20100319_第三讲：求导积分与微分方程数值解(2次课)

syms a b x; y=(a*x+tan(3*x))^(1/2)+sin(x)*cos(b*x); d1y=diff(y), disp('***'), pretty(d1y), disp('***') d2y=diff(y,2), disp('***') , pretty(d2y),
求导数运算的调用格式
x0 x3
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程 数 值 解
第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
syms x; y=((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/x^3); limit(y)
例2 求极限
lim (11 n)n n
syms n; y=(1+1/n)^n; limit(y,n,inf)
例3 求极限
lim [5 x ln(sin x esin x )] x 3
极限,导数,积分是我们在高等数学学习中接触 过的最基本也是最重要的概念.一方面它们是很多 数学工具的基础(比如微分方程);另一方面它们又 是工程计算和科学研究直接面对的问题. 微分(导数)运算比较简单,任何一个由基本初 等函数经过四则及复合运算构成的函数,都可以用 导数公式和求导法则算出它们的导数. 积分运算则相对复杂得多,仍有许多函数“积 不出来”,由于它们的原函数无法由基本初等函数 经过四则及复合运算构成,计算这类定积分问题我 们也只能采用数值方法. 借助 MATLAB 我们得以快速解决这些问题!
求定积分运算的调用格式
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[3] 定积分-数值解法 方法说明： 当定积分-符号解法失效时，必须用定积分-数值解 程 第 法来近似计算定积分的值。矩形公式sum，复合梯 数 三 形公式trapz，复合辛普森公式quad/quad8的区别 值讲 在于替代等距曲边梯形的方式不同： 解
求 导 积 分 与 微 分 方
syms x; y=5*x+log(sin(x)+exp(sin(x))); limit(y,x,3,'left')
求导数运算的调用格式
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程 数 值 解
第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
[1] 一元函数求导 基本调用格式： diff(f) 功能-求函数f的一阶导数 diff(f,n) 功能-求函数f的n阶导数 应用示例： f ( x) (ax tan 3x)1 2 sin x cos(bx) 例4 求 的一阶、二阶导数
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(
( x 2 115)dx 的近似值)
0
求定积分运算的调用格式
trapz(x,y)
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用复合梯形公式计算定积分，x为积分变量分点向 量，y为被积函数分点函数值向量
程 数 值 解 第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
quad('fun',a,b,tol,trace)
用复合辛普森公式计算定积分，fun为被积函数表 达式字符串或m函数文件名，a，b是积分下上限， tol表示精度(缺省0.001)，trace=1图示积分过程(默 认=0不显示) %quadl采用Lobatto算法，精度和速度要优于quad %quad8采用8阶NewtonCotes算法，精度优于quad
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程 数 值 解
第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
[2] 多项式拟合求导（表达式未知或不易求导） 方法说明： 先利用polyfit将函数拟合成多项式函数，然后利用 多项式函数求导命令polyder求导或diff求导 应用示例： 例5 用5阶多项式拟合函数 cos( x)ln(3 x2 e2x ) 并求x=2处的二阶导函数值
求定积分运算的应用示例
应用示例：
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sum使用一次用于求向量或矩阵每一列的和，若使 用两次则先按列求和再按行求和(行列总和)
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例15 矩形法计算 y x2 115 在x=0与x=10之 间所围面积
dx=0.1; x=0:dx:10; y=-x.^2+115; sum(y(1:length(x)-1))*dx
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求不定积分运算的调用格式
[1] 不定积分 方法说明： int(f)对默认变量积分；int(f,v)对指定变量积分 程 第 应用示例： 数三 1 sin 2 x cos 2 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 值 讲 例10 计算
解 求 syms x; y=1/(sin(x)^2*cos(x)^2); pretty(int(y)) 导 积 1 (a 2 x 2 )dx 分 例11 计算 与 syms a x; y=1/(a^2-x^2); pretty(int(y,x)) 微 分 方 xe xy dxdy
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例12 计算二重不定积分

syms x y; F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)
求定积分运算的调用格式
[2] 定积分-解析解法 方法说明： int(f,x,a,b) 依据微积分基本公式计算 程 第 应用示例： 2 1 数三 ( x 2 a) 2 dx 值 讲 例13 计算
求极限运算的调用格式
基本调用格式： limit(f) 功能:计算 limit(f,x,a) 功能:计算 limit(f,x,inf) 功能:计算 limit(f,x,a,'right') 功能:计算 limit(f,x,a,'left') 功能:计算
lim f ( x) x0 lim f ( x) xa lim f ( x) x
Funtool符号计算器-功能
f±a f*a f/a f^a f(x+a) f(x*a) f+a f±g f*g f/g f(g) g=f swap 计算f(x) ±a，并赋给f。 计算f(x)*a，并赋给f。 计算f(x)/a，并赋给f。 计算f^a，并赋给f。 计算f(x+a)，并赋给f。 计算f(ax) ，并赋给f。 计算f(x)+a，并赋给f。 计算两函数之和/差，并赋给f。 计算两函数之积，并赋给f。 计算两函数之比，并赋给f。 计算复合函数f(g(x)) 。 将f的函数值赋给g。 交换f与g的函数表达式。
%复合辛普森公式
Funtool符号计算器-界面
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程 数 值 解
