高中数学 2.4 线性回归方程(第1课时)教案 新人教版必修3
高中数学《线性回归方程》教案
线性回归方程教学目标:（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法； （2）掌握散点图的画法及在统计中的作用； （3）掌握回归直线方程的实际应用。
教学重点: 线性回归方程的求解。
教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。
教学过程: 一、复习练习1．下例说法不正确的是（ B ）A.在线性回归分析中，x 和y 都是变量；B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x 不能由y 唯一确定;C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系;D.相关关系是一种非确定性关系.2．已知回归方程81.05.0ˆ-=x y,则x =25时, y 的估计值为__11.69____. 3．三点)24,11(),20,7(),10,3(的线性回归方程是 （ D ） A x y 75.175.1ˆ-= B x y 75.575.1ˆ+=C x y 75.575.1ˆ-=D x y 75.175.1ˆ+=4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型１:x y 46+=：；模型２：e x y ++=46． （１）如果1,3==e x ，分别求两个模型中y 的值； （２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型． 解 (1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18; 模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.(2)模型１中相同的x 值一定得到相同的y 值.所以是确定性模型；模型２中相同的x 值，因 δ不同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。
二、典例分析例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：零件个数x （个） 10 20 30 40 50 607080 90 100加工时间y （分）62 68 75 81 89 95 102 108 115 122请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：1010102211155,91.7,38500,87777,55950i i i i i i i x y x y x y ========∑∑∑1011022211055950105591.70.66838500105510i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑91.70.6685554.96a y bx =-=-⨯≈因此，所求线性回归方程为0.66854.96y bx a x =+=+ 例2、已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：x45 42 46 48 42 35 58 40 39 50y6.53 6.30 9.527.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.598.72x (血球体积,ml )，y （红血球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程并画出图形．解：1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++=1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++=7.37设回归直线方程为y bx a =+则10110221100.17510i ii ii x y x yb xx==-==-∑∑ a y bx =-= -0.418所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x =-例3、以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋的大小x 的数据：房屋大小x （2m ） 80 105 110 115] 135 销售价格y （万元）18.42221.624.829.2（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（３）计算此时(,)Q a b 和(2,0.2)Q 的值，并作比较． 解：（1）(2)55115,545,109,116,23.2,i i i i n x x y y =======∑∑5521160952,12952ii i i i xx y ====∑∑25129525451160.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=≈=-⨯≈⨯-所以,线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+ (3) (1.8166,0.1962) 5.171,(2,0.2)7.0Q Q ≈≈由此可知,求得的 1.8166,0.9162a b ==是函数Q(a,b)取最小值的a ,b 值.三、课堂练习1.为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲乙两位同学各自独立做了10次和15次实验,并且利用线性回归直线分别为1l ,2l ,已知两人获得的实验数据中,变量x 和y 的数据平均值都相等,且分别为s,t 那么下例说话正确的是( )A ．直线1l 和2l 一定有公共点(s,t)B ．直线1l 和2l 相交,但交点不一定是(s,t)销售价格y（万元）05101520253035050100150销售价格y（万元）C ．必有1l // 2lD ．1l 和2l 与必定重合2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2．23．85．56．57．0设y 对x 程线性相关关系．试求：（1）线性回归方程ˆy bx a =+的回归系数a,b ； （2）估计使用年限为10年时，维修费用多少？四、回顾小结：求线性回归方程的步骤：(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，计算与的积，求，计算，，∑∑∑x y ii 22(4)将上述有关结果代入公式，求b ，a 写出回归直线方程． 五、课外作业： 课本第82页第9题．。
高中数学教案必修三：2.4 线性回归方程(2)最新修正版
教学目标：1．了解非确定性关系中两个变量的统计方法；2．掌握散点图的画法及在统计中的作用；3．掌握回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、复习练习1．已知回归方程ˆ0.50.81=-，则x＝25时，y的估计值为y x3,10,(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ D ）2．三点()A．ˆ 5.75 1.75=+y x=-B．ˆ 1.75 5.75y xC．ˆ 1.75 5.75=+y x=- D．ˆ 5.75 1.75y x3．我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下：模型1：64=++．y x ey x=+；模型2：64（1）如果3,1==，分别求两个模型中y的值；x e（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解：（1）模型1：6464318=+=+⨯=；y x模型2：64643119y x e =++=+⨯+=（2）模型1中相同的x 值一定得到相同的y 值，所以是确定性模型；模型2中相同的x 值，因δ的不同，所得y 值不一定相同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型．二、数学运用 1．例题讲解．例1 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性 回归方程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有 线性相关关系．