2020年江西省上饶市横峰中学高2022届高二(课改班)第一学期第一次月考理科数学试题及解析答案

2020～2021学年度江西省上饶市横峰中学高二(课改班)第一学期第一次月考数学(理)试题一、单选题1.平面α⊥平面β,l αβ=,m α⊂,m l ⊥,则( )A.//m βB.m β⊂C.m β⊥D.m 与β相交但不一定垂直 【参考答案】C【试题解析】设m l A ⋂=,在β内,过点A 作n l ⊥,由平面α⊥平面β得到m n ⊥,再利用线面垂直的判定定理判断.如图所示:设m l A ⋂=,在β内,过点A 作n l ⊥, 因为m α⊂,m l ⊥,平面α⊥平面β, 所以m n ⊥,又l n A ⋂=, 所以m β⊥, 故选:C本题主要考查面面垂直的定义,线面垂直的判定定理,属于基础题.2.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( )A.4B.2C.6D.8【参考答案】A【试题解析】求出椭圆的右焦点坐标,再根据抛物线的焦点坐标公式可得.由题意椭圆中,622c =-=,右焦点为(2,0),∴22p=,4p =. 故选:A .本题考查椭圆与抛物线的焦点坐标,属于基础题. 3.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为( )A.7πB.8πC.9πD.10π【参考答案】C【试题解析】由三视图还原出原几何体,然后由圆柱、球的表面积公式求解.由三视图知原几何体是下面一个圆柱上面是四分之一个球, 其表面积为2222111121311419224S ππππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故选:C .本题考查三视图,考查圆柱与球的表面积计算,解题关键是由三视图确定原几何体.4.设,m n R ∈,则“m n >”是112m n-⎛⎫< ⎪⎝⎭的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】C【试题解析】由10()12m nm n m n ->⇔->⇔<,结合充要条件的定义得答案.由10()12m nm n m n ->⇔->⇔<.可得设m ,n R ∈,则“m n >”是1()12m n-<的充要条件.故选:C .本题考查充分必要条件的判定,考查指数函数的性质,是基础题.5.已知抛物线2:C y x =,点P 为抛物线C 上任意一点,则点P 到直线20x y -+=的最小距离为( ) A.1272322 【参考答案】B【试题解析】先设点P 的坐标,再求距离并求最小值即可.设点P 的坐标为()2,m m ,则点P 到直线20x y -+=的距离为2178m⎛⎫-+⎪==≥故选:B.本题考查抛物线上的点到直线的最小距离,是基础题.6.已知12,F F是椭圆的两个焦点,过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两点,若2ABF是正三角形,则这个椭圆的离心率是()【参考答案】A【试题解析】由正三角形特点12||,||AF AF用c表示,结合椭圆的定义,即可求得离心率.2ABF是正三角形,212||||33AF F F∴==,1212||2||,||||23AF AF c AF AF a∴==+==3e∴=.故选:A.本题考查椭圆离心率的求解问题,涉及到椭圆的椭圆的定义;关键是能够利用正三角形的特点求出12||,||AF AF.7.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°【参考答案】B【试题解析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图,根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系,根据点A 处的纬度,计算出晷针与点A 处的水平面所成角.画出截面图如下图所示,其中CD 是赤道所在平面的截线;l 是点A 处的水平面的截线,依题意可知OA l ⊥;AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线,依题意依题意,晷面和赤道平面平行,晷针与晷面垂直,根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒,所以40OAG AOC ∠=∠=︒, 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒,所以40BAE OAG ∠=∠=︒,也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故选:B本小题主要考查中国古代数学文化,考查球体有关计算,涉及平面平行,线面垂直的性质,属于中档题.8.若6(x 展开式中常数项为60.则常数a 的值为( )A.4B.2C.8D.6【参考答案】A【试题解析】直接利用二项式定理计算得到2660C a ⋅=,解得答案.6(x -展开式的通项为:()66321661rrr r r r rr T C x C a x --+⎛=⋅=⋅-⋅⋅ ⎝⎭. 取2r得到常数项为2660C a ⋅=,解得4a =.故选:A .本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.9.由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2必须相邻的五位数的个数是( ) A.32B.36C.48D.120【参考答案】C【试题解析】根据题意,捆绑法将12看做同一元素,再将剩下的3个元素和12这个大的元素全排列即可. 详解:根据题意,捆绑法将12看做同一元素22A , 再将剩下的3个元素和12这个大的元素全排列44A ,最终按照分步计数的方法得到2424A A ＝48. 故答案为:C.点睛:排列与组合问题要区分开,若题目要求元素的顺序则是排列问题,排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素,高考中常见的排列组合问题还有分组分配问题,即不同元素分到不同组内时,通常先分组后分配.10.已知双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22152x y +=有相同的焦点,则41m n +的最小值为( ) A.2B.3C.4D.5【参考答案】B【试题解析】由题意求出m n +的值,结合不等式的知识可得41m n+的最小值.