微分的逆运算问题—不定积分
4(1)不定积分的基本知识
G( x) f ( x), 要证F( x) G( x) 常数
又 F( x) f ( x),因为
G( x) F( x) G( x) F( x) f ( x) f ( x) 0
导数恒为零的函数必为常数
某个常数
故 F(x) G(x) C0 G(x) F(x) C0
只要找到f (x)的一个原函数,就知道 它的全部原函数.
要判断一个不定积分公式是否正
确,只要将右端的函数求导,看是否等于
被积函数.
19
不定积分的基本知识
(1) kdx kx C (k是常数)
基 (2)
xdx x1 C ( 1) 1
本 (3) dx ln | x | C
积 分
x
说明：x
0,
dx x
ln x C
公 式
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1
由于原函数可导, 所以原函数必定连续,
因此在x = 0处必连续,于是有
1 C2 1 C1 C2 2 C1
故
e|x|
dx
例 已知一曲线 y = f (x)在点( x, f (x))处的切线 斜率为 sec2 x sin x, 且此曲线与y轴的交点为 (0,5), 求此曲线的方程. 解 dy sec2 x sin x
dx
y (sec2 x sin x)dx
tan x cos x C y(0) 5 C 6 所求曲线方程为 y tan x cos x 6
x 2 (1
x2
dx. )
解
1 2x2
x 2 (1
x2
dx )
1x
x2 (1
2xx2 )2dx
分项积分法
1
1
x2dx 1 x2dx
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
不定积分的概念及运算法则
y=x2
启示 结论
-1
O 1 C2 C3
于是所求曲线方程为
2
x
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基本积分表：
(1) ( 2)
∫ kdx = k x + C ∫x
∫
μ
(8)
( k 为常数)
∫ cos 2 x = ∫ sec
即 Φ ( x) = F ( x) + C0 属于函数族 F ( x) + C .
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定义 2 f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f ( x) 在 I 上的不定积分, 记作 ∫ f ( x) d x , 其中
dx
2
xdx = tan x + C
例5. 求
dx =
μ +1
1
x μ +1 + C
( μ ≠ 1)
dx (9) ∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = cot x + C sin x (10) (11) (12) (13) (14) (15)
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∫x3 x .
∫x
4 3 1 3
3 dx = x 4 +C 3 +1
i =1 i i i =1 i i
n
n
ex 5 = 2x +C ln 2 + 1 ln 2
例8. 求 ∫ tan xdx .
2 2 解: 原式 = ∫ (sec x 1)dx
不定积分定义
f (得x)的逆原运函算数—。积分运算。
同样,在下式里
F (x) f (x) (3)'
通过上面得比较,对积分运算与原函数有了初步认识,以下先给 出原函数与不定积分得有关得定义。
一、原函数与不定积分
定义 对于定义在区间I上的函数f ( x)若对 x I ,
有 F( x) f ( x) 则称 F( x) 是 f ( x) 在 区间I 上的一个原函数
G(x) F(x) G(x) F(x) 0
G(x) F(x) C, 即G(x) F(x) C
结论 : 若 F(x) f (x),
则 f (x)的 原函数都可用F (x) C 表示.
定义: f ( x)dx表示函数f ( x)的原函数的全体,
则称
即
f ( x)dx 为 f ( x)的不定积分
解 依据不定积分的定义，只要验证等式右端函数的导数
是左端的被积函数即可.
当（sec x tan x） 0时，由于
[ln(sec x tan x)]
1
(sec x tan x sec2 x)
ln(sec x tan x)
sec x,
所以，已给等式成立.
当（sec x tan x） 0时，类似地可以验证已给等式成立.
ln a
(1)
1 dx x3 x
4
x 3 dx
1
4 1
x 3 C
4 3
1
1
3x 3
C
(2) 2x exdx 2x e x C ln 2 (2e)x dx (2e)x C ln(2e)
练习：求
2x ex dx
三、不定积分得运算性质
性质1 函数代数与得不定积分等于不定积分得代数
第一节 不定积分的概念与性质
因[x 为 arx ct 1la n 1 n x (2)]arx c, tan 2
所以 xarcxta 1ln n1 (x2)是 arcx的 tan一个原 2
= =
微分运算与求不定积分的运算是互逆的:
d
F(x)F(x),dF(x)
F( x)C f(x), f(x)dx
由此可知：
(1)d d xf(x)dxf(x), d [f(x)d x]f(x)d x;
(2)F(x)dxF(x) +C, dF(x)F(x)+C.
( 2)
例3 d x x C.
二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本 积
0dxC 1dxxC
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1.
