高中数学直线与双曲线位置关系
高中数学理科2-1A 知识讲解 直线与双曲线的位置关系理
(2)∵双曲线 的焦点为(±2 ，0)，∴设所求双曲线方程为： ，
又点(3 ，2)在双曲线上，∴ ，解得a2＝12或30(舍去)，
∴所求双曲线方程为 .
【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲Fra bibliotek方程的基本步骤。
举一反三：
【变式1】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为y＝± x，则该双曲线的离心率为()
举一反三：
【变式1】过原点的直线l与双曲线 =－1交于两点，则直线l的斜率取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【变式2】直线y=x+3与曲线－ x·|x|+ y2=1的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
例3.过点 与双曲线 有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
若 即 ，
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线 交双曲线 于点 两点，则
= =
同理可得
这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
,
双曲线的中点弦问题
【思路点拨】
显然采用过P点的直线方程与双曲线方程 联立的方法，但要注意直线斜率不存在的情况要先判断。
【解析】若直线的斜率不存在时，则 ，此时仅有一个交点 ，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为 则 ，
，∴ ，
，
当 时，方程无解，不满足条件；
当 时， 方程有一解，满足条件；
当 时，令 ，化简得： 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条 和 。
直线与双曲线的位置关系(PPT)
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
• 2.直线与双曲线的位置关系 • 例2(1)若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且 只有一个交点，则k的值为 . • 【方法指导】(1)中直线y＝kx－1与双曲线x2－ y2＝1有且只有一个交点说明直线与双曲线不 仅仅相切，还有可能相交.
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直线与双曲线的位置关系
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直线与双曲线的位置关系
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直线与双曲线的位置关系
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直线与双曲线的位置关系
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直线与双曲线的位置关系
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直线与双曲线的位置关系
• 1.在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦 定理、双曲线定义来解题.解题过程中，常对定义式两 边平方探求关系. • 2.(1)研究直线与双曲线位置关系问题的求法 • 将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元 二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于 某支上一点，这时直线平行于一条渐近线;当二次项系 数不等于0时，用判别式Δ来判定. • (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题， 但需要检验.
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直线与双曲线的位置关系
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直线与双曲线的位置关系
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直线与双曲线的位置关系
• 预学3:直线与双曲线位置关系的判断 • (1)直线与双曲线的位置关系有相交、相切、 相离三种情况. • 思考:直线与双曲线有一个公共点是直线与双 曲线相切的必要不充分条件，为什么?
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直线与双曲线的位置关系
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直线与双曲线的位置关系
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直线与双曲线的位置关系
高中数学 选修1-1 18.直线与双曲线的位置关系
18.直线与双曲线的位置关系
教学目标 班级_____姓名________
1.了解直线与双曲线的位置关系.
2.掌握双曲线中弦长问题的解法.
教学过程
一、直线与双曲线的位置关系.
1.直线与双曲线的位置关系.
（1）相交：①有两个交点:交点在双曲线同一支或交点在双曲线两支上；
②有一个交点；（直线与渐近线平行时）
（2）相切：直线与双曲线相切，只有一个交点.（直线只能与双曲线的一支相切）
（3）相离：直线与双曲线无交点.
2.分析直线与双曲线的位置关系.
（1）通过斜率分析.（已知直线恒过定点）
（2）通过∆分析.（注意特殊情况）
3.弦长公式.
设直线方程m kx y +=，直线与双曲线相交，两交点分别为),(11y x A ，),(22y x B . 则
（1）2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=（联立方程，消y ，应用韦达定理）；
（2）2122124)(11||y y y y k
AB -+⋅+
=（联立方程，消x ，应用韦达定理）. 二、例题分析. 1.直线与双曲线的位置关系.
例1：已知双曲线C ：122
2
=-y x ，直线l 过点P )1,1(，当斜率k 为何值时，直线l 与双曲线C ：（1）有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）无公共点.
2.双曲线中的弦长问题.
例2：双曲线的两条渐近线的方程为x y 2±=，且经过点)32,3(-，若过双曲线的右焦点F 且倾斜角为
60的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 弦长.
作业：已知斜率为2的直线l 在双曲线12
32
2=-y x 上截得的弦长为4，求直线l 的方程.。
高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)13.双曲线的焦点弦长公式推导(二) 含解析
今天我们介绍双曲线的焦点弦。
如果过双曲线焦点的直线与该双曲线相交于两点，那么这两个交点间的线段就叫做双曲线的焦点弦.关于直线与双曲线相交求弦长，通用方法是将直线方程代入双曲线方程，消元化为一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
但是对于过焦点的弦长计算比较特殊,利用双曲线的第一定义和余弦定理推导出双曲线的焦点弦长公式，在相关计算中就更为简捷。
先看例题：例：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －,过1F 的直线l 的倾斜角为α，交双曲线于A 、B 两点，求弦长｜AB |。
解：(1）当arctan arctan b b aaαπ<<-时,(如图1）直线l 与双曲线的两个交点A 、B 在同一支上,连22,F A F B ，设11|,|||F F A m B n ==，由双曲线定义可得22|2,|||2F A a m B a n F =+=+，由余弦定理可得222(2)22cos (2)m c m c a m α+-⋅⋅=+整理可得2cos b m a c α=+,同理2cos b n a c α=-,则可求得弦长22||cos cos b b AB m n a c a c αα=+=++-=22222cos ab a c α-。
图1（2）当0arctan arctan b b a aαπαπ≤<-<<或时，（如图2）直线l 与双曲线的两个交点A 、B 不在同一支上，连22,F A F B ,设11|,|||F F A m B n ==，由双曲线定义可得22|2,|||2F A a m B n a F =+=-，由余弦定理可得222(2)22cos (2)m c m c a m α+-⋅⋅=+整理可得2cos b m a c α=+，同理222(2)22cos()(2)n c n c n a πα+-⋅⋅-=-，2cos b n c aα=-，则可求得弦长22||cos cos b b AB n m c a a c αα=-=--+=22222cos ab c a α-图2因此焦点在x 轴的焦点弦长公式:为222222222,arctan arctan cos ||2,0arctan arctan cos ab b ba c a aAB ab b b c aa a απααπαπα⎧<<-⎪⎪-=⎨⎪≤<-<<⎪-⎩或 同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式222222222,0arctan arctan cos ||2,arctan arctancos ab a aa cb bAB ab a a c a b b απαπααπα⎧≤<-<<⎪⎪-=⎨⎪<<-⎪-⎩或 其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，α为AB 的倾斜角。
高中数学-直线与双曲线的位置关系练习
