线性规划求值详细
线性规划知识总结
线性规划知识总结1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域（1）直线0:=++C By Ax l 把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。
（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。
对于二元一次不等式b kx y +≥表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方（包括直线y ＝kx ＋b ）。
对于二元一次不等式b kx y +≤表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。
注意：二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax 与二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。
2. 线性规划我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。
解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。
（2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则bz取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；若b ＜0，则反之。
（3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。
（4）注意实际问题中的特殊要求。
说明：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。
知识点一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1：基础题1. 不等式组201202y x x y -->⎧⎪⎨-+≤⎪⎩表示的平面区域是（ ）A B C D2. 如图，不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域面积是________________。
04第四章线性规划的求解法
第四章 线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多， 而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。
在此时， 大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。
§ 4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得:1. 中心部位具有单位子块;2. 右列元素非负；式（4.1 ）和（4.2 ）的约束方程组并不同解，但（4.1 ）的解和（4.2 ）中x 4 = x 5 = 0的解是相对应的。
只要找到以（4.2 ）为约束条件，且人工变量 x 4, x 5均为自由变量的基本可行 解，也就找到了（ 4.1 ）的基本可行解，于是，要设法迫使X 4 =X 5 =0。
以上途径通过修改（4.1 ）的目标函数来实现。
具体修改为：m in z = _3 人 x 2 2 x 3 M x 4 - M x 5 这时可以先用容许的运算使由列为非负, 然后在中心部位人为添加一个单位子块。
如下例所述: 例4.1min z = -3洛亠 x 2 亠 2x 3 s.t.3x ! 2x 2 —3x 3 = 6-x<| ■' 2 x^ _ X 3 = _4洛，X 2, X 3 _ 0(4.1.1 )列成表格:3 2 -36 32 -3 6 3 2 -3 1 0 6 ■1 2 -1 -4 => 1-2 1 4 => 1 -2 1 014 ■3 1 2 0-31 2 0 -3 1 2上述第三张表中人工增加了两个变量 X 4, X 5，称为人工变量，即把原来的约束条件改为:s.t. 3x ! 2 x 2 -3 x 3 x 4 = 6為-2X 2 X 3 X 5 =4(4.1.2)X 1，X 2，X 3，X 4, X 5 -0(4.1.3 )其中M为足够大的正数，然后以（4.2 ）为约束条件，求（4.3 ）的最小值。
简单的线性规划问题
8）时，直线与原点的距离最近，即z的最小值为12.
解法二：特值验证法
由解法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的 左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0（0， 15），A1（1，13），A2（2，11），A3（3，9），A4（4， 8），A5（5，8），A6（6，7），A7（7，7），A8（8，7）， A9（9，6），A10（10，6），…，A27（27，0）.
由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最 大，即z最大.
解方程组 x - 4y 3 0, 3x 5y 25 0
，得A的坐标为(5,2).
∴zmax=2×5+2=12.
当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z
最小.
解方程组
x x
- 4y 1
返回
【解析】设进T 恤x件，运动鞋y双，则有
x 50,y 30,x,y N, x y 40, 36x 48y 2 400,
其目标函数为z=18x+20y. 作出它的可行域如图所示， 由图可知： 当x=50且y=12.5时，z取得最大值1 150. 但x,y∈N*,
（3）由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而 迅速地找出最优解，此时可将可能的数逐一检验即可分 晓.