证明
arc 2 x s1 )ia ,nr(c 1 c 2 x)o 和 2 s a(rcx tan 1 x
都是 1 的原函. 数 xx2
2. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，
记 为 f ( x ) d . x
求不定积分的常用方法及应用
3 分部积分法
这个公式用于被积函数可以看成一个乘积并且化简 后上方右面公式比左面更简洁的情况。
例 1：求
解：
=
= = = 关于如何选择 和 的注意点： 1.在选取 时，需要保证能够求出 2. 最好比 更简单 3. 最好比 更简单 4 应用不定积分表 少数函数有初等原函数，有人已经将其列成一个积 分表，熟练应用积分表，并灵活将所遇到的题目转化成 积分表中的公式，将大大简化我们的积分难度。通过上 述积分方法整理，需要熟悉掌握基本积分方法，面对具 体题目时灵活运用，将复杂的题目归于这些基本方法。 5 积分在生活中的应用 例4：据说古埃及大金字塔是历时20年建成的,金字
2019 年第 28 期
SCIENCE FANS
教育教学 5
求不定积分的常用方法及应用
白燕峰 （忻州职业技术学院，山西 忻州 034000）
【摘 要】在高等数学中微积分是最重要的基础课程之一，不定积分是微分的逆运算，是定积分计算的基础，函数积 分的计算和应用对学生后续课程的学习有重要的作用。在实际生活中有好多问题可用定积分来解决。如求不规则图形的面 积、变力做功、引力计算等。与微分相比积分形式更加复杂。本文就不定积分常用的方法及其在生活中的应用略谈一二， 以供大家共同探讨。
总之，普通化学是土木工程、岩土工程、道路桥梁 与渡河工程等工科类专业重要的基础课程，意在向这些 工程类学生反映化学学科全貌，反映学科发展和进步，
体现交叉学科。把工程实践能力、创新能力的培养作为 课程的核心目标，应用在教学内容上，紧跟时代发展，突 出普通化学必备的专业基础知识和工程应用。在教学 方面采用翻转课堂和传统模式相结合的混合教学，以学 生为中心，结合多媒体、实验等各种手段，开展讨论、演 讲、调研等形式，融入学科领域的热门研究课题，引导学 生面向实际需求、解决实际问题，激发学生主动探索和 创新。
第五章微分的逆运算问题
第五章微分的逆运算问题——不定积分志立则学思从之，故才日益而聪明日盛，成乎富有。
——王夫之没有任何一门学问的学习，能象学习算术那样强有力地涉及到国内的经济、政治和艺术。
数学的学习，能够激励那些沉睡和不求上进的年轻人，促使他们发展智慧和增强记忆力，甚至取得超越自身天赋的进步。
——柏拉图本章简介由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线，和已知几何图形求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成微积分学的积分学部分。
前面已学习过已知函数求导数问题，本章考虑其反问题：已知导数求其原函数，即求一个位未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。
这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分。
§1 逆向思维又一例——原函数与不定积分提出问题已知曲线)(x f y =，求过任意点的切线的斜率（设斜率存在）。
显然，只要对)(x f y =求导即可。
反之，若已知曲线求过任意点的切线的斜率，如何求曲线的方程？即已知函数的导数，如何求已知函数。
学习过程1.1 原函数与不定积分的概念定义 设函数)(x F 与)(x f 在区间I 上有定义。
若在I 上()()x f x F ='则称函数在区间I 上的原函数。
研究原函数必须解决的两个重要问题：⑴ 什么条件下，一个函数存在原函数？⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？定理1 若函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F .定理2 设)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则⑴C x F +)(也是)(x f 的一个原函数，其中C 为任意常数；⑵)(x f 的任意两个原函数之间，相差一个常数.定义2 )(x f 在区间I 上的全体原函数称为)(x f 在I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(其中称⎰为积分号，)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量.不定积分的几何意义若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则称)(x f y =的图象为的一条积分曲线。
不定积分的换元积分法
有时计算复杂：在某些情况下，换元后需要进行的计算可 能较为复杂，需要较高的计算能力。
不定积分换元法的发展趋势
理论研究不断深入
随着数学理论的发展，不定积分换元法 的理论体系不断完善，研究不断深入。
VS
应用领域不断拓展
随着科技的发展，不定积分换元法的应用 领域越来越广泛，不仅在数学、物理等领 域得到广泛应用，也逐渐拓展到工程、经 济等领域。
不定积分的换元积分法
2023-12-23
CONTENTS 目录
• 不定积分的概念 • 换元积分法的基本思想 • 常用的换元积分法 • 换元积分法的应用实例 • 总结与展望
CHAPTER 01
不定积分的概念
定义与性质
定义
不定积分是微分的逆运算，即求一个 函数的原函数或不定积分。
性质
不定积分具有线性性质、积分常数性 质和积分区间可加性。
第二类换元积分法（变量替换法）
总结词
通过引入新的变量替换原函数中的部分变量，将不定积分转化为容易求解的形式。
详细描述
第二类换元积分法也称为变量替换法。这种方法适用于被积函数中含有根号或分母中含有变量的不定 积分。通过引入新的变量进行替换，可以将不定积分转化为容易求解的形式。常用的替换方法包括三 角函数替换、指数函数替换等。
换元积分法不仅在不定积分和解决实际问题中有应用，在其他数学领域也有广泛的应用。例如，在求 解微分方程、变分法、复变函数等领域中，换元积分法都是一种重要的工具。
通过引入适当的变量替换，可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式，从而简化计算或求解过程。
CHAPTER 05
总结与展望
不定积分换元法的优缺点
在不定积分中，如果一个函数可以表示为另一个函数的复合函数，那么可 以通过引入新的变量来简化计算。
从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系
