高中数学竞赛专题讲座---代数极值
高中数学竞赛与自主招生专题第二讲：均值、柯西、排序不等式(教师版)
高中数学竞赛与自主招生专题第二讲 均值、柯西、排序不等式开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近三年自主招生试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中绝大多数涉及到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
一、知识精讲1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：①),(222R b a ab b a ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。
②),(2*R b a ab ba ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。
2.最值定理：若P xy S y x R y x ==+∈+,,,，则：①如果P 是定值, 那么当y x =时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当y x =时，P 的值最大。
注意： ①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
1.均值不等式：设123,,,n a a a a 是n 个正实数，记n Q =，12nn a a a A n+++=，n G =12111n nn H a a a =+++，则n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的条件是12n a a a ===。
,,,n n n n Q A G H 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。
2.柯西不等式：柯西不等式的二维形式：若d c b a ,,,都是实数，则2222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时，等号成立。
高中数学竞赛培训教程 初等代数
高中数学竞赛培训教程初等代数第一章代数基础整数是数学中最基本的数，包括正整数、负整数和零。
在代数中，我们经常使用整数来进行运算和表示未知数。
1.2 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
在代数中，我们常常使用有理数来计算方程的根，解方程组等。
实数是包括有理数和无理数的数集。
在代数中，我们必须了解实数的性质和运算法则，才能进行更复杂的数学运算和证明。
第二章一次方程与不等式2.1 一次方程一次方程是指最高次项为一次的代数方程。
我们需要学习如何解一次方程，并利用解方程的方法解决实际问题。
2.2 一次不等式一次不等式是指最高次项为一次的不等式。
我们需要学习如何解一次不等式，并应用不等式来解决实际问题。
2.3 一次方程与一次不等式的应用一次方程与一次不等式在实际问题中的应用非常广泛。
我们需要学会如何将实际问题转化为一次方程或一次不等式，并利用解方程和解不等式的方法得出问题的解。
第三章二次方程与不等式3.1 二次方程的定义与性质二次方程是指最高次项为平方项的代数方程。
我们需要学习二次方程的基本性质，如判别式、根的性质等。
3.2 二次方程的解法解二次方程是数学中非常重要的一部分。
我们需要学会使用求根公式、配方法等解二次方程，以及利用因式分解、完全平方式解二次方程。
3.3 二次不等式的解法解二次不等式是在二次方程的基础上进一步扩展的。
我们需要学会使用判别式、区间判断等方法来解二次不等式，并应用它们来解决实际问题。
第四章分式与分式方程4.1 分式的定义与性质分式是指一个整数与一个非零整数的比值。
我们需要学习分式的基本性质，如约分、通分、化简等。
4.2 分式的运算分式的加减乘除是数学中常见的运算。
我们需要学习如何进行分式的加减乘除，并应用它们解决实际问题。
4.3 分式方程的解法分式方程是包含分式的方程。
我们需要学会解分式方程，并利用解方程的方法解决实际问题。
第五章根式与根式方程5.1 根式的定义与性质根式是指包含根号的数。
全国高中数学联赛竞赛大纲稿及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容; 补充要求：面积和面积方法;2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理;3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点;到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心;三角形内到三边距离之积最大的点--重心;4、几何不等式;5、简单的等周问题;了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的面积最大; 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大;在面积一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的周长最小; 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小;6、几何中的运动：反射、平移、旋转;7、复数方法、向量方法; 平面凸集、凸包及应用;二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期,带绝对值的函数的图像;三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式;2、第二数学归纳法;递归,一阶、二阶递归,特征方程法; 函数迭代,求ｎ次迭代,简单的函数方程;3、ｎ个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用;4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用;5、圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式;6、一元n次方程多项式根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理;7、简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质;三、立体几何1、多面角,多面角的性质;三面角、直三面角的基本性质;2、正多面体,欧拉定理;3、体积证法;4、截面,会作截面、表面展开图;四、平面解析几何1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用;2、二元一次不等式表示的区域;3、三角形的面积公式;4、圆锥曲线的切线和法线;5、圆的幂和根轴;五、其它抽屉原理; 容斤原理; 极端原理; 集合的划分; 覆盖;数学竞赛中涉及的重要定理1、第二数学归纳法：有一个与自然数n有关的命题,如果：1当n＝1时,命题成立；2假设当n≤k时命题成立,由此可推得当n＝k+1时,命题也成立;那么,命题对于一切自然数n来说都成立;2、棣美弗定理：设复数z=rcosθ+isinθ,其n次方z^n = r^n cosnθ+isinnθ,其中n为正整数;3、无穷递降法：证明方程无解的一种方法;其步骤为：假设方程有解,并设X为最小的解;从X推出一个更小的解Y;从而与X的最小性相矛盾;所以,方程无解;4、同余：两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作a ≡ b mod m ,读作a同余于b模m,或读作a与b关于模m同余; 比如26 ≡ 14 mod 12定义设ｍ是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|a-b,则称a与b关于模m同余,记作a≡bmod m,读作a同余于b模m.;有如下事实：1若a≡0mod m,则m|a；2a≡bmod m等价于a与b分别用m去除,余数相同.5、欧几里得除法：即辗转相除法; 详见高中数学课标人教B版必修三6、完全剩余类：从模n的每个剩余类中各取一个数,得到一个由n个数组成的集合,叫做模n的一个完全剩余系;例如,一个数除以4的余数只能是0,1,2,3,{0,1,2,3}和{4,5,-2,11}是模4的完全剩余系;可以看出0和4,1和5,2和-2,3和11关于模4同余,这4组数分别属于4个剩余类;7、高斯函数：fx=ae-x-b^2/c^2 其中a、b与c为实数常数 ,且a > 0.8、费马小定理：假如p是质数,且a,p=1,那么 a^p-1 ≡１mod p 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的p-1次方除以p的余数恒等;9、欧拉函数：φ函数的值：通式：φx=x1-1/p11-1/p21-1/p31-1/p4…..1-1/pn,其中p1, p2…pn为x的所有质因数,x是不为0的整数;φ1=1唯一和1互质的数就是1本身;若n是质数p的k次幂,φn=p^k-p^k-1=p-1p^k-1,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质;欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φmn=φmφn;特殊性质：当n为奇数时,φ2n=φn, 证明于上述类似;10、孙子定理：此定理的一般形式是设m = m1 ,… ,mk 为两两互素的正整数,m＝m1,…mk ,m＝miMi,i＝1,2,… ,k ;则同余式组x≡b1modm1,…,x≡bkmodmk的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk modm;式中M'iMi≡1 modmi,i＝1,2,…,k ;11、裴蜀定理：对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程称为裴蜀等式：若a,b是整数,且a,b=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立;它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.11、梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线,则FB AF EA CE DC BD ••=1 12、梅涅劳斯定理的逆定理： 如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F,且满足FB AF EA CE DC BD ••=1,则D 、E 、F 三点共线; 13、塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点,AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M,则1=••PA CP NC BN MB AM14、塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上,且满足1=••PA CP NC BN MB AM ,则AN 、BP 、CM 相交于一点;15、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和;推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c,对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+16、三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2,则有AC AB DCBD = 外角平分线定理：如图,AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D,则有AC AB DC BD = 17、托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形,则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD18、三角形位似心定理：如图,若△ABC 与△DEF 位似,则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P19、正弦定理、在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===R 为△ABC 外接圆半径余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边,则有：a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;20、西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点,PD ⊥BC,PE ⊥AC,PF ⊥AB,D 、E 、F 为垂足,则D 、E 、F 三点共线,此直线称为西姆松线;21、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O,半径为R,内切圆圆心为I,半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.22、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF不论其六顶点排列次序如何,其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线;。
高中数学竞赛专题讲座---离散极值
离 散 极 值一. 知识与方法所谓离散极值，就是指以整数、集合、点、线、圆等离散对象为背景，求它们满足某些约束条件的极大值或极小值。
这类问题的解法与一般函数（连续变量）极值的解法有很大的差异。
对于这类非常规的极值问题，要针对具体问题，认真分析，细心观察，选用灵活的策略与方法，通常可以从论证与构造两方面予以考虑。
先论证或求得该变量的上界或下界，然后构造一个实例说明此上界或下界可以达到，这样便求得了该离散量的极大值或极小值。
在论证或求解离散量的上界或下界时，通常要对离散量做出估计，在估计的过程中，构造法、分类讨论法、数学归纳法、反证法、极端原理、抽屉原理等起着重要的作用。
二. 范例选讲例1. m 个互不相同的正偶数和n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n ，问3m+4n 的最大值是多少？请证明你的结论。
（1987年第二届全国数学冬令营试题）思路分析：先根据题设条件求得3m+4n 的一个上界，然后举例说明此上界可以达到，从而得到3m+4n 的最大值。
解：设a 1,a 2,…,a m 是互不相同的正偶数，b 1,b 2,…,b n 是互不相同的正奇数，使得a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+… +b n =1987 ①，这时分别有：a 1+a 2+…+a m ≥2+4+…+2m=m(m+1) ②，b 1+b 2+…+b n ≥1+3+…+(2n -1)=n 2 ③，由①,②,③得m²+m+n 2≤1987,因而有（m+21）2+n 2≤119874+ ④，由④及柯西不等式，得3（m+21）+4n≤4119875)21(.432222+≤+++n m ,由于3m+4n 为整数，所以3m+4n 221≤ ⑤，另一方面，当m=27,n=35时，m 2+m+n 2=1981<1987,且3m+4n=221。
故3m+4n 的最大值为221。
评注：在论证过程中用到了柯西不等式与一般二元一次不定方程的求解方法。
极限、导数与定积分
( f [ϕ ( x)])′ =
f ′[ϕ ( x)]ϕ ′( x) .
3. 导数的应用 （1）利用导数研究函数的单调性 ①在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) > 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递增.
②在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) < 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递减. （2）利用导数求函数的极值 ①极值的必要条件：若函数 f ( x) 在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，则
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数学竞赛与自主招生专题讲义
第 讲 极限、导数与定积分
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
（3）复合函数的导数 设函数 y = f (u ) ， u = ϕ ( x) ，已知 ϕ ( x) 在 x 处可导， f (u ) 对应的点 u （ u = ϕ ( x) ） 处 可 导 ， 则 复 合 函 数 y = f [ϕ ( x)] 在 点 x 处 可 导 ， 且
第 讲 极限、导数与定积分
a
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
①若 f ( x) 是 [−a, a ] 上的奇函数（如下图左） ，则 ∫ f ( x)dx = 0 ；
x0 x y0 y − 2 =1； a2 b
④设 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px 上一点，则过 P( x0 , y0 ) 的抛物线切线方
程为 y0 y = p ( x + x0 ) .
