研究生矩阵论课后习题答案(全)习题三
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.
2.已知方阵序列 收敛于 ，且 ， 都存在，证明：
（1） ；（2） .
证明：设矩阵
若矩阵序列 收敛于 ，即对任意的 ，有
.
(1)由于对任意的 ，有
，
故
＝ ，
而
，
,
故
.
(2)因为
， .
其中 ， 分别为矩阵 与 的代数余子式.
与（1）类似可证明对任意的 ，有
，
结合
，
有
＝ ，
即
.
3.设函数矩阵
，
其中 ，计算 .
证明:因为
(1) ,且 ;
(2) ;
(3)
(4)设 ,则
，
故
因此 是与向量的1－范数相容的矩阵范数.
13.设 ，且 可逆，证明：
.
证明:由于
, ,
则
,
故
.
14.设 ，且 证明： 可逆，而且有
（1） ；
（2） .
证明:(1)由于
,
故
,
即 .
(2)因为
,
两边右乘 ,可得
,
左乘 ,整理得
,
则
，
即 .
15.设 证明：
习题三
1．证明下列问题：
（1）若矩阵序列 收敛于 ，则 收敛于 ， 收敛于 ；
（2）若方阵级数 收敛，则 .
证明：（1）设矩阵
则
设
则
，
若矩阵序列 收敛于 ，即对任意的 ，有
，
则
， ， ，
故 收敛于 ， 收敛于 .
(2)设方阵级数 的部分和序列为
，
其中 .
若 收敛，设其和为 ，即
，或 ，
则
.
而级数 的部分和即为 ，故级数 收敛，且其和为 ，即
21.若 为反实对称（反Hermite）矩阵，则 为实正交（酉）矩阵.
证明:因为
,又 .
故
.
当 为反实对称,即 时,
,
故 为实正交矩阵;
当 为反Hermite矩阵,即 时,
,
故 为酉矩阵.
22.若 为Hermite矩阵，则 是酉矩阵，并说明当 时此结论的意义.
证明:因为 ,故
,
则
,
故 是酉矩阵.
当 为一阶Hermite矩阵时, 为一实数,设 ,则上述命题为
（1） ；
（2） ；
（3） .
其中 .
证明：（1）因为
，
而
，
故
（2）因为
，
则
，
而
，
故
.
(3)因为
故
则
故
.
7．证明：
，
其中 为向量函数.
证明：
设
，
则
，
故它是 的数量函数，设
，
有
.
8.在 中将向量 表示成平面直角坐标系 中的点 ，分别画出下列不等式决定的向量 全体所对应的几何图形：
(1) (2) (3) .
解:(1)设百度文库,则
.
由于
, ,
且
, ,
则
, .
(2)该矩阵的特征多项式为
最小多项式为 .
19.计算下列矩阵函数：
（1） ，求 ；
（2） ，求 ；
（3） ，求 ；
（4） ，求 及
20．证明:
， ，
其中 为任意方阵.
证明:(1)因为
, ,
故
,
,
则
.
(2)因为矩阵 的特征值均为 ,故存在可逆矩阵 ,使得
则
23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数，并说明对 的限制：
（1） ，（2） ，（3）
解：(1) , ;
(2) , ;
(3) , .
24．设 ，证明：
（1） ，（2） .
证明:(1)设 ,其中 为若当标准形，则
,
其中 ,
则
.
(2)设 ，则
，
因为 ，对上式两边取极限，得
.
25．设 ，且 可逆，若 是 的任一特征值，则
解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
（5） ＝
.
4．设函数矩阵
，
计算 和 .
解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有
（1） ＝
；
（2） ＝ ＝ .
5.设 为 阶常数对称矩阵， ，证明：
（1） ；
（2） .
证明：（1）
，
（2） .
6.证明关于迹的下列公式：
解：根据
，
作图如下：
9.证明对任何 ，总有
.