从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系白秀琴 杨宝玉（平顶山工业职业技术学院基础部 河南平顶山 467001）摘 要：通过一类考研题的讨论，表明不定积分⎰dx x f )(只能作为运算符号，无法用来讨论)(x f 的某一原函数的性质；而变限定积分函数⎰xadt t f )(为某一确定的原函数。
可以用它来讨论)(x f 的原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等. 关键词：不定积分 原函数 变限定积分函数From a few s see the indefinite integral with change to limitthe definite integral of relationBAI Xiu-qin,Yang Bao-yu(Pingdingshang Industrial College Of Technology,Pingdingshan,Henan,467001) Abstract: Through the discussion of this kind of problems in the entranceexams for pastgraduate schools ,it showa that the indefinite integration can just be used as mathematical symbol, but can ’t used to discuss the primary function of f(x); while the Change tolimit the definite integral ，⎰xadt t f )( as one certain primary function,can discuss the quality of f(x), such as the odd or even quality, monotonity extremeum, and value etc.Key words: indefinite integration; primary function, Change to limit the definite integral求导数(或微分)的逆运算问题——求不定积分，是积分学的基本问题之一，而定积分是通过微元分析，并归结为同一类型的黎曼和的极限，这是从两个完全不同的角度引进的两个不同的概念，两者之间的联系之一就是微积分第二基本定理，也就是我们熟悉的牛顿——莱布尼兹公式：)()()(b F a F dx x f ba-=⎰该公式表明，在定理条件下，函数)(x f 在],[b a 上定积分的值等于它任意一个原函数)(x F 在该区间上的改变量)()(b F a F -，它将定积分的计算转化为求原函数的函数值问题.上面公式的重要性不用置疑，然而很多人往往忽视他们之间的另外一个联系，也就是从微积分第一基本定理得到的，这也是本文主要讨论的内容；不定积分与定积分中的变限定积分的关系，绝大部分的高等数学教材，例如同济大学的《高等数学》介绍不定积分与变限定积分的关系，主要就介绍变上限函数求导定理，并引出原函数存在定理 ，同时证明牛顿——莱布尼兹公式.，现在首先来看 变上限积分函数的求导定理：设)(x f 在],[b a 上连续，则)()(x f dt t f xx a ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰.，由此可知⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数，很多高等数学教材就只介绍上面这个求导的式子，接下来并没有强调另一关键的式子:C dt t f dx x f xa+=⎰⎰)()( (*)因为要注意的是不定积分⎰dx x f )(只能作为运算符号，或者说它表示一类函数的集合，不能表示)(x f 的一个具体的原函数，特别当)(x f 为一个抽象的函数时，无法用⎰dx x f )(来讨论它的某一原函数的性质，而dt t f xa⎰)(的最大优点在于它的确定性，可以用它来讨论)(x f 原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等等，以下我们通过几个例子来看看变限积分函数⎰xadt t f )(的应用以及它的重要性。
不定积分的计算3-2
熟能生巧。
20
三、第二类换元法 问题 解决方法 过程
1 1 x dx ?
变量代换方法 令 u x
x u2 dx 2udu
1 1 1 x dx 1 u 2udu
再应用凑微分及积分公式即可求出
21
1 设函数 g 连续， 具有连续导数， 存在 定理
2
2
2
(13)
chxdx shx C
7
4、不定积分的性质: 1) f ( x )dx f ( x ) d[ f ( x )dx] f ( x )dx f ( x)dx f ( x) C df ( x ) f ( x ) C
、 是两个常数， 2) 设函数 f 和 g 的原函数都存在， 则 [f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
3
例3、设曲线通过点 (2, 1) ，曲线上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的三倍，求此曲线方程。 解： 设曲线方程为 y = f (x) , dy 3 x 即 f (x) 是3x 的一个原函数 dx 3 2 3 2 又 3 xdx x C f ( x ) 2 x C 2 ( x, y ) (2, 1) C 5 3 2 ∴所求曲线方程为 y x 5 2
可作为一般的常用积分公式
16
1 dx 例14、计算 2 x 8 x 25
1 dx 例15、计算 x 1 e 1 解： 1 e x dx (1) 1 e x e x dx x 1 e
e x x dx ( 2) e 1
17
x 1 dx 例16、计算 2 x x 1 1 3 (2 x 1) 2 2 dx 解：原式 2 x x 1
微分的逆运算问题-不定积分
线性运算法则 I
线性运算法则 II
例2
(2 cos x ex x 3)dx 2 cos xdx exdx xdx 3 dx
2sin x ex 1 x2 3x C 2
例3
1
x2 x2
dx
(1
1
1 x
2
)dx
=
微分的逆运算问题－不定积分
欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校
§1 原函数与不定积分
§1.1 原函数与不定积分的 概念
§1.2 基本积分公式 §1.3 不定积分的线性运算
法则
§1.1 原函数与不定积分的概念
不定积分 <－>
微分的逆运算
微分问题
已知作匀加速直线运动的物体的位 移S(t)，求速度.
dx
cos
x,
y |x0 0.
dy
dx
cos
x,
y |x0 0.
dy cos x dx
y cos xdx sin x C.