由测得的数据表可知：1010102211155,91.7,38500,87777,55950i i i i i i i x y x y x y ========∑∑∑∴ 1011022211055950105591.70.66838500105510i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑ 91.70.6685554.96a y bx =-=-⨯≈，因此，所求线性回归方程为0.66854.96y bx a x =+=+．例2 已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：x(血球体积,ml)，y（红血球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程且画出图形．解：（1）（2）1(45424648423558403950)44.50 10x=+++++++++=，1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y=+++++++++＝7.37，设回归直线方程为y bx a=+，则10110221100.17510i iiiix y x ybx x==-==-∑∑，a y bx=-0.418-，所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x=-图形：说明：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b的计算公式，算出,a b．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的步骤：计算平均数,x y ；计算i x 与i y 的积，求i i x y ∑；计算2i x ∑；将结果代入公式求b ；用a yb x =-求a ；写出回归直线方程．2．巩固深化，反馈矫正．（1）下面是南京市与哈尔滨2001年12个月的月平均气温（单位：︒C ）试分析这两个城市的月平均气温是否具有相关关系，若有，求出线性回归方程；若没有，说明理由．（2）已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料：设y 对x 程线性相关关系．试求：①线性回归方程ˆy bx a =+的回归系数,a b ；②估计使用年限为10年时，维修费用多少？三、归纳整理，整体认识 求线性回归方程的步骤： 1. 计算平均数 x y ， ； 2. 计算x i 与y i 的积，求i i x y ∑； 3. 计算∑x i 2，y i 2 ；4. 将上述有关结果代入公式，求b ，a ，写出回归直线方程．5.。
高一数学必修三课件第章线性回归方程
01
02
03
变量
在某一过程中可以取不同 数值的量。
自变量
能够影响其它变量，而又 不受其它变量影响的变量 。
因变量
依赖于其它变量，而又不 能影响其它变量的变量。
散点图及其特点
散点图
用点的密度和变化趋势表示两指 标之间的直线和曲线关系的图。
特点
能直观表现出影响因素和预测对 象之间的总体关系趋势。
线性回归方程定义
通过绘制自变量和因变量的散点图，观察数据点 分布形态，若呈现非线性形态，则可能存在非线 性关系。
曲线拟合
根据散点图形态，选择合适的曲线类型进行拟合 ，如二次曲线、指数曲线、对数曲线等。
3
变换自变量或因变量
通过对自变量或因变量进行变换，如取对数、平 方、开方等，将非线性关系转化为线性关系。
可化为线性关系非线性模型
一致性
随着样本量的增加，线性回归方程 的系数估计值会逐渐接近真实值。
预测值与置信区间估计
预测值
根据回归方程和给定的自 变量值，可以计算出因变 量的预测值。
置信区间
通过构造置信区间，可以 对预测值进行区间估计， 表示预测值的可靠程度。
置信水平
置信水平表示了置信区间 包含真实值的概率，常用 的置信水平有95%和99% 。
在数据采集过程中，可能存在某些自变量 被重复测量或高度相关的情况。
变量设计问题
样本量问题
在变量设计时，可能存在某些自变量之间 存在固有的高度相关性。
当样本量较小而自变量较多时，也容易出 现多重共线性问题。
识别和处理多重共线性方法
观察自变量间的相关系数
如果两个自变量间的相关系数很高，则可能存在多重共线性 。
案例二
高中数学第2章统计2.4线性回归方程(1)教案苏教版必修3
2.4 线性回归方程 1整体设计教材分析在实际问题中，变量之间关系有两类：一类是确定性关系，变量之间关系可以用函数表示.例如，正方形面积S与边长a之间就是确定性关系，可以用函数s=a2表示.还有一类是非确定性关系，例如“学生数学成绩与物理成绩之间关系〞“粮食产量与施肥量之间关系〞“商品销售额与广告费支出之间关系〞“人体脂肪百分比与年龄之间关系〞等贴近学生实际问题，它不能由一个变量数值准确地确定另一个变量数值.像这种自变量取一定值时，因变量取值带有一定随机性，这样两个变量之间关系，我们称之为相关关系.“线性回归方程〞这一节是为了帮助我们了解变量之间相关关系，使学生学会区别变量之间函数关系与变量相关关系，从而到达正确判断实际生活中两个变量之间相关关系并会作出变量相关关系散点图；通过散点图直观性，看各点是否在某条直线附近摆动来为判断两个变量之间相关关系打下坚实根底.通过对人体脂肪百分比与年龄之间关系散点图分析，引入描述两个变量之间关系线性回归方程〔模型〕，使学生通过探索用多种方法确定线性回归直线，学会类比寻求新突破方法，体会最小二乘法思想，掌握计算回归方程斜率与截距方法，求出回归直线方程.通过典型求解，强化回归思想建立，理解回归直线与观测数据关系. 通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会类比寻求新突破方法，体会最小二乘法思想，培养学生创新精神，不断收取信息，学会用统计知识对实际问题进展数学分析.通过课堂目标检测到达强化所学知识点，提高学生对现代化教学工具应用能力.三维目标1.通过实例，使学生感受到现实世界中变量之间除了函数关系外，还存在着虽无确定函数关系，但却有一定关联性相关关系，相关关系是一种非确定性关系.2.通过收集实际问题中两个有关联变量数据作出散点图，直观认识变量间相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关过程，运用最小二乘法思想，发现可用线性回归方程近似地表示两个具有相关关系变量之间关系，并能根据给出线性回归方程系数公式建立线性回归方程.重点难点教学重点：1.会区别变量之间函数关系与变量相关关系；会举例说明现实生活中变量之间相关关系.2.会作散点图，并由此对变量间关系作出直观判断，会求回归直线.教学难点：1.对变量之间相关关系理解；变量之间函数关系与变量相关关系区别.2.了解最小二乘法思想，能根据给出线性回归方程系数公式建立回归方程.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课〔多媒体播放四个问题，组织学生分析、思考〕问题1：将汽油以均匀速度注入桶里，注入时间t与注入油量y 如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间函数关系式为________________.问题2：圆面积S与半径r之间函数关系式为________________.问题3:小麦产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间关系如下表：从表里数据能得出小麦产量y与施肥量x之间函数关系式吗？问题4：人体重y与身高x之间有什么关系呢？分析问题1：因为是以均匀速度注入桶里，所以注入油量y与注入时间t成正比例关系，由表格数据知，注入油量y与注入时间t之间函数关系式为y=2x(x≥0).因为是实际问题，所以要特别注意自变量取值范围要有实际意义.分析问题2：这是大家熟悉面积公式，所以圆面积S与半径r之间函数关系式为S=πr2(r>0).第1、2两个问题中变量间函数关系是确定，在我们现实生活，两个变量之间存在确定性关系是极少，而两个变量之间存在不确定性关系是很普遍，那么问题3中两个变量之间是确定性函数关系，还是不确定性关系呢？学生甲分析问题3：此问中两个变量之间是确定性函数关系，设为y=kx+b，当x=10时，函数值y为420；当x=20时，函数值y 为440，代入可得函数关系式为y=2x+400(x≥0).学生乙：学生甲答复是错误，假设函数关系式为y=20x+400(x≥0)，当x=30时，函数值为460，而不是470.但是可以感觉到施肥量越大，小麦产量就越高.教师分析：从表格里容易发现施肥量越大，小麦产量就越高.但是，施肥量并不是影响小麦产量唯一因素，小麦产量还与土壤质量、降雨量、田间管理等诸多因素影响有关，更何况当施肥量超出一定范围时，还会造成小麦倒塌，以致颗粒无收.这时两个变量之间就不是确定性函数关系，那么这两个变量之间终究是什么关系呢？这就是我们本节课所要研究问题——变量之间相关关系.(引入新课，书写课题)推进新课新知探究由学生举出现实生活中相关关系例子，教师归纳概念！1.变量之间有一定联系，但不能完全用函数来表达，即当自变量一定时，因变量取值带有一定随机性两个变量之间关系称为相关关系.