码
2019年数学建模C题苏南硕放机场的求解程序代码1. 概述数学建模作为一个重要的科研领域，已经在各个领域的实际问题中得到了广泛的应用。
其中，数学建模竞赛更是成为了学生培养综合能力、创新思维和团队合作的重要评台。
2019年数学建模C题涉及到了苏南地区的硕放机场的飞机调度问题，该问题主要是要求设计一种最优的飞机调度方案，以最大化机场的飞机起降量，并在有限的资源下使得整体效益最大化。
2. 问题分析针对这个问题，我们需要考虑以下几个方面：（1）飞机的起降时间和间隔时间（2）机场跑道的容量和利用率（3）飞机的调度策略和优化算法3. 求解思路为了解决这一问题，我们可以采用以下步骤：（1）数据准备：获取苏南硕放机场的起降时间数据、跑道容量数据、飞机调度策略参数等相关数据（2）建立数学模型：将飞机调度问题抽象成一个数学优化问题，建立数学模型，确定目标函数和约束条件（3）算法设计：设计相应的优化算法，根据数学模型进行求解（4）程序编写：将算法翻译成具体的代码实现，进行求解4. 数据准备我们需要获取苏南硕放机场的相关数据，这包括飞机的起降时间数据、跑道容量数据、飞机调度策略参数等。
这些数据可以通过机场管理部门、航空公司等渠道获取。
5. 建立数学模型在建立数学模型时，我们可以考虑以下几个因素：（1）飞机的排队等待时间（2）跑道的利用率和平均等待时间（3）飞机的起降间隔时间（4）最大化机场的飞机起降量6. 算法设计针对这个数学优化问题，我们可以采用遗传算法、蚁裙算法、模拟退火算法等启发式算法进行求解。
这些算法可以在考虑到多个因素的情况下，寻找最优解。
7. 程序编写我们需要将算法翻译成具体的代码实现。
在编写程序时，我们需要考虑代码的效率和可扩展性，以便在实际场景中进行部署和应用。
8. 结论通过以上的求解思路，我们可以得到一个最优的飞机调度方案，以最大化机场的飞机起降量，并在有限的资源下使得整体效益最大化。
这将为苏南硕放机场的航空运输提供重要的决策支持，在提高机场效率、降低成本、优化资源配置等方面发挥重要作用。
数学建模(飞机登记)
飞机就座问题的研究摘要针对客机登机顺序问题，文章将登机过程类比于总线型局域网的数据传输过程，建立了总线状态模型，在此基础上建立了蒙特卡洛随机模拟模型。
总线状态模型的主要思想是：利用总线型局域网拓扑结构的原理，将客机登机所需时间转化为拓扑结构中总线从空载状态到负载状态再到空载状态所经过的时间。
通过查阅相关资料文献，我们筛选出六种比较具有代表性的登机方案---Back to Front、Rotating Zone、Random、Reverse Pyramid、Outside in、block。
对选择的不同机型进行模型求解，对模拟结果进行分析，得出不同飞机设计登机方案的原则。
在此原则的基础上，提出新的方案，并对新方案进行模拟求解，最后从已有方案的六种方案和新提出的方案中提出适合各型飞机最优的登机方案。
关键词：客机、登机、总线状态模型、蒙特卡洛随机模拟模型1.问题重述航空公司允许引领候机乘客以任何次序就座。
按照惯例，有特殊需要的旅客首先就座，紧跟着是头等舱的旅客(他们坐在飞机的前部)，然后是经济舱和商务舱的旅客从飞机后排开始向前排按照排结组就座。
除了考虑到乘客的等待时间,从航空公司的角度来看,时间就是金钱,登机时间应该最小化。
只有载客飞行，飞机才能为航空公司赚钱。
过长的登机时间将会限制飞机在一天内的飞行次数。
大型飞机，如A380-800客机(载客800人) 就更要缩短登机（以及下机）的时间。
现在的问题是：要就乘客人数不同的小型机(85-210)、中型机(210-330)、大型机(450-800)，设计并比较登机和下机时间的步骤。
同时准备一份不超过两页纸的实施概要，以便向相关人员阐明结论。
2.问题分析本问题是研究不同登机方案对不同大小飞机登机时间的影响，从中找到使不同大小飞机登机时间最短的登机方案，从而增加飞机每天的飞行次数。