y |x0 sin 0 C 0
C 0
y sin x
基本积分公式
求导公式与积分公式相对应
f xdx Fx C
Fx f x
Table of Indefinite Integrals
x n dx x n1 C n 1
ex dx ex C
1 x
dx
ln
x
C
ax dx ax C ln a
sin x dx cosx C csc2 x dx cot x C
教案4-不定积分
教案4-不定积分n e w(共18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第四章 不定积分§ 不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。
但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。
“积分”是“微分”的逆运算。
一、 原函数1、原函数定义我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间t 变化的规律为()s s t =，那么，在任意时刻t 物体运动的速度为()()v t s t '=。
现在提出相反的问题：例1 已知某物体运动的速度随时间t 变化的规律为()v v t =，要求该物体运动的路程随时间变化的规律()s s t =。
显然，这个问题就是在关系式()()v t s t '=中，当()v t 为已知时，要求()s t 的问题。
例2 已知曲线()y f x =上任意点(,)x y 处的切线的斜率为2x ，要求此曲线方程，这个问题就是要根据关系式2y x '=，求出曲线()y f x =。
从数学的角度来说，这类问题是在关系式()()F x f x '=中，当函数()f x 已知时，求出函数()F x 。
由此引出原函数的概念。
定义 : 设)(x f 是定义在某区间I 内的已知函数，如果存在一个函数)(x F ，对于每一点x I ∈，都有：()()F x f x '= 或 dx x f x dF ⋅=)()(则称函数)(x F 为已知函数)(x f 在区间I 内的一个原函数。
例如，由于(sin )cos x x '=，所以在(,)-∞+∞内，sin x 是cos x 的一个原函数；又因为(sin 2)cos x x '+=，所以在(,)-∞+∞内，sin 2x +是cos x 的一个原函数；更进一步，对任意常数C ，有(sin )cos x C x '+=，所以在(,)-∞+∞内，sin x C +都是cos x 的原函数。
不定积分与导数和微分的关系
不定积分与导数和微分的关系不定积分与导数和微分的关系在微积分中，不定积分、导数和微分是三个重要且密切相关的概念。
它们之间存在着紧密的联系和相互影响，互为逆过程。
本文将深入探讨不定积分与导数和微分的关系，通过从简到繁的方式，帮助读者更好地理解这一主题。
我。
不定积分的概念和性质不定积分是微积分中的一种运算。
它的概念可以通过对导数运算的逆运算来理解。
给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)= f(x)，那么F(x)就是f(x)的不定积分，通常表示为∫f(x)dx。
不定积分表示我们在求函数f(x)的导数时所得到的原函数。
不定积分具有以下性质：1. 线性性质：对于任意的常数a和b，有∫(af(x) + bg(x))dx =a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
2. 可加性质：对于任意的函数f(x)和g(x)，有∫(f(x) + g(x))dx =∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
3. 常数项性质：对于任意的函数f(x)，有∫f(x)dx + C，其中C为常数。
二。
导数和微分的概念和性质导数是微积分中的另一种重要概念。
给定一个函数f(x)，其导数表示函数在某一点上的变化率。
导数是通过极限的思想定义的，即f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h) - f(x))/h〗。
导数可以描述函数的变化趋势和曲线的斜率。
微分是导数的微小变化，可以理解为导数的不确定性。
微分在一元函数中通常表示为dx，可以表示函数f(x)在某一点上的微小变化量。
微分可以帮助我们研究函数在局部的性质和变化。
导数和微分具有以下性质：1. 线性性质：对于任意的常数a和b，有(d/dx)(af(x) + bg(x)) =a(d/dx)(f(x)) + b(d/dx)(g(x))。
2. 可加性质：对于任意的函数f(x)和g(x)，有(d/dx)(f(x) + g(x)) = (d/dx)(f(x)) + (d/dx)(g(x))。
微积分第6章不定积分
如果被积函数是奇函数或偶函数，那么在不定积分时，我们需要注意奇偶性的性质，以 便简化计算过程。例如，如果被积函数是奇函数，那么其不定积分的结果将是偶函数；
反之，如果被积函数是偶函数，那么其不定积分的结果将是奇函数。
被积函数可积性问题
要点一
总结词
被积函数的可积性是解决不定积分问题的前提条件。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有一些重要的性质，包括 线性性质、可加性、可乘性等。
详细描述
不定积分具有以下性质
02
01
可乘性
∫f(x) * g(x) dx = ∫f(x) dx * ∫g(x) dx， 即两个函数的乘积的不定积分等于它 们不定积分的乘积。
05
03
线性性质
∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b是常数，f(x)和 g(x)是可积函数。
详细描述
幂函数不定积分是微积分中一个重要的知识点，它涉及到 函数的积分和微分之间的关系，对于理解微积分的基本概 念和运算规则具有重要意义。
三角函数不定积分
总结词
三角函数不定积分是微积分中的重要内容，需要 掌握基本的积分公式和运算方法。
总结词
掌握三角函数不定积分的计算方法，对于解决与 三角函数相关的物理问题和工程问题具有重要意 义。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通过求导数的逆运算，将原函数进行不定积分，得到不定积分的结 果。这种方法适用于一些简单的不定积分，但对于一些复杂的不定积分，可能需要结合其他方法一起 使用。
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化不定积分的方法。
不定积分与求导数或微分互为逆运算
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
9
4.2.2 基本积分表
例3 解
求
∫
2
(3 x − 1) 2 dx ．
∫ =∫
(3 x − 1) 2 dx = (3 x 2 − 23 x + 1)dx
3
∫
x dx − 2
∫
3
xdx + dx
∫
3 5 3 4 = x3 − x3 + x + C ． 5 2
10
4.2.2 基本积分表
∫
2
∫
∫
∫
∫
13
2
2
(sin x)′ = cos x；
2
6
4.2.2 基本积分表
10.
