第7章基本概念,一阶微分方程的积分解法习题集及答案

第七章 习题一

基本概念，一阶微分方程的积分解法

一．选择题

1．在n 阶微分方程的解中，通解为（ D ）

（A ）含有任意常数的解； （B ）含有n 个任意常数的解； （C ）含有独立常数的解； （D ）含有n 个独立的任意常数的解． 2．微分方程096=+'-''y y y 满足条件2|0='=x y ，0|0==x y 的特解为 （ D ）

（A ）C xe x +221； （B ）C xe x +32

1； （C ）x 2； （D ）x xe 32.

3．设1)(C x f ∈，则微分方程)()()(x f x f y x f y '='+'的通解是（ C ）

（A ）)()(x f Ce x f -+； （B ）C e e x f x f x f +-)()()(； （C ）)(1)(x f Ce x f -+-； （D ）)(1)(x f Ce x f +-．

4．若)(1x y 是非齐次线性方程)()(x q y x p y =+'的特解，则该方程的通解是（ B ）

（A ）⎰+-dx x p e x y )(1)(； （B ）⎰+-dx

x p Ce x y )(1)(； （C ）C e x y dx x p +⎰+-)(1)(； （D ）⎰

+dx x p Ce x y )(1)(． 二．计算题

1．设1y 和2y 是)()(x Q y x P y =+'的两个解，其中0)(≠x Q ，若21y y βα+是0)(=+'y x P y 的解，其中α、β是常数，求αβ+。

解：因为1y 和2y 是)()(x Q y x P y =+'的两个解，

所以11'()()y P x y Q x ααα+=，22'()()y P x y Q x βββ+= 两式相加可得：1212()'()()()()y y P x y y Q x αβαβαβ+++=+。 又因为21y y βα+是0)(=+'y x P y 的解且0)(≠x Q 。 所以0αβ+=

2．求微分方程)2(tan 2

12y x y +='的通解.

解：由)2(tan 2

12y x y +='可知，2(2)'tan (2)1y x x y +=++。

所以(2)tan(2)y x x y C +=++。

3．已知曲线)(x f y =过点)2

1

,0(-，且其上任一点),(y x 处的切线斜为)1ln(2x x +，求)(x f 。

解：由已知条件可得下列微分方程：

2ln(1)dy x x dx =+，1

(0)2

y =-。积分可得： )(x f =]1)1)[ln(1(2

1

22-++x x ．

4．求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解．

解：原方程可改写为x

y x y xy y x dx dy 2

2

2

)(1+=+=

，是齐次微分方程．令x y u =，化为u u dx du x u 21+=+，即u dx du x 1=．分离变量udu x

dx =，积分得2||ln 2u C x =+．还原，

整理，得所求通解)ln (222x C x y +=．

5．求微分方程

x y

x y dx dy tan +=满足初始条件(1)6

y π=的特解. 解 题设方程为齐次方程,设,x y u =

则,dx

du

x u dx dy += 代入原方程得,tan u u dx

du x u +=+分离变量得.1cot dx x

udu = 两边积分得||ln ||ln |sin |ln C x u +=

,sin Cx u =

将x

y u =回代，则得到题设方程的通解为.sin Cx x

y =

利用初始条件,6/|1π==x y 得到.2

1=C 从而所求题设方程的特解为.2

1sin x x

y =

6．求方程3()20y x dx xdy +-=满足(1) 1.2y =的特解。 解：原方程可整理为：

211

22

dy y x dx x -=

其通解为：315y x =，将初值条件代入，可得特解：315

y x =

7．求方程0)12(23=-+dy xy dx y 的通解. 解 当将y 看作x 的函数时，方程变为

2

3

21xy y dx dy -=

这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x 看作y 的函数，方程改写为

1223

=+x y dy

dx

y 则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为

0223

=+x y dy

dx

y 分离变量，并积分得,2⎰

⎰

-=y dy x dx 即211y

C x =

其中1C 为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为,1

)

(2y

y u x =代入原方程,得y

y u 1)(='

积分得 C y y u +=||ln )(

故原方程的通解为)||(ln 1

2

C y y x +=，其中C 为任意常数.

8．求微分方程62y x x

y

y =+

'的通解． 解：是伯努利方程．令5-=y z ，则有dx dy y dx dz 65--=．原方程化为255

x z x

dx dz -=-．由

公式，有]5[]5[||ln 52||ln 55

2

5

⎰⎰--

-=⎰-+⎰=dx e x C e dx e

x C e

z x x dx

x dx

x

x Cx dx x C x 2

5]15[5

35+=-=⎰

． 还原，得所求通解3552

5

x Cx y +=-．