要研究不同登机方案的登机时间，首要的问题是要明确登机时间是由哪些部分构成，通过对文献的研读以及对登机过程的研究，我们发现登机时间主要由乘客步行时间、放行李的时间、不同排座位乘客之间的干扰时间以及同一排的乘客之间的干扰时间构成，在此基础上就是建立相应的模型计算总的登机时间。
飞机排队模型数学建模.pptx
用即可。
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为了防止那些还未准备好的飞机，在就绪之前就对其发出起飞 的命令，置一架飞机在它预定起飞时间以前的某窗口起飞的损 失为无穷大，并假如考虑1，2，3中的费用，得到计算费用的 通式：
cij =
K (TA )t (eat 1)ap K (TA ) r (eat 1)ap b
费用: 1.燃料附加费 2.乘客误机费
3.乘客不满意的损失
下面分别建立几个费用的计算公式
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1.燃料附加费
由于晚点，飞机必须以尽可能快的速度飞行，故燃料随晚点 的时间长短而变化，然而既使晚点，只要为达到最大时限，就 可以以低于最大安全速度飞行。并在起飞后就可近似地保持常 速，因此燃料消耗在时间内应恒定，由于不知道燃料消耗如何 随飞行速度变化，选用了近似的线性函数，即单位时间增加油 耗的费用函数为：
t ：飞机晚点时间，或从 t0 计起，飞机真正起飞时间；
t d : 为一架飞机预定起飞的时间（ d 为 departure）;
TA ：为一架飞机预定到达的时间（A 为 Arrive）;
：为等长的时间间隔时间段的长度，也称为起飞窗口； j ：为第 j 个窗口的标号；
k ：用来决定某飞机单位时间增加燃料费用的常系数，它一般与飞
TA
d vmax
d (TA Td )vav
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2.乘客误机费
设为乘客耽误了转机而必须补偿的费用，这里取为常数
（假设5）。如果对各人的补偿费确实不同，则取为各人费
用的数学期望----平均值，且重新安排旅程只发生在飞机晚点
时间超过了时限时才发生，故费用如下计算
飞机排队问题_数学建模
问题一飞机排队问题(1)问题机场通常都有用“先来后到”的原则分配飞机跑道.即当飞机准备离开登机口时,驾驶员电告地面控制中心,加入等候跑道的行列.假设控制塔可以从快速反应数据库中得到每架飞机的如下信息:1)预定离开登机口的时间;2)实际离开登机口的时间;3)机上乘客人数;4)预定在下一站转机的人数和转机时间;5)到达下一站的预定时间.又设共有7种飞机,载客量从100人起以50人递增,最大的飞机载客量为400人.这7种飞机可能分属不同的航空公司.试开发和建立一种能使乘客和航空公司双方都满意的数学模型,以安排飞机起飞的先后次序.(2)假设1)机场控制塔上有一个快速反应的数据库,该库中存贮着每一架飞机的正点起飞时间,正点抵达目的地的时间,乘客数量,飞行距离等信息,其他一些有用的参数,可以根据数据库中已有数据估计出来.2)所有飞机都在同一专用跑道上起飞,任何一种飞机在跑道上起飞所需要的时间相同,这样可以把时间划分成间隔为△的起飞时段.3)标号为i的飞机在第j个时段起飞所需费用与先前起飞的飞机无关,仅与其安排的次序有关.这一假设使我们可以把总费用作为飞机调度排序的线性函数.4)所有飞机从登机口到跑道起点的时间相同.5)记τ为使飞机尚能正点到达目的地所推迟起飞的最长时间.同时假定,当飞机的误点时间超过τ时,则飞机将以最大的安全速度飞行.6)如果飞机推迟起飞的时间超过τ,则机上所有下站转机的乘客都将耽误转机.7)因误点而要求改航的赔偿费对每一个乘客都是相同的.