高中数学-直线与双曲线的位置关系练习基础达标(水平一 )1.已知直线l过点(,0),且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有().A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】点(,0)即为双曲线的右顶点,过该点的直线有2条与双曲线渐近线平行且与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.【答案】C2.已知双曲线C:-=1的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2,则|PF2|等于().A.4B.6C.8D.10【解析】依题意,有=,所以a=3,因为|PF1|=2,所以点P在双曲线的左支上,所以|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF2|=8,故选C.【答案】C3.已知点P(3,-4)是双曲线-=1(a>0,b>0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若·=0,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】由题意知,点E(-c,0),F(c,0),则·=(3+c,-4)·(3-c,-4)=9-c2+16=0,所以c2=25.可排除A,B选项.又D选项中双曲线的渐近线方程为y=±x,点P不在渐近线上,排除D选项,故C正确.【答案】C4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是().A.B.C.D.【解析】由得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得解得-<k<-1.【答案】D5.过双曲线-=1(a>0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点.则双曲线离心率的取值范围为.【解析】由题意可知从而4<<9,所以e=∈(,).【答案】(,)6.已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=3,则此双曲线的离心率为.【解析】因为F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点, 所以可设点F(-c,0),A(0,b),B(x B,y B),直线AF:y=x+b.由题意知,直线AF与渐近线y=x相交.联立两直线消去x,得y B=.由=3,得y B=4b,所以=4b,解得离心率e=.【答案】7.从双曲线x2-y2=1上一点Q作直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.【解析】设点P(x,y),Q(x0,y0),则点N(2x-x0,2y-y0),代入x+y=2,得2x-x0+2y-y0=2. ①因为PQ垂直于直线x+y=2,所以=1,即x-y-x0+y0=0. ②由①②得x0=x+y-1,y0=x+y-1.由点Q(x0,y0)在双曲线x2-y2=1上,代入双曲线方程,得点P的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y=1.拓展提升(水平二)8.已知双曲线-=1(a>0,b>0),若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A,B两点,且=3,则该双曲线离心率的最小值为().A.B.C.2 D.2【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点,且=3,所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支,即A在左支,B在右支.设点A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为=3,所以c-x1=3(c-x2),即3x2-x1=2c.因为x1≤-a,x2≥a,所以-x1≥a,3x2≥3a,所以3x2-x1≥4a,即2c≥4a,≥2,即e≥2,故选C.【答案】C9.已知双曲线-=1上存在两点P,Q关于直线y=x+b对称,且PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,则实数b的值为().A.-10B.-8C.-2D.2【解析】因为点P,Q关于直线y=x+b对称,所以线段PQ的垂直平分线的方程为y=x+b,所以直线PQ的斜率为-1.设直线PQ的方程为y=-x+m,令点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M),由得x2+4mx-2m2-6=0,所以x P+x Q=-4m,所以x M=-2m,所以点M(-2m,3m).又因为PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,所以-4m+3m-2=0,解得m=-2,由PQ的中点M也在直线y=x+b上,得b=5m,所以b=-10,故选A.【答案】A10.连接双曲线-=1和-=1(其中a>0,b>0)的四个顶点的四边形的面积为S1,连接四个焦点的四边形的面积为S2,则当的值最大时,双曲线-=1的离心率为.【解析】由题意可知S1=×2a×2b=2ab,S2=×2c×2c=2c2,∴===≤,当且仅当=,即a2=b2=c2-a2时等号成立,此时双曲线-=1的离心率为e==.【答案】11.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0. ①依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得-2<k<-.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得②假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由FA⊥FB,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0. ③把②式及c=代入③式,化简得5k2+2k-6=0,解得k=-或k=(舍去).可知当k=-时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.。
高中数学2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线几何性质的应用学案含解析新人教A版选修1_1
第2课时 双曲线几何性质的应用学习目标 1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？ 答案 不能．梳理 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].1．若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( × ) 2．直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．( √ )类型一 直线与双曲线的位置关系例1 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，且过点(6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 (1)由e ＝233，可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b2＝1.将点P (6，1)代入双曲线C 的方程， 解得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0，消去y ，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－－3k2－，1－3k 2≠0，解得－1<k <1且k ≠±33. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 当直线l 的斜率不存在时， 直线l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0时，k ＝±2，直线l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点； 当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52.综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二 弦长公式及中点弦问题 例2 双曲线的方程是x 24－y 2＝1.(1)直线l 的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为8311，求直线l 的方程；(2)过点P (3,1)作直线l ′，使其被双曲线截得的弦恰被P 点平分，求直线l ′的方程． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，代入双曲线方程，得3x 2＋8mx ＋4(m 2＋1)＝0， Δ＝(8m )2－4×3×4(m 2＋1)＝16(m 2－3)>0， ∴m 2>3.设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－83m ，x 1x 2＝m 2＋3.由弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，得 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83m 2－m 2＋3＝8311， ∴42×m 2－33＝8311，即m ＝±5，满足m 2>3，∴直线l 的方程为y ＝x ±5.(2)设直线l ′与双曲线交于A ′(x 3，y 3)，B ′(x 4，y 4)两点， 点P (3,1)为A ′B ′的中点，则x 3＋x 4＝6，y 3＋y 4＝2. 由x 23－4y 23＝4，x 24－4y 24＝4，两式相减得(x 3＋x 4)(x 3－x 4)－4(y 3＋y 4)(y 3－y 4)＝0， ∴y 3－y 4x 3－x 4＝34，∴l ′的方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2－10y ＋114＝0，满足Δ>0，∴所求直线l ′的方程为3x －4y －5＝0.反思与感悟 (1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k 要保证满足相交，即验证Δ>0.(2)与弦中点有关的问题主要用点差法．跟踪训练2 设双曲线的顶点是椭圆x 23＋y 24＝1的焦点，该双曲线又与直线15x －3y ＋6＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)． (1)求此双曲线的方程； (2)求|AB |.考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)已知椭圆的焦点为(0，±1)， 即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y 2－mx 2＝1(m >0)，① 又直线15x －3y ＝－6，②A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①②组成的方程组的两个解．