相关关系是非随机变量与随机变量之间关系，函数关系是两个非随机变量之间关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系〔有因果关系，也有伴随关系〕.通过上述三个问题请学生思考相关关系与函数关系有什么区别与联系？相关关系与函数关系异同点如下：一样点：均是指两个变量关系.不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间关系，这种关系是两个非随机变量关系；而相关关系是非随机变量与随机变量关系.注意：问题3中小麦产量是在土壤质量、降雨量、田间管理等诸多变量共同作用下结果，本节课只研究其中两个主要变量之间相关关系.我们只能得出经历性结论：施肥量越大，小麦产量就越高.但是经历再丰富，也容易犯经历性错误.施肥量过大，反而容易造成粮食减产.由学生解决问题4, 人体重y与身高x之间是一种非确定关系相关关系，因为，一般说来，身高越高，体重就越重，而无法写出具体函数关系.应用例如例1 某班学生在一次数学测验与物理测验中，学号1到20学生成绩如下表：从表里数据你能得出什么样经历性结论呢？分析：即是考虑两门学科成绩之间是否具有一定相关关系.解：数学成绩好同学那么物理成绩就好，反之，数学成绩差同学那么物理成绩就差.点评：注意，只是问“得出什么样经历性结论〞，并不完全绝对.例2 下面提供四个问题，让各组同学共同探究：第一小组探究问题是：调查一下本组所有成员视力与各自学习成绩关系.第二小组探究问题是：商品销售额与广告费支出之间关系.第三小组探究问题是：调查一下本组所有成员身高与各自体重之间关系.第四小组探究问题是：气温上下与空调销售量间关系.分析：根据变量相关关系讨论.解：第一小组：通过对本组所有成员调查我们得到结论是：学习成绩好同学视力都不太好，都佩带了近视眼镜，但是，我们发现这个结论对我们全班来说就不成立，例如，我们班第一名同学视力却是很棒，所以我们只能说学习成绩好同学视力一般都不太好，人视力还与用眼卫生习惯、遗传因素等有密切关系.第二小组：通过本组所有成员共同探讨，我们得到结论是：商品销售额与广告费支出之间有密切关系，但商品销售额不仅与广告费支出多少有关，还与商品质量、居民收入以及售后效劳质量等诸多因素有关.第三小组：通过对本组所有成员调查我们得到结论是：身材高同学体重一般来说大多都比拟大，但是，人体重还与饮食习惯、遗传因素等有密切关系.第四小组：通过本组所有成员共同探讨，我们得到结论是：气温上下与空调销售量之间有密切关系，但空调销售量不仅与气温上下有关，还与空调质量、居民收入以及售后效劳质量等诸多因素有关.点评：通过此例使学生养成考虑问题要多方面思考习惯.例3 以下两个变量之间关系哪个不是函数关系〔〕解析：利用变量函数关系与相关关系解决问题.角度与它余弦值是一个确定函数关系y=cosx；正方形边长与面积：s=a2；正ｎ边形边数与它内角与：s=(n-2)×180°，而人年龄与身高具有相关关系.答案：D点评：函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间关系，这种关系是两个非随机变量关系，而相关关系是非随机变量与随机变量关系.例4 “强将手下无弱兵〞可以理解为将军本领越高，他手下士兵本领也越高.那么，将军本领与士兵本领成什么相关关系？你能举出更多描述生活中两个变量相关关系成语吗？分析：这是与生活、生产、工作、学习息息相关相关关系，语言功底好同学更显优势.解：此题与“名师出高徒〞相对应.另外举例有：水涨船高.点评：此题加强了与其他学科联系，学生会对数学很有亲切感.知能训练1.在一次对人体脂肪含量与年龄关系研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，人体脂肪含量与年龄之间有怎样关系？2.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶杯数与当天气温比照表：根据上述数据，气温与热茶销售量之间有怎样关系？解答：1.观察表中数据，大体上来看，随着年龄增加，人体中脂肪百分比也在增加.2.观察表中数据，大体上来看，气温越高，卖出去热饮杯数越少.点评：使学生学会全面考察现实生活中变量之间相关关系，并为下一节课作铺垫.课堂小结(让学生进展小结，帮助他们回忆反思、归纳概括.)1.变量之间相关关系；2.变量之间函数关系与变量相关关系区别；3.学会全面考察现实生活中变量之间相关关系.作业阅读、预习课本中本节下一局部内容.举出生活中具有相关关系例子.设计感想通过生活中存在相关关系一些典型事例，如“学生数学成绩与物理成绩之间关系〞“粮食产量与施肥量之间关系〞“商品销售额与广告费支出之间关系〞等贴近学生实际问题，介绍与函数关系不同两个变量之间相关关系，在教学设计时，通过复习变量之间函数关系引出变量相关关系，由熟悉到生疏过程便于学生理解，同时分成四个小组同学共同探究以下四个问题：〔1〕调查一下本组所有成员视力与各自学习成绩关系；〔2〕商品销售额与广告费支出之间关系；〔3〕调查一下本组所有成员身高与各自体重之间关系；〔4〕气温上下与空调销售量间关系.通过讨论来强化学生对所学内容理解.。
高中数学2.4《线性回归方程》第1课时教案(苏教版必修3)
线性回归方程第1课时【学习导航】学习要求1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系。
线性回归方程的求法。
2．会画出一组数据的散点图，并会通过散点图判断出这组数据是否具有线性关系。
【课堂互动】自学评价在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示，另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达2.建立平面直角坐标系，将数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图(scatter diagram)3．在散点图中如果点散布在一条直线的附近，可用线性函数近似地表示x 和y 之间的关系。
选择怎样的直线我们有下列思考方案： (1)选择能反映直线变化的两个点(2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧点的个数基本相同(3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别 算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距4．用方程为a bx y+=ˆ的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。
用最小二乘法来求a 、b 的原理和方法 见教科书P725.能用直线方程a bx y+=ˆ近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linear correlation) 6.设有(x,y)的n 对观察数据如下：当a,b 使+--=211)(a bx y Q2222)()(a bx y a bx y n n --+⋯+--取得最小值时，就称a bx y+=ˆ为拟合这n 对数据的线性回归方程(linear regression equation),将该方程所表示的直线称为回归直线。
6．用书上的方法3，可求得线性回归方程a bx y+=ˆ中的系数： 2112111)())((∑∑∑∑∑=====--=ni i n i i ni i n i i n i i i x x n y x y x n ba =xb y - (*)7．用回归直线进行拟合的一般步骤为：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近(2)如果散点在一条直线附近，用上面的公式求出a,b,并写出线性回归方程【精典范例】例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由。
线性回归方程教案