2. 导数的运算 （1）常见函数的导数公式
① ( kx + b )′ = k ② C′ = 0 ③ ( xα )′ = α xα −1 ④ ( a x )′ = a x ln a ⑤ (log a x)′ = （ k , b 为常数） （ C 为常数） （ α 为常数） ⑥ ( e x )′ = e x
高中数学竞赛专题讲座---代数极值
代数极值很长时间以来,代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法.一、条件极值问题例1 设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a +++=,求1221311111nn nn a a a a a a a a a a -+++++++++++++的最小值.解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将12n a a a +++用常数1代换,得1212111()21122n n a a a a a a a a +++++==+++--,同理,21322112na a a a a +=++++-,……, 112112n n n a a a a -+=+++-,令111nini i jj a y a a ===-+∑∑,则12222222ny n a a a +=+++---. 为了利用柯西不等式,注意到11(2)221nni i i i a n a n ==-=-=-∑∑,则11111(21)(2)22nn ni i i ii in a a a ===-=-⋅--∑∑∑221n i n =⎛⎫= ⎝….∴2221n y n n +-…,即222121n n y n n n -=--….当且仅当 121n a a a n ====时,上式等号成立.从而,y 有最小值21nn -.评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件.例2 设1xy =,且0x y >>.求22x y x y+-的最小值.解:由于0x y >>,可设(0)x y y y =+∆∆>,则2222()2()2x y x y xy y x y xy y+-+∆+==--∆….当且仅当y ∆=即22x y ==.因此22x y x y+-的最小值为评注:引进增量起到了降元的作用. 例3 设,,a b c 为正数,且1abc =,求111212121a b c +++++的最小值. 解:设,,(,,)x y z a b c x y z R y z x +===∈,则111212121222y z x a b c y x z y x z++=++++++++. 由柯西不等式得,[(2)(2)(2)]222y z x y y x z z y x x z y x z y x z ⎛⎫+++++⋅++⎪+++⎝⎭2()x y z ++….从而,2()1222[(2)(2)(2)]y z x x y z y x z y x z y y x z z y x x z ++++=++++++++…,即1111212121a b c +++++….当且仅当1a b c ===时去等号.故所求最小值为1.评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可先证明23222333121aa ab c+++…而得到最小值.二、多元函数极值问题例4 设,x y R ∈,求函数22(,)6214672f x y x y xy x y =+---+的最小值. 解:22(,)(7)5(2)3f x y x y y =--+-+,故9,2x y ==时,min 3f =. 评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法. 例5 已知非负实数12,,,n x x x 满足112ni i x =∑…,求121(,,,)(1)nn i i f x x x x ==-∏的最小值.解:当1221,,,,n n n x x x x x --+都为定值时,由于111(1)(1)1()n n n n n n x x x x x x -----=-++,可见,1n n x x --越大,上式的值越小.为此,令11(1,2,,2),,0i i n n n n x x i n x x x x --'''==-=+=, ①则1111,0n n n n n n n n x x x x x x x x ----''''+=+⋅=<.∴12121(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x -'''------…其中121212n n x x x x x x '''+++=+++….再进行形如①的变换2n -次,即可得 12121(1)(1)(1)1()2n n x x x x x x --->-+++…,其中等号当1231,02n x x x x =====时取得.∴所求最小值为12. 评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数. 再看一个逐步调整法的例子.例6 给定实数25a >.对于满足条件55111i i i ix a x ==⋅=∑∑的所有正实数组12345(,,,,)x x x x x ,试求 {}{}1234512345max ,,,,min ,,,,x x x x x x x x x x 的最值.解:由对称性,设12345x x x x x 剟剟,由齐次性,设152341,,,,[1,]x x u x x x u ==∈,2342342341111(,,)(1)(1)af x x x x xx u u x x x ==++++++++2111+++…,3,10u-,.另一方面,将34,x x看作常数,23422(,,)(,,0)a f x x x xxβαγαβγ==⋅++>.2x>时,f为凸函数,在21x=或2x u=时取得最大值.同理,f在34,1x x=或u时取得最大值.设f取得最大值时,234,,x x x中有k个为u,3k-个为1,0,1,2k=.此时,1(31)(31)kf ku k u ku u=+-+++-++=222(1)3(1)(4)(41)u u u uk ku u u--++-++.f为开口向下的抛物线,对称轴为32k=,故1k=或2时,f取得最大值.23421(,,)(23)(3)6()13a f x x x u uu u∴=++=++ (21)=+,u∴={}{}1234512345max,,,,min,,,,x x x x xx x x xx22,⎡⎤⎛⎢⎥∈⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三、无理函数极值问题例7求函数()f x=.解:由于()f x==令2(3,2),(0,1),(,)A B P x x,则()f x PA PB=-.于是,问题转化为在抛物线2y x=上求一点P,使PA PB-最大.因点A在抛物线下方,点B在抛物线上方,故直线AB和抛物线必相交,交电由方程组2121030y xyx⎧=⎪⎨--=⎪--⎩确定,消去y,得2330x x--=.由于关于x的二次方程的常数项为负,则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边,所以,当P点位于负根所对应的交点位置时,()f x有最大值AB=评注:本题不必求出交点坐标,从图中也可以看到PA PB-例8求函数()2f x x=+.解:由于()22f x x x =+=+可令1,[,]222x ππθθ-=∈-,则12x θ=.于是5()()11sin()2f x g θθθθϕ===++,其中ϕ=因为[,]22ππθ∈-,故]22ππθϕ+∈+,从而sin()[θϕ+∈,即7()[1]2g θ∈,故min max 7()1()2f x f x ==. 评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角公式.例9 求函数y =的最小值．解：先求定义域(,0][2,)-∞⋃+∞，注意到两个根号内的函数在(,0]-∞上都递减，在[2,)+∞上都递增，故原函数亦如此．故min min{(0),(2)}1y f f ==．当0x =时取到最小值．评注:运用单调性,简单巧妙.例10 求函数y =解:（构造法）：y =(,1)P x 到定点(1,0),(1,0)A B -的距离之和，故min y =．解法二:y =≥=，当0x =时，两等号同时成立，故min y =．例11 对实数x ，求函数48148)(22----=x x x x x f 的最大值．解：)(x f 的定义域为[6，8]，22)4(168)(--=-=x x x x u ，当6=x 时，12max =u ；22)7(14814)(---=---=x x x x v ，当6=x 时，0max =v ，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=． 解法二：)(x f 定义域为[6，8]，令28)(x x x u -=，4814)(2--=x x x v ，x v u 64822-=-．126480],8,6[≤-≤∴∈x x ， 12022≤-≤∴v u ……（1）．v u y -= ，v y u +=∴代入（1）得：1222≤+vy y ，易知0≥y ，0)7(12≥--=x v ……（2）12222≤+≤∴vy y y ，32≤∴y ，当6=x 时（1）、（2）同时取等号．故)(x f 有最大值3212=．解法三：)(x f 的定义域为[6，8]，686)6(8)(-+-=---=x x x x x x x f ，x -8 ，61-+x x在[6，8]上是减函数，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=．评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若)()()(x v x u x f +=，)(),(x v x u 同时在0x x =处取得最大值，则)(x f 在0x x =处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若)(x f 在闭区间[a,b ]上为单调函数，则)(x f 在端点处取得最值”． 四、分式函数极值问题例12 设,,x y z 是不全为零的实数,求2222xy yzx y z +++的最大值. 解:)222xy yz ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭222222*********a a x y by z x b y z a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….令1122a b a b =+=,解得a b ==.所以2222)xy yz x y z +++….当且仅当105x z ==时等号成立. 故2222xy yz x y z +++的最大值为2. 评注:本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标,∴引入参数,a b 作为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使本来较难解决的问题得以顺利解决.例13 对所有,,a b c R +∈,的最小值.解:作代换x y z ===,则,,(0,)x y z ∈+∞.从而,2228a x a bc =+,即22181bc x a =-.同理,222218181,1ac aby b z c -=-=.将以上三式相乘, 得222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若1x y z ++<,则01,01,01x y z <<<<<<. 故222222222111(1)(1)(1)111x y z x y zx y z ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222[()]x x x y z 2->∑∏222[()(2)]y z x y z x y z+++=∏512=.矛盾.所以1x y z ++….从而,当a b c ==时,所求最小值为1.评注:通过整体代换将问题转化为条件最值问题,即在222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的条件下,求x y z ++的最小值.可先从极端情况探求最小值,再运用反证法进行证明.例14 已知,,a b c R +∈,求938432a b cb c c a a b+++++的最小值. 解:对分母进行代换,令3,84,32b c x c a y a b z +=+=+=, 则111131111,,386216461612a x y zb x y zc x y z =-++=-+=+-. 故914191496138432861648a b c y x z x z y b c c a a b x y x z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由均值不等式得 上式1116147461286164848⨯+⨯+⨯-=….当且仅当2,3y x z x ==时等号成立.∴当10,21a c b c ==时,所求最小值为4748.评注:对于分子与分母均为齐次的分时最值问题,一般最易想到运用柯西不等式处理,但有时很难直接奏效,此时,进行分母代换时比较明智的选择.例15 设,,a b c 为正实数,且abc a c b ++=,求222223111p a b c =-++++的最大值. 解:设tan ,tan ,tan a b c αβγ===,,,(0,)2παβγ∈.由abc a c b ++=,得1a cb ac+=-,即tan tan()βαγ=+,从而βαγ=+.故2222cos 2cos ()3cos p αγγ=-++2cos21cos(22)13cos ααγγ=+-+-+22sin sin(2)3cos γαγγ=++22102sin 3cos 33sin 2sin 3γγγγ+=-+剟.因此,当12,sin 23παγγ+==,即24a b c ===时,max 103p =. 评注:巧妙地运用三角函数的公式与性质,可以顺利解决许多分式最值问题.。
高中数学竞赛“代数问题”高级讲稿
高中数学竞赛“代数问题”高级讲稿浙江省杭州第十四中学 马茂年（中国奥数高级教练、数学特级教师）知识方法在高中数学竞赛中，代数方面的问题是多种多样的，主要包括：函数与方程问题（函数的解析式，函数的最值、方程根的讨论等），数列问题(递推数列、数列的通项、数列不等式等)，不等式问题（不等式的求解、证明及应用等）、复数与三角问题等等。
解决代数问题的方法和策略也是多种多样的，主要的方法包括：探索法、化归法、转换法、构造法、数形结合法、数学归纳法、递推法等等。
要点突破1．集合的概念与运算例1 在集合},,2,1{n 中，任意取出一个子集，计算它的所有子集的元素之和。
例2 已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A ，且B A ⊆，求参数a 的取值范围。
例3 已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A . 若B A =,求22y x +的值。
例 4 已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22y x y x …+201220121()x y +的值。
例5 已知A 为有限集，且*N A ⊆，满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等，写出所有这样的集合A 。
例6 已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.例7 已知平面上两个点集 {(,)||1|,M x y x y x y =++∈R},{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R}. 若 M N ≠∅ , 求a 的取值范围。