由⎩⎨⎧y 2－mx 2＝1，15x －3y ＝－6，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53－m x 2＋4153x ＋3＝0， 当m ＝53时，显然不满足题意．当m ≠53时，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－415353－m ，x 1x 2＝353－m ，又OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝83x 1x 2＋2153(x 1＋x 2)＋4＝0，∴83×353－m ＋2153×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－415353－m ＋4＝0，∴m ＝13，经验证，此时Δ>0.∴双曲线的方程为y 2－x 23＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝94，∴|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1532×－152－4×94＝4.类型三 由直线与双曲线相交求参数的取值范围(值)例3 已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2，所以b ＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，可得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，故k 2≠13且k 2<1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2. 又因为y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝－9k 21－3k 2＋12k21－3k2＋2＝3k 21－3k2＋2. 所以－91－3k 2＋3k 21－3k 2＋2>2，所以3k 2－91－3k 2>0.又因为k 2≠13且k 2<1，所以13<k 2<1.所以k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪－1<k <－33或33<k <1. 反思与感悟 当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系式求解． 跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.∴当双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)．由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线上的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD＝12(|x 1|＋|x 2|) ＝12|x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围是( ) A ．－2＜k ＜2B ．－1＜k ＜1C ．0＜k ＜2D ．－2＜k ＜0考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 A解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k ＜2.2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 C解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，将x ＝－1代入直线方程y ＝x －1得y ＝－2，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的其他问题 答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0， ∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34，此时Δ>0，符合题意，∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 答案 3解析 当直线l 交双曲线于左右两支时，因为2a ＝2，而|AB |＝4，故可有两条．若直线l 交双曲线于同支，当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1D ．y 2－x 24＝1 考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 B2．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A.2B.3C ．2D ．3 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直， ∴直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2， ∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a .依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3．双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1(a >b >0)的一条渐近线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1交于点M ，N ，则|MN |等于( )A ．a ＋b B.2aC.a 2＋b 2 D.a 2－b 2考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 C解析 双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1的一条渐近线方程为y ＝ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝±22a . 所以|MN |＝1＋b 2a 2|x 2－x 1|＝a 2＋b 2a 2·2a＝a 2＋b 24．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( ) A.14B.35C.34D.45 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C解析 由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.|F 1F 2|＝2c ＝2 a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34. 5．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 B解析 由双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，点P (1,0)是双曲线的右顶点，则直线x ＝1与双曲线只有一个公共点，过点P (1,0)且平行于渐近线y ＝±2x 时，直线l 与双曲线只有一个公共点，有2条，故满足题意的直线共3条． 6．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 26－y 23＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1， 两式相减可得x 1＋x 2x 1－x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2.∵线段AB 的中点坐标为N (－12，－15)， ∴－x 1－x 2a 2＝－y 1－y 2b 2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2.∵直线的斜率为－15－12－3＝1， ∴4b 25a 2＝1. ∵右焦点为F (3,0)，∴a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y 25＝1. 7．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 考点 双曲线的几何性质题点 双曲线范围的应用答案 A解析 由题意知a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0，所以－33<y 0<33. 8.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B ．4 C.233 D. 3考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ，A 为双曲线上一点，|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，B 为双曲线上一点，则|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由用余弦定理，得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°，得c 2＝7a 2，则e 2＝7，即e ＝7.二、填空题 9．双曲线x 2a 2－y 29＝1的离心率e ＝54，则其两条渐近线方程为________． 考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 y ＝±34x 解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1，∴b ＝3， 又双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋9a 2＝54， 解得a ＝4， ∴双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x .10．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 3215 解析 双曲线右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是43，则直线FB 的方程是y ＝43(x －5)，与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为－3215，故△AFB 的面积为12×|AF ||y B |＝12×2×3215＝3215. 11．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (1，5]解析 由题意可得，双曲线的渐近线的斜率ba≤2，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤ 5. 