第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
Funtool符号计算器-功能
图形化符号函数计算器的使用：
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第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
f= 为图形窗口1的控制函数，其缺省值为x； g= 为图形窗口2的控制函数，其缺省值为1； x= 为两窗口函数的自变量取值范围，缺省[-2*pi,2*pi] a= 为常数，缺省值为1/2。 df/dx 计算函数f对x的导法式，并赋给f。 int f 计算函数f的积分函数，并赋给f。 simple f 计算函数f的最简表达式，并赋给f。(syms x) simplify(cos(x)^2+sin(x)^2); simplify((x^2+5*x+6)/(x+2)); expand(cos(x+y)); expand((x-2)*(x-4)); syms x y; factor(x^3-y^3); factor(x^3+3*x^2+3*x+1); num f 取表达式f的分子，并赋给f。 den f 取表达式f的分母，并赋给f。 1/f 求f的倒数函数，并赋给f。 finv 求f的反函数，并赋给f。
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f ( x)dx
a
b
解 求 syms a x;f=sqrt(x^2+a);pretty(int(f,x,-2,2)) 导 x2 1 积 (1 t 2 ) 2 dt 求导 分 例14 对变上限函数 0 与 syms t x;f= sqrt(1-t^2);pretty(diff(int(f,t,0,x^2))) 微 分 方
求 导 积 分 掌握极限(左、右极限) 函数 limit 与 掌握导数(1阶导、高阶导、偏导) 函数 diff 微 分 掌握积分(不定积分、定积分、数值积分) 函数 方
int
trapz
quad
quadl
quad8
求极限、求导数与求积分...
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程 数 值 解
第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
第三讲 极限、导数、积分(补充)
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内容：本讲针对高等数学一元微积分学补充极限、 导数、积分相关运算；介绍Funtool符号计算器； 目的：学习极限 / 导数 / 积分相关函数的指令实现， 程 第 为学习微分方程数值解作准备； 数 三 要求：能够解决高等数学中的一类极限/导数/积分 值讲 求解问题；了解并会使用Funtool符号计算器； 解
lim f ( x) x a
lim f ( x) x a
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程 数 值 解
第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
注意：
默认x趋于0；
在左，右极限 不相等，或有 一个不存在时， 默认为求右极 限；
求极限运算的应用示例
应用示例（熟悉应用类型）： 例1 求极限 lim (1 tan x1sin x)1
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程 数 值 解
第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
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程 数 值 解
第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
x=0:.1:8; y=cos(x).*log(3+x.^2+exp(x.^2)); p=polyfit(x,y,5), y2=polyval(p,x); plot(x,y,'b',x,y2,'r'); legend('y','y2',2); %产生数据点，拟合成5阶多项式函数，并作图比较 p1=polyder(p); p2=polyder(p1); ans1=polyval(p2,2), %利用多项式函数专用求导函数polyder求导，并代值 y2=poly2sym(p,'x'), y2d2=diff(y2,2), ans2=subs(y2d2,2), %利用通用求导函数diff求导，并代值
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z x3 y 2 sin( xy), 求 3 z x3 例8 对
syms x y; z=x^3*y^2+sin(x*y);diff(z,x,3)
求导数运算的应用示例
a x bx 例9 以 lim 为例验证罗必塔法则： x 0 x
程 数 值 解 第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方 syms a b x f=a^x-b^x; g=x; l1=limit(f/g,x,0) df=diff(f,x); dg=diff(g,x); l2=limit(df/dg,x,0) if l1==l2 disp('罗必塔法则得到验证！') end
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程 数 值 解
第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方
求导数运算的调用格式
[4] 多元函数求导 方法说明： 对指定变量求导，求偏导数 程 第 应用示例： 数三 bx y z 2 对z 的偏导数 值 讲 例7 求 u ae
解求 导 积 分 与 微 分 方 syms a b x y z; u=a*exp(b*x+y+z^2);pretty(diff(u,z))
求导数运算的调用格式
[3] 参数方程求导 方法说明： 对参数方程x=x(t);y=y(t);先求出dy/dt和dx/dt 然后代入公式dy/dx= dy/dt / dx/dt 即可 应用示例： x t (1sin t ) 例6 求参数方程 y t cos t
syms t; x=t*(1-sin(t)); y=t*cos(t); ezplot(x,y); grid on; dx=diff(x,t); dy=diff(y,t); dydx=dy/dx; pretty(dydx) %下面在t=4.1处作出参数方程的切线（导数） hold on; t=4.1; x=eval(x); y=eval(y); plot(x,y,'ro'); k=eval(dydx); line([x,x+1],[y,y+k],'color','r')
求定积分运算的应用示例
例16 用两种方法求定积分
x=2:.1:5;y=log(x)./(x.^2); tt=trapz(x,y) 程 数 值 解 第 三 讲 求 导 积 分 与 微 分 方 %复合梯形公式
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ln x / x 2 dx
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fun=inline(' log(x)./(x.^2) ','x'); ss=quad(fun,2,5)