例8 已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.例9 满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.例10 对集合{1,2,,2012} 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.2．集合的划分例11 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．例12 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？例13 能否给出集合{}1,2,...,2013的一个划分，1234,,,A A A A 使得1234,,,A A A A 的内部各元素之和恰成等差数列3．二次函数例14．集合A ={42|2++=x x y y }，B ={a x ax y y 42|2+-=}，A ⊆B ，求实数a 的取值集合．例15．考察所有可能的这样抛物线22b ax x y -+=，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每一条这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆．证明：所有这些圆周经过一定点． 例16．抛物线c bx x y ++=2的顶点位于区域}10.10|),{(≤≤≤≤=y x y x G 内部或边界上，求b 、c 的取值范围．例17．设x =p 时，二次函数)(x f 有最大值5，二次函数)(x g 的最小值为－2，且p ＞0， )(x f +)(x g =13162++x x ,)(p g =25．求)(x g 的解析式和p 值．例18．已知0≤x ≤1, )(x f =)0( 22>+-a a ax x ,)(x f 的最小值为m ．（1）用a 表示m ；（2）求m 的最大值及此时a 的值．例19．一幢k （＞2）层楼的公寓有一部电梯，最多能容纳k －1个人，现有k －1个学生同时在第一层楼乘电梯，他们中没有两人是住同一层楼的．电梯只能停一次．停在任意选择的一层．对每一个学生而言，自已往下走一层感到一分不满意，而往上走一层感到2分不满意，问电梯停在哪一层，可使不满意的总分达到最小？例20．已知方程)1()1(222x a ax -=+，其中a ＞1，证明：方程的正根比1小，负根比 －1大．例21．若抛物线22++=ax x y 与连接两点M （0，1），N （2，3）的线段（包括M 、N 两点）有两个相异的交点，求a 的取值范围．例22．已知：1x ≥2x ≥3x ≥4x ≥2，且2x ＋3x ＋4x ≥1x ，求证：4321243214)(x x x x x x x x ≤+++.例23．定义在R 上的奇函数)(x f ，当x ≥0时，)(x f =－x x 22+．另一个函数y =)(x g 的定义域为[a ,b ],值域为[ab 1,1],其中a ≠b ,a 、b ≠0．在x ∈[a ,b ]上, )(x f =)(x g ．问:是否存在实数m ,使集合{}|),{(]},[),(|),(2m x y y x b a x x g y y x +=∈= 恰含有两个元素?4．函数迭代例24．设f(x)=x2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。
(2021年整理)高中数学竞赛讲义(免费)
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试)与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1。
平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题.几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴.面积方法,复数方法，向量方法,解析几何方法。
2。
代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式,切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等，整系数多项式的有理根＊，多项式的插值公式＊。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程＊3。
初等数论同余，欧几里得除法,裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数［x］，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理＊.4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
高中数学 第十四章《极限与极值》数学竞赛讲义 苏教版
第十四章 极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足,对任意给定的正数ε,总存在正数m,当n>m 且n ∈N 时,恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数）,则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限,记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→,另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A,称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b,那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义,且0lim x x →f(x)存在,并且0lim x x →f(x)=f(x 0),则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义,当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小）,因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在,则称f(x)在x 0处可导,此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率）,记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy ,即00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。
《高二数学函数极值》课件
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详细描述
这类题目通常涉及利用函数极值 性质研究数列的性质，或者通过 数列的性质判断函数极值点。需 要学生熟练掌握函数极值的定义 、性质和求解方法，以及数列的 性质和求解技巧。
举例
已知数列 {an} 满足 a1 = 1, an+1 = an + 1/n(n+1)，求数列 {an} 的通项公式，并判断是否存 在某个 n，使得 a_n > a_n+1。
总结词
学生常常误判导数不存在的点为极值点。
详细描述
导数不存在的点可能是极值点，也可能是拐点或不可导点。学生需要结合函数图像和一阶、二阶导数的符号变化 来判断，不能仅凭导数是否存在来判断是否为极值点。
多重根导致的极值判断错误
总结词
在处理含有多个根的函数时，学生容易因多重根的存在而判断失误。
详细描述
当函数的一阶导数存在多个根时，学生需要特别注意这些根的位置和一阶、二阶导数的符号变化，以 准确判断是否为极值点。此外，学生还需要注意区分极大值和极小值，避免混淆。
详细描述
这类题目通常涉及利用函数极值 性质求解不等式，或者通过不等 式性质判断函数极值点。需要学 生熟练掌握函数极值的定义、性 质和求解方法，以及不等式的性 质和求解技巧。
举例
求函数 f(x) = x^3 - 3x 在区间 [2,2] 上的最小值，并判断该最小 值是否大于 0。
极值与数列
总结词
函数极值与数列结合，考察学生 的逻辑思维和推理能力。
3
单调性判定
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区 间单调递增；如果导数小于0，则函数在此区间 单调递减。
单调性与极值
单调性与极值的关
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题16 导数与极限(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题16 导数与极限 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2019·全国·高三竞赛）函数sin cos 0,1cos 2y ααπαα⎛⎫⋅⎛⎫=∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的最大值是______.【解析】 【详解】设cos 0,2x παα⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()0,1x ∈.由y =，得2y '=令0y '=.解得x =.故max y2．（2019·全国·高三竞赛）已知等比数列{}n a 满足()12lim 2n n a a a →∞+++=-，则1a 的取值范围为______.【答案】()()4,22,0--⋃- 【解析】 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由部分和的极根存在知11,2.1a q a q ⎧<<⎪⎨=-⎪-⎩则1022a <+<.解得()()14,22,0a ∈--⋃-.3．（2019·全国·高三竞赛）称一个函数是“好函数”当且仅当其满足： （1）定义在R 上；（2）存在a b <，使其在(),a -∞、(),b +∞上单调递增，在(),a b 上单调递减． 则以下函数是好函数的有______．①2y x x =-， ②31y x x =-+，③322361y x x x =---， ④7427283y x x x =+++． 【答案】①②③ 【解析】 【详解】①2y x x =-在(),1-∞、()2,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，满足定义． ②31y x x =-+．注意到2310,y x x ⎛⎫=->⇔∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'．故31y x x =-+在,⎛-∞ ⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝⎭上单调递减，满足定义．③322361y x x x =---．注意到()()26660,,y x x x m n =-->⇔∈-∞⋃'+∞．（因为0∆>，所以，存在m 、n 为26660x x --=的两实根且m n <．）故322361y x x x =---在(),m -∞、(),n +∞上单调递增，在(),m n 上单调递减，满足定义． ④7427283y x x x =+++．注意到()26333142828142828y x x x x ==+'+++． 由于0∆<，则0y '>恒成立．故7427283y x x x =+++在R 上单调递增，不满足定义． 故答案为①②③4．（2019·全国·高三竞赛）函数()32731x x f x +=-+在区间[0，3]上的最小值为_______.【答案】53- 【解析】 【详解】令[]()30,3xt x =∈.则()()[]()32710,27f x g t t t t ==-+∈.而()()()2327333g t t t t ==-'-+，故当[]1,3t ∈时，()0g t '<，()g t 单调递减；当[]3,27t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增. 所以，当t=3时，()g t 取得最小值,()()min 353g t g ==-，即当x=1时，f(x)取最小值-53. 故答案为-535．（2019·全国·高三竞赛）关于x 的不等式224sin 1cos 2x x x x -+≤的解集为______. 【答案】{}0 【解析】 【详解】原不等式可化为()2sin 0sin 0x x x x -≤⇒-=. 构造函数()sin f x x x =-. 因为()1cos 0f x x ='-≥，所以，函数()sin f x x x =-在(),-∞+∞上是单调递增函数，且易知()00f =. 故sin 0x x -=只有一个实数根0. 进而知原不等式的解集为{}0. 故答案为{}06．（2019·山东·高三竞赛）设函数()cos 0,2f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么f (x )的最大值是______ .【答案】2π【解析】 【详解】()1sin 00,2f x x x π'⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以f (x )的最大值为22f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：2π． 7．（2019·全国·高三竞赛）满足1201411112014n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的整数n=__________．【答案】2015- 【解析】 【详解】注意到，对任意的()1,x ∈-+∞有()ln 11xx x x≤+≤+ 则()()1110x f x x x +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与()()110xg x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的导函数分别为 ()1111'1ln 10x f x x x x +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-< ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()111'1ln 101xg x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故()f x 在区间()0,+∞上递减，()g x 在区间()0,+∞上递增. 且对任意的()0,x ∈+∞有()()f x e g x >>. 从而，对任意的m 、n Z +∈有11111n me n m +⎛⎫⎛⎫+>>+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因此，满足1201411112014n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的整数n 必为负数.记()n k k Z +=-∈，代入题设等式得20141111111120141k k k k -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故12014k -=，2015n k =-=-. 故答案为-20158．（2019·全国·高三竞赛）设函数()()()22log log f x x x a x a x =+--的图像关于直线12x =对称.则对满足411i i x ==∑的任意实数()()0,114i x i ∈≤≤，421log i i i s x x ==∑的最小值为__________．【答案】2- 【解析】 【详解】由题意，知定义区间()0,a 的中点为12.于是，1a =.则()()()22log 1log 1f x x x x x =+-- ()2'log 1x f x x⇒=- 令()'0f x =，得12x =. 由对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()'0f x <，及对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()'0f x >知()min 112f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭记()120,1x x x +=∈则()3410,1x x x +=-∈ ① 由121x x x x +=，得1122122log log 1x x x x x f x x x x x ⎛⎫+=≥- ⎪⎝⎭即1212222log log log x x x x x x x +≥-+.类似地，由式①得()()()3234242log log 11log 1x x x x x x x +≥--+--. 两式相加得()421log 12i i i x x f x =≥-+≥-∑.当123414x x x x ====时，上式等号成立.故min 2S =-. 故答案为2-9．（2019·全国·高三竞赛）设1a >．