∫
∫
1 dx (arcsin x)′ = = arcsin x + C ； ； 2 2 1− x 1− x
1 1 ′= (arctan x) ； 11. 1 + x 2 dx = arctan x + C ； 1+ x2
7
4.2.2 基本积分表
(cos x)′ = −sin x；
5
4.2.2 基本积分表
7. cos xdx = sin x + C ；
2
∫ 8. ∫ sec xdx = tan x + C ； (tan x)′ = sec x； (cot 9. ∫ csc xdx = − cot x + C ； x)′ = −csc x；
4.2.1 不定积分的性质
性质1 性质1 运算． 运算．
不定积分与求导数或微分互为逆
∫ ∫ (2) ∫ F ′( x)dx = F ( x) + 1) [ f ( x)dx]′ = f ( x) 或 d[ f ( x)dx] = f ( x)dx ．
如何讲解不定积分
㊀㊀㊀㊀㊀㊀如何讲解不定积分如何讲解不定积分Һ杜先云１㊀任秋道２㊀（１．成都信息工程学院数学学院，四川㊀成都㊀６１０２２５；２．绵阳师范学院数理学院，四川㊀绵阳㊀６２１０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ函数的不定积分是与函数导数（微分）相反的问题，本文给出了利用导数（微分）来计算不定积分的方法，同时推广了不定积分的基本公式．ʌ关键词ɔ导数；微分；不定积分ʌ基金项目ɔ四川省教育厅基金资助（１６ＺＢ０３１４）一㊁引㊀入许多实际问题需要解决与求导问题相反的问题，即已知某个函数的导数来求这个函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数．由此引出了原函数和不定积分的概念．反的问题比正的问题更加难于理解．例如，学生理解反函数就比较困难．不定积分比导数更难理解，不易入门，为此笔者归纳总结了如下内容．二㊁不定积分的概念定义１㊀设ｆ（ｘ）是定义在区间Ｉ上的一个函数．如果存在区间Ｉ上的一个可导函数Ｆ（ｘ），使得对任意的ｘɪＩ均有Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），或ｄＦ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｄｘ，那么函数Ｆ（ｘ）称为ｆ（ｘ）（或ｆ（ｘ）ｄｘ）在区间Ｉ上的一个原函数．也就是说，一个函数的导数等于已知函数，这个函数就是已知函数的原函数．原函数的存在问题㊀如果ｆ（ｘ）在某区间Ｉ上连续，那么ｆ（ｘ）在该区间上一定有原函数，即一定存在区间Ｉ上的可导函数Ｆ（ｘ），使得任意ｘɪＩ，都有Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），或ｄＦ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｄｘ．原函数的一般表达形式㊀如果ｆ（ｘ）一旦存在原函数，它的原函数就不唯一，那么这些原函数之间有什么差异呢？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结论：定理１㊀若函数Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的一个原函数，则Ｆ（ｘ）＋Ｃ是ｆ（ｘ）的全部原函数，其中Ｃ为任意常数．证明㊀若ｆ（ｘ）有一个原函数Ｆ（ｘ），则有Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），且对于任意常数Ｃ，［Ｆ（ｘ）＋Ｃ］ᶄ＝Ｆᶄ（ｘ）＋Ｃᶄ＝ｆ（ｘ）（ｘɪＩ），即函数Ｆ（ｘ）＋Ｃ也是ｆ（ｘ）的原函数．也就是说，如果ｆ（ｘ）有一个原函数Ｆ（ｘ），那么就有无穷多个原函数．另一方面，设Ｇ（ｘ）是ｆ（ｘ）的另一个原函数，即Ｇᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），下面证Ｆ（ｘ）与Ｇ（ｘ）之间只相差一个常数．事实上，由于［Ｆ（ｘ）－Ｇ（ｘ）］ᶄ＝Ｆᶄ（ｘ）－Ｇᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０（ｘɪＩ），根据拉格朗日中值定理的推论：在一个区间上导数恒为零的函数为常数，所以Ｆ（ｘ）－Ｇ（ｘ）＝Ｃ０（Ｃ０为某一个常数），或者Ｇ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ０．因此，对于任意常数Ｃ，表达式Ｆ（ｘ）＋Ｃ就可以表示ｆ（ｘ）的任何一个原函数．ｆ（ｘ）的全体原函数所构成的集合是一个函数族，记为｛Ｆ（ｘ）＋Ｃ｜－ɕ＜Ｃ＜＋ɕ｝．为了书写方便，简记为Ｆ（ｘ）＋Ｃ．定义２㊀如果函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上有原函数，那么ｆ（ｘ）在Ｉ上的全体原函数所组成的集合称为ｆ（ｘ）在区间Ｉ上的不定积分．也就是说，函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上含有任意常数的原函数（即Ｆ（ｘ）＋Ｃ）是ｆ（ｘ）在区间Ｉ上的不定积分，记为ʏｆ（ｘ）ｄｘ，其中符号ʏ叫作积分符号，ｘ叫作积分变量，ｆ（ｘ）叫作被积函数，ｆ（ｘ）ｄｘ叫作被积表达式．三㊁利用微分理解不定积分不定积分是导数（微分）的逆问题，导数（微分）运算与积分运算是互逆运算，因此常常借助于导数（微分）运算来计算不定积分．定理２㊀函数的不定积分与微分（导数）的关系：ｄｄｘʏｆ（ｘ）ｄｘ[]＝ｆ（ｘ），ｄʏｆ（ｘ）ｄｘ[]＝ｆ（ｘ）ｄｘ，ʏＦᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，ʏｄＦ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ．证明㊀设Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），有ʏｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ．