最短距离问题

第三讲最短距离问题
一、知识梳理
几何模型1
条件：如图，、是直线同旁的两个定点．
问题：在直线上确定一点，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，
则的值最小
几何模型2
条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等
问题：在直线上确定一点，使的值最大
方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小
二、方法归纳
对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。

对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。

三、课堂精讲例题
（一）、题中出现一个动点。

例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC 最小值。

【难度分级】A类
〖试题来源〗经典例题
〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用
〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，
易求
解：作关于对称点
四边形ABCD是正方形
在上，且
即是的最小值
【搭配课堂训练题】
1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标
【难度分级】A类
〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。

〖答案〗
解：（1）由题意得解得
∴此抛物线的解析式为
（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.
设直线的表达式为则
解得
∴此直线的表达式为
把代入得
∴点的坐标为
例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C 两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．
【难度分级】A类
〖试题来源〗2009眉山中考数学真题
〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用
〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB 与对称轴的交点M即为所求。

（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得
∴抛物线的解折式为
（2）抛物线的对称轴为
∵B、C关于x＝对称∴MC＝MB
要使最大，即是使最大
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大易知直线AB的解析式为∴由得∴M（，－）
（二）、题中出现两个动点。

例3、如图：在△ABC中,,,M、N分别AB,AC上动点,求BN+MN+MC最小值
【难度分级】B类
〖试题来源〗2003年浙江余姚中学保送生测试题
〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”
②掌握双动点问题的解题方法
〖解题思路〗当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。

解:作关于对称点,关于对称点,
有 (当、运动到、时等号成立),
、
为正三角形
【搭配课堂训练题】
1、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图9是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图10是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．
（1）求、，并比较它们的大小；
（2）请你说明的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图11所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
【难度分级】B类
〖试题来源〗2009年湖北恩施自治州中考真题。

〖答案〗
解:⑴图9中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,
∴AC=30
在Rt△ABC 中，AB=50 AC=30 ∴BC=40
∴ BP=
S1=
⑵图10中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，
又BC=40 ∴BA'=
由轴对称知：PA=PA'
∴S2=BA'=
∴﹥
(2)如图10，在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'
∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B
∴S2=BA'为最小
（3）如图12，过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B',交
X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
A'B'=
∴所求四边形的周长为
例4、如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值. 【难度分级】B类
〖试题来源〗经典例题
〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”
②使学生掌握，在由“折”转“直”的过程中，如何做到最短。

〖解题思路〗
解：作关于的对称点,
在上运动,当运动到时,即，最短为
【搭配课堂训练题】
如图，在锐角中，，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是________．
【难度分级】B类
〖试题来源〗2009年陕西省中考真题。

〖答案〗4
（三）、题中出现三个动点时
例5、如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF 最小值
【难度分级】B类
〖试题来源〗经典例题
〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”
②掌握三动点问题的解题方法
〖解题思路〗
当题中出现三个动点时,在求解时应注意两点,(1)作定点关于动点所在直线的对称
点,(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.
解：作关于所直线的对称点,
则 ,
因为在上运动,故当和、垂直时，最短,且
【搭配课堂训练题】
12．如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。

【难度分级】B类
〖试题来源〗经典例题。

〖答案〗
在内任取一点,过做、的对称点、
则有
由对称性易知为等腰三角形
又因为，所以为等腰直角三角形
在中，,
所以的最小周长为：
（四）、综合压轴
例6、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
【难度分级】C类
〖试题来源〗2010福建宁德中考真题
〖选题意图〗强化应用
〖解题思路〗
（1）由题意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45，容易证出△AMB≌△ENB；
（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；
②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图18）；
（3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，
设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长
解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠MBA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得，x＝（舍去负值）.
∴正方形的边长为.
【搭配课堂训练题】
1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为
，，，延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。