线性回归方程1.下列关系中，是相关关系的为（填序号）.①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.2.为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是（填序号）.①直线l1,l2有交点（s,t) ②直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t)③直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行④直线l1,l2必定重合3.下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线yˆ=bˆx+aˆ及回归系数bˆ,可以估计和预测变量的取值和变化趋势.④任一组数据都有回归直线方程其中正确命题的序号是 .4.已知回归方程为yˆ=0.50x-0.81,则x=25时，yˆ的估计值为 .5.观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是 .6.回归方程yˆ=1.5x-15,则下列说法正确是 .①y=1.5x-15 ②15是回归系数a③1.5是回归系数a ④x=10时，y=07.某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为yˆ=8.25x+60.13,下列叙述正确的是 .①该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm②该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm③该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm④利用这个模型可以准确地预算该地区每个2～9岁儿童的身高8.三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是 .9.某人对一地区人均工资x(千元）与该地区人均消费y(千元）进行统计调查，y与x有相关关系，得到回归直线方程yˆ=0.66x+1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为 .10.某化工厂为预测产品的回收率y ,需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系,现取8对观测值,计算,得∑=81i ix=52,∑=81i iy=228,∑=812i i x =478,∑=81i ii yx =1 849,则其线性回归方程为 .11.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.其中，具有相关关系的是 .12.已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元），有如下统计资料：若y 对x 呈线性相关关系，则回归直线方程yˆ=b ˆx +a ˆ表示的直线一定过定点.13 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据.（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程yˆ=b ˆx +a ˆ； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)3.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？（3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？一、填空题二、解答题9.期中考试结束后，记录了5名同学的数学和物理成绩，如下表：（1）数学成绩和物理成绩具有相关关系吗？（2）请你画出两科成绩的散点图，结合散点图，认识（1）的结论的特点.10.（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线.11.某公司利润y与销售总额x(单位：千万元）之间有如下对应数据：（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）估计销售总额为24千万元时的利润.,12.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据:（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？。
高中数学线性回归概念教案
高中数学线性回归概念教案1. 理解线性回归的基本概念和原理2. 掌握线性回归的计算方法和应用技巧3. 能够通过实例理解线性回归在实际问题中的应用教学重点：1. 线性回归的定义和特点2. 最小二乘法求解线性回归方程3. 线性回归在实际问题中的应用教学难点：1. 线性回归的计算方法和应用技巧2. 如何通过实例理解线性回归在实际问题中的应用教学准备：1. 教学课件2. 实例数据3. 计算工具、软件教学内容：一、线性回归的定义和特点1. 线性回归是一种用于分析变量之间线性关系的统计方法2. 线性回归模型可以表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε3. 线性回归的基本假设包括线性关系、正态分布、独立性等二、最小二乘法求解线性回归方程1. 最小二乘法是一种常见的求解线性回归方程的方法2. 最小二乘法的核心思想是使残差平方和最小化来求解回归系数3. 求解线性回归方程的步骤包括建立模型、计算回归系数、评估模型等三、线性回归在实际问题中的应用1. 线性回归可以用于预测和控制变量之间的关系2. 实际问题中的线性回归应用包括销售预测、市场分析等3. 通过实例数据进行线性回归分析，可以更好地理解线性回归的应用技巧和方法教学步骤：1. 引入线性回归的基本概念和原理，并进行概念讲解2. 通过实例数据演示最小二乘法求解线性回归方程的方法3. 分组讨论，学生分析实际问题中的线性回归应用4. 带领学生进行实例数据分析和线性回归计算5. 总结课程内容，答疑解惑教学评估：1. 学生课堂表现2. 课后作业完成情况3. 学生对线性回归应用的理解和运用能力教学反思：1. 教学内容是否贴近实际应用2. 学生对线性回归的理解程度和应用能力3. 教学方法和手段是否合理有效。
高三数学 线性回归 第一课时
高三数学线性回归第一课时一、教学目标：1．明确两个变量具有相关关系的意义；2．知道回归分析的意义；3．知道回归直线、回归直线方程、线性回归分析的意义；4．掌握对两个变量进行线性回归的方法和步骤，并能借助科学计算器确定实际问题中两个变量间的回归直线方程；5．培养学生形成运用数据进行推断的能力；6．让学生体会从特殊到一般的辩证思想方法．二、教学重点：了解线性回归的基本思想和方法；教学难点：线性回归的基本思想方法和计算．三、教学用具：幻灯机或多媒体四、教学过程：1．引入新课S （确定关系）引先引入函数关系再引入相关关系间由正方形面积S与其边长x之间的函数关系2x入一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系（非确定关系），从而引入新授内容．2．（板书）相关关系与回归分析（1）相关关系进一步分析水稻产量与施肥量的关系，得出相关关系的概念．（板书）自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系．不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．引导学生列举现实生活中相关关系的例子．（2）回归分析（板书）对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性．（3）散点图首先用小黑板或幻灯给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：再同时给出各对数据在平面直角坐标系中表示的点．（板书）表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图．散点图形象地反映了各对数据的密切程度． 3．回归直线方程（1）求回归直线方程的思想方法先引导学生观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近．并问学生，类似图中的直线可画几条？显见，可画出不止一条类似的直线．那么，其中的哪一条直线最能代表变量x 与y 之间的关系呢？ 引导学生分析，最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征：即n 个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：设所求的直线方程为a bx y +=∧，其中a 、b 是待定系数． 则 ),,2,1.(n i a bx y i i =+=∧．于是得到各个偏差 ),,2,1).((n i a bx y y y i i i i =+-=-∧．显见，偏差∧-i i y y 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度．记 ∑=--=ni iia bx y Q 12)(（向学生说明∑=ni 1的意义）．上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值（课前布置学生看阅读材料）．即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====..)