则当x y a =与log a y x =两个函数图像相切时，lnln a =______．【答案】1- 【解析】 【详解】因为两个函数互为反函数，且关于直线y x =对称， 所以，相切时切点在y x =上． 设切点为()00,x y ．则 00x x a =，①0ln 1x a a =．②将式①代入式②得0ln 1x a =，即0ln 1x a =．③ 再将式①代入式③得00ln 1x x e =⇒=． 故1ln lnln 1a a e=⇒=-． 10．（2019·全国·高三竞赛）已知过点()0,2的直线l 与曲线()1:0C y x x x=+>交于两不同的点M 、N .则曲线C 在M 、N 处切线交点的轨迹为______. 【答案】1x =，12y <<. 【解析】 【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，点M 、N 处的切线为1l 、2l ，交点坐标为(),p p P x y ，直线l 的方程为2y kx =+.由()()21,1210441002y x k x x k k x y kx ⎧=+⎪⇒-+-=⇒∆=+->⇒>⎨⎪=+⎩. 而12201x x k +=>-，1210011x x k k=>⇒<<-. 易知1l 的方程为()112211111211y y x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.同理，222212:1l y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 故12x x ≠，121221p x x x x x ==+. 又221212111112222122p p p p y x kx k y x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+++=-+=-⇒<<⎨⎬⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭. 故所求交点的轨迹为1x =，12y <<. 故答案为1x =，12y <<.11．（2019·全国·高三竞赛）若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】 【详解】注意到，()cos f x a x =+'.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ''=-⇔++=-()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+= 221212cos cos cos cos 1022x x x x a +-⎛⎫⎛⎫⇔++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos cos 1,0x x a ⇔=-=±=.故答案为012．（2019·全国·高三竞赛）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若34218a a a a +--=，则5678a a a a +++的最小值是______.【答案】44+【解析】 【详解】设公比为q .由题设知1q >.由34218a a a a +--=，得()()21118a q q +-=.而()()()424256781281111q q a a a a a q q q q ++++=++=-.令21t q =-.则0t >，且()()()242228181228451q q t t tt q tt +++⎛⎫==+++ ⎪-⎝⎭.因为222245240t t t t t ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭，，所以t =时上式取最小值为44+13．（2019·全国·高三竞赛）已知数列{}n a 满足12a =，26a =，且2121n nn a a a +++=+.则limn →+∞=______.【答案】12 【解析】 【详解】由已知有2112n n n n a a a a +++-=-+，从而，()()()1212121n n a a a a n n +-=-+-=+. 故()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ ()()21221n n n n =+-+⋅⋅⋅++=+.于是，()2221111312nnni i i n i nnnn===+=+=∑.从而，2131lim lim22nn n i n n n →+∞→+∞=+=.另一方面，2211111lim lim lim22nnn n n i i n i n n n →+∞→+∞→+∞==+≥==∑.从而，211lim 2nn i n →+∞==成立. 14．（2019·全国·高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶100m ，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退50m 进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后退50m ，直到命中为止，已知他第一次的命中率为14，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_________. 【答案】12 【解析】 【详解】记事件“第n 次射击命中”为n A ，其概率为()n P A .则()114P A =. 又第n 次射击时距离靶()()()100501501n n m +-=-，则()()()2122111n P A P A n n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭+.于是，前n 次内命中的概率为()()()()121211n n n P P A A A P A P A P A =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅()21111324211111492233111n n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()1212121n nn n +=-⋅=++.令n →∞，得1lim 2n n P →∞=. 因此，此人能够命中的概率是12.故答案为1215．（2019·全国·高三竞赛）已知数列{}n a 满足16a =，220a =，()()118122n n n n a a a a n -+-=--≥，记{}[]x x x =-，其中，[]x 表示不超过实数x 的最大整数.则lim n →∞_______.【答案】12 【解析】 【详解】根据递推关系及初始值，易算得342a =. 由()11812n n n n a a a a -+=-=-， ① 得()112812n n n n a a a a +++-=-. ②-②①得()22112118n n n n n n n n a a a a a a a a +++-+---=-.整理得()()211188n n n n n n a a a a a a +++-+-=+-. 则21131128882n n n n n n a a a a a a a a a ++-++---+-==⋅⋅⋅==，即2128n n n a a a ++-+=.所以，()()2118n n n n a a a a +++---=.故{}1n n a a +-是以2114a a -=为首项、8为公差的等差数列，即()1148186n n a a n n +-=+-=+.则()()111111686n n n i i i i a a a a i --+===+-=++∑∑()()216861422n n n n n -=+︒+-=+.由()()22224221n n n n <+<+，知2n =.于是，2n ===.所以，1lim2n →∞=. 故答案为1216．（2019·全国·高三竞赛）设()20101005222k k k x x a x =+-=∑．则1352009352009a a a a ++++=______.【答案】1005 【解析】 【详解】设()()1005222f x x x =+-．则()()()1004210052214f x x x x =+--'．从而，()()110053f ='⨯-，()110055f ='-⨯．又由()20101kk k f x a x ==∑，得()201011k k k f x ka x -=='∑．故1352009352009a a a a ++++()()()11110052f f =-='+'． 故答案为100517．（2019·全国·高三竞赛）联结正多面体各个面的中心，得到一个新的正多面体，我们称这个新正多面体为原多面体的正子体．一正方体1T 的表面积为116a =，它的正子体为2T ，表面积为2a ，2T 的正子体为3T ，表面积为3a ，……如此下去，记第n 个正子体的表面积为n a ．则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=________．【答案】18+【解析】 【详解】由已知13,,T T ⋅⋅⋅为正方体，24,,T T ⋅⋅⋅为正八面体．设i T 的边长为i b ，如图易知2122b b =．如图，计算得2122GH AC ==，32223b MN GH ===． 易知，对于自然数n ，有2212n n b -=，2122n n b +=． 而2116a b =，22221383a b ==，213a =，2232222423693a b b =⨯==． 同样，2213n n a -=，21223n n a +=． 于是，可得212119n n a a +-=，22219n n a a +=． 故()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+ 121833111199a a =+=+--． 18．（2019·全国·高三竞赛）四次多项式()f x 的四个实根构成公差为2的等差数列.则()'f x 的所有根中最大根与最小根之差是_________. 【答案】25【解析】 【详解】设()f x 的四个实根为 3113a a a a --++、，、.则()()()()()()31130f x k x a x a x a x a k =----⋅-+-+≠. 令x a t -=.则()()()()()()()423113109f x k t t t t k t t g t =--++=-+=.故()()()33'42045g t k t t k t t =-=-.故()'0g t =的根为0，则()'f x的根为a a . 故()'f x的最大根与最小根之差为19．（2021·全国·高三竞赛）若数列{}n a 是首项不为零的等差数列，则12212limn n nn na a a a a a ++→∞+++=+++___________.【答案】1或3##3或1. 【解析】 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1222212lim lim 1lim n n n n n n n n n n n nS S a a a a a S S Sa ++→∞→∞→∞+++==-+++-+， 若{}n a 为常数列，则22lim 11nn nn S S S →∞-=-+=； 若{}n a 不为常数列，则()()1221lim 1lim 1221222i 1l m3n n n n n n n nn a d S n SS S d S a →∞→∞→∞=-+=-+-⨯--+⨯=+， 故答案为：1或3.20．（2021·全国·高三竞赛）两数列{}{},n n a b 满足110,1a a b =>=，且对任意正整数n ，1111,n n n n n n n n a b a a b b b a ++++=+=+，则1lim n n nb b +→∞为___________. 【答案】22,01311,1a a a a +⎧<<⎪+⎨⎪⎩ 【解析】 【分析】 【详解】易知两数列均为严格递增的正数列，且不同时存在极限（否则对递推式取极限得矛盾）. 将两个递推式等号两边加1，可得： 11(1)(1)(1)(1)1,1n n n n n n n na b a b a b b a +++++++=+=再取倒数可得11111111,11(1)(1)11(1)(1)n n n n n n n n a a a b b b a b ++=-=-++++++++ 所以1111111111122n n n n aa b a b a ++--=-=⋯=+++++， 当01a <<时，由11122n a a a ->++得311n a a a+<-，于是数列{}n a 有极限，从而{}n b 没有极限，即1lim0n nb →∞=， 此时1311122lim ,lim 1lim lim 131n n n n n n n n n nb a a a a b a a b a +→∞→∞→∞→∞-+==++=-+； 当1a =时，n n a b =，于是都没有极限. 此时111lim 1lim lim 1n n n n n n n nb b a a b +→∞→∞→∞=++=，当1a >时，11122n a b a ->++，所以31n a b a +<-， 于是数列{}n b 有极限，{}n a 没有极限， 此时111lim 1lim lim 1n n n n n n n nb b a a b +→∞→∞→∞=++=.综上可得：122,01lim 311,1n n n a a b a b a +→∞+⎧<<⎪=+⎨⎪⎩. 故答案为：22,01311,1a a a a +⎧<<⎪+⎨⎪⎩. 21．（2021·浙江·高三竞赛）若1122ln ln x x x x =，12x x <，(1252k x x =++，k Z ∈，则k =______.【答案】3 【解析】 【分析】 【详解】解析:由题意知设2222,ln 2ln t x t y t t t t ====,问题转化为:若22112212ln ln ,t t t t t t =<,求()()22212121255222k t t t t t t =++=+, 即2ln y t t =与y a =的图象的两个公共点的横坐标设为12,t t 求12t t +的范围;如图所示，易知12t t e ⎛+∈ ⎝,所以510,2k e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,所以3k =. 故答案为：3.22．（2019·四川·高三竞赛）已知a 为实数，且对任意k ∈[－1，1]当x ∈(0，6]时，6lnx +x 2－8x +a ≤kx 恒成立，则a 的最大值是_____ . 【答案】6－6ln 6 【解析】 【详解】由题意，对k ∈[－1，1]，6ln 8x ak x x x++-在x ∈(0，6]时恒成立， 所以，6ln 18x ax x x-++-在x ∈(0，6]时恒成立， 即a ≤－x 2－6lnx +7x 在x ∈(0，6]时恒成立.设h (x )=－x 2－6lnx +7x ，x ∈(0，6]，则max min ()a h x =.所以6(23)(2)()27x x h x x x x'---=--+=. 因为x >0，所以当3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，h '(x )>0，h (x )为增函数；当x ∈30,2⎛⎫⎪⎝⎭和(2，6]时h '(x )<0，h (x )为减函数.所以h (x )的最小值为32h ⎛⎫⎪⎝⎭和h (6)中的较小者.3939(6)6ln 6ln 612ln 202424h h ⎛⎫-=-+=+> ⎪⎝⎭，所以min ()(6)66ln 6h x h ==-，从而a 的最大值是6－6ln 6. 故答案为：66ln 6-．23．（2019·全国·高三竞赛）已知函数()[]()10,1,n n f x x x x n N ++=-∈∈.（1）求()f x 的极大值()g n ； （2）求()g n 的最大值.【答案】（1）()11nn n n ++；（2）14【解析】 【详解】（1）由()()11n nf x nx n x --+'= ()11n x n n x -⎡⎤=-+⎣⎦，可知()f x 在0,1n n ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭上单调递增，在,11n n ⎛⎤⎥+⎝⎦上单调递减. 所以，在1nx n =+时，()f x 取得极大值()()11n n n g n n +=+.（2）()114g =. 下面证明：当2n ≥时，()14g n <. 则要证()114n n n n ++>.