解:由题意双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22152x y +=有相同的焦点,523m n ∴+=-=,41141141()553333n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++⋅+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,当且仅当4n mm n=即2m n =时等号成立, 故41m n+的最小值为3, 故选:B.本题主要考察椭圆、双曲线的性质及基本不等式性质的应用,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力,属于中档题.11.已知双曲线()2222:10,0xy C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,以2OF 为直径的圆M 与双曲线C 相交于,A B 两点,其中O 为坐标原点,若1AF 与圆M 相切,则双曲线C 的离心率为( )【参考答案】C【试题解析】分析:首先根据题中的条件,确定出圆的半径的大小,根据数轴上的点的坐标,求得13,22c cAM MF ==,根据直线与圆相切,求得相关的线段长,在直角三角形中,求得111cos 3AMF MA F M ∠==,利用诱导公式,结合余弦定理,求得2AF ==,最后利用离心率的公式求得结果.详解:根据题意,有13,22c cAM MF ==, 因为若1AF 与圆M 相切,所以122F AF π∠=,所以由勾股定理可得1AF =,所以111cos 3AMF MA F M ∠==, 所以21cos 3AMF ∠=-,由余弦定理可求得222162()44223c c c c AF c=+-⋅⋅⋅-=,所以,232622623ce ac c +===-,故选C. 点睛:该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题,在解题的过程中,需要借助于双曲线的定义,结合题中所涉及的焦点三角形,利用直线与圆的有关性质,利用余弦定理求得相关的量,求得结果.12.矩形ABCD 中,22BC AB ==,N 为边BC 的中点,将ABN 沿AN 翻折成1B AN △(1B ∉平面ABCD ),M 为线段1B D 的中点,则在ABN 翻折过程中,下列命题:①与平面1B AN 垂直的直线必与直线CM 垂直; ②线段CM 的长为32; ③异面直线CM 与1NB 所成角的正切值为12; ④当三棱锥1D ANB -的体积最大时,三棱锥1D ANB -外接球表面积是4π. 正确的个数为( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个【参考答案】C【试题解析】①根据//CM 平面1AB N ,即可判断;②通过线段相等CM NE =,可求出线段NK 的长;③异面直线CM 与1NB 的所成角为1ENB ∠,求出其正切值即可;④找出球心,求出半径即可判断其真假,从而得出正确答案的个数. 解:如图,取1AB 的中点为,E AD 的中点为F ,连接1,,,EN EM FN B F ,则四边形CNEM为平行四边形,直线//CM 平面1AB N ,所以①正确;2CM NE ===,所以②错误; 因为//CM EN ,异面直线CM 与1NB 的所成角为1ENB ∠,11tan 2ENB ∠=,所以③正确;当三棱锥1D ANB -的体积最大时,平面1B AN 与底面ABCD 垂直,可计算出1B D ,11AB =,22211AB B D AD +=,所以190AB D ∠=︒,同理90AND ∠=︒,所以三棱锥1D ANB -外接球的球心为F ,半径为1,外接球表面积是4π,④正确. 所以①③④正确. 故答案为:C.本题考查翻折过程中点线面的位置关系,注意翻折过程中的不变量,考查了相关角度,长度,体积的计算,考查直观想象、运算能力,属于较难题目.二、填空题13.命题“x ∃∈R ,212x x +<”的否定是_______. 【参考答案】x ∀∈R ,212x x +≥【试题解析】原命题为特称命题,其否定为全称命题.“x ∃∈R ,212x x +<”的否定是x ∀∈R ,212x x +≥ 故答案为:x ∀∈R ,212x x +≥本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词:全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词; (2)否定结论:对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 14.已知()()()()238238012381111x x x x a a x a x a x a x ++++++++=+++++,则0128a a a a ++++=_______.【参考答案】510【试题解析】在等式中令1x =,利用等比数列求和公式可求得0128a a a a ++++的值.在等式()()()()238238012381111x x x x a a x a x a x a x ++++++++=+++++中,令1x =可得()82380128212222251012a a a a -++++=++++==-.故答案为:510.本题考查利用赋值法求各项系数和,同时也考查了等比数列求和,考查计算能力,属于中等题.15.某同学同时掷两颗均匀正方形骰子,得到的点数分别为a ,b ,则椭圆22221x ya b+=的离心率2e >的概率是__________. 【参考答案】13【试题解析】由椭圆22221x y a b +=的离心率2e >,可得224a b >或224b a >,掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ,b ,共有36种情况,将满足不等式的情况一一列举出来,利用古典概型求解即可.由椭圆22221x y a b +=的离心率e >可得当a b >时,c e a==>即得224a b >;当a b <时,c e b ==>即得224b a >. 同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ,b ,共有6636⨯=种情况, 满足上述关系的有:(3,1),(1,3),(4,1),(1,4),(5,1),(1,5),(5,2),(2,5),(6,1),(1,6),(6,2),(2,6)共12种情况, 所以概率为:121363=. 故答案为13.本题主要考查了古典概型的计算及椭圆离心率的计算,但要注意椭圆的焦点在哪个轴上,需讨论a 和b 的大小,属于易错题.16.