高中数学竞赛专题讲座---代数极值

代数极值

很长时间以来,代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法.

一、条件极值问题

例1 设非负实数12,,

,n a a a 满足121n a a a +++=,求

12

21311

111n

n n

n a a a a a a a a a a -+

++

++++++

++++的最小值.

解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将12n a a a +++用常数1代换,

得

121

21

11()

2

1122n n a a a a a a a a +++++=

=

+++--,同理,21322

112n

a a a a a +=

+++

+-,……, 112

112n n n a a a a -+=+++-,令1

11n

i

n

i i j

j a y a a ===-+∑

∑,则12

22

2

222n

y n a a a +=

+++

---. 为了利用柯西不等式,注意到11(2)221n n

i i i i a n a n ==-=-=-∑∑,则11111

(21)

(2)22n

n n

i i i i i i

n a a a ===-=-⋅--∑∑∑ 2

2

12n i n =⎛⎫-= ⎝

∑.∴2221n y n

n +-,即222121n n y n n n -=--.当且仅当 121n a a a n ====时,上式等号成立.从而,y 有最小值

21

n

n -. 评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件.

例2 设1xy =,且0x y >>.求22

x y x y

+-的最小值.

解:由于0x y >>,可设(0)x y y y =+∆∆>,则

2222()2()2

22x y x y xy y

x y x y y

+-+∆+=

=--∆.

当且仅当y ∆=

即x y =

=.因此22x y x y +-的最小值为评注:引进增量起到了降元的作用. 例3 设,,a b c 为正数,且1abc =,求111

212121

a b c +++++的最小值. 解:设,,(,,)x y z a b c x y z R y z x +=

==∈,则111212121222y z x a b c y x z y x z

++=++++++++. 由柯西不等式得,[(2)(2)(2)]222y z x y y x z z y x x z y x z y x z ⎛

⎫

+++++⋅++

⎪+++⎝⎭

2()x y z ++.

从而,

2()1222[(2)(2)(2)]y z x

x y z y x z y x z y y x z z y x x z ++++=++++++++,即111

1212121

a b c ++

+++.

当且仅当1a b c ===时去等号.故所求最小值为1.

评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可先证明

232223

3

3

121

a

a a

b c

+++而得到最小值.

二、多元函数极值问题

例4 设,x y R ∈,求函数2

2

(,)6214672f x y x y xy x y =+---+的最小值.

解:22

(,)(7)5(2)3f x y x y y =--+-+,故9,2x y ==时,min 3f =.

评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法. 例5 已知非负实数12,,,n x x x 满足1

1

2

n

i

i x =∑,求121

(,,,)(1)n

n i i f x x x x ==-∏的最小值.

解:当1221,,

,,n n n x x x x x --+都为定值时,由于111(1)(1)1()n n n n n n x x x x x x -----=-++,

可见,1n n x x --越大,上式的值越小.为此,令11(1,2,,2),,0i i n n n n x x i n x x x x --'''==-=+=, ①

则1111,0n n n n n n n n x x x x x x x x ----''''+=+⋅=<.∴12121(1)(1)(1)

(1)(1)(1)n n x x x x x x -'''------

其中12121

2

n n

x x x x x x '''++

+=++

+.再进行形如①的变换2n -次,即可得 12121(1)(1)

(1)1()2n n x x x x x x --->-+++,其中等号当1231

,02

n x x x x =====时取得.

∴所求最小值为

12

. 评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函数,将其它变量看作

常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数. 再看一个逐步调整法的例子.

例6 给定实数25a >.对于满足条件

55

1

1

1

i i i i

x a x

==⋅=∑∑的所有正实数组12345(,,,,)x x x x x ,试求

{}

{}

1234512345max ,,,,min ,,,,x x x x x x x x x x 的最值.

解:由对称性,设1

2345x x x x x ,由齐次性,设152341,,,,[1,]x x u x x x u ==∈,

234234234

1111

(,,)(1)(1)

a f x x x x x x u u x x x ==++++++++2

111u +++ ⎝,