(3)记号及意义△: 飞机起飞的时间间隔;t 最早起飞的飞机离港时间;dt : 正点起飞的时间;A T : 正点到达目的地的时间; t: 晚点时间;τ: 最大允许晚点起飞的时间;k: 各种类型的飞机因晚点起飞而引起耗油的费用常数;av V : 平均飞行速度; m ax V : 最大的安全飞行速度;r: 要求改航的乘客的赔偿费; π: 下站转机的乘客数; P: 乘客总数;: 由于晚点起飞所引起的乘客不满意程度的增长率;a: 全体乘客由于飞机晚点起飞所引起的不满意度折合成美元的折合率; b: 耽误转机的乘客不满意度折合成美元的折合率. ★分析与建模若有n 架飞机都要求在时刻正点起飞,并且认为所有飞机都有直通跑道.我们以总费用最小作为目标来安排飞机起飞的次序.总费用由两部分组成,即航空公司的费用和乘客不满意程度所折合的费用.设ij c 为标号i 的飞机在第j 个起飞时段起飞的费用,引入状态变量ij x ,其定义为⎩⎨⎧=，其它个起飞的飞机第当标号为0,1j i x ij则总费用为∑∑===ni nj ijij x c Z 11为了保证每一架飞机只安排在一个时段内起飞及每一个时段△内只有一架飞机起飞,因此对状态变量ij x 增加约束条件:∑==iijn i x,...,2,1,1∑===nj ijn j x1,...,2,1,1由假设条件可知,ij c 与ij x 无关,因而总费用C 是一个线性函数.这是一个指派问题.假定每隔△时间只有一架飞机离开登机口加入到请求起飞的行列中,这样就保证总有飞机请求起飞.每隔△时间,执行一次程序,以安排在当前状态下最优的起飞次序.这里需要说明一点,该程序运行时间极短,不到一分钟便可完成,因此,如果数据发生变化时,如飞机晚点进港等, 几乎可以立即决策. ★下面来分析费用系数的确定问题.总费用应包括航空公司的费用和乘客的不满意度所折合的费用.首先把基本费用视为0,即设飞机在正点起飞时的费用为0,仅考虑由于飞机晚点起飞所导致的额外费用.航空公司的费用主要由两部分组成.一部分为额外的汽油费,这个费用主要是由于飞机晚点起飞时,要在空中快速飞行所额外消耗的汽油费;另一部分为耽误了转机的乘客需要改航时的赔偿费.若飞机晚点起飞,为了正点抵达目的地,它必须在空中以更快的速度飞行,这样由于风阻力的增大和其它因素,就要增加汽油的消耗.我们不太清楚速度的增加如何引起耗油费和增加,但当飞机加速过程结束,在空中以最大安全速度飞行时,额外的耗油费将是一个常数.为简单起见,选用线性函数来表示额外的油耗费,其公式为:⎩⎨⎧><=τττt k t kt t F ,,)(其中,t 为飞机晚点起飞的时间,显然当飞机正点起飞时,t =0,若t 0为首架起飞的时刻,d t 为正点起飞的时刻,△为起飞的时间间隔,则第j 个起飞的飞机晚点起飞的时间为:d t j t t -∆-+=)1(0由于τ为最长的晚点起飞时间,即当晚点起飞的时间超过τ以后,即使在空中以最大速度飞行,也不能正点抵达目的地,因此max V d t T d A --=τ其中A T 为正点抵达目的地的时刻,d 为飞行距离, m ax V 为最大的安全飞行速度.d 可用公式来表示av d A V t T d )(-=其中d t 为正点起飞时刻, av V 为正点起飞时平均飞行速度.常数k 与油价、单位晚点时间油耗的增加率及最大安全飞行速度有关,同时还应与飞行距离有关,当然飞行距离越长,额外的油耗就越大.由于飞行距离为τ--d A t T ,乘以最大安全飞行速度,则有:⎩⎨⎧>--<--=τττττt t T k t t t T k t F dA d A ,)(,)()(下面再计算改航旅客的赔偿费.为简单起见,由假设条件,记每一个改航旅客的赔偿费用为一个常数r(若赔偿不同,则令r 为赔偿的期望值).由于当飞机晚点起飞时,所有下站转机的乘客都将改航,则改航的赔偿费为:)()(τπ-=t u r t Rπ为转机旅客总数,u(t)为单位阶梯函数,即⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(s s s u费用系数中还应考虑乘客的不满意程度.一般地,飞机晚点起飞的时间越长,旅客就越抱怨,其不满意程度就越大.