又e >1，则离心率e 的取值范围是(1，5]．12．过P (8,3)作双曲线9x 2－16y 2＝144的弦AB ，且P 为弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为________．考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 3x －2y －18＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由P (8,3)为弦AB 的中点，可得x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝6，又9x 21－16y 21＝144,9x 22－16y 22＝144，两式相减，可得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－16(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即为9(x 1－x 2)－6(y 1－y 2)＝0，可得k AB ＝y1－y 2x 1－x 2＝32，则直线AB 的方程为y －3＝32(x －8)，即3x －2y －18＝0.三、解答题13．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且双曲线过点(－3,42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，则设双曲线的方程为x 2－y24＝λ(λ≠0)，把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，解得λ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －6＝0，x 2－y24＝1，整理得3x 2－12x ＋10＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103， 由弦长公式可知|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42－4×103＝21023， ∴|AB |的值为21023. 四、探究与拓展 14．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作一条与其渐近线平行的直线l ，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，求双曲线C 的离心率． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ， 又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b2＝1， 化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)， 故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a ＝2＋ 3.15．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？ 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.由题意可得3－a 2≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.(1)|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋a 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 22＋83－a 2＝2＋a 2－a 2|3－a 2|.(2)由题意知，OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0.即x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，∴(1＋a 2)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，解得a ＝±1.经检验当a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过坐标原点．。
2025版新教材高中数学第3章第2课时直线与双曲线的位置关系课件新人教A版选择性必修第一册
[辨析] 错因在于忽视了4－k2＝0，即l与双曲线的渐近线平行时，l 与双曲线只有一个交点也符合题意.另外没有考虑直线l斜率不存在的情 况.
[正解] 由题意可得：双曲线 x2－y42＝1 的渐近线方程为 y＝±2x. (1)当直线 l 的斜率不存在时，l 的直线方程为 x＝1，l 与双曲线只有 一个公共点. (2)过点 P(1,1)且平行于渐近线 y＝±2x 时，直线 l 与双曲线只有一个 公共点， 方程为 y－1＝±2(x－1)，即 2x－y－1＝0 或 2x＋y－3＝0.
所以 m2＋(2m)2＝5，得 m＝±1.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
直线与双曲线的位置关系
1．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实 数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点. [分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲 线方程组成方程组，对方程解的个数进行讨论.
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0.且 k2－2≠0 即 k≠± 2， 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点，∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦.
方法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2，y2).
[规律方法] 直线与双曲线位置关系的判断方法： (1)方程思想的应用 判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消 去y(或x)，则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)， 直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不等于0时，若 Δ>0则直线与双曲线有两个公共点，Δ＝0有一个公共点，Δ<0无公共点. (2)数形结合思想的应用 ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线 的斜率的大小关系确定其位置关系. ②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜 率的关系来确定其位置关系.
高中数学 知识讲解 直线与双曲线的位置关系理
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b -=>>22221(0,0)y x a b a b -=>>标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±(0,)a ±轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b离心率 (1)ce e a=> 渐近线方程x ab y ±= a y x b =±要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即bk a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化（2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
高二数学 2.3 第3课时第3课时 直线与双曲线的位置关系
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2．弦长公式 斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)、B(x2， y2)，则|AB|＝ 1＋k2__|_x_1－__x_2_| __ ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k12|y1－y2|＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
第二章 2.3 第3课时
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1．直线y＝13(x－72)与双曲线x92－y2＝1交点个数是(
)
A．0
B．1
C．2 [答案] B
D．4
[解析] 直线与渐近线平行，
∴有一个交点．
第二章 2.3 第3课时
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b a
时，直线l与双曲线的渐近线
____平__行____，直线与双曲线C相交于____一__点____．
第二章 2.3 第3课时
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(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有____两__个____公共点，此时称直线与 双曲线__相__交______； Δ＝0⇒直线与双曲线有___一__个_____公共点，此时称直线 与双曲线__相__切______； Δ<0⇒直线与双曲线__没__有______公共点，此时称直线与双 曲线____相__离____．
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.3双曲线的方程与性质的应用课件新人教A版
则以定点B(1,1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝3(x－1)， 即为y＝3x－2． 代入双曲线的方程可得6x2－12x＋7＝0， 由Δ＝122－4×6×7＝－24＜0，得所求直线不存在， 以定点B(1,1)为中点的弦不存在．
1．求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标， 再利用两点间距离公式求弦长．
2)，分别与两条渐近线
y＝
3 3x
和
y＝－
3 3x
联立，求得
M(3，
3)，
N32，－ 23，所以|MN|＝ 3－322＋ 3＋ 232＝3．
角度 2 求双曲线的离心率 已知椭圆 C：x92＋y32＝1，双曲线 E：x92－by22＝1(b＞0)的左、