由()1111111n n n n n n n n C n C ++++++=++⋅⋅⋅+()()11214n n n n n n n n n n +≥++=+>，知()14g n <，即()g n 的最大值为14. 24．（2019·广西·高三竞赛）已知函数11()ln f x a x x a x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.（1）设a >1，讨论f (x )在区间(0，1)上的单调性； （2）设a >0，求f (x )的极值.【答案】（1）减区间是10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，增区间是1,1a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）当a >1时，极小值为11ln a a a a a ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭，极大值为11ln a a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭；当a =1时，无极值；当0<a <1时，极小值为11ln a a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，极大值为11ln a a a a a ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭【解析】（1）221()111()1x a x a f x a a x x x '⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--=- ⎪⎝⎭. 由a >1可知101a a <<<，所以f (x )的减区间是10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，增区间是1,1a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）21()(),0x a x a f x x x '⎛⎫-- ⎪⎝⎭=->. 当a >1时，f (x )的减间是10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[a ，+∞)增区间是1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.f (x )的极小值为111ln f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，极大值为11()ln f a a a a a a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. 当a =1时，22(1)()0x f x x'-=-，f (x )无极值. 当0<a <1时，f (x )的减区间是(0，a ]和1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，增区间是1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.f (x )的极小值为11()ln f a a a a a a⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，极大值为111ln f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上可得：当a >1时，极小值为11ln a a a a a ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭，极大值为11ln a a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭；当a =1时，无极值；当0<a <1时，极小值为11ln a a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，极大值为11ln a a a a a ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭.25．（2021·全国·高三竞赛）求c 的最大值，使得对任意的正实数x 、y 、z ，均有()3222x xyc xy x y -≥-∑∑∑∑，其中“∑”表示轮换对称求和．12． 【解析】 【分析】 【详解】注意到22()()()xy x y x y y z z x -=---∑∑，由不等式的轮换对称性，不妨设x 最小，则,y x a z x b =+=+，其中,0a b ≥．所以，原式等价于：333222()()()()()()()x x a x b x x a x a x b x b x c b a ab ++++-+-++-+≥-，化简得()223322()x a ab b a b ab c b a ab -+++-≥-．由220a ab b -+≥，且x 可无限接近于0，得332()a b ab c b a ab +-≥-，对,0a b ∀≥成立． 又3320a b ab +-≥，为了求c 的最大值，可不妨设0b a >>． 令1bt a=>，321(1)t t c t t -+≥-， 设3211()(1)(1)(1)t t f t t t t t t t-+==+>--， 则()2232(21)(1)21()1,()0((1))((1))t t t t f t f t t t t t ----=-=>-''-'， 所以()f t '在(1,)t ∈+∞上严格单调递增．而243211()02210210f t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=⇒-+-+=⇒+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，解得t =()f t 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增．故min1()2f t f ==⎝⎭，所以，c 12． 26．（2019·全国·高三竞赛）在锐角△ABC 中，证明:()111sin sin sin sin sin sin A B C A B C ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111A B C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 不妨设A≥B≥C.由A B C π++=，知式①等价于222++ 222sin sin A B ⎛-++ ⎝.记()sin x f x x =.则()sin cos 00,2x x x f x x x π⎛⎫-⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭. 故sin sin sin 1sin A BAAAB BB⇒.从而，22sin sin A B ⎛- ⎝. 类似地， 22sin sin B C ⎛ ⎝ 22sin sin C A ⎛ ⎝. 将这三式相加，便证明了原不等式.27．（2019·全国·高三竞赛）求所有的正实数k ，使得对于任意正实数a 、b 、c ，均有2a b kcb c c a a b+++++. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 k≥4.一方面，令a ＝b ＝1，得 224212211kc kc c kc c c+⇔⇔+++. 令c→0，得k≥4.另一方面，只需证明k ＝4时，不等式成立. 由柯西不等式得()()()()242ab c a b c b c a c a b a b c b c c a a b ⎛⎫⎡⎤+++++⋅++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()22422a b c a b cb c c a a bab bc ca ++⇒+++++++.（因为()()22222420a b c ab bc ca a b c ab ++-++=++-.） 故题设不等式成立.28．（2019·全国·高三竞赛）已知函数()()2221f x x ax g x x =-=--与，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a 的值.【答案】2a =± 【解析】 【详解】设函数f(x)与g(x)的一条公切线分别过切点()()()()1122,,,x f x x g x .则公切线方程为()()()()()()111222y f x f x x x g x g x x x '=-≡'++-.故()()12''f x g x =，且()()()()111222''f x f x x g x g x x -=-. 注意到，()()'22,'2f x x a g x x =-=-221212,1x x a x x ⇒+=+=21212a x x -⇒=. 两于是，12x x 、是方程22102a x ax --+=的两实根.由f(x)与g(x)有两条公切线，知f(x)与g(x)不相交. 因此，12x x ≠.由22214?022a a a -∆=->⇒<. 设四个切点坐标为()()()()()()()()11222211,,,,,,,M x f x N x f x P x g x Q x g x . 则()()()2221212(PQ x x g x g x =-+-()()22212121221x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()2221a a =-+，()()11MQ f x g x =- 222111212x ax x a =-++=-.同理，()()222221,2MN a a NP a =-+=-.故四边形MNPQ 为平行四边形，且2226a⎤-=⎥⎦.解得a =.29．（2019·全国·高三竞赛）已知()()1ln 1x f x x++=,()g 1kx x =+.求最大的正整数k ,使得对任意的正数c ,存在实数a ?b 、满足1a b c -<<<,且()()()f c f g b α==. 【答案】3 【解析】 【详解】对于正整数k ,显然,()kx 1g x =+在区间(1,+ ∞)上为减函数. 于是,对任意的正数c ,()()()f c g b g c =>. 当0x >时,不等式()()()()11ln 1x x f x g x k x⎡⎤+++⎣⎦>⇔<①令()()()()11ln 10x x h x x x⎡⎤+++⎣⎦=>,则()()21ln 1x x h x x --+'=. 令()()()1ln 10x x x x ϕ=--+>,则()01xx x ϕ'=>+. 故()x ϕ在0x >时为增函数.又()21ln30,ϕ=-< ()32ln40ϕ=->,因此,存在唯一的正实数吨,有()()0001ln 10x x x ϕ=--+=. ② 于是,()0'0h x = ,且()02,3x ∈.故当()00,x x ∈时,()'0h x < ,()h x 为减函数；当()0,x x ∈+∞时,()'0h x > , ()h x 为增函数. 因此,当0x >时,结合式②有()h x 的最小值为()()0013,4h x x =+∈. 结合式①有正整数,3k ≤. ③ 下面证明：当3k =时,对10x <<,有()()f x g x <. ④ 当10x <<时, ()()()()121ln 10f x g x x x x ⇔-+++.令()()()121ln 1x x x x τ=-+++,其中,10x <<.则()()'ln 110x x τ=+-<. 故()()10x x τ-<<为减函数.于是,()()00x ττ>＞. 因此,式④成立. 注意到,()()()k1,x 1g x x =∈+∞+的值域为(0,+∞),()()()()110,ln x f x x x++=∈+∞的值域也为(0,+ ∞),()()()()111,0ln x f x x x++=∈-的值域为R.结合函数的图像,知对任意的正数c ,存在实数a b 、满足1a b c -<<<,且()()()f c f a g b ==. 综上,正整数k 的最大值为3.30．（2019·全国·高三竞赛）已知()()0lim 01x f x f →==，()()22f x f x x -=对任意实数x 成立．求()f x 的解析式．【答案】()213x f x =+【解析】 【详解】当0x ≠时，()2121,2,,222k k k x x xf f k n -⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 将这n 个等式相加得()2111441214nn x f x f x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=⋅ ⎪⎝⎭-． 令n →∞，知()012n x f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．上式右边23x =．故()()2103x f x x =+≠．又()01f =也满足条件，因此，()213x f x =+． 31．（2019·全国·高三竞赛）已知各项均不小于1的数列{}n a 满足：11a =，21a =，2211121n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）limnn a n→+∞的值. 【答案】（1）1nn k a ==；（2）23【解析】 【详解】（1）令211n n n a b a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.则112n n b b -+=且112b =. 由此，223b =，334b =，….观察知1n nb n =+. 下面用数学归纳法证明. 当1,2,3n =时，结论显然成立.设n k =时，结论成立，证明1n k =+时结论亦成立. 由1k k b k =+，知11122k k k b b k ++==-+. 因此，1n nb n =+对一切正整数n 成立. 由此得()22111n n n a a n +-=+. 由1n a ≥，知11n n a +=+.令n n c，则1n n c c +=11c =.故121nn n n k c c c --====⋅⋅⋅=从而，1nn k a ==（2）注意到1nnk k ==>12nk k==∑12n k =⎛=- ⎝（阿贝尔公式），故12233nk =>>23n a n >. 从而，2lim3n n a n →+∞≥.类似地，由于1nnk k ==12nk k==∑ (121nk n =⎡=+⎢⎣，故1nk =<2113n a n n ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 所以，212lim 1lim 33n n n a n n →+∞→+∞⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭. 综上，2lim3n n a n →+∞=.32．（2019·全国·高三竞赛）已知a R +∈，方程222ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有唯一解.求a 的值. 【答案】12a = 【解析】 【详解】设函数()222ln f x x ax a x =--.则()()22222a f x x a x ax a x x-=-'=--. 令()0f x '=，即20x ax a --=.解得10x =<（舍去），2x =当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 故()f x 在2x x =时取到最小值()2f x .由()0f x =有唯一解知()20f x =，即2222222220,0.x ax alnx x ax a ⎧--=⎨--=⎩. 于是，222ln 0a x ax a +-=. 由0a >，知222ln 10x x +-=.当0x >时，函数()2ln 1g x x x =+-严格递增，又()10g =，从而，21x =. 由此可解得12a =. 33．（2019·全国·高三竞赛）设10a a =＞，对2n ≥，有()111n n i i a a -==+∏.求常数1a ，使对一切正整数n 有11112011nk k a =+∑＜，而对任何12011c ＜，都存在正整数n ，使111nk kc a ＞=+∑. 