如果晚点时间只有1~2分钟,旅客就不会太不满意.但是,随着晚点时间的增加,旅客会非常生气,而不满意度会急骤增加,因此我们选用指数函数描述旅客的不满意程度.这个不满意程度对机上每一旅客都是如此,但对下站要转机的乘客,还需要追加另外的不满意度,用D(t)表示总的不满意程度所折合的费用,则)()1()(τπα-+-=t u b e ap t D tp 为机上乘客总数,π为下站转机的乘客总数,为了保证在正点起飞时乘客的不满意度为0,因而采用了)1(-te α的形式,显然t=0时,D(0)=0. α为乘客不满意度的增长率,a,b 为折合率,)1(-t e ap α代表全体乘客不满意度折合的费用,)(τπ-t u b 为下站转机乘客追加的不满意度所折合的费用,这一项只有当τ≥t 才起作用.综上所述，费用系数ij c 应为额外油耗费、赔偿费、及不满意度所折合的费用之和)()()(t D t R t F c ij ++=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-+--<≤-+--<∞=τππττττααt b r e ap t T k t t e ap t t T k t t c t dA d t d A d ij ,)1()(),1()(,t 和τ由下式给出max0)()1(v V t T t T j t t t avd A d A d ---=∆-+-=τ2）计算实例为了执行简单，再作一些假设。
飞机排队模型
最优调度表明，相同情况下乘客多的飞机先走，与常识相符。 最优调度表明，相同情况下乘客多的飞机先走，与常识相符。 晚点最久者先走） 例 2 （晚点最久者先走） 按实际情况确定先后） 例 3 （按实际情况确定先后）
一. 模型假设 1. 机场只有一条跑道，每架飞机起飞时需完全占用该跑道，且每 机场只有一条跑道，每架飞机起飞时需完全占用该跑道， 架飞机起飞所需的时间是一样长的。 架飞机起飞所需的时间是一样长的。则可将整个时间划分成等长的 时间段，在每个时间段上可以容纳一架飞机完成起飞操作。 时间段，在每个时间段上可以容纳一架飞机完成起飞操作。 2. 第 i 架飞机在第 j 个时间段起飞时的费用只和该飞机 i 以及时 有关，与前面的飞机无关。 间位置 j 有关，与前面的飞机无关。 3. 每架飞机都有立即进入跑道口的通道，各飞机从离开自己的通 每架飞机都有立即进入跑道口的通道， 道口到达跑道口所需的时间都一样， 道口到达跑道口所需的时间都一样，且飞机只能在为其指定的小时 间段上才能离开自己的通道口。 间段上才能离开自己的通道口。 4. 设 τ 是某架飞机要按时到达目的地的最晚起飞时限，并假设如果 是某架飞机要按时到达目的地的最晚起飞时限， 飞机在 τ 时刻以后起飞，则必须以最大安全速度飞完全程。 时刻以后起飞，则必须以最大安全速度飞完全程。 5. 如果某架飞机在 τ 时刻之后起飞，则该飞机上的所有需转机的 时刻之后起飞， 乘客都将误了下次航班， 乘客都将误了下次航班，并设给予每位误机乘客的补偿费用都是一 样的。 样的。
ij
2. 计算机模拟 假设：（ ）每个时间段至多有三架飞机准备好可以起飞； 假设：（1）每个时间段至多有三架飞机准备好可以起飞； ：（ 取值。 （2）指定各参数取值。 ） 要求起飞， B 例 1 设在6 : 00 时有相同型号的三架飞 机 A， ，C要求起飞，其 终点距离相等， 到达终点。 B A 终点距离相等，且都预 计在 7 : 30 到达终点。 ， ，C 三架飞机上 100 400 且都有 100 人要转机。 人要转机。 的乘客数分别为 350， ， ，
基于排队论的机场安检排队仿真模型
以 Xt 表示在时间 0,t 内总共出现的质点个
数，讨论 Xt 的分布。
当流满足以下条件时，流称为泊松流：
独立增量性（无后效性）。在任意 n个不相交
的区间 ai ,bi i 1, 2,, n 中，各自出现的质点
B 区域最长排队人数