右顶点分别为 A，B，M 为椭圆 C 的上顶点，直线 AM 与双曲线 E 的右支 交于点 P，且|PB|＝2 21，则双曲线的离心率为________．
【答案】
15 3
【解析】椭圆 C：x92＋y32＝1 的上顶点 M(0， 3)，双曲线 E 的左、右
顶点分别为 A(－3,0)，B(3,0)，
则直线 AM：y＝ 33x＋ 3，过点 P 作 PC 垂直于 x 轴于点 C，如图，
点 P 在直线 AM 上，
故设
Px0 PC＝ 33x0＋ 3，BC＝x0－3，
此时，直线 l 方程为 y＝± 3x＋1； 当 3－k2≠0，即 k≠± 3，要使直线 l 与双曲线 E 有且仅有一个公共 点， 则 Δ＝(－2k)2－4(3－k2)(－4)＝0，解得 k＝±2， 此时，直线 l 的方程为 y＝±2x＋1． 综上所述，直线 l 的方程为 y＝± 3x＋1 或 y＝±2x＋1．
直线与双曲线位置关系的判断 一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0． (1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ab时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直 线与双曲线 C 相交于一点．
高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：1.直线与双曲线相交
今天我们研究直线与双曲线相交，即直线与双曲线有一个或两个交点。
直线方程与双曲线方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程或一元一次方程，则（1）一元一次方程情形，直线与双曲线有一个交点等价于直线与双曲线的渐近线平行；（2）一元二次方程情形，直线与双曲线有一个有两个交点等价于直线与双曲线方程联立后方程有两个不同的解，其判别式大于0。
先看例题：例：若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6相交，求k 的取值范围。
解：由22=+26y kx x y ⎧⎨-=⎩得22410)0(1k x kx -－－＝， （1）直线与双曲线有两个公共点，即：()()222101641100k k k ⎧-≠⎪⎨∆=--⨯->⎪⎩， 解得1515(1)(1,1)(1,33k ∈--⋃-⋃ （2）直线与双曲线有一个公共点，21=0k -，解得1k =± 综上有151533k -<< 整理： 设直线l :y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a bk ±=，且0m ≠时，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；（2）若0222≠-k a b 即a bk ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点。
注意：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支。
再看一个例题，加深印象例：若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ()A.⎛ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解：由22=+26y kx x y ⎧⎨-=⎩得22410)0(1k x kx -－－＝，∴()()222121210164110000k k k x x x x ⎧-≠⎪∆=--⨯->⎪⎨+>⎪⎪>⎩，解得13k -<<-，正确答案D.总结：1.直线与双曲线相交，即直线与双曲线有一个或两个交点。
高中数学选修2-1人教A版：2.3.2直线与双曲线的位置关系课件PPT
解
设l的方程y为k： x3
：
由 xy2 ky42x314k2x26kx130
1 当 4 k 2 0 时 , k 2 , 此 l : y 2 时 x 3
2 当 4 k 2 0 时 ,由 6 k 2 4 4 k 2 1 3 0 ,
化简整理 (1k2)x22k x50
由韦达定理得：x1x21 2kk2;x1x2注1 :x5 k直22-线（y与※2）双=曲4
要使直线与双曲线的右支有两个
线的右支有两个 交点,实际上给出
相异的公共点，则应满足
了 方程 解的
1k20
0
(x12)(x22)0
1k2 0 0
(x1x2)40
范围,涉及到二次 方程的根的分布 问题.解题时需要
则直线AB的方程为y-8=k（x-1）
由yy2--84=xk2=x4-1,得
k2-4x2+2kk-8x+8-k2-4=0
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
k 2 - 4 x 2 + 2 k k - 8 x + 8 - k 2 - 4 = 0 1
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
- <k<-1
- x1x2=
2 >0
4、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
高中数学选修2-1同步练习2.3.3直线与双曲线的位置关系(含答案)总结
直线与双曲线的地点关系一、选择题( 每题 5 分，共20 分)1．已知双曲线方程为y2x2－4＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A． 4B． 3C． 2D． 1分析：数形联合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．答案：B2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. 2B. 33＋ 15＋ 1C. D.22x2y2分析：设双曲线方程为a2－b2＝1(a，b>0)，不如设一个焦点为F( c, 0)，虚轴端点为B(0， b)，则 k FB b＝－c.b又渐近线的斜率为±a，因此由直线垂直关系得－b b bc· a＝－1(－ a明显不切合) ，即 b2＝ ac，又 c2－ a2＝ b2，故 c2－a2＝ ac，两边同除以 a2，得方程 e2－ e－1＝0，解得＝5＋ 1＝1－ 5或(舍)．e2e2答案：Dx2y23．已知双曲线a2－b2＝ 1( a>0，b>0) 的右焦点为F，若过点 F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A． (1,2]B． (1,2)C． [2 ，＋∞ )D． (2 ，＋∞)分析：依据双曲线的性质，过右焦点 F 且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60 °＝b3，则c2－ a2e2e23，即≥2＝－ 1≥ 3，故有≥4，≥2.a a e应选 C.答案：C224． 是双曲线 x －y＝1 的右支上一点，、 分别是圆 ( x ＋5) 2＋y 2＝4 和( x －5) 2＋y 2＝ 1上的点，则| |P9 16 M NPM－| PN | 的最大值为 ()A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9分析： 设双曲线的两个焦点分别是 F 1( － 5,0) 与 F 2(5,0) ，则这两点正好是两圆的圆心， 当且仅当点 P与 M 、 F 三点共线以及 P 与 N 、 F 三点共线时所求的值最大，此时 | PM |－ | PN |＝(| PF | ＋2) － (| PF | －1)＝61 2 1 2＋ 3＝ 9.答案： D二、填空题 ( 每题5 分，共 10 分)x 2 y 22225．过双曲线 C ： a 2－b 2＝ 1( a >0， b >0) 的一个焦点作圆 x ＋ y ＝ a 的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠＝120°( 是坐标原点 ) ，则双曲线 C 的离心率为 ________．AOBO分析： ∵∠ AOB ＝120° ? ∠ AOF ＝60° ? ∠ AFO ＝30° ? c ＝ 2a ，∴ e ＝c＝ 2.a答案：2x 2 y 26．已知双曲线 12－ 4 ＝ 1 的右焦点为 F ，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 ________．分析：由题意知 (4,0) ，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3 ，F3x33当过 F 点的直线与渐近线平行时， 知足与右支只有一个交点，画出图形， 经过图形可知， － 3 ≤ k ≤ 3 .答案：3 3－3，3三、解答题 ( 每题 10 分，共 20 分 )7．已知双曲线22A 、B 两点，试问 A 、3x － y ＝ 3，直线 l 过右焦点 F ，且倾斜角为 45°，与双曲线交于2B 两点能否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长．分析： ∵ a ＝1， ＝ 3， ＝ 2，b c又直线 l 过点 F 2(2,0) ，且斜率 k ＝tan 45 °＝ 1，∴ l 的方程为 y ＝ x － 2，由 y ＝ x － 2消去 y 并整理得 2x 2＋ 4x － 7＝ 0，3x 2 －y 2＝ 3设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2，y 2) ，7∵ x 1· x 2＝－ 2<0，∴ A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上．7 ∵ x 1＋ x 2＝－ 2， x 1· x 2 ＝－ ，2∴ | AB | ＝ 1＋12| x 1－ x 2| ＝ 2·x 1＋ x 22－ 4x 1x 227＝ 2·－－4× －2 ＝6.22y8．已知双曲线 x －3 ＝ 1 上存在对于直线 l ： y ＝ kx ＋4 的对称点，务实数 k 的取值范围．分析： ①当 k ＝ 0 时，明显不建立．②当k ≠0时，在双曲线上随意取两点， ，设 的中点 的坐标为 ( 0， 0) ，由 l ⊥ ，A B AB M M x y AB1可设直线 AB 的方程为 y ＝－ k x ＋ b ，将其代入 3x 2－ y 2＝ 3 中，得 (3 k 2－1) x 2＋ 2kbx － ( b 2＋ 3) k 2＝0.明显 3k 2－1≠0，即 k 2b 2＋ 3k 2－ 1>0. ①由根与系数的关系得AB 的中点 M 的坐标为－ kb x ＝32－1，②ky 0＝3k 2b.③3k 2－ 1由于 M 均分 AB ，因此 M ( x 0， y 0) 在直线 l 上，3k 2b－ k 2b进而有 3k 2－ 1＝ 3k 2－1＋ 4，即 k 2b ＝3k 2－ 1，④将④代入①得2 2＋ 2 >0，∴ >0 或b <－1，k b k bb3 2－ 1 3 2－1即k 2>0 或k <－ 1，31∴ | k |> 3 或 | k |< 2，且 k ≠0，33 1 1∴ k > 3 或 k <－ 3 或－ 2<k <2，且 k尖子生题库☆☆☆9． (10 分 ) 设圆 C 与两圆 ( x ＋ 5) 2＋ y 2＝ 4， ( x － 5) 2＋y 2＝ 4 中的一个内切，另一个外切．