【答案】4021.a = 【解析】 【详解】由题设得()112n nn a a n a +=+≥，即()11111=.11n n n n n a a a a a +=-++从而，()1111=2.1n n n n a a a +-≥+则1212111111111212.11111nni i i i i n n a a a a a a a a a a ==+-+⎛⎫=+-=+-=- ⎪+++++⎝⎭∑∑＜由数学归纳法知，对2n ≥有()111 1.n n i i a a ＞-==+∏所以，1212lim .11n n a a a →∞+⎛⎫-= ⎪++⎝⎭故对任何21c a +＜，都存在正整数n ，使121.1n c a a +-+＞依题意得21=.12011a +因此，4021.a = 34．（2019·全国·高三竞赛）给定正整数()3n n ≥，··1.002n na ⎛⎫= ⎪⎝⎭（即n a 等于n 进制表示为··1.002的数）.试求334341111lim n n n a a a a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭的值. 【答案】67【解析】 【详解】 根据题意知32··33363233211221111.002111111111n n n n n n n a n n n n n n n n+++-+==+++⋅⋅⋅=+===⋅--++-- 注意到()()221111n n n n -+=-+-+.则()()23423111111nn k k k k a a a k k k =⎡⎤-+-++⋅⋅⋅=⋅⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦∏ ()()()22112217231611n n n n n n n n ++++=⋅=⋅⨯++++.故()34161611117171n a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪⋅⋅⋅+-⎝⎭⎢⎥⎣⎦.于是，有33343411111611lim lim 171n n n k n n a a a a a a n k k →∞→∞=⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⋅+- ⎪ ⎪⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭∑ ()61116lim 27317n n n n →∞⎡⎤=⋅-+-=⎢⎥-⎣⎦. 35．（2019·全国·高三竞赛）求最小的实数A ，使得对每个满足条件()()101f x x ≤≤≤的二次三项式()f x ，适合不等式()0f A '≤． 【答案】8【解析】 【详解】设二次三项式为()()20f x ax bx c a =++≠.由题意知()01f ≤，112f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()11f ≤.注意到()0f c =， 1242a bf c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ()1f a b c =++，()()04342a b f b c a b c c ⎛⎫==++-+⎝'+- ⎪⎭.则()()()10413041382f f f f ⎛⎫≤++≤++= ⎪⎝⎭'.因此，8A ≤.又()2881f x x x =-+-，当01x ≤≤时，()1f x ≤，()168f x x '=-+，()08f '=. 于是，8A ≥.所以8A =.36．（2019·全国·高三竞赛）已知()222af x x x x=-+，其中，常数(]0,4a ∈．求所有的实数k ，使对任意1x 、2x R +∈，恒有()()1212f x f x k x x -≥-．【答案】3,2108a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【详解】当12x x =时，k 任意． 当12x x ≠时，不等式化为()()1212f x f x k x x -≥-．由于()()()121222121212121222f x f x a a x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=---+-⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎣⎦()122212121212222x x a ax x x x x x +=+->331212122108108a a ax x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭331222108108a a a x x ⎛⎫≥-+=- ⎪⎝⎭， 由()()312122108f x f x a x x ->--．当12x x ≠，且都趋向于6a时，有()()312122108f x f x a x x -→--．于是，所求k 的集合是3,2108a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．37．（2019·全国·高三竞赛）设k 是一个给定的非零实数,在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为x y ≠且22x y k x k y=-+,点(),A k k . (1)设P 是1C 上的任意一点,试求线段AP 的中点Q 的轨迹2C 的方程并指出曲线2C 的类型和位置;(2)求出1C 、2C 在它们的交点B 处的各自切线之间的夹角θ(锐角)(用反三角函数式表示) 【答案】（1）见解析；（2）108arctan 145θ= 【解析】 【详解】（1）22x y k x k y=-+ ()()22x k y y k x ⇔+=-（x k ≠且y k ≠-） ()()()x y y x k x y xy ⇔+-=+()y x k xy ⇔-=（由x y ≠，得0x y +≠） ()y k x kx ⇔-=2kx k y k k x k x⇔==-+--()()2x k y k k ⇔-+=-（0x ≠且2x k ≠）.故曲线1C 是在一条等轴双曲线()()2x k y k k -+=-上挖去点（0，0）和()2,2k k -所得的曲线.设PA 的中点为(),Q X Y ，则,22x k y kX Y ++==. 从而，2,2x X k y Y k =-=-. 代入方程()()2x k y k k -+=-得()22k X k Y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（2k X ≠且32X k ≠）.因此，Q 的轨迹2C 的方程为()22k x k y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（2k x ≠且32x k ≠）. 它的中心点为(),0k ，渐近线为x k =及0y =，即2C 是在一条等轴双曲线上挖去点,22k k ⎛⎫⎪⎝⎭和3,22k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭所得的曲线.（2）联立方程组()()()22 2k x k y x k y k k ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-+=-⎩，①，② ②÷①得4y ky+=. 解得13y k =，代入式②得4k x =. 故1C 与2C 的交点为,43k k B ⎛⎫⎪⎝⎭.对()22k x k y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的两边求关于x 的导数得()0dy x k y dx -+=，即4394kdy y k dx x k k =-=-=--.再对()()2x k y k k -+=-的两边求关于x 的导数得()0dyx k y k dx-++=，即16394k kdy y k k dx x k k ++=-=-=--.1C 与2C 在焦点B 处的各自的切线的夹角（锐角）的正切值为16491210899tan 1648164145199θ-⨯===++⨯. 故108arctan145θ=. 38．（2019·全国·高三竞赛）已知函数()()()3212213233f x x a x a a x =-++++，其中，a 为实数．（1）当函数()y f x '=的图像在()0,6上与x 轴有唯一的公共点时，求实数a 的取值范围； （2）当1a =-时，求函数()y f x =在[]0,6上的最大值与最小值．【答案】（1）20a -<≤，或1a =，或24a ≤<；（2）最大值为2903，最小值为1-【解析】 【详解】由已知有()()()222132f x x a x a a =-+++'．（1）由函数()y f x ='的图像与x 轴公共点的横坐标是二次方程()()2221320x a x a a -+++=的实数根得122,3x a x a =+=．下面分三种情形讨论．（i ）当12x x =时，有231a a a +=⇒=．进而，123x x ==是函数()y f x ='的图像在()0,6上与x 轴的唯一公共点，故1a =为所求． （ii ）当12x x >时，有231a a a +>⇒<．进而，213x x <<．又由函数()y f x ='的图像在()0,6上与x 轴有唯一的公共点，得2103x x ≤<<，即3023a a ≤<+<．解得20a -<≤．（iii ）当12x x <时，有21a a a +⇒．进而，213x x >>．又由函数()y f x ='的图像在()0,6上与x 轴有唯一的公共点，得1236x x <≤，即3263a a <+<≤．解得24a ≤<．所以，实数a 的取值范围为20a -<≤，或1a =，或24a ≤<．（2）当1a =-时，有()3212333f x x x x =+-+，且()2230f x x x =+-='的两个根为121,3x x ==-，只有11x =在[]0,6上．则()f x 在[]0,1上单调递减，在[]1,6上单调递增，且()()()220,11,69033f f f ==-=．因此，函数()y f x =在[]0,6上的最大值为2903，最小值为1-．39．（2019·全国·高三竞赛）已知抛物线24y x =上的动点P ，及焦点()1,0F ．求OPF ∆的内切圆半径r 的最大值．【答案】max r =【解析】 【详解】由对称性，不妨设(),04y P y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭.易知，2OPF yS ∆=，且21,1,4yOF PF OP ==+故()1224OPF OF PF OP y f y r S y ∆++==+=. 则()221818'11044f y t t y y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛ =-=-+=> ⎪ ⎝⎝⎭⎝由10t -=，解得32t =.此时，y =从而'0f =⎝⎭，且()'f y 在()0,+∞上单调递增.故()f y在y =.所以，max r =40．（2019·全国·高三竞赛）设1=x a ，2=x b ，()12=1,2,2n n n x x x c n ++++=⋅⋅⋅，其中，a 、b 、c 为给定的实数． （1）求n x 的表达式．（2）问：当c 为何值时，极限+lim n n x →∞存在？如果存在，请求出其值． 【答案】（1）1=x a ，2=x b ，3+3112=,=1++23322232nn a b c a b a bx c x cn c ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中，0,1,2,n =⋅⋅⋅，（2）23a b+ 【解析】 【详解】(1)由题给条件得n n+1n+2+=+2x x x c ，n+1n+2n+3+=+2x xx c ， 则n+2n n+3n+2=2x x x x --，()()n+2n+1n+1n +=2x x x x -- 令n+1n n y x x =-，则n+1n+22n y y y +=① 其中，121=y x x b a =--，212322+=++222x x a b a by x x c x c b c +-=--=+-= 由式①得n+1n n n+1+2+1+122n n n y y y y y y y +--=-= ()()2n+1n n n 11122y y y y -⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()211==2ny y ⎛⎫⋅⋅⋅-- ⎪⎝⎭1=22na b c b a -⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13=+22nc a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()()()+2+2+1n+1n 322=+n n n y y y y y y y y --+⋅⋅⋅+-+()1231111=222222n n a b c a b c -⎡⎤-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-+⋅⋅⋅+-+-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()11132=+122212na b c a b c ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎡⎤⎝⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎝⎭()312=1+322n c a b a b c ⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤-⎛⎫⎣⎦--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12=32223n c a b c ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中，()2121,n n L L +- 故+3+212=32223nn n c a b x x c ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1+2+112=32223n n n c a b x x c -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……4312=32223c a b x x c ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭将以上n 个式子相加得+3311212=13322212nn c a b x x cn ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-++--+ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭211=1332232n c a b cn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故+3112=1++3322232nn c a b a bx cn c ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭② 其中，()2121,n n L L +-，同时对0n =也成立.另外，1=x a ，2=x b ，3=2a bx c ++ （2）由式②知，若0c ≠，则+lim n n x →∞=∞ 若0c =，则+12lim 3223n n a b a b a bx →∞-++⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因此，当且仅当0c =时，+lim n n x →∞存在，且+2lim 3n n a b x →∞+= 41．（2019·全国·高三竞赛）设函数()32f x ax bx cx d =+++的图像T 上有两个极值点P 、Q ，其中，P 为坐标原点.（1）当点Q(1，2)时，求f(x)解析式；（2）当点Q 在圆()()22:231C x y -+-=上时，求曲线T 的切线斜率的最大值.【答案】（1）()3246f x x x =-+；（2）3【解析】 【详解】因为()32f x ax bx d =++，所以，()232f x ax bx c =++.因图像T 上有一极值点P 为坐标原点，所以()00f '=，且()00f =.故c=d=0. （1）当点Q(1，2)时，由()10f '=与()12f =，得3a+2b=0，a+b=2.解得a=-4，b=6.此时，()3246f x x x =-+.（2）因为()232f x ax bx '=+，且由题意点Q 在圆C 上知a<0，所以，曲线T 的切线斜率k的最大值为()f x '的最大值，即2max3b k a=-.设点(),Q m n ，则()0f m '=，且()f m n =. 2320am bm ⇒+=，且32am bm n +=.233,2b m n b a m ⇒=-= 2max 3·32b n k a m ⇒=-= 因为nm 表示过原点且圆C 有公共点的直线的斜率，而过原点且与圆C 有公共点的直线斜率的最大值为2所以2max3·32b nk a m=-=322323⎛+= ⎝⎭故曲线T 的切线斜率最大值为342．（2019·四川·高三竞赛）已知函数f (x )=xlnx －ax 2，a ∈R . （1）证明：当1<x <3时，22()21(3)e ex f x ax x x +-+>-； （2）设函数F (x )=|f (x )|(x ∈[1，e ])有极小值，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）10e a <<或11e 2a << 【解析】 【详解】（1）设2()()2ln 2g x f x ax x x x x =+-+=-+，则()ln g x x '=.当1<x <3时，g '(x )>0，因此，g (x )在(1，3)上单调递增，所以，()(1)1g x g >=； 设()(3)e x h x x =-，则()(2)e x h x x '=-. 当1<x <2时，h '(x )>0； 当2<x <3时，h '(x )<0因此，h (x )在(1，2)上单调递增，在(2，3)上单调递减.。