passenger_num interval serv_time1
仿真中旅客总人数 两名旅客到来的时间间隔的平 均值 身份认证消耗时间的平均值
serv_time2
安全检查消耗时间的平均值
peak_hour_start
为简化模型，区域 A 和区域 B 均只排一列队 伍，队首进入任何一个空闲服务台。
图 1 仿真流程图
2.2 变量说明 下面对模型中用到的变量作简单的解释说
明。
表 1 各个变量的说明
变量
说明
window_num1
A 区域中身份认证柜台的数目
window_num2
B 区域中安全检查柜台的数目
max_size
a,a t 中 只 出 现 有 限 多 个 质 点 ， 即 有
k t 1；
k0
普通性。在 a,a t 中出现一个以上质点的
概率 t 10 t k t 是 t 的高阶无穷小 t
量，即 lim 0。 t0 t
泊松流也称为泊松过程。 通常用泊松分布来描述事件出现的次数。
域a平均等待时长旅客消耗在区域a内的吋间的平均饥区域b平均等待时长旅客消耗在区域b内的时间的平均值系统平均等待吋长旅各消耗在安检系统内的总时间的平均值嚴大等待时长等待时长w久的一位旅奔所消耗的吋长a峰期平均等待时k?峰期旅奔消耗在安检系统内的总时问的平均俏总时间除以服务的旅客弔均服务时长数即服务卑个客户消耗的时长队列丨的长度队列1的长度队列2的长度队列2的长度计算机生成该数列可24随机数的生成仿真需要用计算机生成服从指数分布的随机数列采用以下方法m
飞机排队模型
飞机排队模型一.问题的提出机场通常都是用先到先服务的原则来分配飞机跑道,即当飞机准备好离开登机口时,驾驶员电告地面控制中心,加入等候跑道的队伍。
假设控制中塔可以从快速在线数据库中得到每架飞机的如下信息:1.预定离开登机口的时间;2实际离开登机口的时间;3.机上乘客人数;4.预定在下一站转机的人数和转机的时间;5.到达下一站的预定时间;又设共有七架飞机,载客量从100人起以50人递增,载客最多的一种是400人。
试开发和分析一种能使乘客和各航空公司双方满意的数学模型。
在目前的各国机场,一般都使用先到先服务的排对系统,这一系统虽一直延用,但效率不高,且不能调节意外情况的发生。
将要给出一个利用数据库系统快速排队的模型,以使机场高效的服务,并使航空公司在尽量小的花费情况下,达到顾客满意的目的。
二.模型的基本假设1.机场上所有要起飞的飞机,都须使用同一条跑道,并且任何一架飞机在起飞的时候都需要完全地占有整条跑道,每架飞机占用的时间一样长的。
2.第i架飞机由第j个时间段上起飞时，其所需费用仅与该飞机i和时间位置j有关，而与它前面是哪架飞机无关。
3.任何飞机从离开自己的通道口到达跑道入口所需的时间假定都一样。
同时为了避免有一大堆飞机挤在跑道入口处等待起飞，这时如有另一架飞机需要紧急起飞，这就须将所有排在前面的飞机挤到一边来腾地方,因此我们假设每架飞机都有立即进入跑道口的通道。
4.设τ是一架飞机要按时到达目的地所必须起飞的最晚时限,并假设如果一架飞机在τ时限以后才起飞,则它必须以最大安全速度飞完全程。
5.如果一架飞机在时限τ以后起飞,则该机上所有需转机的乘客都将误了下次班机,并设给予每位乘客用于赔偿重新安排旅行计划的补偿费用是一样的。
三．模型设计与可行性分析`如果在某时刻t0仅有一架飞机或没有要求起飞的飞机,则机场就直接安排其起飞或闲置即可。
因此设在t0有n架飞机同时要求起飞。
由假设1，我们可将n 架飞机起飞所需的总时间分成n个等长的小时间段。
飞机排队模型数学建模
现更符合实际的模拟。
03
应用场景
国内航班排队模型适用于模拟和分析国内大型机场的航班起飞过程，有
助于优化国内航空运输系统的运营效率。
高峰时段航班排队模型
模型建立
高峰时段航班排队模型主要考虑高峰时段的航班流量、机场容量、航班的优先级等因素， 通过建立数学模型来描述飞机在高峰时段的起飞过程。
模型特点
高峰时段航班排队模型需要特别考虑高峰时段的特性，如旅客流量大、航班密集等，以实 现更精确的模拟。