（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
【难度分级】C类
〖试题来源〗2009北京中考真题
〖答案〗
解：（1）∵，，
∴．
设与轴交于点．
由可得．
又，
∴．
∴，．
同理可得．
∴．
∴点的坐标为．
（2）由（1）可得点的坐标为．
由，
可得轴所在直线是线段的垂直平分线．
∴点关于直线的对称点在轴上．
∴与互相垂直平分．
∴．
∴四边形为菱形，且点为其对称中心．
作直线．
设与分别交于点、点．可证．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴直线将四边形分成周长相等的两个四边形．
由点，点在直线上，
可得直线的解析式为．
（3）确定点位置的方法：过点作于点．则与轴的交点为所求的点．
由，
可得，
∴．
在中，．
∴点的坐标为．（或点的位置为线段的中点）
四、巩固练习
基础训练题（A类）
1、如图，AC、BD为正方形ABCD对角线，相交于点O,点E为BC边的中点，正方形边长为2cm,在BD上找点P，使EP+CP之和最小，且最小值为________。

【答案】
2、（1）如图22，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为；
（2）几何拓展：如图23, △ABC中，AB=2，∠BAC=30,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN 的值最小，这个最小值为；
【答案】
1、 2、
3、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的值最小，则这个最小值为（）
A． B．
C．3 D．
【答案】A
4、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD 取最小值时，△APD中边AP上的高为（）
A、B、
C、D、3
【答案】C
提高训练（B类）
1、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）
【解析】:（1）过点B作BD⊥轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60。

.在Rt△OBD中，∠ODB=90。

，∠OBD=30。

.
∴OD=1，DB=
∴点B的坐标是（1，）.
（2）设所求抛物线的解析式为，由已知可得：
解得：
∴所求抛物线解析式为
（3）存在.
由配方后得：
∴抛物线的对称轴为=－1.
（也写用顶点坐标公式求出）
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小.
∵点O与点A关于直线=－1对称，有CO=CA.
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小.
设直线AB的解析式为
解得：
∴直线AB的解析式为
当=－1时，
∴所求点C的坐标为（－1，）.
2、如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．
判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，
若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
解：（1）由题意知
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）设点A（，0），B（，0），则，
解得
∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝
∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90°
由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD
∴四边形ADBC是平行四边形
又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形
（3）延长BC至N，使．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．
即最小．
∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥BN
∴FD+FB＝FD+FN．
∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小．
又∵C为BN的中点，∴（即F为AC的中点）．
又∵A（－1，0），C（0，－）∴点F的坐标为F（，）
∴存在这样的点F（，），使得△FBD的周长最小．
综合迁移（C类）
1、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
(2) 平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，
0)是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
【解析】(1) 将点A(-4，8)的坐标代入，解得．
将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，
则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)．
直线AP的解析式是．
令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)．
(2)①设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．
直线A′′B′的解析式为．
要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，
将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得．
故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．
②左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．
第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．
因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，
要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．
点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，
直线A′′B′′的解析式为．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．
故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．
2、定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点．
（1）如图30，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则①的值等于______________；
②四边形为（）
A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形
（2）如图31，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；
（3）如图32，若：，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值．
【解析】
(1) －2；D；
(2) ∵：y＝a(x－2)2＋c－1，而（0，c）在上，可得a＝．
∴DB＝（4a＋c）－（c－1）＝2，∴＝2．
（3）当点在点的右侧时（如图33），
设AC与BD交于点N，抛物线，配方得，
其顶点坐标是（1，2），∵AC＝2，∴点C的坐标为．∵过点，
∴解析式为，∴B（，
∴D（，
∴，∵点与点关于直线对称，
∴，且
∴四边形ABCD是菱形．∴PD＝PB．
作交于点，则PD＋PH＝PB＋PH．
要使PD＋PH最小，即要使PB＋PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高．∵＝1，＝，，∴＝，
故是等边三角形．
∴∴最小值为．
当点在点的左侧时（如图34），同理，最小值为．
综上，点到点的距离和到直线的距离之和
的最小值为．。