2011年高考数学专题讲义解析几何专题4圆锥曲线中的最值和范围问题

第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题（一）

★★★高考在考什么 【考题回放】

1．已知双曲线122

22=-b

y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双

曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )

A.( 1,2)

B. (1,2)

C.[2,)+∞

D.(2,+∞)

2． P 是双曲线

22

1916

x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ D ）

A. 6

B.7

C.8

D.9

3．抛物线y=-x 2

上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A )

A ．

43 B ．75 C ．8

5

D ．3 4．已知双曲线22

221,(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支

上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ）

(A)

43 (B)53 (C)2 (D)73

5．已知抛物线y 2

=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12

+y 2

2

的最小值是 32 .

6．对于抛物线y 2

=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( B ) （A ）（－∞，0） （B ）（－∞，2] （C ）［0，2］

（D ）（0，2）

★★★高考要考什么

【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。

★★★突破重难点

【例1】已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P

满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W .

（Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：22

x y 122

－＝ （x >0）

（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 0

B （x 0

），OA OB ⋅＝2 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，

代入双曲线方程22x y 122

－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2

－2＝0

依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则

2222122

2122

44(1)(2)02012

01k b k b kb x x k b x x k ⎧

⎪∆=--•--≥⎪

⎪

+=>⎨-⎪

⎪+=>⎪-⎩

解得|k |>1， 又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）

＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2

＝22

22k 242k 1k 1

＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2

【例2】给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆

22

12516

x y +=上的动点，F 是右焦点，当5

3

AB BF +取得最小值时，试求B 点的坐标。

解：因为椭圆的35e =，所以513AB BF AB BF e +=+，而1

BF e

为动点B 到左准

线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B ，使得它到A 点和左准线的距离之和最小，过

点B 作l 的垂线，垂点为N ，过A 作此准线的垂线，垂点为M ，由椭圆定义

||3

5

||||||||BF e BF BN e BN BF ==⇒= 于是 5

||||||3

AB BF AB BN AN AM +

=+≥≥为定值 其中，当且仅当B 点AM 与椭圆的定点时等点成立，此时B

为(2) 所以，当5

3

AB BF +取得最小值时，B

点坐标为(2)

【例3】已知P 点在圆x 2

+(y -2)2

=1上移动，Q 点在椭圆2

219

x y +=上移动,试求|PQ|的