(1) 求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程；(2) 已知点 M 3 5 45，(5，0) ，且 P 为 L 上动点，求 ||| －||| 的最大值及此时点P 的坐标．5，MPFP5 分析：(1) 设圆 C 的圆心坐标为 ( x ， y ) ，半径为 r .圆 ( x ＋22＝ 41，半径为 2，5) ＋ y 的圆心为 F (－ 5，0)圆 ( x － 5) 2＋ y 2＝ 4 的圆心为 F ( 5， 0) ，半径为 2.| CF 1| ＝ r ＋ 2， | CF 1| ＝ r － 2， 由题意得| CF | ＝ r － 2或| CF | ＝r ＋ 2，∴ || CF 1| － | CF || ＝4.15>4，∵|FF |＝2∴圆 C 的圆心轨迹是以 1， F ( 5， 0) 为焦点的双曲线，其方程为 x 22＝1.F (－ 5，0) 4 － y (2) 由图知， || MP |－ | FP || ≤|MF |，∴当 M ， P ， F 三点共线，且点 P 在 MF 延伸线上时， | MP | － | FP | 获得最大值 |MF |，且 |MF |＝355－ 5 2＋ 455－0 2＝2.直线 MF 的方程为 y ＝－ 2x ＋ 2 5，与双曲线方程联立得y ＝－ 2x ＋ 2 5，22整理得 15x －32 5x ＋ 84＝ 0.x－ y 2＝1，41456 5解得 x ＝ 15( 舍去 ) ， x ＝5.12此时 y＝－ 255.∴当|| |－||| 获得最大值 2 时，点P 的坐标为65 2 5 .MP FP 5，－5。
2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)
2.2.2(二)
x2 y2 跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线 2－ 2＝1(a，b>0)的左、 a b 右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求此双曲线的方程； 3 (2)已知直线 y＝ x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点， 3
本 讲 栏 目 开 关
→ ＋OE → ＝mOC → ，求 且在双曲线的右支上存在点 C，使得OD
解得 m＝± 4.
∴x1＋x2＝16 3，y1＋y2＝12.
当 m＝－4 时，点 C 在已知双曲线的左支上，不符合题意， 舍去. ∴m＝4，点 C 的坐标为(4 3，3).
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
x2 y2 1.已知双曲线 2－ ＝ 1(a>0)的一条渐近线方程为 3x－ 4y＝ a 9
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2(二)
1.直线与双曲线的位置关系及判定 直线：Ax＋By＋C＝0， x2 y2 双曲线： 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b 两方程联立消去 y，得 mx2＋nx＋q＝0. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 1 个或 2 个 1个 0个 判定方法 m ≠0 m＝0 或 Δ>0
m 的值及点 C 的坐标.
解 (1)由双曲线的实轴长为 4 3，得 a＝2 3.
b 双曲线右焦点的坐标为(c,0)，一条渐近线为 y＝ x，由点到 a 直线的距离公式，得 b＝ 3. x 2 y2 ∴双曲线的方程为 － ＝1. 12 3
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)设 D(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x0，y0). 3 将直线 y＝ x－2 代入双曲线方程， 3 化简得 x2－16 3x＋84＝0，
“直线与双曲线的位置关系”教学案例
在问题中成长——髙中数学“直线与双曲线的位置关系”教学案例一、教学设计背景1、课标内容与要求:“双曲线”是高中数学《圆锥曲线与方程》中的重要内容.教材安排了两节内容：双曲线及其标准方程和双曲线的几何性质.要求学生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题.2、教学进行时:学生在学习了双曲线及其标准方程和双曲线的几何性质的基础上，作为双曲线方程的应用之一进行本节课的学习.这节课的学习，一方面可以巩固学生知识网络中已构建的对圆，椭圆与直线位置关系的认知，使学生对直线与双曲线的位置关系的认识从定性上升到定量，为下面抛物线的学习以及对四种圆锥曲线辨证统一的理解在认识上和方法上打下基础.另一方面，可以进一步加深用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法，对解析几何教学思想的认识有着重大的影响.二、教学设计思路1、设计重点:直线与双曲线的几种位置关系的认识，利用方程讨论直线与双曲线的位置关系的基本方法.2、难点突破:对直线与双曲线位置关系的认识上的“数形统一”，对渐近线的“无限趋近”意义的认识，用运动的观点，数形对应转化的思想理解及解决相关问题.3、教学方法：采用问题教学法，以问题思考为向导，以问题解决为目标，灵活创设情景，引导学生主体参与，自主探索，逐步深入，主动“创造”知识，动态生成概念，有效提升能力．三、教学目标1、知识与技能掌握直线与双曲线的几种位置关系；能利用方程讨论直线与双曲线的位置关系；能解决与直线有关的双曲线的一些综合问题.2、过程与方法使学生进一步熟练用代数方法（坐标，方程）讨论图形性质的能力；培养学生运用对应转化，数形结合，运动变化等观点和数学思想方法获取数学知识，分析问题和解决问题的实践能力.通过与圆，椭圆知识的类比联系，提高知识间纵横迁移的视角转换能力.3、情感、态度与价值观通过学生主体参与，培养自主学习的内在发展能力，体验获取数学知识的成功感；通过观察，联想，猜测，归纳等合情推理，激发学生勇于探索敢于创新的精神；通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征，辨证特征；通过师生，生生的交互讨论，共同探索，培养合作学习，提高数学交流表达能力.四、教学过程实录（一）创设情境，引入课题1、导言：前面我们学习了双曲线的定义，标准方程和几何性质，今天我们要继续研究双曲线，研究“直线与双曲线的位置关系”.2、提出问题：问题1 ：直线与双曲线有那些不同的位置关系？根据什么特征加以区分？生：有三种位置关系：相交，相切，相离.可以根据它们公共点的个数来区分. 问题2：直线与双曲线的公共点个数可能有几个？各对应什么位置关系？学生由观察图象得出三种位置关系，但对相交时公共点的个数不少同学认为最多有4个，也有可能是3个，2个；对有1个公共点，普遍认为是相切.【设计意图】问题出在学生思维水平的最近发展区，打破已有的认知平衡，引发认知冲突，激发起学生构建认知结构的主动性和迫切性．以问题1作为教学活动的开端，使学生初步了解这节课的教学任务，无论是操作层面或思维层面上，作好迎接挑战的准备.问题2让学生面临一个似曾相识，已有一些感性认识，但理性认识欠缺的问题，而由观察产生的偏差所引发的不同认识，更容易激发起学生的好奇心，好胜心和进一步探索的兴趣，形成一个欲罢不能的追求目标.针对这种情形，教师没有给出确定答案，而是以类化式问题引导学生回忆前面学过的知识及研究方式，构建数学知识点间的比较，同时使新知识类化到知识网络的恰当位置，重建与改组知识网络.问题3：除了观察公共点的个数，有没有其他判定方法？在研究圆，椭圆与直线的位置关系时，我们是如何进行判定的？生：可以由方程组的解的个数确定，具体可用d 法或判别式法.【设计意图】直观的“形”—公共点个数与“数”—方程组的解的个数的对应，为“依形判数”与“就数论形”的相互转化奠定了基础，使学生初步领略了数形结合这一解析几何的基本思想方法的作用，为下面的进一步研究提供了方法的依据.（二）自主探究，构建新知建构一.尝试体验,探究结论：以操作式问题丰富感性认识，构建具体的可操作的问题，引导学生用方程继续进行问题研究，并借助多媒体演示，调动学生眼、耳、口、手、脑等多种感官参与，使抽象问题具体化和可操作化，充分调动其学习的积极性和主动性.问题1：当R k ∈时，试讨论直线2+=kx y 与双曲线1222=-y x 的公共点情况. 分析：公共点即方程组的解.⇒⎩⎨⎧+==-21222kx y y x 098)21(22=---kx x k （1）当22±=k 时，直线2+=kx y 与双曲线1222=-y x 有一个公共点，相交； (2)当22±≠k 时，0)21(366422=-⨯+=∆k k ，即223±=k 时，直线2+=kx y 与双曲线1222=-y x 有一个公共点，相切；（3）当0<∆，即223>k 或223-<k 时，直线2+=kx y 与双曲线1222=-y x 无公共点，相离.（4）当0>∆，即223223<<-k 且22±≠k 时，直线2+=kx y 与双曲线1222=-y x 有两个公共点，相交.【设计意图】在学生从研究方程得出准确结论后，结合多媒体演示，引导学生再观察各种相应图形情况，分析，归纳，自己去发现结论，并加以表述，完成对该知识的形成.建构二. 归纳提炼，形成方法以目标式问题实现知识结构的完整和认知结构的整体优化，帮助学生识记、理解、运用、分析数学问题，及时反馈教与学的效果，调控教与学的进程，进行教学目标的有效构建，以达到掌握新知识的目的.问题2：哪位同学给我们归纳一下直线与双曲线的位置情况？生：相交：有一个公共点（直线与渐近线平行）或两个公共点（0>∆）；相切：（0=∆）；相离：（0<∆〉问题3：双曲线 122=-y x 与直线2-=x y ，x y =，x y 3= 各是什么位置关系？ 各有几个公共点？问题4：过平面上一点作双曲线的切线，最多有几条？为什么？由什么因素决定？生：最多有两条，可能有一条或无，由点的位置决定.教师多媒体演示各种情况.【设计意图】提出问题是思维活动的出发点，从意识到问题的存在并提出相关的问题，教师作为学习活动有力的合作者与促进者，要根据学生探究能力不同，设计开放程度不同的探究问题，引导鼓励学生运用观察，类比，归纳，猜想等方式围绕整个问题情境作深入而宽广的扫描，尽量扩大学生的感知范围.而计算机提供对数学活动过程的直观演示，使学生体验到用运动的观点来研究图形的思想，为下面学习提供启示.让图形说话，可以充分调动学生的直觉思维，极大地激发学生学习的兴趣，并能使学生更深刻地理解几何.（三）应用拓展，激活思维拓展1、以多变式问题活跃学生思维，构建一题多变，一题多问，一题多用，一题多解的数学问题，培养学生思维的变通性，实现知识的有效迁移和开拓应用.问题5：过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为4π的弦AB ，求弦AB 的长及AB 中点N 到右焦点F 的距离.