明德中学高二数学竞赛代数专题之pqr法证明不等式(巩固版)
pqr 法证明不等式一、pqr 证法前面，我们对解决多元不等式问题的方法进行了系统的学习，并且掌握了一些技能解决多元不等式问题。
对于代数不等式，虽然目前联赛主流考察方向为多元不等式或多元极值问题，但是如果解决三元不等式问题水平不行，多元不等式的解决也会受到影响。
目前三元不等式问题，主要是利用重要不等式放缩来解决，需要非常较强的技巧、变形能力、解题意识。
有鉴于此，本讲着重介绍解决一个相当有效但计算繁琐的方法来解决三元对称不等式问题，即为pqr “证法”.（但是这个方法不建议常用，因为三元不等式的训练，主要目的是训练代数中解题变形意识、放缩意识，应用重要不等式的感觉，这些东西一旦消失，将会对我们解决代数问题形成致命性影响）。
证明三元对称不等式(,,)0f x y z ≥时，可先将三元对称式(,,)f x y z 表示成关于,,x y z xy yz xz xyz ++++的初等多项式(,,)G x y z xy yz xz xyz ++++.此时我们令,,x y z p xy yz xz q xyz r ++=++==，则证明(,,)0G x y z xy yz xz xyz ++++≥等价于证明(,,)0G p q r ≥，这样一种证明不等式的方法简称为pqr “证法”。
二、常见三元对称式的pqr 形式为更好使用pqr 方法，需要先具备将三元对称式(,,)f x y z 化成关于,,p q r 的(,,)G p q r 的能力；这里先介绍一些常见的化成p,q,r 的三元对称式，比如:(1)222sysa p q =-∑(2)3333sys a p pq r =-+∑(3)2)3sys abc pq r +=-∑（(4)2222sys a b q pr =-∑(5)4422424sys a p p q q pr =-++∑(6)()a b pq r+=-∏以上只是部分常见的情形，对于其他情形，这就需要具备一定化简变形能力了。
高中数学竞赛专题讲座
高中数学竞赛专题讲座主要涉及高中数学竞赛中的重点、难点和热点问题，旨在提高学生的数学思维能力和解题技巧。
以下是一些高中数学竞赛专题讲座的常见内容：1.集合与容斥原理：集合是数学中基本的概念之一，而容斥原理是集合论中的重要原理之一。
在讲座中，可以介绍集合的基本概念、集合的表示方法、集合的运算、容斥原理等。
2.组合数学：组合数学是数学竞赛中的重要内容之一，包括排列、组合、组合恒等式、组合计数、组合优化等问题。
在讲座中，可以介绍这些问题的解决方法，如递归法、数学归纳法等。
3.数学归纳法及其应用：数学归纳法是一种重要的证明方法，适用于证明与自然数有关的命题。
在讲座中，可以介绍数学归纳法的原理、应用场景和常见问题，如归纳法中的恒等式证明等。
4.数列与数列求和：数列是数学中的重要概念之一，而数列求和是数学竞赛中的常见问题。
在讲座中，可以介绍数列的基本概念、数列的表示方法、数列的通项公式和求和公式等。
5.不等式及其性质：不等式是数学竞赛中常见的问题之一，涉及的知识点较多。
在讲座中，可以介绍不等式的基本性质、基本不等式和常见的解题技巧，如放缩法等。
6.几何证明与解析几何：几何证明是数学竞赛中的重要内容之一，而解析几何是通过代数方法研究几何问题的方法之一。
在讲座中，可以介绍平面几何和解析几何的基本概念、性质和解题方法。
7.概率与统计：概率与统计是数学竞赛中的常见问题之一，包括随机事件的概率、随机变量的分布和统计数据的分析等。
在讲座中，可以介绍这些问题的解决方法，如公式法、模拟法等。
总之，高中数学竞赛专题讲座涉及的知识点较多，需要学生在日常学习中不断积累和巩固基础知识点，提高自己的数学思维能力和解题技巧。
同时，也需要教师根据学生的实际情况和竞赛要求，制定合理的教学计划和教学方法，帮助学生更好地掌握数学竞赛的相关知识和技能。
数学竞赛专题讲座---代数极值
代数极值很长时间以来,代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法.一、条件极值问题例1 设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a +++= ,求1221311111n n n n a a a a a a a a a a -+++++++++++++ 的最小值. 解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将12n a a a +++ 用常数1代换, 得1212111()21122n n a a a a a a a a +++++==+++-- ,同理,21322112n a a a a a +=++++- ,……, 112112n n n a a a a -+=+++- ,令111nini i jj a y a a ===-+∑∑,则12222222ny n a a a +=+++--- . 为了利用柯西不等式,注意到11(2)221nni i i i a n a n ==-=-=-∑∑,则11111(21)(2)22nn ni i i i i in a a a ===-=-⋅--∑∑∑221n i n =⎛⎫= ⎝….∴2221n y n n +-…,即222121n n y n n n -=--….当且仅当 121n a a a n ==== 时,上式等号成立.从而,y 有最小值21nn -.评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件.例2 设1xy =,且0x y >>.求22x y x y+-的最小值.解:由于0x y >>,可设(0)x y y y =+∆∆>,则2222()2()2x y x y xy y x y x y y+-+∆+==--∆….当且仅当y ∆=即22x y ==.因此22x y x y+-的最小值为评注:引进增量起到了降元的作用. 例3 设,,a b c 为正数,且1abc =,求111212121a b c +++++的最小值. 解:设,,(,,)x y z a b c x y z R y z x +===∈,则111212121222y z x a b c y x z y x z++=++++++++. 由柯西不等式得,[(2)(2)(2)]222y z x y y x z z y x x z y x z y x z ⎛⎫+++++⋅++⎪+++⎝⎭2()x y z ++….从而,2()1222[(2)(2)(2)]y z x x y z y x z y x z y y x z z y x x z ++++=++++++++…,即1111212121a b c +++++….当且仅当1a b c ===时去等号.故所求最小值为1.评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可先证明23222333121aa ab c+++…而得到最小值.二、多元函数极值问题例4 设,x y R ∈,求函数22(,)6214672f x y x y xy x y =+---+的最小值. 解:22(,)(7)5(2)3f x y x y y =--+-+,故9,2x y ==时,min 3f =. 评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法.例5 已知非负实数12,,,n x x x 满足112ni i x =∑…,求121(,,,)(1)nn i i f x x x x ==-∏ 的最小值.解:当1221,,,,n n n x x x x x --+ 都为定值时,由于111(1)(1)1()n n n n n n x x x x x x -----=-++,可见,1n n x x --越大,上式的值越小.为此,令11(1,2,,2),,0i i n n n n x x i n x x x x --'''==-=+= , ① 则1111,0n n n n n n n n x x x x x x x x ----''''+=+⋅=<.∴12121(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x -'''------ …其中121212n n x x x x x x '''+++=+++ ….再进行形如①的变换2n -次,即可得 12121(1)(1)(1)1()2n n x x x x x x --->-+++ …,其中等号当1231,02n x x x x ===== 时取得.∴所求最小值为12.评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数. 再看一个逐步调整法的例子.例6 给定实数25a >.对于满足条件55111i i i ix a x ==⋅=∑∑的所有正实数组12345(,,,,)x x x x x ,试求 {}{}1234512345max ,,,,min ,,,,x x x x x x x x x x 的最值.解:由对称性,设12345x x x x x 剟剟,由齐次性,设152341,,,,[1,]x x u x x x u ==∈,2342342341111(,,)(1)(1)a f x x x x x x u u x x x ==++++++++2111+++…,3,10u-,.另一方面,将34,x x看作常数,23422(,,)(,,0)a f x x x xxβαγαβγ==⋅++>.2x>时,f为凸函数,在21x=或2x u=时取得最大值.同理,f在34,1x x=或u时取得最大值.设f取得最大值时,234,,x x x中有k个为u,3k-个为1,0,1,2k=.此时,1(31)(31)kf ku k u ku u=+-+++-++=222(1)3(1)(4)(41)u u u uk ku u u--++-++.f为开口向下的抛物线,对称轴为32k=,故1k=或2时,f取得最大值.23421(,,)(23)(3)6()13a f x x x u uu u∴=++=++ (21)=+,u∴={}{}1234512345max,,,,min,,,,x x x x xx x x xx22,⎡⎤⎛⎢⎥∈⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三、无理函数极值问题例7求函数()f x=.解:由于()f x==令2(3,2),(0,1),(,)A B P x x,则()f x PA PB=-.于是,问题转化为在抛物线2y x=上求一点P,使PA PB-最大.因点A在抛物线下方,点B在抛物线上方,故直线AB和抛物线必相交,交电由方程组2121030y xyx⎧=⎪⎨--=⎪--⎩确定,消去y,得2330x x--=.由于关于x的二次方程的常数项为负,则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边,所以,当P点位于负根所对应的交点位置时,()f x有最大值AB=.评注:本题不必求出交点坐标,从图中也可以看到PA PB-例8求函数()2f x x=+.解:由于()22f x x x =+=+可令1,[,]222x ππθθ-=∈-,则12x θ=.于是5()()11sin()2f x g θθθθϕ===++,其中ϕ=因为[,]22ππθ∈-,故]22ππθϕ+∈+,从而sin()[θϕ+∈,即7()[1]2g θ∈,故min max 7()1()2f x f x =-=. 评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角公式.例9 求函数y =的最小值．解：先求定义域(,0][2,)-∞⋃+∞，注意到两个根号内的函数在(,0]-∞上都递减，在[2,)+∞上都递增，故原函数亦如此．故min min{(0),(2)}1y f f ==．当0x =时取到最小值．评注:运用单调性,简单巧妙.例10 求函数y =解:（构造法）：y =(,1)P x 到定点(1,0),(1,0)A B -的距离之和，故min y =．解法二:y =≥=，当0x =时，两等号同时成立，故min y =．例11 对实数x ，求函数48148)(22----=x x x x x f 的最大值．解：)(x f 的定义域为[6，8]，22)4(168)(--=-=x x x x u ，当6=x 时，12max =u ；22)7(14814)(---=---=x x x x v ，当6=x 时，0max =v ，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=． 解法二：)(x f 定义域为[6，8]，令28)(x x x u -=，4814)(2--=x x x v ，x v u 64822-=-．126480],8,6[≤-≤∴∈x x ， 12022≤-≤∴v u ……（1）．v u y -= ，v y u +=∴代入（1）得：1222≤+vy y ，易知0≥y ，0)7(12≥--=x v ……（2）12222≤+≤∴vy y y ，32≤∴y ，当6=x 时（1）、（2）同时取等号．故)(x f 有最大值3212=．解法三：)(x f 的定义域为[6，8]，686)6(8)(-+-=---=x x x x x x x f ，x -8 ，61-+x x在[6，8]上是减函数，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=．评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若)()()(x v x u x f +=，)(),(x v x u 同时在0x x =处取得最大值，则)(x f 在0x x =处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若)(x f 在闭区间[a,b ]上为单调函数，则)(x f 在端点处取得最值”． 四、分式函数极值问题例12 设,,x y z 是不全为零的实数,求2222xy yzx y z +++的最大值. 解:)222xy yz ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭222222*********a a x y by z x b y z a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….令1122a b a b =+=,解得a b ==.所以2222)xy yz x y z +++….当且仅当105x z ==时等号成立.故2222xy yz x y z +++的最大值为2. 评注:本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标,∴引入参数,a b 作为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使本来较难解决的问题得以顺利解决.例13 对所有,,a b c R +∈,的最小值.解:作代换x y z ===,则,,(0,)x y z ∈+∞.从而,2228a x a bc =+,即22181bc x a =-.同理,222218181,1ac aby b z c -=-=.