2.8 函数模型及综合应用(讲解部分)【2021版高考数学攻略大一轮复习】

(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数
学知识,建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下:
例 (2019湖北荆州质量检查(一),20)为响应国家提出的“大众创业,万众 创新”的号召,小李大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市 场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为5万元,每年生产x万件,
对数函数模型 幂函数模型
f(x)=blogax+c (a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0,n≠0)
2.指数函数、对数函数、幂函数增长比较
(1)三种增长型函数模型的性质
函数 性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
在(0,+∞) 上的增减性
增函数
4.幂函数模型:能用幂函数型函数表达的函数模型,其增长情况由xn中n的取
值而定,常见的有二次函数模型.
5.“对勾”函数模型:形如f(x)=x+
a x
(a>0,x>0)的函数模型在现实生活中也
有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时利用函数的单调性求解
最值.
6.解函数应用题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
高考数学 浙江专用
2.8 函数模型及综合应用
考向基础
考点清单
考点 函数模型及综合应用
1.几种不同的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c为常数, a>0且a≠1,b≠0)
利润是多少?
需另投入流动成本为C(x)万元,且C(x)=
1 2
x2
4x,0
x
8,
11x
49
-35,x
8,
每件产品售价为1ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
0元.经市场分析,生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年
销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量为多少万件时,小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
y=xn(n>0) 增函数 随n值变化而不同
(2)三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0) 在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由 于y=ax的增长速度大于y=xn的增长速度,因而总存在一个实数x0,使x>x0时有 ax>xn. ②对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0) 对数函数y=logax(a>1)的增长速度,无论a与n值的大小如何,总会小于y=xn的 增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有logax<xn. 由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不 同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个实数x0,使x>x0时有 logax<xn<ax(a>1,n>0).
1.直线模型:即一次函数模型,其增长特点是直线上升(x的系数k>0),通过图 象可以很直观地认识它. 2.指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型,其增长的特点是随着自 变量的增大,函数值增大的速度越来越快(a>1),常形象地称之为“指数爆 炸”. 3.对数函数模型:能用对数型函数表达的函数模型,其增长的特点是开始阶 段增长得较快(a>1),但随着x的逐渐增大,其函数值变化越来越慢,常称之为 “蜗牛式增长”.
3.“对勾”函数的性质 函数f(x)=x+ a (a>0).
x
(1)该函数在(-∞,- a ]和[ a ,+∞)上单调递增,在(- a ,0)和(0, a )上单调递 减. (2)当x>0时,x= a 时取最小值2 a ; 当x<0时,x=- a 时取最大值-2 a .
方法技巧
方法 函数应用题的解法