())((2121121x b y a x n x xy n y x x x y y x x b ni i ni i i n i i n i i i 其中∑∑====ni i n i i y n y x n x 111,1．在此基础上，给出回归直线方程、回归直线、线性回归分析的概念．最后，向学生指出，对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a 、b ，求出回归直线方程即可．不要求掌握回归直线方程的推导过程．（2）回归直线方程的求法让学生用计算器对前面列表中的数据进行具体计算，列成以下表格提问：列表计算的优点是什么？故可得到 ,2573075.43.399,75.430770003.399307871752≈⨯-=≈⨯-⨯⨯-=a b 从而得回归直线方程是.25775.4+=∧x y最后请一位学生画出回归直线，并求出35=x 时，y 的估计值．例 一个工厂在某年里每月产品的总成线y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下一组对应数据：（1）画出散点图；（2）求月总成本y 与月总产量x 之间的回归直线方程． 讲解上述例题时，（1）可由学生完成；对于（2），可引导学生列表，按∑∑∑===→→→→→→→12112121212i i i i i i ii i i i y x y xy x y x y x 的顺序计算，最后得到.974.0,215.1≈≈a b 即所求的回归直线方程为.974.0215.1+=∧x y若条件允许，可借助几何画板向学生演示本题，即画出散点图，并求出回归直线方程． 讲解上述例题后，要求学生完成下面问题：在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对应的一组数据：（1）画出散点图；（2）试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程． 略解：（1）散点图．呈直线形．（2）经计算可得∑∑∑========11111121112.13910,5442,36750,45.19,36.46i i i i ii iy t y t y t.3.036.46113675045.1936.4611139101111221112111≈⨯-⨯⨯-=⨯-⨯-=∑∑==tt tyyt b i i i ii .542.536.463.045.19≈⨯-=-=t b y a故所求的回归直线方程为.542.53.0+=∧t y 让学生做课后练习题． 4．课堂小结本节课要求准确理解相关关系的概念，并在此基础上，了解回归分析与散点图的含义，了解回归直线方程推导的思路，会利用a 、b 的公式求出回归直线方程，利用回归直线方程去估值．六、布置作业： 教科书第41页第1题．。
高二数学教案：《线性回归》
存感激，永不放弃！即使是在最猛烈的风雨中，我们也要有抬起头，直面前方的勇气。
下面为您推荐高二数学教案：《线性回归》。
【教案一】教学目标【知识和技能】1.能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系。
2.会画散点图，并能利用散点图判断是否存在回归直线。
3.知道如何系统地处理数据。
掌握回归分析的一般步骤。
4.能运用Excel表格处理数据，求解线性回归直线方程。
5.了解最小二乘法的思想，会根据给出的公式求线性回归方程。
6.培养收集数据、处理数据的能力；对具有相关关系的一组变量中应变量发展趋势的预测估计能力。
【过程和方法】1.使学生在经历较为系统的数据处理的全过程中学会如何处理数据。
2.提高学生运用所学知识与方法、运用现代化信息技术解决实际问题的能力。
【情感、态度和价值观】1.认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值，感受生活离不开数学。
2.体验信息技术在数学探究中的优越性。
3.增强自主探究数学知识的态度。
4.发展学生的数学应用意识和创新意识。
5.培养学生的严谨、合作、创新的学习态度和科学精神。
【教学重点、难点】线性回归分析的基本思想；运用Excel表格处理数据，求解回归直线方程。
【教学课型】多媒体教案，网络课型教学内容学生已经学习了初步的统计知识，如抽样方法，对样本进行特征量（均值、方差）分析；具备一定的比较、抽象、概括能力；具备基本计算机操作技能；对现实生活中的线性相关关系有一定的感性认识。
线性回归问题涉及的知识有：描点画散点图，一次函数、二次函数的知识，最小二乘法的思想及其算法问题，运用Excel表格处理数据等。
教学资源教师围绕本课知识设计一个问题（如小卖部热珍珠奶茶的销售问题），这个问题必须应用所预期的学科知识才能解决，又与学生的先前经验密切相关。
教师准备四个教学教案：学生阅读（幻灯片）、教师讲解（幻灯片）、课堂练习（Excel）、线性回归直线的探究（几何画板）。
每位同学带好课本和教师预期分发的一份学案。
高中数学线性回归教案
高中数学线性回归教案教学目标：
1. 了解线性回归的基本概念和原理；
2. 学会使用最小二乘法进行线性回归分析；
3. 掌握线性回归模型的建立和应用。
教学重点：
1. 理解线性回归的意义；
2. 学会求解线性回归模型中的系数；
3. 掌握线性回归模型的应用。
教学难点：
1. 学会使用最小二乘法求解线性回归系数；
2. 理解线性回归模型的推导过程。
教学准备：
1. 教师准备PPT讲解线性回归的基本概念和原理；
2. 课堂上需要使用电脑进行实例演示；
3. 学生需要准备笔记本记录重要知识点。
教学过程：
1. 引入：通过实例引入线性回归的概念；
2. 讲解线性回归模型的建立和求解过程；
3. 使用最小二乘法进行线性回归模型的求解；
4. 通过实例演示线性回归模型的应用；
5. 总结线性回归的主要知识点。
教学延伸：
1. 学生可以通过实际数据进行线性回归分析；
2. 学生可以进一步了解多元线性回归和非线性回归。
课堂反馈：
1. 学生通过实例演示线性回归的能力；
2. 学生通过习题练习线性回归的应用。
教学资源：
1. 电脑和投影仪；
2. 练习题目和实例数据。
教学评价：
1. 通过课堂表现评价学生对线性回归的掌握情况；
2. 通过作业评价学生对线性回归的应用能力。
线性回归教学设计
线性回归教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）体会最小二乘法和回归分析的思想；（2）能根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 2、过程与方法目标（1）经历代数法寻求回归直线方程的过程；（2）体验用计算器或工作表软件得出回归直线方程的过程． 3、情感态度与价值观通过对数据的分析和处理，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，体会数学应用的广泛性．二、重点难点重点：了解最小二乘法思想，会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 难点：体会最小二乘法和回归分析的思想．三、教学方法：问题探究式和启发式教学方法四、教学工具：科学计算器、Excle 工作表软件以及多媒体电脑展示设备五、教学过程：1．复习引入首先展示学生上节课得出的不同直线． 然后呈现问题组一问题1： 如何评价这些直线拟合的优劣程度以及标准的合理性？ 问题2：试文字语言概括最优拟合直线的标准．说明：学生可能在对得出的不同直线评价其优劣性以及标准的合理性时会提出很多不同的标准，为了防止漫无目的，教师对直线优劣性的判断提出一些基本要求，如尽可能考虑到全部数据，体现整体性，尽可能便于数学计算等，并通过对标准的逐步修正，引导学生得出最优直线的标准：从整体上看，各点与此直线最贴近． 2．探求新知给出概念：我们把整体上最贴近已知数据点的直线叫做回归直线．设回归直线方程为bx a y +=ˆ，其中b 叫做回归系数．坐标点),(i i y x 表示第i 个样本点，坐标点)ˆ,(y x i 表示回归直线方程bx a y +=ˆ上的点，点),(i i y x 和点)ˆ,(y x i 的偏离差记作)ˆ(y y i -，问题组二问题1：如何从代数的角度刻画“从整体上看，各点与此直线最贴近”？问题2：∑=-ni iyy1)ˆ(能反映这些数据点与直线的贴近程度吗？，该怎么规避呢？问题3：比较∑=-ni iyy1|ˆ|和∑=-ni iyy12)ˆ(，在“使各点与此直线的总偏离差最小”的判断上可以等同吗？我们一般选择哪一个代数式作为我们研究的对象，为什么？说明：1、学生可能会把“从整体上看，各点与此直线最贴近”理解为：“各点与此直线的离差之和最小”，这样既是求代数式∑=-ni iyy1)ˆ(的最小值．这时我们给出问题2，学生可能会想到加绝对值，也可能会想到平方．此时给出问题3．因为学生在初二下学期的统计学中的“数据的波动分析”中学习了方差的概念，并在课后的阅读与思考：“数据波动的几种度量”中了解了差的绝对值的和∑=-ni iyy1|ˆ|与差的平方和∑=-ni iyy12)ˆ(．