二个典型条件概率问题的错解浅析
22.概率问题常见错解剖析
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正解1 正解1
(正向思考)取到2个球中至少有1个白球出 正向思考)取到2个球中至少有1
2 1 1 1 1
1 1 1 1 现的结果数为A2 现的结果数为A4+A2A4+A4A2, 2 1 1 A4+2A2A4 14 = . 故所求概率为 2 A6 15 正解2 (逆向思考)所求事件的对立事件是:取到 正解2 逆向思考)所求事件的对立事件是: 2 A2 14 个球都是红球,故所求概率为1 的2个球都是红球,故所求概率为1- 2= . A6 15 正解3 因为“求取到的2个球中至少有1 正解3 因为“求取到的2个球中至少有1个白球的 C 2+ C 1C 1 4 4 2 概率”与取球顺序无关,故所求概率为 概率”与取球顺序无关, = 2 C6 14 . 15
五、“互斥”与“独立”混同 互斥” 独立” 某零件从毛坯到成品, 【例5】 某零件从毛坯到成品,一共要经过六道 自动加工工序, 自动加工工序,如果各道工序出次品的概率依次 是1%,2%,3%,3%,5%,5%,那么这种零件的次品概 1%,2%,3%,3%,5%,5%, 率是多少? 率是多少?
错解 设第i 道工序出次品的事件为A i(i =1,2,3, 4,5,6),则P(A 1)=0.01,P (A 2)=0.02,P(A 3)= P(A 4)=0.03,P(A 5)=P(A 6)=0.05.A i(i=1,2,3, 4,5,6)中至少有一个事件发生就出现次品,则这种 零件的次品率为 P(∑A i)=∑P(A i)=0.19=19%. i=1 i=1
概率问题的易错点分析
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概率问题的易错点分析作者:杨必富来源:《高中生学习·高二文综版》2014年第11期概率的易错点很多,但归纳起来主要有这样几类:一是对概率的相关概念理解不透彻,对其外延与内涵的掌握不准确;二是审题不严谨、不细致,如审题不清、忽视隐含条件、对一些关键语句理解不到位等,导致解题思路不清;三是对概率的相关公式理解和记忆不准确、公式的选择“文不对题”,导致解题出错.问题一对等可能性事件的概念理解不清例1 把三枚硬币一起掷出,求出现两枚正面向上,一枚反面向上的概率.错解三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种,而出现两正一反是一种结果,故所求概率[P=18.]分析上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清,所有8种结果的出现是等可能性的,如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了,运用求概率的基本公式[P=mn]求解自然就是错误的.正解在所有的8种结果中,两正一反并不是一种结果,而是有三种结果:正、正、反,正、反、正,反、正、正,因此所求概率[P=38.]例2 某种产品100件,其中有次品5件,现从中任抽取6件,求恰有一件次品的概率.错解由题意知,这种产品的次品率为5%,且每次抽取相互独立,由独立重复试验概率公式得,6件产品中恰有1件次品的概率为:[P6(1)=C165100(1-5100)5][=0.2321].分析错解中有两个错误:第一,100件产品,其中有5件次品与次品率为5%是两个不同的概念;第二,该试验不是独立重复试验,从100件产品中任抽6件,可当作抽了6次,每次抽1个,但每次抽到次品还是正品,显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率. 具体地说,如果第一次抽出的是次品,那么次品就少了一个,第二次再抽到次品的概率就小了……这就是说各次试验之间并非独立的,错用了独立重复试验概率公式.正解 [P=C15C595C6100=0.2430].点拨判断一个试验是否为等可能事件的前提条件是试验的环境和条件都相同,同时分清在一个等可能事件中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.问题二对概率问题审题不仔细例3 一箱磁带最多有一盒次品,每箱装25盒磁带,而生产过程中产生次品磁带的概率是0.01,则一箱磁带最多有一盒次品的概率?错解一箱磁带有一盒次品的概率为[0.01×(1-0.01)24],一箱磁带中无次品的概率为[(1-0.01)25],所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是[0.01×(1-0.01)24]+[(1-0.01)25].分析由于这一箱磁带共25盒,则一箱磁带有一盒次品的概率应为[C125∙0.01×(1-0.01)24].因而在做文字较多的排列组合或概率题时应仔细审题,读懂题目中的关键词的含义.正解一箱磁带有一盒次品的概率[C125∙0.01×(1-0.01)24],一箱磁带中无次品的概率[C025∙(1-0.01)25],所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是[C125∙0.01×(1-0.01)24]+[C025∙(1-0.01)25].例4 已知在6个电子元件中,有2个次品,4个合格品,每次任取一个测试,测试完不再放回,直到2个次品都找到为止,求经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率.错解一经过4次测试恰好将2个次品全部找出,表示前4次中有2次取到正品和2次取到次品,故所求概率为[A24A24A46]=[15].错解二经过4次测试恰好将2个次品全部找出表示第4次正好取到次品,故所求概率为[C12C24A33A46]=[15.]分析若仔细审题,我们会发现:经过4次测试恰好将2个次品全部找出,不仅包括4次正好取到次品,前3次中有一次取到次品,还有前4次正好都取到合格品的情况,即此时剩下2个都是次品.正解经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率为[C12C24A33+A44A46=415.]