假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和 资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能 进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要 T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T 恤每件36元，运动鞋每双48元.现在你有2 400元资金， 假设每件T恤的利润是18元，每双运动鞋的利润是20元， 问：如何进货可以使你获利最大？
线性规划求最值
线性规划求最值线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。
线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。
线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,bₙ为约束条件的常数。
解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。
2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。
3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。
4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，即为最优解。
5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。
如果不满足，则需要重新调整模型。
线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。
通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。
然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。
总之，线性规划是一种数学方法，通过建立线性模型，在给定的约束条件下求解最大或最小值，可以在各种实际问题中应用，并得到最优解。
通过线性规划，可以优化决策，提高效率，实现最大化利益。
第六章--线性规划
第六章--线性规划第六章线性规划线性规划是最简单的约束优化问题。
这是因为线性规划的目标函数和约束函数都是线性函数。
1.线性规划的标准形式∑=nj jjx c1min∑===nj i j ij mi b x a t s 1,...,2,1,..)(,...,2,1,0n m n j x j <=≥为简便，标准形式还可写成：xc TminbAx t s =.. 0≥x其中：[]Tn x x x x ,,,21 = []Tn c c c c ,,,21 = []Tn b b b b ,,,21 ==mn m n a a a a A1111 还可以写成：xc Tmin∑==n j j j b a x t s 1..≥x其中Tmj j j ja a a a ],...,,[21=称n c c c ,...,,21为变量n x x x ,...,,21的价格系数，c 为价格系数向量。
2.化为标准形式的方法考虑线性规划的一般形式：∑=tj jjx c1min∑=≤tj pj pj b x a t s 1..，u p ,...,2,1= ∑=≥tj qjqj b x a 1，v u u q ++=,...,1 ∑==tj rrj b x a 1，m v u r ,...,1++=0≥j x ，tj ,...,2,1=假定所有的mi b i,...,2,1,0=≥。
在线性规划的标准形式中，除要求各变量非负外，只存在等式约束。
为此，采用如下方法来消除不等式约束。
1)松弛变量对于""≤约束，可以引入松弛变量使它变为等式约束。
考虑∑=≤t j pjpj b x a 1，引入新变量0≥+pt x，使之变成等式约束，∑=+≤+tj ppt j pj b x x a 1。
2)剩余变量对于""≥约束，可以引入剩余变量使它变为等式约束。
考虑∑=≥t j qjqj b x a 1，引入新变量0≥+qt x，使∑=+=-tq t jqj b x x a 1。
线性规划lingo求解解读
max=2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;Global optimal solution found at iteration: 5Objective value: 14.00000Variable Value Reduced CostX1 4.000000 0.000000X2 2.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14.00000 1.0000002 0.000000 1.5000003 0.000000 0.12500004 4.000000 0.000000该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为。
“Reduced Cost”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的Reduced Cost值等于零）。
“Row”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack or Surplus”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“”的不等式，右边减左边的差值为Slack （松弛），对于“”的不等式，左边减的右边差值为Surplus（剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零。
“Dual Price”的意思是对偶价格（或称为影子价格，意义见§2.5），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5。
报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0。
求解输出结果如下:Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 22.40000Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.7000000X2 12.00000 0.000000X3 0.000000 0.6166667X4 30.00000 0.000000X5 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 22.40000 -1.0000002 0.000000 -0.58333333 4.100000 0.0000004 0.000000 -4.1666675 0.000000 0.8833333因此,每周每个动物的配料为饲料A 2、A 4、A 5分别为12、30和10，合计为52，可使得饲养成本达到最小，最小成本为22.4元；不选用饲料和的原因是因为这两种饲料的价格太高了，没有竞争力。
线性规划计算方法
