2-6前束范式

是前束析取范式。
定理2-6.3 每一个wffA都可转化为与其等价的前束析取范式。
【例】将wffD：x)( P( x) Q( x, y)) ((y) P( y) (z)Q( y, z)) (
转化为与其等价的前束析取范式。
解 D (x)(P( x) Q( x, y)) ((y) P( y) (z)Q( y, z))
(x)(y)((z)(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨(u)Q(x,y,u))
(x)(y)(z)(u)(┐P(x,z)∨┐P(y,z)∨Q(x,y,u))
注：一定要考察自由变元与约束变元有无重名， 换名后可直接提取量词，不用再看“B”是否有冲突。
【例】把公式 (x){(y) A( x, y) (x)(y)[ B( x, y) (y)( A( y, x) B( x, y))]}
此题有错！请注意
二、前束合取范式 定义2-6.2 一个wffA称为前束合取范式，如果它有如下形式： (Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)[(A11∨A12∨…∨A1l1)∧(A21∨A22∨…∨ A2l2) ∧ …∧(Am1∨Am2∨…∨Amlm)] 其中Qi(1≤i≤k)为量词或，xi(i=1,2, …,n)是客体变元， Aij是原子公式或其否定。
【例】公式 (x)(u)(z)(( P( x) P(u)) ( P( x) Q( y, z)) (Q( x, y) P(u)) (Q( x, y) Q( y, z)))
(x)(z)(y){[P ( x a) ( z b)] [Q( y) (a b)]}
是前束合取范式
（非标准谓词公式）
定理2-6.2 每一个wffA都可转化为与其等价的前束合取范式。
【例】将wffD：x)[(y) P( x) (z)Q( z, y) (y) R( x, y)] (
转化为与其等价的前束合取范式。
解 第一步取消多余量词
D (x)[ P( x) (z)Q( z, y) (y) R( x, y)]
(1) c) (2) d)
(x)( A( x) B( x)) (x) A( x) (x) B( x)
(x)( A( x) B( x)) (x) A( x) (x) B( x)
一、前束范式（prenex normal forms） 定义2-6.1一个公式，若量词均①非否定地出现在全式的开头， 它们的作用域，延伸到②整个公式的末尾，则该公式叫 前束范式。 即：一个合式公式称为前束范式，如果它有如下形式： (Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)A 其中Qi(1≤i≤k)为或， xi(1≤i≤k)为客体变元,A为 不含有量词的谓词公式.称Q1x1Q2x2…Qkxk为公式的首标。 特别地，不含量词的公式也看作是前束范式。
B (x) A( x) (x)( B A( x)) B (x) A( x) (x)( B A( x))
这里A(x)是任意包括个体变元x的谓词公式，B 是不包括个体变元x的任意谓词公式。
（5）量词与命题联结词之间的一些等价式（后面化范式时用到）
量词分配律
(x)( A( x) B( x)) (x) A( x) (x) B( x)
第五步将量词推到左边
D (x)(z)(w)[(P( x) Q( z, y)) R( x, w)]
(x)(z)(w)[(┐P(x)∨┐R(x,w))∧(┐Q(z,y)∨┐R(x,w))]
三、前束析取范式 定义2-6.3 式： 一个wffA称为前束析取范式，如果它有如下形
【例】 (x)(y)(z)(P(x,y)Q(y,z)),R(x,y)等都是前束 范式， 而(x)P(x)(y)Q(y),(x)(P(x)(y)Q(x,y))不是前 束范式。 x不是谓词公式，所以也非前束范式,但Ｐ是命题变元， 所以是前束范式． (x) ┐(y)(z)(P(x,y)Q(y,z))也不是
（4）将所有量词均提到公式最前面，且使它们的辖域延伸到公 式最末（即量词作用域的扩张）。
【例】
（也可改名后再做）
【例】化公式