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,AB AC ⊥,6AB =,8AC =,D 是线段AC 上一点,且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上,过点D 作球O 的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π,则球O 的表面积为__________. 【参考答案】112π【试题解析】由题意一条侧棱垂直于底面,补成三棱柱,若所得截面圆的面积的最小值时截面与OD 垂直,所得截面圆的面积最大值时过球心,分别求出两种情况的半径,进而求出面积的和,求出球的半径,进而求出表面积.解:将三棱锥补成知三棱柱,且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球O .设三角形ABC 的中心为O ',设外接球的半径为R ,球心O 到平面ABC 的距离为x ,即OO x '=,连接O A ',则5O A '=,2225R x ∴=+,在三角形ABC 中,取AC 的中点E ,连接O D ',O E ',则132O E AB '==,124DE AC ==,O D '∴=在Rt △OO D '中,OD 由题意得当截面与直线OD 垂直时,截面面积最小, 设此时截面半径为r ,则2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=, 所以截面圆的面积为212r ππ=,当截面过球心时,截面圆的面积最大为2R π,21216R πππ∴-=, 所以228R =,所以表面积24112==S R ππ,故答案为:112π.本题考查球的表面积的求法,考查三棱锥的外接球与棱长的关系即球的表面积公式等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.三、解答题17.已知椭圆C 的焦点1F (－220)和2F (220),长轴长6. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的中点坐标.【参考答案】(Ⅰ)2219x y +=(Ⅱ)91-55（，） 【试题解析】(1)设椭圆C 的方程为:()222210x y a b a b+=>>,由题意及a,b,c 的平方关系即可求得a,b 值;(2)联立方程组消去y 可得关于x 的一元二次方程,设A ()11,x y ,B ()22,x y ,由韦达定理可求12x x +的值,进而可得中点横坐标,代入直线方程即可求得纵坐标 试题解析:(Ⅰ)由已知得22c =26a =22231a b a c ∴=∴=-=22C 19x y ∴+=椭圆的标准方程为(Ⅱ)1122A ,,(,)x y B x y 设（）2222{103627019y x x x x y =+++=+=由整理后得121112122218522{42591-55x xy xy y x xy xAB∴+=-=+∴+=++==+∴又的中点坐标为（，）【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程18.如图,四棱锥P ABCD-的底面是边长为2的菱形,PD⊥底面ABCD.(1)求证:AC⊥平面PBD;(2)若2PD=,直线PB与平面ABCD所成的角为45,求四棱锥P ABCD-的体积.【参考答案】(1)证明见解析;(243【试题解析】(1)通过AC⊥BD与PD⊥AC可得AC⊥平面PBD;(2)由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角,即∠PBD＝45°,则可先求出菱形ABCD的面积,进而可得四棱锥P- ABCD的体积.解:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,又因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC,又PD BD D⋂=,故AC⊥平面PBD;(2)因为PD⊥平面ABCD,所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角,于是∠PBD＝45°,因此BD＝PD＝2.又AB＝AD＝2,所以菱形ABCD的面积为sin6023S AB AD︒=⋅⋅=故四棱锥P- ABCD的体积1433V S PD=⋅=.本题主要考查空间线、面关系等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力,是基础题.19.已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角,a 、b 、c 分别是其对边长,向量(),m a b c =+,()sin sin ,sin sin n B A C B =--,且m n ⊥.(1)求角A 的大小;(2)若2a =,求ABC ∆面积的最大值.【参考答案】(1)3A π=;(2【试题解析】(1)由m n ⊥得出()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B +-+-=,利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出cos A 的值,结合角A 的取值范围可得出角A 的大小;(2)利用余弦定理结合基本不等式可求出bc 的最大值,再利用三角形的面积公式可得出答案. (1)(),m a b c =+,()sin sin ,sin sin n B A C B =--,m n ⊥,()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=,由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=,整理得222b c a bc +-=,2221cos 22b c a A bc +-∴==,0A π<<,3A π∴=;(2)在ABC ∆中,3A π=,2a =,由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-,由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥,当且仅当b c =时等号成立,4bc ∴≤,11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⨯=因此,ABC ∆本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了三角形面积最值的计算,涉及基本不等式以及正弦定理边角互化思想的应用,考查计算能力,属于中等题.20.