线性规划法的数学模型如下：设X1，X2，X3，…，X n为各变量，n为变量个数，m为约束条件数，a ij(i＝1，2…,m；j＝1，2…,n)为各种系数，b1,b2,b3,…，b m为常数，C1，C2,C3,…C n为目标函数系数，Z为目标值，则线性规划模型如下：a11X1＋a12X2＋…＋a1n X n≥(＝≤)b1a21X1＋a22X2＋…＋a2n X n≥(＝≤)b2…………………a m1X1＋a m2X2＋…＋a mn X n≥(＝≤)b mX1，X2，…，X n≥0目标函数Zmin（max）＝C1X1＋C2X2十…＋C n X n线性规划计算方法:鲜花店向李大民预定两种花卉——百合、玫瑰。
其中每株收购价百合为4元,玫瑰为3元,鲜花店需要百合在1100～1400株之间,玫瑰在800～1200株之间,李大民只有资金5000元, 要去购买良种花苗, 在自家902m的温室中培育,每株苗价百合为2.5元,玫瑰为2元,由于百合与玫瑰生长所需采光条件的不同,百合每株大约占地0.052m，玫瑰每株大约占地0.032m，应如何配置才能使李大民获利最大?数学建模：设种百合x1 株,玫瑰x2 株,则2. 5 x1 + 2 x2 ≤50000. 05 x1 + 0. 03 x2 ≤90x1 ≥ 1100x1 ≤ 1400x2 ≥ 800x2 ≤ 1200目标函数求最大值(即获利)Max z = (4 - 2. 5) x1 + (3 - 2) x2 = 1. 5 x + x1可以看出,变量数为2,约束方程数为6,目标函数求最大值,打开线性规划计算软件,输入如下所示:输入完成后点“计算”按纽，即可完成计算结果如下图：即x1 = 1200 , x2 = 1000时, z取得最大值Z max= 1. 5 ×1200 + 1000 = 2800 (元) 。
所以,种百合1200株,玫瑰1000株时,李大民获利最大。
高中线性规划
高中线性规划一、概述线性规划是运筹学中的一种优化方法，通过建立数学模型，解决最大化或最小化目标函数的问题。
在高中数学中，线性规划是一种重要的内容，旨在培养学生的数学建模和解决实际问题的能力。
本文将详细介绍高中线性规划的基本概念、解题步骤和应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来寻找最优解。
目标函数通常是一个线性函数，可以表示为z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为变量。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列约束条件，通常表示为一组线性不等式或等式。
约束条件可以用不等式组的形式表示，如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，也可以用等式组的形式表示，如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b。
3. 变量：线性规划中的变量表示问题中需要求解的未知数，通常用x₁、x₂、...、xₙ表示。
三、解题步骤1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数和约束条件，并将其转化为数学模型。
2. 确定可行域：将约束条件表示为几何图形，确定可行域，即满足所有约束条件的解集合。
3. 确定最优解：在可行域内，确定目标函数的最大值或最小值。
可以使用图形法、代入法或单纯形法等方法求解。
4. 检验最优解：将最优解代入原问题，验证是否满足所有约束条件。
四、应用案例假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为5元，每单位产品B 的利润为8元。
公司的生产能力限制为每天生产A产品不超过1000个，B产品不超过800个。
另外，公司的销售部门预计每天销售A产品最多900个，B产品最多700个。
问如何安排生产，使得利润最大化？解题步骤如下：1. 建立数学模型：设x₁为生产的A产品数量，x₂为生产的B产品数量。
目标函数：z = 5x₁ + 8x₂（最大化利润）约束条件：- 生产能力限制：x₁ ≤ 1000，x₂ ≤ 800- 销售限制：x₁ ≤ 900，x₂ ≤ 700- 非负约束：x₁ ≥ 0，x₂ ≥ 02. 确定可行域：根据约束条件，绘制出可行域的图形。
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解方式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常用的方法是图解法和单纯性法，而图解法简单方便，但只适用于二维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适用于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及大量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量大，复杂繁琐。
在这个计算机高速发展的阶段，利用Excel建立电子表格模型，并利用它提供的“规划求解”工具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
无论利用哪种方法进行求解线性规划问题，首先都需要对线性规划问题建立数学模型，确定目标函数和相应的约束条件，进而进行求解。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1、根据所求目标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
以下是分别利用单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种方法对例题进行求解的过程。
例题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，工厂中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每生产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的生产数量的哪种组合能使总利润最大？问题的决策变量有两个：产品I的生产数量和产品II的生产数量；目标是总利润最大；需满足的条件是：(1)两种产品使用设备的台时<= 台时限量值(2) 生产两种产品使用原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的生产数量均>=0。
线性规划问题的四种求解方法
2x +3y ≥160 ∴ 3x -y ≥130
x ≥0 y ≥0 成本 c =400 +7x +5y
令 7x +5y =λ(2 x +3y )+μ(3x -y)(λ、
μ是待定系数)
作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即 可行域 .可行域为一五边形 , 五个顶点对应的 z 值如下表
(x , y) (0, 0)(4, 0)(4, 2)(2, 3)(0 , 3) z = 200x +300y 0 800 1400 1300 900
乙地
5
9
6
10x +20y ≤130
则 4000 x +1000y ≤24000
x ≥0 y ≥0 x +2y ≤13
即 4x +y ≤24 x ≥0 ,y ≥0 总年利润 z =12x +18y
作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即
可行域 .由 z =12x +18y 得y =-23 x +1z8 , 则
美元 .但政府核准的外汇是 130 万美元 , 并要求 该种产品分别为 200 吨 、450 吨和 400 吨 .每吨
总维护费不得超过人民币 24000 元 .问每种机 运费如下表(单位 :元):
器应购买多少台时 , 才能使工厂获得的年利润 最大 ?