(x)(y)((z)(P(x,z)∧P(y,z))(u)Q(x,y,u))为前束范式 解 原公式 (x)(y)(┐(z)(P(x,z)∧P(y,z))∨(u)Q(x,y,u))
约 束 变 元 自 由 变 元
量 词
(x) P( x, y)
指 导 变 元
辖 域
（2）约束变元换名和自由变元代入
在一公式中，有的个体变元既是约束出现， 又是自由出现，这就容易产生混淆。为了避免混 淆，可对约束变元换名或自由变元代入。 约束变元换名 将量词辖域中某个约束出现的个体变元及相 应指导变元，改成本辖域中未曾出现过的个体变 元，其余不变。 自由变元代入 对某自由出现的个体变元可用个体常元或用 与原子公式中所有个体变元不同的个体变元去代 入，且处处代入。
第5讲 §2—6 前束范式
（先回顾命题的几种范式及唯一性）
(不唯一）
要求：理解前束范式、前束合取范式和前束 析取范式的定义，会将一个谓词公式wffA化 为前束范式、前束合取范式和前束析取范式。 目的：是掌握谓词公式的标准化形式。 重点：化谓词公式为前束范式。
复习：
（1）指导变元、作用域、约束变元、自由变元
(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)[(A11∧A12∧…∧A1l1) ∨(A21∧A22∧…∧A2l2) ∨ …∨ (Am1∧Am2∧…∧Amlm)] 其中Qi(1≤i≤k)为量词或，xi(i=1,2, …,n)是客体变 元，Aij是原子公式或其否定。
【例】公式
(x)(u)(z)(( P( x) Q( x, y)) ( P(u) Q( y, z )))
第二步改名（一般把后出现的同名约束变元改名），以便把量词提到前面。
(x){(y) A( x, y) (u)(v)[B(u, v) (z)(A( z, u) B(u, z))]}
(x)(y)(u)(v)(z){A( x, y) [B(u, v) (A( z, u) B(u, z))]}
（1）将A化为受限公式（此步有时也可省,主要是为复杂公式化 为前束范式作准备,另外也为化前束析(合)取范式作准备）；
（2）将A中的否定“¬”深入到原子公式前且使每个原子（为 化前束析（合）取范式作准备）公式前最多只有一个“¬” （用量词转化率、德根定律、双重否定率等）； （3）将约束变元改名（因对自由变元代入有可能不等价），使 ①不同量词的约束变元均不同名，②且约束变元与自由变元 也不同名（此步有时也可省，如： (x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x)）；
第二步换名
Hale Waihona Puke D (x)[ P( x) (z)Q( z, y) (w) R( x, w)]
第三步消去条件联结词
D (x)[( P( x) (z)Q( z, y)) (w) R( x, w)]
第四步将否定深入（第二步可放在此步后）
D (x)[P( x) (z)Q( z, y)) (w)R( x, w)]
（3）量词与联结词¬之间的关系（后面化范式时用到）
(x) P( x) (x)P( x)
(x) P( x) (x)P( x)
（4）量词扩张/收缩律（后面化范式时用到）
(x) A( x) B (x)( A( x) B) (x) A( x) B (x)( A( x) B)
化为前束范式（此式并没先化为受限公式）
解 第一步否定深入
原式
(x){(y) A( x, y) (x)(y)[ B( x, y) (y)( A( y, x) B( x, y))]}
(x){(y) A( x, y) (x)(y)[B( x, y) (y)(A( y, x) B( x, y))]}
(x)( P( x) Q( x, y)) ((u) P(u) (z)Q( y, z))
(x)(u)(z)( P( x) Q( x, y)) ( P(u) Q( y, z))
小结
一、前束范式
化A公式为前束范式的步骤
二、前束合取范式 三、前束析取范式
作业： P75
定理2.6.1 (前束范式存在定理) 谓词逻辑中任意公式A都有与之等价的前束范式。
（¬(x)P(x) (x)¬P(x) ；¬(x)P(x) (x)¬P(x)）
(对定义中①）
（还有其它的6个（或更多）也可，还有量词的深入等） (对定义中②）
化A公式为前束范式的步骤：
（0）消去多余量词；