所以在这里学生不难理解其等同性，这时可以给学生说明：为了计算方便，我们通常选择差的平方和∑=-ni iyy12)ˆ(作为研究对象来求最小值．通过三个问题的设置，逐步引导学生利用最小二乘法来求回归直线方程．2、如果有学生在问题1中把“从整体上看，各点与此直线最贴近”理解为“各点与此直线的距离之和最小”，这样既是求距离和∑=ni id1的最小值．在这里可以给学生从形的角度来解释一下（PPT ），通过图形我们看到，距离和∑=ni id1与差的绝对值的和∑=-ni iyy1|ˆ|成比例关系，所以二者在判断“整体上各点与此直线最贴近”上是等同的，为了计算方便，我们通常选择差的平方和∑=-ni iyy12)ˆ(作为研究对象来求最小值．这时给学生指出：这种使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法．这样就把学生从定性的观察引导到了定量的分析，不仅完成了几何问题代数化的过程，而且在三个问题的引导下体会到了最小二乘法的思想． 问题组三问题1：怎样用最小二乘法求回归直线方程中的b a ,？问题2：回归直线方程中的b a ,的公式为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==x b y a x n x y x n y x b ni i ni i i ˆˆˆ1221如何更好的认识和应用公式求出回归直线方程？说明：1、教材没有给出公式的具体推导过程，在这里我们通过一个具体的例子来推导一下： 以教材74页例1为例，即：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的量x 的前3个值带入待定的直线方程bx a y +=ˆ,得到相应的3个ˆy 的值:b a b a b a 13,18,26+++，这3个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和2132156278811431169)1334()1824()2620()ˆ()ˆ()ˆ(22222233222211+--++=--+--+--=-+-+-=a b ab a b b a b a b a y y y y yy Q先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当1169571394ab -=时, Q 取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当b a 1926-=时, Q 取得最小值.因此,当558.6,023.1≈-≈a b 时，Q 取的最小值,此时回归直线方程为x y023.1558.6ˆ-=． 这是根据具体实例，利用二次函数求最值的方法来求得了Q 取最小值时b a ,的值，通过这个特例，让学生简单了解了用最小二乘法求得回归直线方程中b a ,的值的过程，既避免了直接给出公式的唐突，又不用花费大量的时间进行冗繁的推理，而对于一般情况下的推导可以鼓励学生在课后自己尝试推导．并告诉学生，在选修2-3的相关章节中，我们会给出另外一种推导方式．2、通过特例了解了如何用最小二乘法求得回归直线方程中b a ,的值后，我们直接给出一般情况下的系数公式， 由于公式比较复杂，因此在运用这个公式求b a ,时，必须要有条理，先求什么，再求什么．这里可以分析b 中分式的各个组成部分，让学生熟悉每一个数据，以便求解．3、引导学生再观察回归直线方程，发现回归直线一定通过样本点中心),(y x ，在不确定问题探讨中出现的确定性的性质，再次激发学生的探究欲望，而此问题的探究，使得学生在“回归直线是两个变量具有相关关系的代表”的理解上，上升到“回归直线过双变量样本点的中心”这一高度，深化对回归直线和回归思想的理解，完成学生认知结构的再次建构． 3．应用新知：例1 在某种产品表面进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度Y 与腐蚀时间x 之间相应的一组观察值如下表：（1）画出表中数据的散点图；（2）试求Y 对x 的回归直线方程；（结果保留到小数点后3位数字） （3）试预测腐蚀时间为100s 时腐蚀深度是多少？ 问题组四：问题1、回归系数b ˆ的意义是什么？问题2、预测腐蚀时间为100s 时的腐蚀深度准确吗？你怎么理解回归方程的预测功能？ 说明：1、这是教材的一个例题，在求回归直线方程时，我们采用的方法是：把数据列成表格，代入公式分别计算b a ,的值，进而求出回归直线方程．通过本例，教师带领学生一起来应用公式，求出回归直线方程．不仅让学生在学以致用中加深对公式结构的理解和认识，而且通过第三问的预测，体现了回归直线方程的应用价值．2、通过问题1，让学生在具体实例中对回归系数b ˆ再认识，强化了学生对数据的实际意义的认识．问题2的设置，让学生在实例中正确认识回归方程的预测功能，体会到了回归直线的应用价值．3、在学生通过具体实例，掌握了根据给出的系数公式建立回归直线方程的方法后，鼓励学生尝试使用函数型计算器（参考教材例3）和Excle 工作表软件（详细过程参见附录）来处理数据求得回归方程．需要说明的是，课标的要求是：能根据给出的线性回归方程系数公式求出线性回归方程．所以必须要让学生掌握方法一．方法二和方法三并没有用到课本所给出的公式．但是方法二和三的介绍会给学生在处理实际问题时带了很大的方便，为下一节课作好铺垫．4．小结和作业：小结：了解最小二乘法思想，会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 作业：课本第79页练习A第1题；习题2-3第1题．说明：通过小结和作业，进一步明确本节课的目标，突出了教学重点． 六、教学反思1、关于本单元的教学设计是2个课时还是4个课时的思考．在进行本单元的教学设计时，我们遇到了到底安排几个课时进行教学的问题，如果把统计理解为了解概念、会使用公式解题，那么2个课时就足够了．但是课标要求通过实际问题学习统计知识，强调让学生通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，本节虽然知识内容不多，但引入新知识的过程中承载着新的数学方法，再加上这节内容是统计必修内容的最后一节，实际上需要综合运用前面的知识，为了让学生真正动起来，提升学生运用统计知识解决实际问题的能力，正确理解统计推断的结论，在实际的教学中我安排了4个课时进行教学．2、关于如何通过几何问题代数化的过程让学生体会最小二乘法的思想的思考．如何把“从整体上看，各点与此直线最贴近”用合适的代数式刻画并化简，化几何问题为代数问题，是顺利了解“最小二乘法思想”的前提；要了解“最小二乘法思想”，还必须要求对给出的系数公式的来源进行一定的说明．而如何化简复杂的代数式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也很高．知识发展的要求与学生能力和经验的欠缺成为本节课遇到的最大矛盾．在教学中，我认为要防止两种倾向：一是直接套用公式求解回归方程而回避说理过程；二是过多纠缠于数学刻画过程，甚至在课堂内花大量时间对回归系数公式进行推导．这两种倾向，都脱离了课标的要求，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本节课的教学目标；后者人为拔高教材要求，偏离了本节课教学的重难点．基于此，我在教学中通过问题组的设置一步步引导学生完成几何问题代数化，并通过特例，利用二次函数求最值的方法来求得了Q 取最小值时b a ,的值，突破了本节课的难点． 3、关于合理使用计算器的意义的思考．使用计算器降低了计算的难度，就可以给学生安排更多的动手操作的机会，从而使学生的活动集中于解决问题之中，这样就会使学生淡化回归直线系数公式的记忆，更多的思考如何处理数据，以及对回归方程的推断作用进行更多的全面的思考，这也符合课标对学习统计学的要求．。
2018版高中数学必修三课件：第二章 2-4 线性回归方程 精品
来说，当求得其线性回归方程后，
可以用一种确定性的关系对这两个
变量间的取值进行评估；②相关关
系在现实生活中大量存在，从某种 意义上讲，函数关系是一种理想的 一般的情况
之间即是一种非确定性的关系； 也可能是伴随关系
②相关关系不一定是因果关系，关系模型，而相关关系是一种更为
知识点二 1.回归直线
①正方体的棱长与体积；
②角的度数与它的正弦值；
③单产为常数时，土地面积与粮食总产量；
④日照时间与水稻的单位产量. 解析 函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系， 但是这两种 关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是 一种确定性的关系. 因为①V＝a3，②y＝sin α，③y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均 是函数关系.④是相关关系.