解 :设购买第一种机 器
A
B
C
甲地
6
3
5
x 台 , 购买第二种机器 y上点 C 成本如下表 :
时 , 等值线的值最小 .z 有最小值 5650 元 , 此时 x =0 、y =300 , 故甲地产品运往 B 地 ;乙地产 品运往 A 、B 、C 三地分别为 200 吨 、150 吨 、400
利用简单的线性规划求最值 课件
作出直线 y＝34x，平移得最优解 M(3,5)，N(5,3 x＝5，y＝3 时，zmax＝3.
答案：A
[研一题]
[例 2]
x－y＋2≥0， 已知x＋y－4≥0，
2x－y－5≤0，
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝2xy＋＋11的取值范围．
名称
意义
最优解
线性规划 问题
使目标函数取得 最大值或最的小可值行解
线性约束
在
条件下求线性目标函数的最大值或最小
值问题
[小问题·大思维] 1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？
提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可 行域中的某条边界直线平行时求目标函数z＝ax＋by＋c 的最值，最优解就可能有无数多个．
4．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小 值与截距的对应关系又是怎样的？ 提示：z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应 截距的最大值．
[研一题]
[例 1]
x≥－3， 设 x、y 满足约束条件－y≥4－x＋4，3y≤12，
4x＋3y≤36，
求目
标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值．
[自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩 形ABCD(包括边界)．
点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋8在y轴上 的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大 值的点有无数个，求a的取值范围．
[自主解答] 作出可行域如图，并求 出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3，1)、C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域 内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的 平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值|MN|2＝92.
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性目标函数和线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z=c1x1+c2x2+...+cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a1x1+a2x2+...+anxn≤b，其中ai为系数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、模型建立1. 决策变量：根据实际问题确定需要优化的变量，例如生产数量、销售数量等。
2. 目标函数：根据问题要求确定目标函数的形式，并确定系数。
3. 约束条件：根据问题要求确定约束条件的形式，并确定系数和常数。
4. 非负约束：线性规划中的决策变量通常要求非负，即xi≥0。
四、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线来求解最优解。
2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要为整数时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划通常比线性规划更加复杂，求解时间也更长。
五、应用案例1. 生产计划：某公司有两种产品A和B，每单位产品A需要2小时加工时间和3小时装配时间，每单位产品B需要1小时加工时间和2小时装配时间。
公司每天有8小时的加工时间和10小时的装配时间可用。
产品A的利润为100元，产品B 的利润为80元。
如何安排生产计划，使利润最大化？2. 资源分配：某公司有三个项目需要分配资源，每个项目需要的资源量不同。
线性规划详细
二、 图解法
对模型中只含2个变量的线性规 划问题，可以通过在平面上作图 的方法求解。
一、图解法的步骤
1.等直线法
例 1： max z = 2x1 + 3x2
s.t. x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12
x1，x2 0
1.建立平面直角坐标系；
2. 找出表示每个约束的半平面，所有半平面的交集是可行域（全体可行解
在满足约束条件的所有x行解中求出使目标函数达到最大小z值的决策变量值xaxcx22211211某城市在一昼夜间市内交通需要车辆数如图对车辆的需求在昼夜间是变化的车辆的工作制度是一天连续工作8小时派车时间在各时间间隔的端点一旦派出就连续工作8小时