将以上三式相乘, 得222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若1x y z ++<,则01,01,01x y z <<<<<<. 故222222222111(1)(1)(1)111x y z x y zx y z ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222[()]x x x y z 2->∑∏222[()(2)]y z x y z x y z+++=∏512=.矛盾.所以1x y z ++….从而,当a b c ==时,所求最小值为1.评注:通过整体代换将问题转化为条件最值问题,即在222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的条件下,求x y z ++的最小值.可先从极端情况探求最小值,再运用反证法进行证明.例14 已知,,a b c R +∈,求938432a b cb c c a a b+++++的最小值. 解:对分母进行代换,令3,84,32b c x c a y a b z +=+=+=, 则111131111,,386216461612a x y zb x y zc x y z =-++=-+=+-. 故914191496138432861648a b c y x z x z y b c c a a b x y x z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由均值不等式得 上式1116147461286164848⨯+⨯+⨯-=….当且仅当2,3y x z x ==时等号成立.∴当10,21a c b c ==时,所求最小值为4748.评注:对于分子与分母均为齐次的分时最值问题,一般最易想到运用柯西不等式处理,但有时很难直接奏效,此时,进行分母代换时比较明智的选择.例15 设,,a b c 为正实数,且abc a c b ++=,求222223111p a b c =-++++的最大值. 解:设tan ,tan ,tan a b c αβγ===,,,(0,)2παβγ∈.由abc a c b ++=,得1a cb ac+=-,即tan tan()βαγ=+,从而βαγ=+.故2222cos 2cos ()3cos p αγγ=-++2cos21cos(22)13cos ααγγ=+-+-+22sin sin(2)3cos γαγγ=++22102sin 3cos 33sin 2sin 3γγγγ+=-+剟.因此,当12,sin 23παγγ+==,即24a b c ===时,max 103p =. 评注:巧妙地运用三角函数的公式与性质,可以顺利解决许多分式最值问题.。
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代数极值很长时间以来,代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法.一、条件极值问题例1 设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a +++=,求1221311111nn nn a a a a a a a a a a -+++++++++++++的最小值.解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将12n a a a +++用常数1代换,得1212111()21122n n a a a a a a a a +++++==+++--,同理,21322112na a a a a +=++++-,……, 112112n n n a a a a -+=+++-,令111nini i jj a y a a ===-+∑∑,则12222222ny n a a a +=+++---. 为了利用柯西不等式,注意到11(2)221n ni i i i a n a n ==-=-=-∑∑,则11111(21)(2)22nn ni i i i i in a a a ===-=-⋅--∑∑∑ 2212n i n =⎛⎫-= ⎝∑.∴2221n y nn +-,即222121n n y n n n -=--.当且仅当 121n a a a n ====时,上式等号成立.从而,y 有最小值21nn -. 评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件.例2 设1xy =,且0x y >>.求22x y x y+-的最小值.解:由于0x y >>,可设(0)x y y y =+∆∆>,则2222()2()222x y x y xy yx y x y y+-+∆+==--∆.当且仅当y ∆=即x y ==.因此22x y x y +-的最小值为评注:引进增量起到了降元的作用. 例3 设,,a b c 为正数,且1abc =,求111212121a b c +++++的最小值. 解:设,,(,,)x y z a b c x y z R y z x +===∈,则111212121222y z x a b c y x z y x z++=++++++++. 由柯西不等式得,[(2)(2)(2)]222y z x y y x z z y x x z y x z y x z ⎛⎫+++++⋅++⎪+++⎝⎭2()x y z ++.从而,2()1222[(2)(2)(2)]y z xx y z y x z y x z y y x z z y x x z ++++=++++++++,即1111212121a b c +++++.当且仅当1a b c ===时去等号.故所求最小值为1.评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可先证明23222333121aa ab c+++而得到最小值.二、多元函数极值问题例4 设,x y R ∈,求函数22(,)6214672f x y x y xy x y =+---+的最小值.解:22(,)(7)5(2)3f x y x y y =--+-+,故9,2x y ==时,min 3f =.评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法. 例5 已知非负实数12,,,n x x x 满足112nii x =∑,求121(,,,)(1)nn i i f x x x x ==-∏的最小值.解:当1221,,,,n n n x x x x x --+都为定值时,由于111(1)(1)1()n n n n n n x x x x x x -----=-++,可见,1n n x x --越大,上式的值越小.为此,令11(1,2,,2),,0i i n n n n x x i n x x x x --'''==-=+=, ①则1111,0n n n n n n n n x x x x x x x x ----''''+=+⋅=<.∴12121(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x -'''------其中121212n nx x x x x x '''+++=+++.再进行形如①的变换2n -次,即可得 12121(1)(1)(1)1()2n n x x x x x x --->-+++,其中等号当1231,02n x x x x =====时取得.∴所求最小值为12. 评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数. 再看一个逐步调整法的例子.例6 给定实数25a >.对于满足条件55111i i i ix a x==⋅=∑∑的所有正实数组12345(,,,,)x x x x x ,试求{}{}1234512345max ,,,,min ,,,,x x x x x x x x x x 的最值.解:由对称性,设12345x x x x x ,由齐次性,设152341,,,,[1,]x x u x x x u ==∈,2342342341111(,,)(1)(1)a f x x x x x x u u x x x ==++++++++2111u +++ ⎝,3,(3)10a u a u---+,356a a au-++-.另一方面,将34,x x看作常数,23422(,,)(,,0)a f x x x xxβαγαβγ==⋅++>.2x>时,f为凸函数,在21x=或2x u=时取得最大值.同理,f在34,1x x=或u时取得最大值.设f取得最大值时,234,,x x x中有k个为u,3k-个为1,0,1,2k=.此时,1(31)(31)kf ku k u ku u=+-+++-++=222(1)3(1)(4)(41)u u u uk ku u u--++-++.f为开口向下的抛物线,对称轴为32k=,故1k=或2时,f取得最大值.23421(,,)(23)(3)6()13a f xx x u uu u∴=++=++21=+,1125,626a a au--+-u∴={}{}1234512345max,,,,min,,,,x xx x xx x x xx22,⎡⎤⎢⎥∈⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三、无理函数极值问题例7求函数()fx的最大值.解:由于()fx==.令2(3,2),(0,1),(,)A B P x x,则()f x PA PB=-.于是,问题转化为在抛物线2y x=上求一点P,使PA PB-最大.因点A在抛物线下方,点B在抛物线上方,故直线AB和抛物线必相交,交电由方程组2121030y xyx⎧=⎪⎨--=⎪--⎩确定,消去y,得2330x x--=.由于关于x的二次方程的常数项为负,则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边,所以,当P点位于负根所对应的交点位置时,()f x有最大值AB=评注:本题不必求出交点坐标,从图中也可以看到PA PB-例8 求函数()2f x x=.解:由于()22f x x x =+=+可令1,[,]2222x ππθθ-=∈-,则12x θ=.于是5()()11sin()2f x g θθθθϕ===++,其中ϕ=. 因为[,]22ππθ∈-,故]22ππθϕ+∈+,从而sin()[θϕ+∈,即7()[1]2g θ∈,故min max 7()1()2f x f x ==. 评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角公式.例9 求函数y =的最小值．解：先求定义域(,0][2,)-∞⋃+∞，注意到两个根号内的函数在(,0]-∞上都递减，在[2,)+∞上都递增，故原函数亦如此．故min min{(0),(2)}1y f f ==．当0x =时取到最小值．评注:运用单调性,简单巧妙.例10 求函数y =解:（构造法）：y =(,1)P x 到定点(1,0),(1,0)A B -的距离之和，故min y =．解法二:y =≥=≥0x =时，两等号同时成立，故min y =．例11 对实数x ，求函数48148)(22----=x x x x x f 的最大值．解：)(x f 的定义域为[6，8]，22)4(168)(--=-=x x x x u ，当6=x 时，12max =u ；22)7(14814)(---=---=x x x x v ，当6=x 时，0max =v ，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=． 解法二：)(x f 定义域为[6，8]，令28)(x x x u -=，4814)(2--=x x x v ，x v u 64822-=-． 126480],8,6[≤-≤∴∈x x ， 12022≤-≤∴v u (1)．v u y -= ，v y u +=∴代入（1）得：1222≤+vy y ，易知0≥y ，0)7(12≥--=x v ……（2）12222≤+≤∴vy y y ，32≤∴y ，当6=x 时（1）、（2）同时取等号．故)(x f 有最大值3212=．解法三：)(x f 的定义域为[6，8]，686)6(8)(-+-=---=x x x x x x x f ，x -8 ，61-+x x在[6，8]上是减函数，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=．评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若)()()(x v x u x f +=，)(),(x v x u 同时在0x x =处取得最大值，则)(x f 在0x x =处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若)(x f 在闭区间[a,b ]上为单调函数，则)(x f 在端点处取得最值”． 四、分式函数极值问题例12 设,,x y z 是不全为零的实数,求2222xy yzx y z+++的最大值. 解:)222xy yz ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭222222211112222a a x y by z x b y z a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令1122a b a b =+=,解得5a b ==.所以22252()2xy yz x y z +++.当且仅当105x z ==时等号成立. 故2222xy yzx y z+++评注:本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标,∴引入参数,a b 作为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使本来较难解决的问题得以顺利解决.例13 对所有,,a b c R +∈,+.解:作代换x y z ===,则,,(0,)x y z ∈+∞.从而,2228a x a bc =+,即22181bcx a =-.同理,222218181,1ac ab y b z c -=-=.将以上三式相乘, 得222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若1x y z ++<,则01,01,01x y z <<<<<<. 故222222222111(1)(1)(1)111x y z x y zx y z ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222[()]x x x y z 2->∑∏222[()(2)](2y z x y z yz x y z +++=∏∏512=.矛盾.所以1x y z ++.从而,当a b c ==时,所求最小值为1.评注:通过整体代换将问题转化为条件最值问题,即在222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的条件下,求x y z ++的最小值.可先从极端情况探求最小值,再运用反证法进行证明.例14 已知,,a b c R +∈,求938432a b cb c c a a b+++++的最小值. 解:对分母进行代换,令3,84,32b c x c a y a b z +=+=+=, 则111131111,,386216461612a x y zb x y zc x y z =-++=-+=+-. 故914191496138432861648a b c y x z x z y b c c a a b x y x z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由均值不等式得 上式1116147461286164848⨯+⨯+⨯-=.当且仅当2,3y x z x ==时等号成立.∴当10,21a c b c ==时,所求最小值为4748.评注:对于分子与分母均为齐次的分时最值问题,一般最易想到运用柯西不等式处理,但有时很难直接奏效,此时,进行分母代换时比较明智的选择.例15 设,,a b c 为正实数,且abc a c b ++=,求222223111p a b c =-++++的最大值. 解:设tan ,tan ,tan a b c αβγ===,,,(0,)2παβγ∈.由abc a c b ++=,得1a cb ac+=-,即tan tan()βαγ=+,从而βαγ=+.故2222cos 2cos ()3cos p αγγ=-++2cos 21cos(22)13cos ααγγ=+-+-+22sin sin(2)3cos γαγγ=++22102sin 3cos 33sin 2sin 3γγγγ+=-+.因此,当12,sin 23παγγ+==,即,24a b c ===时,max 103p =. 评注:巧妙地运用三角函数的公式与性质,可以顺利解决许多分式最值问题.。