利用导数与微分的运算法则可得：ｄｄｘʏｆ（ｘ）ｄｘ[]＝［Ｆ（ｘ）＋Ｃ］ᶄ＝Ｆᶄ（ｘ）＋Ｃᶄ＝ｆ（ｘ），ｄʏｆ（ｘ）ｄｘ[]＝ｄ［Ｆ（ｘ）＋Ｃ］＝ｄＦ（ｘ）＋ｄＣ＝ｆ（ｘ）ｄｘ，ʏＦᶄ（ｘ）ｄｘ＝ʏｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，ʏｄＦ（ｘ）＝ʏＦᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ．积分与微分的关系表明：符号ʏ表示积分运算，ｄ表示微分运算．当积分运算ʏ与微分运算ｄ结合在一起（它们中间没有任何函数）时，相互抵消，或者抵消后剩余一个常数．因此，在忽略任意常数的基础上，积分与微分互为逆运算．与加㊀㊀㊀㊀㊀减乘除四则运算类似，要求逆运算积分，开始的时候常常要借助顺运算微分．不定积分ʏｆ（ｘ）ｄｘ是一个整体记号，也可以拆开来理解，符号ʏ表示积分运算，ｄｘ可以看作变量ｘ的微分，而ｆ（ｘ）ｄｘ则表示一个函数的微分．计算ʏｆ（ｘ）ｄｘ就是寻找原函数的微分，即求出ｄＦ（ｘ）．也就是ʏｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏｄＦ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ．例如，ʏｄｘ＝ｘ＋Ｃ，ʏｄｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ＋Ｃ，ʏｄｅ２ｘ＝ｅ２ｘ＋Ｃ．此外，我们也要理解公式：ʏＦᶄ（ｘ）ｄｘ＝ʏｄＦ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ．如，ʏｋｄｘ＝ʏ（ｋｘ）ᶄｄｘ＝ｋｘ＋Ｃ，ʏｓｅｃ２ｘｄｘ＝ʏ（ｔａｎｘ）ᶄｄｘ＝ｔａｎｘ＋Ｃ，ʏ１１－ｘ２ｄｘ＝ʏ（ａｒｃｓｉｎｘ）ᶄｄｘ＝ａｒｃｓｉｎｘ＋Ｃ．例㊀已知（１）ｆᶄ（ｓｉｎ２ｘ）＝ｃｏｓ２ｘ，（２）ʏｆ（ｘ）ｄｘ＝ｅｘ＋ｃｏｔｘ＋Ｃ，分别求ｆ（ｘ）．解㊀（１）因为ｆᶄ（ｓｉｎ２ｘ）＝ｃｏｓ２ｘ＝１－ｓｉｎ２ｘ，所以ｆᶄ（ｘ）＝１－ｘ，因而ｆ（ｘ）是１－ｘ的原函数．由定理２，可得ｆ（ｘ）＝ʏ（１－ｘ）ｄｘ＝ｘ－ｘ２２＋Ｃ．（２）根据定理２，可得ｆ（ｘ）＝ｄｄｘʏｆ（ｘ）ｄｘ[]＝（ｅｘ＋ｃｏｔｘ＋Ｃ）ᶄ＝ｅｘ－ｃｓｃ２ｘ．四㊁基本积分公式及推广因为积分运算与微分运算互为逆运算，所以由导数公式可以相应地得出基本积分公式．基本积分公式是求不定积分的基础，其他函数的不定积分常常经过运算变形后最终都归结为运用基本积分公式求解．直接利用基本积分公式与线性性质来求解不定积分的方法常常被称为直接积分法．下面推广基本积分公式．我们知道，基本积分公式有时不能很好地解决大量初等函数的原函数问题，需要加以推广．有下面定理：定理３㊀如果ʏｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，ｕ＝φ（ｘ）是ｘ的任一可导函数，则ʏｆ［φ（ｘ）］φᶄ（ｘ）ｄｘ＝ʏｆ（ｕ）ｄｕ＝［Ｆ（ｕ）＋Ｃ］ｕ＝φ（ｘ）．证明㊀由ʏｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，知Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），又ｕ＝φ（ｘ）是ｘ的可导函数，则有ｕᶄ＝φᶄ（ｘ），从而Ｆ［φ（ｘ）］可导，并且利用复合函数的求导法则，可得ｄｄｘＦ［φ（ｘ）］＝ｄＦｄｕ㊃ｄｕｄｘ＝Ｆᶄ［φ（ｘ）］φᶄ（ｘ）＝ｆ［φ（ｘ）］φᶄ（ｘ）．因此，Ｆ［φ（ｘ）］是ｆ［φ（ｘ）］φᶄ（ｘ）的一个原函数，从而ʏｆ［φ（ｘ）］φᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ［φ（ｘ）］＋Ｃ．根据微分的意义，有φᶄ（ｘ）ｄｘ＝ｄｕ，可得ʏｆ［φ（ｘ）］φᶄ（ｘ）ｄｘ＝ʏｆ（ｕ）ｄｕ＝［Ｆ（ｕ）＋Ｃ］ｕ＝φ（ｘ）．定理３表明：如果Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的一个原函数，ｕ＝φ（ｘ）是任一可导函数，则有ʏｆ（ｕ）ｄｕ＝Ｆ（ｕ）＋Ｃ，即ʏｆ［φ（ｘ）］φᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ［φ（ｘ）］＋Ｃ．也就是说，在不定积分的等式中，将积分变量换成任一可导函数等式仍然成立．因此，在基本积分公式中，把自变量ｘ换成任一可微函数ｕ＝φ（ｘ）后，公式仍成立．如，ʏｅｘ２ｄｘ２＝ｅｘ２＋Ｃ，ｕ＝ｘ２；ʏ１１＋ｘｄ（１＋ｘ）＝ｌｎ｜１＋ｘ｜＋Ｃ，ｕ＝ｘ＋１；ʏ１１＋ｘ２ｄ（１＋ｘ２）＝ｌｎ（１＋ｘ２）＋Ｃ，ｕ＝ｘ２＋１；ʏ１ｃｏｓｘｄ（ｃｏｓｘ）＝ｌｎ｜ｃｏｓｘ｜＋Ｃ，ｕ＝ｃｏｓｘ．这个定理极大地丰富了基本积分公式的内容，也扩大了其使用范围．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学数学系．高等数学（第七版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［２］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育版社，２００１．［３］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法（第二版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６．［４］杜先云，任秋道．如何利用构造法培养学生的创新思维［Ｊ］．绵阳师范学院学报，２０１５（１１）：１２６－１３０．［５］杜先云，任秋道，王敏，等．条件极值与均值不等式求最值的比较［Ｊ］．绵阳师范学院学报，２０１８（０８）：３０－３３，４６．［６］林银河．Ｖ－型函数的周期点［Ｊ］．四川师范大学学报：自然科学版，２０１５（０４）：１３２－１３５．［７］周世新．关于函数极限求法的探讨［Ｊ］．呼伦贝尔学院学报，２００９（０１）：７０－７２．。
不定积分的性质与基本积分公式
(
)
3 2
(
)
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例4 求 ∫ sin 3 xdx . 解
3 2 sin x d x = sin ∫ ∫ x sin x dx
= − ∫ (1 − cos 2 x )dcos x 1 3 = − cos x + cos x + C . 3
dx . 例5 求 ∫ x ln x
解
dx d( ln x ) ∫ x ln x = ∫ ln x = ln ln x + C .