线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 Matlab计算线性规划问题
0
x1
无界不一定无最优解
x2
例如：
min Z=60x1+50x2
2x1+4x2 ≥ 80 3x1+2x2 ≥ 60
x1，x2 ≥0
0
x1
X1=10, x2 =15
Z=1350
4. 无可行解（可行域为空集）
模型的约束条件之间存在矛盾，建模时有错误。
例如：
max Z=x1+2x2
-x1-x2≥2 2x1+x2≤4 x1，x2 ≥0
③ 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制）
x1+2x2≤6
约 束
2x1+x2≤8
条 x2≤2
件 x2 -x1≤1
x1，x2≥0
资源限制 市场限制 非负限制
线性规划解法
简单线性规划例1：设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+--≥-≥3634123443y x y x y x (1）求目标函数y x z 32+=的最小值与最大值（2）求目标函数2434-+-=y x z 的最小值与最大值练习：设变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，（1)求2z x y =+的最大值和最小值。
（2）求610z x y =+的最大值和最小值。
例2．设,,x y z 满足约束条件组1320101x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值。
例3(参考）．已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l :2360x y +-=，3l :35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界),设1l 与2l ，1l 与3l ,2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -， 作一组平行线l :x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大,∴当l 过C 点时x y +最大为6319,但不是整数解， 又由75019x <<知x 可取1,2,3， 当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-;当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩． 说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确;另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围,确定x 的所有整数值,再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有相应整数值，即先固定x ,再用x 制约y ．线性规划问题中目标函数常见类型梳理A BC x y O 1l 3l 2l一 基本类型——直线的截距型(或截距的相反数）例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则24z x y =+的最小值为（ )A ．5B ．—6C ．10D ．-10二 直线的斜率型例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域.三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型)例3。
线性规划算法详解
线性规划算法详解线性规划算法详解线性规划首先什么是线性规划，大致的定义我总结为在线性的目标和约束中，找出一个最优解。
举个例子：M1和M2两种原料用于生产内外墙涂料，M1日最大可用量24吨，M2日最大可用量为6吨，外墙涂料每吨需要6吨M1，1吨M2，内墙涂料每吨需要4吨M12，吨M2，外墙涂料每吨利润5个单位，内墙涂料每吨利润4个单位。
且市场需求调查数据得出，内墙日需求量不超过外墙的日需求量+1吨，内墙最大日需求量为2吨怎样在这样的各个线性的条件中，得到最优的内外墙生产吨数，就是我们线性规划算法要做的事情。
设外墙生产x1吨,内墙生产x2吨,设利润为z，要得到z的最大化，也就是最优解，上述条件罗列为公式可得出6x1+4x2=24x1+2x2=6-x1+x2=1z=5x1+4x2如何从这个公式中求出最优解？有以下两大方法我们将上述约束条件画图，y轴为x2，x轴为x1，得出如下：圈红色的部分就是所有的可行解，表示这个区间内都的x1x2能满足约束条件对于我们的z函数，其实表示的是一条截距为z斜率为-(5-4)的线性直线，我们要求z最大化的最优解，就是在所有的可行区域内找到可以满足z曲线截距最大的点。
最后我们发现，可行区域内能让z函数达到最大截距的点就是我圈出来的那个角点，z再增大的话，就超出可行区域了，所以不满足要求，所以最终得出最优解为x1=3,x2=1.5这就是图解法的做法，一个定理就是，线性规划的最优解总是发生在约束几何平面的角点上，例如上面圈出来的点，先当做是个定理，我也不知道怎么证明这个定理。
以上就是线性规划的图解法，优点是简单明了，缺点就是当参数超过3个时，我们很难直观画出一个jihe几何平面来找角点，所以我们需要下面的另一种解法。