师生分析探究：（1）在圆与椭圆的学习中，我们是任何计算弦长的？这些方法适用于双曲线吗？（用弦长公式）（2）本题中的弦并非一般弦，而是焦点弦，有其他方法求弦长吗？（利用焦半径公式）（3）哪一种方法比较合理？(4)椭圆是否也可用焦半径公式计算焦点弦长？具体操作时有什么不同？（双曲线要根据弦的两端点在一支还是两支上分别处理，椭圆则不需要分情况考虑） 拓展2、以提升式问题提高认知水平，注重对学生逻辑思维的训练及非逻辑思维的强化，构建速度与难度式的数学问题，鼓励学生运用直觉思维，以量的模糊换取质的生动，实现对问题解决的直觉领悟，培养敏锐的洞察力.问题6：已知双曲线1222=-y x ，试问过点N （1，1），能否作一直线与双曲线交于D C ,两点，且使N 为CD 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.【设计意图】学生不难求出方程，但实际上这样的直线与双曲线不相交.此例可以训练思维的逻辑性、严密性和对开放式问题的思考角度.3、巩固练习：（1）过双曲线1222=-y x 的左焦点作直线L ，交双曲线于B A ,两点，若4=AB ，这样的直线L 共有 ______ 条（2）已知双曲线122=-y x 的左焦点为F ，点P 为双曲线在第三象限内的任意一点，则直线PF 的斜率的取值范围是 ______（3）过右焦点F 的直线与双曲线1222=-y x 的右支相交于两点，则直线的斜率的取值范围是______【设计意图】在学生初步达到本课时知识目标后，设置新疑点，使此问题向彼问题迁移，以应用知识解决新的数学问题.以上这些问题若采用常规方法通过设斜率解方程去解决运算量相当大，而结合图象与双曲线性质能比较迅速获解.使学生能更深刻地体会“数形结合”的思想方法，提高运用数学思想解决实际问题的意识.（四）总结提炼，感悟深化1、请学生归纳本节课的学习内容和思想方法，师生讨论补充；2、作业：作业本.五、教学思考和感悟1、课堂实施（1）学生之“学”：在本节课学习之前，学生已经学习了“圆和椭圆”这两种圆锥曲线，从定义，标准方程，几何性质，直线与其位置关系，方程的应用，这几个方面进行知识的构建，所以对研究的程序、内容、方法以及相关结论都有所积累，具有相当清晰的知识背景，这是目前的认知状态和能力状态.在继续学习了双曲线的定义，标准方程，几何性质之后，进一步研究双曲线与直线的位置关系自然成为学生构建完整知识网络系统的内在需要，当前的认知、情感状态为本节课“以学生为主体，从问题到问题”的教学设计提供了可能性.学生完全有能力在教师引导下自主探索，完成本课的学习，多渠道获取知识，并将学到的知识加以综合应用，解决新问题.（2）教师之“教”：建构主义理论认为，学生对新知识，新方法的接受不是消极，被动的，而是积极地利用现有的知识和方法去吸收内化新知识，新方法，将之内存于自己已有的知识结构中，教师必须抛弃那种单纯传授知识，视学生为“知识容器”的被动的教学模式和思想，把教学过程变成一个学生主动参与探索，互动交流，不断发现问题、解决问题的实践过程，在学会知识的同时，更学会学习.2.教学效果本节课课堂气氛民主热烈，学生情绪饱满，思维活跃，所有的问题都是在学生共同参与下，通过热烈讨论，相互启发，思考探索解决的，教师处于引导和平等参与的地位.通过本节课的学习，学生不仅掌握了有关知识，而且深刻地领略了平面解析几何的基本思想——“以数论形，数形结合”对于解决实际问题的重要意义，提高运用思想方法的自觉性，并进一步发展了思维的严密性和灵活性.3.反思提高以学生为本，是现代课堂教学设计的基本理念.以教师的“教”为本，学生只能处于“观众”席位，丧失了学习过程中的自主性和主动性.以书本知识为本，忽视了师生，生生之间的情感交流，学生只能获得僵化的知识，丧失了学习过程中的情感性和发展性.而以学生的学为本，发展为本设计课堂教学，通过学生积极，主动的思维和创造性的探索活动，实现思维结构的优化和认知系统的建构，使学生的知识获得“生成和生长”，从而使数学课堂成为思维的课堂，学生再创造的课堂，生命活力焕发的课堂.问题是数学的心脏，问题也是思维的出发.数学教学的核心就是培养学生解决数学问题的能力，形成良好的思维品质.所以在本节课的教学设计中，主要采用问题教学法，通过类化式问题、操作式问题、目标式问题、多变式问题、提升式问题等数学问题系统构建，以一系列问题，配合多媒体动态演示，引导学生主体参与，积极思维，主动探索，勇于发现，敢于创新，在优化认知机构的同时，发展学生从特殊到一般的问题类比、方法迁移、归纳推理的思维能力，把学生引向探索学习之路.。
直线与双曲线的位置关系知识点
直线与双曲线的位置关系知识点左右直线与双曲线的位置关系是高中几何教学中的一道重要考题，它涉及到直线、双曲线、圆、椭圆等曲线几何的知识，并且能包含诸多的数学思想。
做这道题的关键是要掌握直线与曲线的基本定义以及推导方法，因此先从基础知识开始系统讲解。
首先是直线：它是两个不同的实点A和B之间满足“所有点均等距”条件的线段组成的空间数学称之为直线。
它的特性有两个，一是它平行两旁，二是其距离从一点到另一点是唯一一条。
其次是双曲线：它是由圆周上等距离构成的一种曲线。
双曲线的几何特点有：它的位置关系与圆相似，两端的曲率反向，它的几何特性与圆形的弧有相似处，且两端的曲率是正负交替的。
那么接下来就是考虑直线与双曲线的具体位置关系了。
从图形上描述，可以得出：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线，两条双曲线交于一点时，直线也必定经过这一点，但是直线与双曲线的位置关系，尤其是是否会相切，则需要数学思考和推导。
从直线与双曲线的极坐标方程看，可以发现双曲线的当两个参数均相等时，即双曲线的曲线面上有一条与直线相切的切线，可以知道，双曲线与直线存在相切关系。
再来讨论双曲线当双曲线和直线平行时，两条双曲线也可能相切，因两条双曲线的拐点均等距离，因此当双曲线具有同一条拐点与另一条平行线上的拐点的特点时，就可以说双曲线与平行线相切。
最后要讲的是双曲线与圆的位置关系，文中提到双曲线的几何特点有，两端的曲率反向，因此双曲线和圆也可能存在相切关系。
当两端曲率正反交替时，双曲线就会切圆，而且双曲线的曲率正反交替程度越大，形成的轮廓就会越像一个圆。
所以，双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好在圆边上，则双曲线与圆就会相切。
总结起来，直线与双曲线的位置关系有以下几类：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线；双曲线与直线相切，并且当直线与双曲线平行时，双曲线也可能相切；双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好出现在圆边上时，双曲线与圆就可能相切。
高中数学 直线与双曲线的位置关系教案 新人教版必修4
教学方式探索与实践——问题与猜想教学方法课题：直线与双曲线的位置关系一、教学目标：〔一〕知识目标:掌握直线的斜率对其与双曲线位置关系的影响，学会用根的判别式判断两者位置关系。
〔二〕能力目标:培养学生观察、发现、分析、探索知识能力，培养学生数形结合和化归等数学思想。
〔三〕情感目标:通过问题情境，培养学生自主参与意识，及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程和成功后的喜悦。
二、教学重点：引导学生探究直线与双曲线相关知识。
三、教学难点：应用数学思维及直线与双曲线位置关系等知识来解决数学问题。
四、教学方法：MM 教学方式探索与实践——问题与猜想教学方法 五、教学过程体验：问题：如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值X 围。
〔高二数学上复习参考题八13题〕分组探讨，解决问题：解：由联立方程⎩⎨⎧=--=4122y x kx y 得：052)1(22=-+-kx x k ∵直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点 ∴01620)1((204222<-=-+=∆k k k 解之得：25,25-<>k k∴k 的取值X 围为25,25-<>k k 或 让学生在对这一问题独立思考的基础上，安排学生分组交流，提出让学生对该题可进行如何变式，然后再去研究、探讨、猜想、解决问题。
变式一：如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有一个公共点，求k 的取值X 围。
变式二：如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值X 围。
变式三：如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 在左支上有两个公共点，求k 的取值X 围。
变式四：如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 在右支上有两个公共点，求k 的取值X 围。
变式五：如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 每一支上都有一个公共点，求k 的取值X 围。
高中数学新人教A版选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质课件
C.m ∈R
D.-√2≤m≤√2
【答案】D [ 由
由题意知1—m²=0,
解得一 √2≤m≤√2.]
得(1—m²)x²—2mx—2=0,
4. 如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图(忽略
壁厚),其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中 的曲线均为双曲线，高度为100m, 俯视图为三个同心圆，其半径
解：设点M(x,y), 由题知
即 整理得：
请你将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现?
例6、 过双曲线 求IABI.
的右焦点F₂, 倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点，
分析：求弦长问题有两种方法： 法 一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公 式代入求弦长；
法二：但有时为了简化计算，常设而不求，运用韦达 定理来处理.
A.y²—3x²=36 C.3y²—x²=36
B.x²—3y²=36 D.3x²-y²=36
பைடு நூலகம்
【答案】A [椭圆4
即
则双曲线的焦点在y 轴上，c=4√3,
线的方程为y²-3x²=36.]
焦点为(0,±4 √3),离心率为 从而a=6,b²=12, 故所求双曲
3 .直线y=mx+1 与双曲线x²—y²=1 有公共点，则m 的取值范围是( )
,
即 3x+4y-5=0.
课堂小结
1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.双曲线方程的简单应用. 3.理解直线与双曲线的位置关系.