应各种复杂情况。
人工智能还可以用于预测飞机 到达时间、航班延误等不确定 性因素，帮助航空公司更好地
安排飞机起降顺序。
大数据在飞机排队模型中的应用
大数据技术可以提供大量的航 班数据和气象数据，帮助飞机 排队模型更好地考虑各种实际 情况。
通过大数据分析，可以预测航 班流量和航班延误趋势，从而 更好地安排飞机起降顺序。
大数据还可以用于评估飞机排 队模型的性能和效果，帮助改 进和优化模型。
飞机排队模型中的不确定性问题
飞机排队模型需要考虑各种不确 定性因素，如航班延误、取消、
天气条件等。
不确定性问题可能导致飞机排队 模型出现波动和不稳定，需要采 取相应的措施进行管理和控制。
飞机排队模型还需要考虑安全性 和可靠性，以确保航空交通管理
模型能够根据历史数据和实际情况，较为准确地预测飞机的平均等待时间。
04
飞机排队模型的优化与改进
优化飞机调度策略
动态调度
根据实时航班信息和气象条件，动态调整飞机起降时间，提高航 班准点率。
优先级调度
对于紧急、特殊或重要航班，给予优先起降权，确保其按时完成。
协同调度
加强航空公司、机场和空中交通管理部门的协同配合，提高调度 效率。
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在目前的各国机场，一般都使用“先到先 服务”的排队系统，这一系统虽一直延用， 但效率不高，且不能调节意外情况的发生。 在这里将要给出一个利用数据库系统快速排 队的模型，以使机场高效的服务，并使航空 公司在尽量小的花费情况下，达到顾客满意 的目的。
对于分派问题，已有专门为此种特殊结构而设计的有效的解题 算法，它被称为Graver—Thrall primal算法。对于1个随机产生的 具有16个变量的分派问题，最多只须2.9秒即可完成求解，而使用现 代的计算机，对任意适当个变量的指派问题，只须不到一秒钟即可
求得解。
同时，由于模型中费用系数阵（1）须要经过量化，而他们可由 下一段四中的公式求得。并由数据库中的数据进行计算，这一量化 模型的过程须要另一个不到一秒钟。因此整个模型的建立与求解所 用时间是以秒为数量级的，故当机场控制塔在面临一串连珠炮一样 的起飞请求时都可几乎立即对排序作出响应。而飞机的起飞间隔远 不是以秒为数量级的。一般至少几分钟，因此模型是可行的。
MCM-89题机场安排最优排队调度问题
机场通常是用“先到先服务”的原则来分配飞机跑道，即 当飞机准备好离开登机口时，驾驶员电告地面控制中心，加入 等候跑道的队伍。假设控制塔可以快速在线数据库中得到每架 飞机的如下信息： 1、预定离开登机口的时间； 2、实际离开登机口的时间； 3、机上乘客人数； 4、预定在下一站转机的人数和转机时间； 5、到达下一站的预定时间。
模型的基本假设
1. 机场上所有要起飞的飞机，都必须使相同一条跑道，并且任 何一架飞机在起飞的时候都需要完全地占有整条跑道，每架 飞机占用的时间是一样长的。这一假设可把整个时间分割成 离散的等长的小时间段（也称为起飞窗口宽度），在每个小 时间段上可容纳一架飞机完成起飞操作。
2. 第i架飞机由第j个时间段上起飞时，其所需费用仅与该飞机 和时间位置有关，而与它前面是哪架飞机无关。即费用不是 前面飞机的函数，因此这一假设可把对应于不同排序的总费 用都统一描述为一个线性函数。
3. 任何飞机从离开自己的通道口到达跑道入口处所需要的时间 假定都一样。同时为了避免有一大堆飞机挤在跑道入口处等 待飞机（一般机场也不太可能这样），这时如有另一架飞机 需要紧急起飞，这就须将所有排在前面的飞机挤到一边来腾 地方，因此假设每架飞机都有立即进入跑道口的通道。这样 在须要调整次序时，只须在数据库中的次序上进行调整，而 不必对飞机实地重排。并且飞机须在为其指定的小时间段上 才准许离开自己的通道口。
和，于是所有可能的排序带来的费用计算有如下的费用距阵表示：
c11 c12 ... c1n
c c21
c22
...
