2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题2

2015-2016学年第一学期高二期中考试数学试题及答

案

考试时间：120分钟 总分：160分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．直线),(03为常数a R a a y x ∈=+-的倾斜角是 ．

2．过点(0，1)，且与直线2x ＋y －3＝0平行的直线方程是____________ ．

3．已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直，则实数a 的值是 4．已知空间点）

，，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距离是 ．

5．圆1C :2(1)x ++2(1)y -=1,圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称,则圆2C 的标准方程为__________ ．

6．已知a 、b 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是________________ ．

7． 直线:1l y kx =+与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 ．

8．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，

90=∠ABC ，1===BC AB PA ，则PC 与底面ABC 所成角的正切值．．．

为 ．

9．已知,x y 满足204x y ≤≤-，则

2

3y x --的取值范围是 ．

10．空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球的表面积是 ．

11．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围____________ ．

12．圆2221:4440C x y ax a +++-=和圆222

2:210

C x y b y b +-+-=相内切，若,a b R ∈，且0ab ≠，则

22

11

a b +的最小值为 _________ ．

13．如图，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水. 如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为

2

a

（如图2-②）， P

A

B C

（第8题）

2-①

2-②

a

则图2-①中的水面高度为 .

14．直线03=++y tx 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，若AB OB OA >+，则实数t

的范围

二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知直线经过点(1,2)A ，求分别满足下列条件的直线方程： （1）倾斜角的正弦为

5

13

； （2）与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4.

16．已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为22时， 求（1）a 的值； （2）求过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程.

17．如图，在四面体ABCD 中，CD CB =，BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．

(1) EF ∥平面ACD

(2)求证：平面EFC ⊥平面BCD ；

(3)若平面ABD ⊥平面BCD ，且1===BC BD AD ，求三棱锥ADC B -的体积． 18．（本题为选做题，文科生做第1道，理科生做第2道） 1．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-= 相切．

（1）求圆的标准方程；

（2）设直线50ax y -+=(0)a >与圆相交于,A B 两点，求实数a 的取值范围；

（3） 在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2, 4)p -， 2．已知⊙O ：221x y +=和定点(2,1)A ，由⊙O 外一点(,)P a b 向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PA PQ =．

(1) 求实数a b 、间满足的等量关系； (2) 求线段PQ 长的最小值；

(3) 若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径取最小值时的⊙P 方程．

19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（1）求证：1//C E 平面ADF ； （2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？

20．如图，已知圆O 的直径AB=4，定直线L 到圆心的距离为4，且直线L ⊥直线AB 。点P

是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交L 与M 、N 点。

试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：

（1）若∠PAB=30°，求以MN 为直径的圆方程；

（2）当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点。

P

B A M y

x O （第19 题）A

B

C C 1

B 1

A 1

F

D E 题）

2016年第一学期高二期中考试数学试题参考答案

1．

0(30)6

π

2．210x y +-= 3．01或 4．2或6

5．2(2)x -+2(2)y +=1 6．①④ 7．[]13-，

8．

2

2

9．[]02， 10．2

3a π 11．46r << 12．9

13．37(1)2

a -

14．145514,,2222⎛⎫⎛⎫-

-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

15．解：（1）设直线的倾斜角为α，[)0,απ∈，由512

s i n

,c o s 1313

αα==±得，5

tan 12α∴=±

当5tan 12α=时，由点斜式方程得：5

2(1)51219012y x x y -=

--+=即 当5tan 12α=-时，由点斜式方程得：5

2(1)51229012

y x x y -=--+-=即

综上：直线方程为512190x y -+=或512290x y +-=…………………………………7分 （2）设直线在,x y 轴上的截距为(),0,0a b a b >>，可设直线方程为

1x y

a b

+= 由题意得1

42

121ab a b

⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得24

a b =⎧⎨=⎩，124x y ∴+=直线方程为，即：240x y +-=……14分