最短距离问题

第三讲最短距离问题

一、知识梳理

几何模型1

条件：如图，、是直线同旁的两个定点．

问题：在直线上确定一点，使的值最小．

方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，

则的值最小

几何模型2

条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等

问题：在直线上确定一点，使的值最大

方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小

二、方法归纳

对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。

对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。

三、课堂精讲例题

（一）、题中出现一个动点。

例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC 最小值。

【难度分级】A类

〖试题来源〗经典例题

〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用

〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，

易求

解：作关于对称点

四边形ABCD是正方形

在上，且

即是的最小值

【搭配课堂训练题】

1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标

【难度分级】A类

〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。

〖答案〗

解：（1）由题意得解得

∴此抛物线的解析式为

（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.

设直线的表达式为则

解得

∴此直线的表达式为

把代入得

∴点的坐标为

例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C 两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．

【难度分级】A类

〖试题来源〗2009眉山中考数学真题

〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用

〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB 与对称轴的交点M即为所求。

（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得

∴抛物线的解折式为

（2）抛物线的对称轴为

∵B、C关于x＝对称∴MC＝MB

要使最大，即是使最大

由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大易知直线AB的解析式为∴由得∴M（，－）

（二）、题中出现两个动点。

例3、如图：在△ABC中,,,M、N分别AB,AC上动点,求BN+MN+MC最小值

【难度分级】B类

〖试题来源〗2003年浙江余姚中学保送生测试题

〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”

②掌握双动点问题的解题方法

〖解题思路〗当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。

解:作关于对称点,关于对称点,

有 (当、运动到、时等号成立),

、

为正三角形

【搭配课堂训练题】

1、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图9是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图10是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．

（1）求、，并比较它们的大小；

（2）请你说明的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图11所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

【难度分级】B类

〖试题来源〗2009年湖北恩施自治州中考真题。

〖答案〗

解:⑴图9中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,

∴AC=30

在Rt△ABC 中，AB=50 AC=30 ∴BC=40

∴ BP=

S1=

⑵图10中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，

又BC=40 ∴BA'=

由轴对称知：PA=PA'

∴S2=BA'=

∴﹥

(2)如图10，在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'

∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B

∴S2=BA'为最小

（3）如图12，过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B',交

X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求

A'B'=

∴所求四边形的周长为

例4、如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值. 【难度分级】B类

〖试题来源〗经典例题

〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”

②使学生掌握，在由“折”转“直”的过程中，如何做到最短。

〖解题思路〗

解：作关于的对称点,

在上运动,当运动到时,即，最短为

【搭配课堂训练题】

如图，在锐角中，，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是________．

【难度分级】B类

〖试题来源〗2009年陕西省中考真题。

〖答案〗4

（三）、题中出现三个动点时

例5、如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF 最小值

【难度分级】B类

〖试题来源〗经典例题

〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”

②掌握三动点问题的解题方法

〖解题思路〗

当题中出现三个动点时,在求解时应注意两点,(1)作定点关于动点所在直线的对称