O y
y = F ( x) + C y = F ( x)
i ( x 0 , y0 )
x
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满足条件 F ( x0 ) = y0 的原函数正是在积分曲线中
通过点( x0 , y0 ) 的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
s ( t ) = ∫ v 0 dt = v 0 t + C .
则
∫ g(ϕ ( x ))ϕ ′( x )dx = ∫ g( u)du
= G ( u) + C = G (ϕ ( x )) + C . (1)
d 证 因为 G (ϕ ( x )) = G ′(ϕ ( x ))ϕ ′( x ) = g (ϕ ( x ))ϕ ′( x ). dx
所以(1)式成立.
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2 2 tan x d x = (sec x − 1)dx = tan x − x + C . 例3 ∫ ∫
例4
x −x 2 2x −2 x (10 − 10 ) d x = (10 + 10 − 2)dx ∫ ∫
= ∫ [(102 ) x + (10−2 ) x − 2]dx 1 2x −2 x (10 − 10 ) − 2 x + C . = 2 ln10
高数第四章第一节不定积分
例5. 求
x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C 3 +1
4 3
4+1
= 3x
例6. 求 解: 原式=
1 3
+C
∫
1 sin xdx 2
= 1 cos x + C 2
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三、不定积分的性质
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
1 1 (1 + x2 ) x2 1 = 2 (1) 2 = 2 2 2 2 x 1+ x x (1+ x ) x (1+ x )
2 2 1 sin x + cos x (2) = 2 2 sin x cos x sin2 x cos2 x
= sec x + csc x
2 2
机动
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结束
∫F′(x) dx =F(x) + C
或 ∫ d F(x) = F(x)+ C
结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 微分运算与求不定积分的运算是互逆 互逆的
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结束
′ x x+1 实例 = x ∫ xdx = + C. +1 + 1 ( ≠ 1)
+1
二、 基本积分表 (P188-189)
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微分运算和不定积分运算是互逆的
关于微分和不定积分互为逆运算的证明
一开始就定义∫f（x）dx=F（x）+C的原因是假设我们把不定积分里面的dx看成微分的话就可以得到一个结果即∫f（x）dx=∫dF（x）=F（x）+C，这样的话虽然在不定积分里面dx没有实际意义，可正是由于这样的定义带来了一个好处，就是似乎∫和d为互逆运算，减少了思维过程。
实际上不定积分中dx并没有实际意义，仅仅是一个记号。
只不过我们这样定义的时候在求不定积分会简便很多。
比如∫xe^（x^2)dx=1/2∫e^(x^2)dx^2=1/2e^(x^2)+C。
把dx看做微分的话就很简便了。
这也是第一类换元法里面的一个知识。
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1 ( x 1 2 )dx x 1
2
1 (x 1 2 )dx x 1
2
1 x dx dx 2 dx x 1 1 3 x x arctan x C . 3
2
例3 求 ( x 1)2 dx.
解一 原式 ( x 2 x 1)dx
1 e d x
e C .
1 x
1 x
1 x
1 x
3、用第二换元法求不定积分： dx dx dx 1) ;2) ;3) . 2 2 (1 x ) 2x 3 1 1 ex
提示与分析： 前两题属于无理根式的不定积分，只需 将无理部分设为整体变量即可；第三题属于 三角代换类型，设 x tan t 便可简化运算.
.
解
1 令x ，则 t
原式=
1 2 dt t
1 1 1 2 2 t t
t t2 1 dt
化简
t t2 1
dt
1 1 d( t 2 1) 2 t2 1
凑微分
t2 1 C
1 1 C. 2 x
1 t x
例7 求 arcsin xdx.
将被积函数向着基本公式的方向简化.
原式= ( 解：
3 2 1 x2
sin x )dx
3 1 dx sin xdx 2 1 x2 3 arcsin x cos x C . 2
2、用第一换元法求不定积分： 1) xe dx;
x2
e 2) 2 dx . x
2
利用不定积 分性质计算
x dx 2 xdx dx
2
1 3 x x2 x C . 3
解二 原式 ( x 1)2dx ( x 1)2d ( x 1) dx
1 ( x 1)3 C . 3
利用第一换 元法计算
1 例4 求 dx . x ln x 1 1 解 原式 dx ln x x
tan t x
1 x2
1 1 t sin t cos t C 2 2
t
1
x
x 1 1 x arctan x C . sin t 2 4 1 x2 1 x2 1 cos t 1 x2
4、求不定积分 e sin xdx.