已知()323nx x +展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中含有4x 的项; (2)求展开式中二项式系数最大的项.【参考答案】(1)490x ;(2)4390T x =,1334270T x =【试题解析】(1)先求出n ,再利用通项公式求展开式中含有4x 的项;(2)展开式共6项,二项式系数最大项为第三、四项,即可求展开式中二项式系数最大的项;解:令1x =得展开式各项系数和为4n ,二项式系数为012n n nn n C C C ++⋯+=, 由题意得:42992n n -=,解得5n =, (1)()5323x x +通项公式为103153rr r r T C x++=令10=23r+,2r ∴=,∴224435390T C x x ==. (2)5n =,∴展开式共6项,二项式系数最大项为第三、四项,∴224435390T C x x ==,13133333453270T C x x ==本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.21.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AB CD ,AB AD ⊥,PA ⊥底面ABCD ,E 为BP 的中点,2AB =,1PA AD CD ===.(1)证明://EC 平面PAD ; (2)求二面角E AC P --的正弦值.【参考答案】(1)证明见解析;(2)6. 【试题解析】(1) 将线面平行转化为线线平行证明;作辅助线,取AP 的中点F ,连EF ,DF ,证明//EC FD 即可;(2)根据题目可知P A 、PB 、PD 两两垂直,可建立空间直角坐标系,利用平面法向量求解出二面角E AC P --的余弦值,进一步求解出正弦值.(1)证明:如图,取AP 的中点F ,连EF ,DF ,∵BE PE =,PF AF =, ∴11//,22EF AB EF AB = ∵在直角梯形ABCD 中, ∴11//,22CD AB CD AB =, ∴//,CD EF CD EF =, ∴四边形EFDC 为平行四边形, ∴//EC FD∵DF ⊂平面PAD ,EC ⊄平面PAD ,//EC FD , ∴//EC 平面PAD ,(2)∵PA ⊥平面ABCD ,AB AD ⊥, ∴AP ,AB ,AD 两两垂直,以A 为原点,AB ,AD ,AP 向量方向分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标如下:(0,0,0)A ,(0,0,1)P ,(1,1,0)C ,(2,0,0)B ,11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭设平面APC 的法向量为(),,m x y z =由(0,0,1)AP =,(1,1,0)AC =,有00AP m z AC m x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩,取1x =,则1y =-,0z =,即(1,1,0)m =-设平面EAC 的法向量为(),,n a b c =由(1,1,0)AC =,11,0,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭,有0102AC n a b AE n a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩, 取 1x =,则1y =-,2z =-,即(1,1,2)n =--所以3cos ,326m n <>==⨯ 故二面角E AC P --的正弦值为1613-=.本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体几何中求二面角的应用,属于中档题目,解题中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标,计算比较繁杂,对运算能力要求较高,需要准确计算.22.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)6以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切. (1)求C 的方程;(2)直线y x m =+交C 于()11,M x y ,()22,N x y 两点,且12x x >.已知l 上存在点P ,使得PMN 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形,若P 在直线MN 的右下方,求m 的值.【参考答案】(1)2213x y +=;(2)1-【试题解析】(1)由C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切求出b ,再由离心率和,,a b c 关系,可求出椭圆标准方程;(2)将直线y x m =+与椭圆方程联立,消元整理,由根与系数关系,得到12,,x x m 的两个关系式,再从已知条件寻找12,,x x m 第三个等量关系,根据已知结合平面图形,可得NP x ∥轴,过M 作NP 的垂线,垂足为Q ,则Q 为线段NP 的中点,得()12,Q x y ,进而有()1222,P x x y -,代入直线l 方程,得到12,,x x m 等量关系,求解关于12,,x x m 方程组,即可求出m .(1)依题意,1b ==,因为离心率c e a====,解得a =所以C 的标准方程为2213x y +=.(2)因为直线y x m =+的倾斜角为45︒,且PMN 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形,P 在直线MN 的右下方,所以NP x ∥轴,过M 作NP 的垂线,垂足为Q ,则Q 为线段NP 的中点, 所以()12,Q x y ,故()1222,P x x y -,所以()12232450x x y -+-=,即()()12232450x x x m -++-=, 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+>,解得22m -<<,所以1232x x m +=-,② ()212314x x m =-,③ 由①-②得,112mx =-,④ 将④代入②得21x m =--,⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭,解得1m =-.综上,m 的值为1-.本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,直线和圆的位置关系等基础知识,意在考查数学运算和逻辑推理,属于中档题.。