二个典型条件概率问题的错解浅析

二个典型条件概率问题的错解浅析

条件概率：对于两个事件A ，B 就是事件A 在另外一个事件B 已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在事件B 发生的条件下事件A 的概率”。

示例：根据大量的统计，大熊猫活到十岁的概率是0.8，活到十五岁的概率是0.6，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是多少？

需要注意的是，在这些定义中 A 与 B 之间不一定有因果或者时间顺序关系。A 可能会先于 B 发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A 可能会导致 B 的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。

条件概率的集合解释：在同一个样本空间 Ω 中，事件的子集 A 与 B ，如果随机从 Ω 中选出的一个元素属于 B ，那么下一个随机选择的元素属于 A 的概率就定义为在 B 的前提下 A 的条件概率。

条件概率公式 P(A|B) = P(AB)/P(B)

典型错题1、有两个口袋中装大小相同的小球，第一个口袋中装有50个，其中标号为1的有10个；第二个口袋中装有30个，其中标号为1的有18个。先从两袋中随机地取一袋，然后不放回地从该袋中先后随机取出两个小球，求：（1）先取出的小球标号是1的概率；（2）先取出的小球标号是1的条件下，第二次取出的小球仍是标号为1的概率。 解：设第一次从第一个口袋中取到1号球的随机事件记为1B

第一次从第二个口袋中取到1号球的随机事件记为2B 则515010)(1==B P ，5

33018)(2==B P （1）先取出的小球标号是1的随机事件记为A

则5

253215121)(21)(21)(21=⨯+⨯=+=B P B P A P （2）设从第一个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为1C

从第二个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为2C

则)|(11B C P =

499，)|(22B C P =29

17 所以142154729172149921)|(21)|(212211=⨯+⨯=+=B C P B C P P 上述解法（2）为是错解，理由是它们在先取出的小球标号是1的条件下，第二次从不同口袋中取出标号为1的球的事件，不是等可能事件，因而不能用等可能事件的概率公式求解。

正解：（1）同上

（2）设从第一个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为1C

从第二个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为2C

则先取出的小球标号是1，第二次取出的小球仍是标号为1的事件为C 1B 1+C 2B 2。

P （B 1 C 1+B 2 C 2）=2917301821499501021⨯⨯+⨯⨯=1421276 P=P(A))C B C P(B 2211+=521421276

=1421

690 典型错题2、如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前进两步（如由A 到C ）；当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如

由A 到）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷

终止.

（Ⅰ）求点P 恰好返回到A 点的概率；

（Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ 表

示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望。

分析：（1）求点P 恰好返回到A 点的概率，首先我们要对回到A 点的情况分类讨论，由于回到原点最少需要两次投掷，最多需要四次投掷，故我们可以分两次、三次、四次，四种情况进行讨论，计算出每种情况性质的概率，相加即得结果．

（2）由（1）的结论我们不难得到ξ的值分别等2，3，4时的概率，然后我们代入数学期望公式即可求解．

解答：

解：（Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为31621==P ，因为只投掷一次不可能返回到A 点；

若投掷两次点P 就恰能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为：

（1，3）．（3，1）．（2，2）三种结果，其概率为3

13)31

(22=⨯=P ； 若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为： （1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三种结果，其概率为9

13)31

(33=⨯=P ； 若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1） 其概率为81

1)31

(44==P ； 所以，点P 恰好返回到A 点的概率为P=P 2+P 3+P 4=

81378119131=++. （Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种，

因为，P （ξ=2）=

73，P （ξ=3）=73，P （ξ=4）=7

1 ； 所以，E ξ=2•73 +3•73 +4•71 =73 此解答（Ⅰ）是正确的，但解答（Ⅱ）是错误的。理由是7种结果出现的可能性是不

相等的，即每一结果出现的概率不相同，例（1，3）结果出现的概率是

91，（1，1，1，1）结果出现的概率是81

1，因而不是等可能性事件，解题不能按等可能事件的概率问题求解。再例：一对夫妇生二个子女，有3 种不同结果即二男，二女，一男一女，显然三个不同结果不是等可能的，其概率不相同，分别为

41，41，21。因此，按此方法分类不能用等可能事件的概率问题求解。

正解：（Ⅰ）同上

（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为2，3，4，其分布列为：P （ξ=2）=37

2781

3731

2==P P ， P （ξ=3）=3798137913==P P ，P （ξ=4）=37

181

37811

2==P P ； 即ξ分布为

所以，E ξ=2•3727 +3•379 +4•371 =3785 . 解决等可能性事件的概率问题，关键是要求基本事件出现的可能性都相等，要弄清每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个结果出现的可能性是否相等的是解决问题的关键，不要把条件概率问题误认为等可能性事件的概率问题，记住用等可能性事件的概率公式求解问题必须强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．

练习题：