谓词逻辑的性质及前束范式

第七讲

谓词逻辑的性质及前束范式

1.在命题逻辑中成立的基本等价式（详见第三讲）可以推广到谓词逻辑中：

例如：

幂等律在谓词逻辑中表述为：

x A（x）∧x A（x）x A（x）

蕴涵律在谓词逻辑中表述为：

x（A（x）→B）x（┓A（x）∨B）

2.量词和否定的交换：

┓x A（x）x ┓A（x）

┓x A（x）x ┓A（x）

3.量词辖域的扩张和收缩

【这里注意x（A（x）→B）和xA（x）→B 的区别：

比如A（x）: x遵纪守法B：社会和谐

xA（x）→B表述为：只要人人遵纪守法，社会就会和谐

x（A（x）→B）表述为：对于每一人，只要他遵纪守法，社会就会和谐】

以下是等价公式：

（1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B

（2）x（A（x）∧B）xA（x）∧B

（3）x（A（x）∨B）xA（x）∨B

（4）x（A（x）∧B）xA（x）∧B

（5）x（A（x）→B）xA（x）→B

该公式看上去难以理解，所以证明如下：

x（A（x）→B）x（┓A（x）∨B）蕴涵律

x┓A（x）∨B

┓xA（x）∨B 否定的交换

xA（x）→B 蕴涵律

（6）x（B→A（x））B→xA（x）

（7）x（A（x）→B）xA（x）→B （证明类似公式（5））

（8）x（B→A（x））B→xA（x）

4.量词和联结词的关系的等值式

xA（x）∧xB（x）x(A（x）∧B（x）)

xA（x）∨xB（x）x(A（x）∨B（x）)

5.量词和联结词的重言蕴含式

xA（x）∨xB（x）x（A（x）∨B（x））

x（A（x）∧B（x））xA（x）∧x B（x）

后者是不能推出前者的，比如对于第一个公式：

x有两个取值，x取0时，A（x）为True, B（x）为False; x取0时，A（x）为False, B（x）为True. 此时，前者能推出后者，后者不能推出前者。

利用以上规则及前面命题逻辑中相应的公式，我们可以进行公式的等价性证明.

举例来说：

证明┓xy（F（x）∧G(y) →H(x,y)）xy（F（x）∧G(y) ∧┓H(x,y)）

证：┓xy（F（x）∧G(y) →H(x,y)）

x ┓（y（┓（F（x）∧G(y)）∨H(x,y)））

xy┓（┓（F（x）∧G(y)）∨H(x,y)）

xy（F（x）∧G(y) ∧┓H(x,y)）

6.前束范式

所谓前束范式，通俗来讲，就是将命题公式中所有的量词提到最前面。

举例来说：

x F（x）∧┓x G(x)

化为前束范式：x F（x）∧┓x G(x)

x F（x）∧x ┓G(x)

x （F（x）∧┓G(x)）

有时，我们需要变换变元的名称：

比如：(x F（x，y）→yG(y)) →x H（x，y）

(x F（x，y）→zG(z)) →t H（t，y）

(┓x F（x，y）∨zG(z)) →t H（t，y）

┓(┓x F（x，y）∨zG(z)) ∨t H（t，y）

(x F（x，y）∧┓zG(z)) ∨t H（t，y）

(x F（x，y）∧z┓G(z)) ∨t H（t，y）

xz t (( F（x，y）∧┓G(z)) ∨H（t，y）)

这里需要注意：我们看到在x F（x，y）→yG(y) 中，量词的作用范围只局限在其后面一个谓词，所以尽管后面yG(y)含有y,但此y不是F（x，y）中的y. 所以yG(y)可以变为zG(z)；但是x H（x，y）中的y,由于前面没有量词来约束y,所以此y和F（x，y）中的y是同一个y.