证明：因为
故
10.证明：对任意的 ，有
.
证明：设 ，则
由于
，
故
，
即
.
11.设 是正实数，证明：对任意 ，
是 中的向量范数.
证明：因为
（1） 且 ；
（2） ；
（3）对于 ，
，
则
故
.
因此 是 中的向量范数.
12.证明：
是矩阵 的范数，并且与向量的1－范数是相容的.
.
证明:因为
,
故 .
又对任意的 ,有
,
所以
.
设 是矩阵 的特征值 对应的特征向量,即 ,则
,
故有
.
因此
.
同理，可得
16.求下列三类矩阵的矩阵函数
（1）当 为幂等矩阵( )时；
（2）当 为对合矩阵( )时；
（3）当 为幂零矩阵( )时.
解:(1) ,设矩阵 的秩为 ,则 的特征值为1或0, 可对角化为
,
则
，
(2)当 时，矩阵 也可对角化, 的特征值为1或 , 可对角化为
,
其中1有 个.
则
(3)当 时, 的特征值均为0,则存在可逆矩阵 ,使得
,
其中 ,
又 ,则
,
于是
故Jordan块 的阶数最多为2,不妨设
, ,
即
则
, ;
, .
故
0 ,
,
则
,
,
因此
,
,
所以
,
,
.
17.若矩阵 的特征值的实部全为负，则
.
证明:设 的特征值为 ,则存在可逆矩阵 ,使得
,
其中 ,
则
,
其中
又
,
且 ,故 ，因此 ,则 .
18．计算 和 ，其中：
（1） ；
（2） ；
（3） .
（1） ，特别地 ;
（2）当 时， ；
（3） ；
（4）当 时， .
证明:(1)
.
又因为
,
故
.
(2)当 时,二项式公式
成立，故
同理，有
,
故
.
(3)由于幂级数 对给定的矩阵 ,以及任意的 都是绝对收敛的,且对任意的 都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则
,
同理，有
故
.
(4)因为
故
.
又当 时，
,
则
2.已知方阵序列 收敛于 ，且 ， 都存在，证明：
（1） ；（2） .
证明：设矩阵
若矩阵序列 收敛于 ，即对任意的 ，有
.
(1)由于对任意的 ，有
，
故
＝ ，
而
，
,
故
.
(2)因为
， .
其中 ， 分别为矩阵 与 的代数余子式.
与（1）类似可证明对任意的 ，有
，
结合
，
有
＝ ，
即
.
3.设函数矩阵
，
其中 ，计算 .
证明:因为
(1) ,且 ;
(2) ;
(3)
(4)设 ,则
，
故
因此 是与向量的1－范数相容的矩阵范数.
13.设 ，且 可逆，证明：
.
证明:由于
, ,
则
,
故
.
14.设 ，且 证明： 可逆，而且有
（1） ；
（2） .
证明:(1)由于
,
故
,
即 .
(2)因为
,
两边右乘 ,可得
,
左乘 ,整理得
,
则
，
即 .
15.设 证明：
习题三
1．证明下列问题：
（1）若矩阵序列 收敛于 ，则 收敛于 ， 收敛于 ；
（2）若方阵级数 收敛，则 .
证明：（1）设矩阵
则
设
则
，
若矩阵序列 收敛于 ，即对任意的 ，有
，
则
， ， ，
故 收敛于 ， 收敛于 .
(2)设方阵级数 的部分和序列为
，
其中 .
若 收敛，设其和为 ，即
，或 ，
则
.
而级数 的部分和即为 ，故级数 收敛，且其和为 ，即
21.若 为反实对称（反Hermite）矩阵，则 为实正交（酉）矩阵.
证明:因为
,又 .
故
.
当 为反实对称,即 时,
,
故 为实正交矩阵;
当 为反Hermite矩阵,即 时,
,
故 为酉矩阵.
22.若 为Hermite矩阵，则 是酉矩阵，并说明当 时此结论的意义.