单纯形法当超过3个参数时，单纯形法就派上用场了，单纯形法首先要做的就是把方程化为标准形式：所有的变量都是非负数所有的约束都是等式(非负限制除外)，且具有非负的右端项像上述的方程，如果化为标准形式，将会是如下6x1+4x2+s1=24x1+2x2+s2=6-x1+x2+s3=1x2+s4=2z=5x1+4x2+0s1+0s2+0s3+0s4新加入的s1-4表示的是松弛变量(非负)，根据大于号小于号来决定他们的正负号对于标准化形式，我们设有n个参数，设列举出的约束方程个数m，当m=n时，方程组就只有唯一的解，当mn时，说明有无穷个可行解，也就是解是一个区域。
第一章 线性规划求解(4)
2006/08
-16-
---第 1 章 线性规划---
非凸集顶点⇒ 非基本可行解 （2）充分性： X非凸集顶点⇒ X非基本可行解 ）充分性： 非凸集顶点 设X=(x1,x2,······,xr,0,0,······,0)T为非凸集顶点，则必存在Y、Z两点，使得 X=αY+(1-α)Z，(0<α<1)，且Y、Z为可行解 或者 xj=αyj+(1-α)zj (0<α<1)，（j=1,2,······,n)， yj≥0，zj≥0 ∵ α>0, 1-α>0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0 ∴ Σ pjyj = Σ pjyj=b ······(1)
j=1
n
xj≥0
（j=1,2,……,n)
（1）可行解：满足所有约束方程和变量符号限制条件的一组变量的 取值。 （2）可行域：全部可行解的集合称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最优值的可行解。
2006/08 -2-
---第 1 章 线性规划---
（4）基：设A为线性规划模型约束条件系数矩阵（m × n，m<n）， 而B为其m×m子矩阵，若|B|≠0，则称B为该线性规划模型的一个基。 （5）基变量：基中每个向量所对应的变量称为基变量。 （6）非基变量：模型中基变量之外的变量称为非基变量。 （7）基解（基解）：令模型中所有非基变量X非基=0后，由模型约束方程 组 n ∑aijxj =bi (i=1,2,……,m)得到的一组解。
j=1
n
（i=1,2,……,m) （j=1,2,……,n)
m
化标准形 →
xj≥0
n j=1
max z=∑cjxj + ∑ 0·xsi
I=1 n
线性规划及其求解
x i 1 x i 2 x i 3 x i 4 a i ; i 1,2
x 1 j x 2 j b j ; j 1,2,3,4 x ij 0; i 1,2, j 1,2,3,4
第11页
一 般 形 式
目标函数
m inz c1 x1 c 2 x 2 c n x n a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n bi ; i 1,2,..., p a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n bi ; i p 1,...,m s .t . x j 0; j 1,2,...,q x j 无限制; j 1,2,...,q
为系数矩阵。
第13页
规 范 形 式
m i nc x Ax b s .t . x 0
第14页
线性规划的标准形式
（1）线性规划的标准形式
(代数和式)
在讨论与计算时，需要将线性规划问题的
数学模型转化为标准形式，即在约束条件：
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
MaxZ=2x1+3
x2
O(0,0)
C(
4.5,0)
(12,0)
x 1
第32页
=2*3+3*3=15
图 解 法
对于只有两个变量的线性规划问题可以用图解法求解： 变量用直角坐标系中的点表示 约束条件用坐标系中的半空间或直线的交表示 可行区域是一个凸多面体 目标函数用一组等值线表示，沿着增加或减少的方向 移动，与可行域最后的交点就是最优解。
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x 0
1. x ,
y满足
x
2
y
3
求z=x-y的最值
2x y 3
解：z x y化为y x z，
与直线y x平行,纵截距为-z
B
直线过点 A时z值最大;
过点 B 时z值最小.
A
解方程组得点A(1,1),B(0,3) O
zmax 1 1 0, zmin 0 3 3 3 z 0
解：z mx y化为y mx z
m 0
y C(1, 22)
直线y mx z与直线AC重合时 5
线段AC上的每一点都是最优解
斜率k m kAC
BA(1(1,,11))
k AC
3 22 5
5 1
7 20
0
m 7x 1 20
A(5,3)
x
A(x1, y1), B(x2 , y2 )
2.
x,
y满足
y
0
求z=x-y的最值
(1)画区域 x y 1 (2)z x y化为y x z，斜率为1，
B
纵截距为-z的一组平行线 l
(3)平移直线y x
(4)直线过点A时纵截距-z最小，z最大;
OA
x y1
过点B时纵截距-z最大，z最小.
交点A(1,0),B(0,1)
Zmax 1 0 1, Zmin 0 1 1.
注意： 目标函数化为斜截式后，
分析斜率大小；z的系数符号。
x 0
1. x ,
y满足
x
2
y
3
2x y 3
求z=x-y的最值
(2)z x y化为y x z，
B
斜率为1，纵截距为-z的 一组平行线 l
A
(3)平移直线y x
O
(4)直线过点 A时z值最大;过点 B时z值最小.