c2n
... ... ... ...
cn1
cn 2
...
cnn
（1）
并设
Xij=0或1，当第i架飞机在第j个时段上起飞时Xij=1，否则Xij=0 于是相应地安排方案距阵为 ：
nn
z
cij xij
i1 j1
即构成目标函数。（由于假设 2，cij 独立于 xij 的取值， 故此目标函数是一线性函数）。为求得使c 达最小的
xij ，构造了如下的线性规划模型：
min c x
n
xij 1, i 1, 2,...n
j 1 n
xij 1, j 1, 2,..., n
4.设 是一架飞机要按时到达目的地所必须起飞的最
晚时限，并假设如果一架飞机在 时限以后才起飞，
则它必须以最大安全速度飞完全程。（而在 以内起
飞者可着情加速）。
5.如果一架飞机在时限 以后起飞，则该机上所有需
转机的乘客都将误下次班机，并设给每个乘客用于赔 偿重新安排旅行计划的补偿费用是一样的。
i 1
xij 0或1
此模型是一个运输问题的特例----指派模型，其中
c = (c11, c12 ,..., c1n , c21, c22 ,...c2n ,..., cn1, cn2 ,..., cnn ) 为一行向量。
x=(x11, x12 ,..., x1n , x21, x22 ,...x2n ,..., xn1, xn2,..., xnn ) 为一列向量， 为转 置符号。
模型设计与可行性分析
如果在t0时刻仅有一架飞机或没有要求起飞的飞机，则机场就
直接安排其起飞或闲置 。因此设在t0有n架飞机同时要求起飞。
由假设1，可将n架飞机起飞所需要的总时间分成n个等长的小时 间段（如∆长）。下面如何安排哪架飞机在哪个时段上起飞要依 赖于实际航班的花费和顾客的满意程度来确定。
设为Cij第i架飞机从第j个小时间段上起飞时所需一切费用之
x11 x12 ... x1n
x
x21
x22
...
x2n
（2）
... ... ... ...
xn1
xn 0，1 值，故如下的一个距阵（2）即对应一个排序方案：
飞机
1
2
3
…
n
窗口
1
0
1
0
…
0
2
1
0
0
…
0
…
…
…
…
…
n
0
0
0
…
1
即第一架飞机排第2个窗口起飞，第2架排第一个窗口起飞…， 最后一架排最后起飞。并由上表的安排结构，知道（2）中的距 阵满足每行中仅有一个元素为1，即每个窗口上仅有一架飞机占 用；该阵每列中也有一个元素为1，即每架飞机占用n个窗口中的
一个。即变量Xij须满足约束：
n
xij =1
j 1
i 1, 2,..., n
n
xij =1
i 1
(3)
j 1, 2,..., n
由于xij 为取 0，1 值的变量，因此不同的分派安 排对应的仅仅是 xij 取 1 的位置不同而已。
于是设c1 为安排第一架飞机的费用 c1 c11x11 c12 x12 ... c1n x1n 由此全部飞机安排的总费用为：
更重要的是。在设有意外发生的情况下，还可利用机场的原有时间 表，由数据库事先安排好起飞顺序，并让飞机安排起飞顺序起飞， 而唯一需要重新安排的情况仅仅发生在有飞机晚点或紧急的情况， 而这时的运算也会在一秒钟左右解决问题。而且由假设（3），也不 会因改变而产生临时的拥挤情况。