2x
提示与分析： 逐一判断积分方法可知，该题需用分部
dx .(2000年考研题)
2
2td 解 令 x tt ( t 0), 则x t , dx 2tdtt.
于是, 原式=
arcsin
2 arcsin tdt
t 1 t2 dt ]
2[t arcsin t
1 d(1 t 2 ) 2[t arcsin t ] 2 1 t2
1 d(1 t 2 ) 2[t arcsin t ] 2 1 t2
2t arcsin t 2 1 t C
2
t
2 x arcsin x 2 1 x C .
x
例9 已知f ( x )的一个原函数为 ln 2 x , 则 xf ( x )dx ______________. (2002年考研题)
原式=
sin
2
t
1 dt 2 sin t
csc 2 tdt
cot t C
cot t C
1 x2 cot t x
1 x2 C. x
sin t x
1
x
t
1 x2
例6 求
d
1 x t
12 2 (x ) 1 ( 12)2 x t t
2 ln x 解 由题意知：f ( x ) (ln x ) , x 于是， xf ( x )dx xdf ( x )
2
xf ( x ) f ( x )dx
2 2ln x ln 2 x C .
练习题
1、求不定积分 (
提示与分析：
3 4 4x
2
sin x )dx .
1 ln x d(ln x )
ln ln x C .
1 从而 dx ln ln x C . x ln x
例5 求
dx x2 1 x2
.
π
解一 令x sin t , t (0,
cos 1 x 2 1 sin2 t cos tt,
2
)， 则
dx (sin t )dt cos ttdtt d，
知识网络图
定义 设函数F ( x )与f ( x )在区间I 上有定义. 若在I 上F ( x ) f ( x ), 则称函数F ( x )为f ( x ) 在区间I 上的一个原函数.
原函数的概念 概念 原函数存在定理 不定积分的概念 运算法则
不 定 积 分
定义 f ( x )在区间I 上的全体原函数称为
积分公式求，注意用分部积分公式时尽量
使函数类型一致.
e 2 xd(cos x ) 解： 原式
e 2 x cos x cos xd(e 2 x )
e 2 x cos x 2 e 2 x cos xdx
e cos x 2 e cos xdx
2x 2x
e cos x 2 e d(sin x )
解
((x 22e22xx)) (C ) xe ( x 2 )e x x 2 (e x )0 2 xe x x 2e x .
x 例2 求 2 dx . x 1
提示与分析：
4
对被积函数进行变形，然后再积分.
解 原式
x 1 1 dx 2 x 1 [ 2 ]dx 2 x 1 x 1
基本积分公式 f ( x )在I 上的不定积分，记作 f ( x )dx . 直接积分法 积分法 换元积分法 分部积分法 第二换元积分法 第一换元积分法
例题
例1 已知 f ( x )dx x 2e2 x C , 求f ( x ).
提示与分析：
根据不定积分的定义，我们知道x 2e 2 x C 是f ( x )的所有原函数,由原函数定义知 f ( x ) ( x 22e 22xx C ). f ( x) ( x e C )
1 1 [ ]dt t 1 t 1
ln t 1 ln t 1 C
t 1 ln C t 1
ln 1 ex 1 1 e 1
x
t 1 ex
C.
3)令x tan t ,
1 x 2 sec2 t , dx sec2 tdt , 于是,
u
v
解 原式 x arcsin x x darcsin x d arcsin
x arcsin x x
1 1 x2 1
dx
2 x arcsin x 1 d(1 x ) 2 2 1 x
x arcsin x 1 x 2 C .
例8 求
arcsin x x
2x 2x
e2 x cos x 2e2 x sin x 4 e2 x sin xdx
1 2x e cos xdx e (2sin x cos x ) C . 5
2x
2)令t 1 e x ,
则x ln(t 2 1), dx
2t dt , 2 t 1
于是,
dx 1 ex
1 2t 2 dt t t 1
1 2 2 dt t 1
1 2 dt ( t 1)( t 1)
1 2 dt ( t 1)( t 1)
第五章
微分的逆运算问题
—不定积分
习题课
一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题
目的要求
☆ 理解原函数与不定积分的概念；
☆ 掌握不定积分的基本性质、基本积分公式、
换元积分法和分部积分法;
☆ 了解不定积分中所蕴涵的辩证法.
重点与难点
重点：不定积分与微分的关系，不定 积分的计算. 难点：灵活运用各种方法求不定积分.
sec2 t 原式 dt cos 2 tdt sec4 t
1 cos 2t dt 2
1 ( dt cos 2tdt ) 2
1 cos 2t cos t 2
2
1 ( dt cos 2tdt ) 2
1 1 t sin 2t C 2 4
解： 1)设t 2 x 3,
1 2 则x ( t 3), dx tdt , 2 tdt ( t 1) 1dt 于是, 原式 t 1 t 1
1 dt dt t 1
t ln t 1 C
2 x 3 ln( 2 x 3 1) C .
1 x
提示与分析： 该题利用凑微法解题，注意观察被积函数中 复合函数部分与剩余部分的关系.
x2 解 1)原式 e x xdx e x d 2
2
2
1 x2 2 1 x2 e dx e C . 2 2
1 2)原式 e x 2 dx 1 e [ 2 ]dx 2 x