解方程组求交点A(1,1),B(0,3)
线性规划问题：
x=1 2x+y=ｚ 可行域
线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
x-4y+3=0
A（5，2）
B（1，1）3x+5y-25=0
o1
x
理解记忆：三个转化
约束条件
转化
可行域
目标函数 Z=Ax+By
转化
一组平行线 yA x Z
ΒB
最优解 转化
四个步骤： 1.画：画可行域
寻找平行线的 最大(小) 纵截距
y
x y 5 0 x y 0
x+y=0
Hale Waihona Puke x 35表示的平面区域.
-5O
x
x-y+5=0 x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。
1.点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0两侧，则a的范围 . 解：点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0的两侧，将这两
1.二元一次方程Ax+By+C=0 对应的图形为 直线.
2.二元一次不等式Ax + By + C＞(<)0表示对应直线 Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
3.>0 (或<0) 时, 直线画成虚线;区域不包括边界直线 ≥0(或≤0)时,- --- --- - -实线.区域包括- - - - - -- --
特殊地P(x, y), O(0,0)
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
k AB
y2 y1 x2 x1
OP x2 y2
kOP
y x
P(x0, y0 ), l : Ax By C 0 d Ax0 By0 C
(2)求z=x+2y的最值
(1)画区域
（2）z
2x
3 y化为y
O
2
x
4z
表示斜率为 2，纵截距为 z 的3一组平3 行线
(3)直线过点
A
3
3
时纵截距最大，此时z最大,过点
O
时z最小
（z4m）ax 解 2方程4 组 34x6x2141y6Z8m得in 点A0(4,2注) ：倾斜斜率角越越大大，
x 0
点坐标代入3x+y-a=0后，符号相反，
∴(-3+2+a)(9-3-a) <0， 得－1＜a＜6.
2.点(-1,2) 在5x+y-a<0表示的区域内，则a的范围 .
-5+2-a <0，得a>-3
x+2y≤8
例1. 4x≤16 求z=2x+3y的最值 4y≤12
B(2,3)
x≥0 ,y≥0
3
A
补(1)求z=x+4y的最值
同侧同号， 异侧异号
6.二元一次不等式Ax+By+C> 0(<0) 对应区域判别方法:
特殊点法
直线定界，特殊点定域； 当C≠0时,取原点(0,0)为特殊点，
当C=0时, (1,0)或(0, 1) 为特殊点。
若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，
否则是另一侧区域为需画区域。
例：画出不等式组
---------向下----------------------------------减小. Z 减小.
当B<0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z 减小. ---------向下----------------------------------减小，但z 增大.
注意：斜率大小及截距符号。
3.xx
y 3
5
0
z 2x 4y最小值 -6，求k
x
解：z
yk 0
2x 4y化为y
1
x
z
x y50
与y 1 x平行
22
当直线过 A2 点，z最小. 可求A(3,-3- k)
x
y
O
k
3
0
zmin 23 4(3 k) 6
A
k 0
4.z=mx+y(m>0)取得最大值的最优解有无数个,求m
4. P(x0,y0)在Ax+By+C<0表示的区域内，则 Ax0+By0+C<0 - - -- - - -- 在Ax+By+C>0- - - -- - -，则Ax0+By0+C>0
5.点P(x1,y1), Q(x2,y2) 在直线Ax+By+C=0的 (1)同侧，则 ( Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C) >0 (2)两侧，则 ( Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C) <0
Zmax 1 1 0, Zmin 0 3 3
基本概念：
x 4 y 3
线性约束条件： 3x 5 y 25
x 1
目标函数，线性目标函数 z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解
可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分）
最优解： 使目标函数取得最值y的可行解 A(5,2),B(1,1)
2.移：线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移方
法找出与可行域公共点且纵截距最大或最小的直线
3. 求：求交点点的坐标，并求最优解
4.答：
一、目标函数
z Ax By即y A x 1 z表示一组平行线，
BB
其中 A 为斜率，1 z为纵截距，
B
B
当B>0时,
当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z 增大.