证明:因为 ,故
,
则
,
故 是酉矩阵.
当 为一阶Hermite矩阵时, 为一实数,设 ,则上述命题为
（1） ；
（2） ；
（3） .
其中 .
证明：（1）因为
，
而
，
故
（2）因为
，
则
，
而
，
故
.
(3)因为
故
则
故
.
7．证明：
，
其中 为向量函数.
证明：
设
，
则
，
故它是 的数量函数，设
，
有
.
8.在 中将向量 表示成平面直角坐标系 中的点 ，分别画出下列不等式决定的向量 全体所对应的几何图形：
(1) (2) (3) .
解:(1)设百度文库,则
.
由于
, ,
且
, ,
则
, .
(2)该矩阵的特征多项式为
最小多项式为 .
19.计算下列矩阵函数：
（1） ，求 ；
（2） ，求 ；
（3） ，求 ；
（4） ，求 及
20．证明:
， ，
其中 为任意方阵.
证明:(1)因为
, ,
故
,
,
则
.
(2)因为矩阵 的特征值均为 ,故存在可逆矩阵 ,使得
则
23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数，并说明对 的限制：
（1） ，（2） ，（3）
解：(1) , ;
(2) , ;
(3) , .
24．设 ，证明：
（1） ，（2） .
证明:(1)设 ,其中 为若当标准形，则
,
其中 ,
则
.
(2)设 ，则
，
因为 ，对上式两边取极限，得
.
25．设 ，且 可逆，若 是 的任一特征值，则
解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
（5） ＝
.
4．设函数矩阵
，
计算 和 .
解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有
（1） ＝
；
（2） ＝ ＝ .
5.设 为 阶常数对称矩阵， ，证明：
（1） ；
（2） .
证明：（1）
，
（2） .
6.证明关于迹的下列公式：
解：根据
，
作图如下：
9.证明对任何 ，总有
.
证明：因为
故
10.证明：对任意的 ，有
.
证明：设 ，则
由于
，
故
，
即
.
11.设 是正实数，证明：对任意 ，
是 中的向量范数.
证明：因为
（1） 且 ；
（2） ；
（3）对于 ，
，
则
故
.
因此 是 中的向量范数.
12.证明：
是矩阵 的范数，并且与向量的1－范数是相容的.
.
证明:因为
,
故 .
又对任意的 ,有
,
所以
.
设 是矩阵 的特征值 对应的特征向量,即 ,则
,
故有
.
因此
.
同理，可得
16.求下列三类矩阵的矩阵函数
（1）当 为幂等矩阵( )时；
（2）当 为对合矩阵( )时；
（3）当 为幂零矩阵( )时.
解:(1) ,设矩阵 的秩为 ,则 的特征值为1或0, 可对角化为
,
则
，
(2)当 时，矩阵 也可对角化, 的特征值为1或 , 可对角化为
,
其中1有 个.
则
(3)当 时, 的特征值均为0,则存在可逆矩阵 ,使得
,
其中 ,
又 ,则
,
于是
故Jordan块 的阶数最多为2,不妨设
, ,
即
则
, ;
, .
故
0 ,
,
则
,
,
因此
,
,
所以
,
,
.
17.若矩阵 的特征值的实部全为负，则
.
证明:设 的特征值为 ,则存在可逆矩阵 ,使得
,
其中 ,
则
,
其中
又
,
且 ,故 ，因此 ,则 .
18．计算 和 ，其中：
（1） ；
（2） ；
（3） .
（1） ，特别地 ;
（2）当 时， ；
（3） ；
（4）当 时， .
证明:(1)
.
又因为
,
故
.
(2)当 时,二项式公式
成立，故
同理，有
,
故
.
(3)由于幂级数 对给定的矩阵 ,以及任意的 都是绝对收敛的,且对任意的 都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则
,
同理，有
故
.
(4)因为
故
.
又当 时，
,
则