之间有如0
4
40
5
60
6
50
8
70
(1)画出散点图； 解 散点图如图所示.
解析答案
(2)求线性回归方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3
如图是我国 2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量 ( 单位：
亿吨)的折线图：
注：年份代码分别对应年份2008～2014
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与t 的关系，请用相关系数
第2章 统 计
§ 2.4 线性回归方程
学习 目标
1.理解两个变量的相关关系的概念.
2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性
相关关系. 3.会求线性回归方程.
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2017-2018学年数学必修3教学案：第1部分 第2章 2-4 线性回归方程 含解析 精品
房地产涨价一直是受关注的民生问题之一，以下是某房地产开发商在2013年前两季度销售的新楼盘中的销售价格y(单位：万元)与房屋面积x(单位：m2)的数据.问题1：在平面直角坐标系中，以x为横坐标，y为纵坐标作出表示以上数据的点．提示：问题2：从上图中发现x，y有何关系？是函数关系吗？提示：从图中发现x逐渐增大时，y逐渐增大，但有个别情况．不是函数关系．1．变量间的常见关系(1)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系．(2)相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．2．散点图从一个统计数表中，为了更清楚地看出变量x与变量y是否有相关关系，常将x的取值作为横坐标，将y的相应取值作为纵坐标，将表中数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，我们称这样的图形叫做散点图.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：问题1：判断气温与杯数是否有相关关系？ 提示：作散点图可知具有相关关系．问题2：若某天的气温是－5℃，能否根据这些数据预测小卖部卖出热茶的大体杯数？ 提示：可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．1．线性相关关系：能用直线y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系．2．线性回归方程： 设有n 对观察数据如下：当a ，b 使Q ＝(y 1－122n n a )2取得最小值时，就称方程y ^＝bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤： (1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近． (2)如果散点在一条直线附近，用公式⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1n x 2i－n x2＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n (x i－x )2a ＝y －b x求出a ，b ，并写出线性回归方程．1．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量x 与水稻的产量y .当自变量x 每取一确定值时，因变量y 的取值带有一定的随机性，即还受其他环境因素的影响．2．用最小平方法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可用散点图判断)．否则求出的线性回归方程是无意义的．[例1]关于人体的脂肪含量(百分比)与年龄关系的研究中，得到如下一组数据：(1)将上表中的数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现年龄与脂肪含量近似成什么关系吗？(3)若成线性相关关系，请你画一条直线近似地表示这种线性关系．[思路点拨]作出散点图判断相关关系．[精解详析](1)以年龄作为x轴，脂肪含量为y轴，可得相应散点图，如图所示．(2)从散点图可以发现，年龄与脂肪含量之间具有线性相关关系，且是正相关的．(3)画出的一条直线如上图．[一点通]判断变量间有无线性相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性相关的．1．根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________．(填“是”或“否”)解析：从散点图看，形状呈团状，无任何规律，故不具有线性相关关系．答案：否2．5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：解：以x 轴表示数学成绩，y 轴表示化学成绩，可得相应的散点图如右图所示．由散点图可知，两者之间具有线性相关关系且是正相关．[例2] (12分)假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (单位：万元)有如下的统计资料：若由资料知y (1)线性回归方程y ^＝bx ＋a 的系数a ，b ；(2)使用年限为10年时，试估计维修费用是多少．[思路点拨] 根据公式求b ，代入a ＝y －b x 求a 并判断． [精解详析] (1)∵x ＝4，y＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x y ∑i ＝15x 2i －5x2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23.(6分)a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08. (8分)(2)线性回归方程是y ^＝1.23x ＋0.08，当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38， 所以估计使用10年时维修费用是12.38万元． (12分)[一点通]1．求线性回归方程的一般步骤是： (1)画出散点图，判断是否具有相关关系．(2)计算x ，y，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1n x i y i . (3)代入公式计算b 、a 的值． (4)写出线性回归方程．2．利用回归直线可以预测，若回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则x ＝x 0处的估计值为y ^＝bx 0＋a .(注意：估计值并不一定是真实值．)3．本例条件不变，试探究：(1)所求的回归直线必过(x ，y )点吗？(2)若设备的使用年限x 每增加一年，则所支出的维修费用y 如何变化？ 解：(1)由线性回归方程y ^＝1.23x ＋0.08，又x ＝4，y ＝5， 验证知必过(x ，y )点．(2)由线性回归方程知，使用年限每增加一年维修费用就提高1.23万元．4．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ^＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60. ∴y ＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：685．以下是江苏省某城镇收集到的新房屋的销售价格y 和房屋的大小x 的数据：(1)(2)求回归方程；(3)估算一下96 m 2的房价． 解：(1)散点图如图所示．(2)n ＝5，∑i ＝15x i ＝545，x ＝109，∑i ＝15y i ＝116，y ＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952.b ＝5i ＝1x i y i －5x y5i ＝1x 2i －5x2＝12 952－5×109×23.260 975－5×1092＝154785 ≈0.196 2，a ＝y －b x ＝23.2－154785×109≈1.816 6.∴回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)当x ＝96时，y ^≈20.7.因此，96 m 2的新房屋大约为20.7万元．用线性回归方程估计总体的一般步骤：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a 、b ，并写出线性回归方程； (3)根据线性回归方程对总体进行估计．课下能力提升(十四)一、填空题1．已知x ，y 之间的一组数据为：则回归直线y ^＝bx ＋a 必过点________．解析：x ＝32，y ＝4，∴y ^＝bx ＋a 必过点(32，4)．答案：(32，4)2．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1,2,3…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y ＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：83．已知某工厂在2013年每月产品的总成本y (万元)与月产量x (万件)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝1.215x ＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加________万元．解析：由y ^1＝1.215x 1＋0.974， y ^2＝1.215(x 1＋4)＋0.974， 得y ^2－y ^1＝1.215×4＝4.86(万元)． 答案：4.864．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a 为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．解析：x ＝7，y ＝41.6，则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)． 答案：155．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：×103 kJ)几组对应的数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________．解析：由y ＝0.7x ＋0.35，得2.5＋t ＋4＋4.54＝0.7×3＋4＋5＋64＋0.35，故11＋t4＝3.5，即t ＝3. 答案：3 二、解答题6．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示.(1)作出散点图；(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程． 解：(1)如下图．(2)由(1)知y 和x 线性相关． 设回归直线方程为y ^＝bx ＋a . 由题意，得x ＝12.5，y ＝8.25，4i ＝1x 2i ＝660，4i ＝1x i y i ＝438. 所以b ＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a ≈8.25－0.73×12.5≈－0.88，所以y ^＝0.73x －0.88.7．某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：(1)(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少？(3)假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少件？ 解：(1)设x 表示每月产量(单位：千件)，y 表示单位成本(单位：元)，作散点图．由散点图可知y 与x 间具有线性相关关系， 设线性回归方程为：y ^＝bx ＋a .∵b ＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x2≈－1.82，a ＝y －b x ≈77.37，∴线性回归方程为y ^＝－1.82x ＋77.37.(2)由线性回归方程知，产量每增加1 000件，单位成本下降1.82元． (3)当x ＝6时，y ＝－1.82×6＋77.37＝66.45， 故当产量为6 000件时，单位成本为66.45元． 当y ＝70时，x ≈4.049.故当单位成本为70元时，产量约为4 049件．8．一台机器由于使用时间较长，但还可以用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果.(1)(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)画出散点图，如图．(2)x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y ∑i ＝14x 2i －4x2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6，a ＝y －b x ≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 所以线性回归方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. (3)要使y ^≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10， x ≤14.901 9.所以机器的转速应控制在15 rad/s 以下．。