谢谢大家
人教A 版选择性必修第一册
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点
顶点坐标
性轴 质
高中数学 直线与双曲线的位置关系教案 新人教A版选修1-1
直线与双曲线位置关系学案巩义二中高二数学（文科）备课组一、学习目标：类比直线与椭圆的位置关系的研究，尝试探究直线与双曲线的位置关系，进一步体会用坐标法研究几何问题的思路二、学习重点：直线与双曲线的位置关系三、知识链接：(1) 直线与椭圆的位置关系有哪些？是如何研究的？ （2）当直线与椭圆相交时，如何求弦长？ （3）涉及弦的中点问题，如何解决？ 四、问题探究1、过双曲线16322=-y x 的右焦点2F ，倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求||AB 。
思考：(1) 将条件“倾斜角为030”改为“倾斜角为045”， ||AB 如何变化？（2）将条件“倾斜角为030”改为“斜率为2”， ||AB ？(3) 将条件“倾斜角为030”改为“倾斜角为060”， ||AB 如何变化？ (4) 将条件“倾斜角为030”改为“倾斜角为090”， ||AB 如何变化？2、若直线2:+=kx y l 与双曲线32x —2y =1恒有两个不同的交点A 和B ，且OB OA ⋅>2(其中O 为原点)，求K 的取值范围。
练习：1、过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l ，并交双曲线于A 、B 两点，若||AB =4，则这样的直线存在（ ） A ．0条 B.1条 C.2条 D. 3条 2、已知双曲线C ：122=-y x 及直线l ：1-=kx y （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围：（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且ΔAOB 的面积为2，求实数k 值。
思考：直线与双曲线的位置关系的讨论，和椭圆完全一样吗？3、已知双曲线1222=-y x ，过点P(1,1)能否做一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？五、巩固练习1、经过点)2,21(且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线的条数是A ．4 B.3 C.2 D. 12、已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)0,7(F ，直线y=x-1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为 A ．14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x 3、以y= 为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为（ ）A ．223y x -=1B ．223y x -=1C．222x -=–1D222x -=1 4、如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ）A3 B3CD5、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）A( B( C[ D[6、已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点N 在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．324+ B. 13- C.213+ D. 13+ 7、双曲线116922=-y x 的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线交于点B ，则ΔABF 的面积为8、已知方程11222=+-+λλy x 表示双曲线，求实数λ的取值范围是 9、设ABC ∆是等腰三角形，0120=∠ABC ，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为10、已知双曲线1322=-y x ，直线l 过双曲线右焦点F 与双曲线交于A 、B 两点，且直线l 的斜率为1，求线段AB 的长度。
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一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
13
利用弦长公式：
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
y
.
.
. F1 O
F2
思考：什么情况下两个交点？
当 2 k 2且k 1时，直线与双曲线有两 个交点
思考：什么情况下两个交点在右支？
当1 k 2时，直线与双曲线有两 个交点都在右支
思考：什么情况下两个交点在两支上？
当1 k 1时，直线与双曲线有两个交点在两支上
18
例5、已知双曲线方程： x2 y 2 1
21
例6、在双曲线 y2
12
x2 13
1
的一支上有不同的三点A(x1,
y1),
B ( 26，6),C（x3，y3）且与点F（0 ，5）的距离成等差数列。
（1）求y1 y3；
（2）求证AC的垂直平分线必过定点。
解：由双曲线
y2 12
x2 13
1得
y
.F1
•A
•B
•C
点 F(0，5) 是此双曲线的一焦点 .
当k 1时， x 1 直线与双曲线有交点
当k 1时， 4k 2 8(1 k 2 ) 0 2 k 2且k 1
综上，当 2 k 2时，直线与双曲线有交 点
思考：什么情况下只有一个交点？
15
思考：什么情况下只有一个交点？ 当k 2或k 1时， 直线与双曲线只有一交点 (1 k 2 )x2 2kx 2 0
或 AB
1
1 k2
( y1 y2 )2 4 y1 y2
14
例4、已知双曲线x2 y2 1及直线y kx 1，
（1）若直线与双曲线有交点，求k的范围；
y
（2）若 | k |
6 2
，求SOAB
解：（1）联立xy2kyx211
.
.
. F1 O
F2
x
(1 k 2 )x2 2kx 2 0 (| x | 1)
2
(1 2k 2 )x2 4k(1 k)x 2(1 k)2 4 0
oM2..N 2
x
2
x1 x2 2
2k(1 k) 1 2k 2
1
k
1， 2
直线
AB
的方程为：
y
1
1 2
(x
1)
即
x 2y 1 0.
20
(2) 假设过 N 的直线交双曲线于 C(x1 ，y1) ，D(x2 ，y2 ) ，则
x12
4
y12 2
1 相减
x22 4
y2 2 2
1
y1 y2 x1 x2
1 2
x1 x2 y1 y2
1 2
xN yN
1
y
即 kCD 1，
双曲线的渐近线方程为：y
2 2
x
kCD
2 2
直线 l 与双曲线没有交点
2
oM2..N 2
x
以 N(1，12) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
则k y2 y1 2(x1 x2 ) 4 2 x2 x1 ( y1 y2 ) 2
l : y 1 2(x 1)
但
此时
y x2
2x y2
2
1 无解
1
不存在直线
28
例、(1)若直线y kx 1与
y
M
曲线C:y x2 1有两个交点
求实数k的取值范围
o
x
例6(2)若直线y kx 2与
直线L与双曲线C只有一个公共点；
11
练习.过点P(1,1)与双曲线x92
y2 16
1只有
Y
一个
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
O
x
（1）由题意 A、B、C三点在双曲线上支上，
.F2
由双曲线第二定义得：
AF dA
e | AF | dAe
同理 BF dBe，CF dCe
AF 、BF 、CF 成等差数列 d A, dB , dC成等差数列
即2(
yB
a2 c
)
(
yA
a2 c
)
(
yC
a2 c
)
y1 y3 12 .
22
AB
|
d,
(d是O到直线AB的距离)
d 1
.
F1
O
1 k2
联立xy2kyx211 (1 k 2 )x2 2kx 2 0
由弦长公式：| AB |
1 k2 |a|
1 k2
8 4k 2 |1k2 |
S 1 2
1 k2
2
2k2 k2 1
1
1 k2
2k2 k2 1
2
•A
• B. F2
17
思考：什么情况下只有一个交点？ 当k 2或k 1时， 直线与双曲线只有一交点 (1 k 2 )x2 2kx 2 0
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
5
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
求k为何值时,直线与双曲线只有一个公共点?
解：3yx2
kx y2
1
1
3x2
(kx 1)2
1
y
(3 k2)x2 2kx 2 0
A PB
若3－k2 0,即k 3
0
x
此时直线与双曲线相交于一个公共点
若3－k2 0
＝4k2 4 2 (3 k2) 4k2 24＝0
即k= 6, 此时直线与双曲线相切于一点
存 在
存 在
存 在
不 存 在
不 存 在
27
例：已知双曲线 x2 y2 1, 过点M (1,1)能否作直线 l与双曲线 2
交于A，B两点，且 M为线段AB的中点？ 若可以，设截得的弦的 端点A(x1, y1), B(x2, y2 ), 则2x12 y12 2,2x22 y22 2,且x1 x2 2, y1 y2 2
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 x1
y2 x2
1 2
x1 y1
x2 y2
2
k AB
1 2
xM yM
1 2
即
kAB
1 2
，
oM2..N 2
x
2
直线
AB
的方程为：
y
1
1 2
(x
1)
即
x 2y 1 0.
19
y
解法二：设lAB : y 1 k(x 1)
联立xy2k2xy214k
4
设经过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线L 只有两条, 求实数m的范围;
25
探究1:已知双曲线
x2 a2
by,22过点1 P(m,n)与
双曲线只有一个公共点的直线有几条?与该点的
位置有何关系?
双
点曲
P(m,n) 的位置
线
上
双
双曲线外(不含焦点)
(
曲含
线
焦 点
)
内
除渐近线 在渐近线 及原点 上(除原点)
8
直线与双 曲线相交
有两个公共点
方程有两个不 同的根Δ>0