人教版高中数学必修三 第二章 统计“直线的回归方程”教学设计
“直线的回归方程”教学设计第一部分：教学准备1、教材分析学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用。
教材地位和作用：本节是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。
为以后更好地研究结合教材特点情，特制定三维教学目标如下：2、目标定位（1）、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解（2）、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。
②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。
（3）、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。
利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣。
3、教学重点、难点重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。
教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
4、教学媒体设计本节课涉及大量数据计算及分析，用传统方法很难突破，故我主要采用电子表格和几何画板，通过学生动手操作、教师动画演示、师生合作交流来突出重点、突破难点。
学生学习效果有明显提高。
第二部分：教学设计：一、创设情境导入新课师：我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。
生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？让学生举例，教师总结如：生：不是。
师：能否举出反例？比如，年龄与身高。
生：身高与体重生：教师水平与学生成绩。
2.4 线性回归方程
-1
杯数
20
24
34
38
50
64
如果某天的气温是-50C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖处热茶 的杯数吗？
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn
若上面数据满足线性相关关系，那么 y bx a
则称为这n个数据的线性回归方程.
其中
n
n
n
n
xi yi
xi
yi
b
i 1
i 1
i 1
n
n
i 1
20
10 -5 0
E DC
B A
5 15 25 35 x
答：都分布在同一条直线的附近.
象这样能用直线方程 y bx来表a示两个变量之间的相关关系我
们把它称为线性相关关系.
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的系， 随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气 温的对照表：
气温
26
18
13
10
4
高中数学 必修3
思考下列问题：
两个变量之间的常见关系有几种？
（1）确定性的函数关系,变量之间的关系可以用函数表示. （2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示.
A 1.球的体积和球的半径具有（ ）
A.函数关系
B.相关关系
C.不确定关系
D.无任何关系
D 2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
50
64
气 26 18 13 10 4 -1
温
y
杯 20 24 34 38 50 数
为了了解热茶销
售与气温的大致关系，
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江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（第1课时）教
案新人教版必修3
教学目标：
1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；
2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；
3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．
教学重点：
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
教学难点：
回归直线方程的求解方法．
教学方法：
引导发现、合作探究．
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．
二、学生活动
提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？
（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；
（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．
说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
如果某天的气温是5-0
C ，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？ 我们有多种思考方案：
（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；
（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ……
怎样的直线最好呢? 三、建构数学 1．最小平方法：
用方程为ˆy
bx a =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线 与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy
bx a =+与图中六 个点的接近程度呢？
我们将表中给出的自变量x 的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy
的值: 26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越
接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和
22222
2
(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)
Q a b b a b a b a b a b a b a =+-++-++-++-++-+-+-
21286b =26140382046010172a ab b a ++--+
说明： (,)Q a b 是直线ˆy
bx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量直线ˆy
bx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的 值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.
先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当1403820
21286
a b -=-
⨯时, Q
取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当140460
12
b a -=-
时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012
a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨
-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y
x =-+.当5x =- 时,ˆ66y
≈,故当气温为5-0
C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：
像这样能用直线方程ˆy
bx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).
3．线性回归方程：
一般地,设有n 个观察数据如下：
当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就
称ˆy
bx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）, 该方程所表示的直线称为回归直线．
上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即
结论：11122
11()()()n n n
i i i i i i i i i i i n x y x y b n x x a y bx
=====⎧
-⎪
⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==n
i i y n y 1
1 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求． 四、数学运用
例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动 车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线 性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．
1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103
t ）试分别估计
1996年和2004年我国居民生活污水排放量． 2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：
（1）画出散点图； （2）求线性回归方程． 五、归纳整理，整体认识
1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数
,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨
防计算中产生错误．
2.求线性回归方程的步骤：
①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求
∑i i y x ；③计算∑2
i x ；④将结果代入公
式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。