点拨先读懂题意、注意关键词,将具体问题与概率相关问题联系清楚后再解答.三、对概率问题的相关公式选择不准确例5 在一个口袋中装有5个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出3个球,至少摸到2个黑球的概率?错解总共有[C38]=56种取法,取出2个黑球的有15种. 概率为[1556.]分析求等可能事件的概率,首先明确等可能事件中的基本事件是什么,其次要明确由基本事件组成的一般事件中包含基本事件的可能结果有多少种,最后由定义求概率.正解总共有56种取法,取出2个黑球的有15种,取出3个黑球的有1种. 概率为[15+156=27.]例6 甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局为胜,比赛结束.设各局比赛相互之间没有影响,求:(1)前三局比赛甲队领先的概率;(2)本场比赛乙队以3∶2取胜的概率.错解(2)本场比赛乙队以3∶2取胜,则其概率为[P]=[C35(0.6)3(0.4)2]=0.3456.分析第二问中“乙队以3∶2取胜”,并不是五局比赛中乙恰好胜了三次,通过本题,明确比赛中求概率的方法,要结合所学知识,灵活地应用到实际中来,不能盲目地套用公式.正解(1)前三局比赛甲队领先分为两种情况,这两种情况是互斥的. ①前三局比赛中甲队全部获胜,其概率为[P1]=[C33(0.6)3(0.4)0]=0.216;②前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败,其概率为[P2]=[C23(0.6)2(0.4)1]=0.432;∴前三局比赛甲队领先的概率为:[P=P1+P2]=0.648.(2)本场比赛乙队以3∶2取胜,则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局、在第五局比赛中获胜,其概率为P=[C24(0.6)20.4]=0.13824≈0.138.点拨先审清题意,再联想到具体知识点和相关概念,最后选择相关的公式和方法.问题四对于概率问题不能灵活选用不同方法求解例7 从10位同学(其中6女,4男)中随机选出3位参加测验,每位女同学能通过测验的概率均为[45],每位男同学能通过测验的概率均为[35]. 试求:(1)选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率;(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.错解(1)随机选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率为[C14C26+C24C16C310=12.]分析“至少有一个男生”的情况有三种,容易漏掉且计算量大,通过求对立事件的概率,转化为先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率,从而使问题简单化.正解(1)随机选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率为[1-C36C310=56].(2)甲、乙被选中且能通过测验的概率为[C18C310×45×35=4125].点拨有些概率问题正面解决比较清晰,有些正面解决比较复杂,可以从对立面入手,正难则反,往往可以取到事半功倍的效果.方法与策略 1.要以课本概念和方法为主,以熟练技能、巩固概念为目标,查找知识缺漏,总结解题规律. 2.相互独立事件首先要概念清楚,善于把所求概率事件划分为几个独立的事件.一般地,解答这类问题往往需要综合运用等可能事件的概率公式. 3.对于互斥事件,首先要搞清概念,然后将一个事件划分为若干个互斥事件的和,能灵活运用公式求概率,还要灵活运用“正难则反”的思想来求复杂事件的对立事件的概率.1. 已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒,从中取出2粒都是黑子的概率是[17],从中取出2粒都是白子的概率是[1235],现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?2. 已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.3. 某袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,取到红球的概率为[13],取到黑球或黄球的概率是[512],取到黄球或绿球的概率也是[512],试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?4. 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只,从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:(1)“3只球颜色全相同”的概率;(2)“3只球颜色不全相同”的概率.5. 高三某班有两个数学课外兴趣小组,第一组有2名男生,2名女生,第二组有3名男生,2名女生.现在班主任要从第一组选出2人,从第二组选出1人,请他们在班会上和全班同学分享学习心得.(1)求选出的3人均是男生的概率;(2)求选出的3人中有男生也有女生的概率.1. [1735]2. 0.22 0.93. [14],[16],[14]4. (1)[19] (2)[89]5. (1)[110] (2)[56]。
概率解题典型错误类型及根源分析
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概率解题典型错误类型及根源分析类型一: “有序”与“无序”混同.例1.从10件产品(其中次品3件)中,一件一件地不放回地任意取出4件,求4件中恰有1件次品的概率。
【错解】设A=“取出的4件中恰有1件次品”,则A 含有1337C C ⨯ 种结果,故13371().C C P A ⨯== 分析:计算所含基本事件的个数是用排列的方法,即考虑了抽取的顺序;而计算事件A 所包含的基本事件个数时是用组合的方法,即没有考虑抽取的顺序。
【正解】(1)都用..“.排列..”.方法..:总共含有410A 个基本事件,A 包含113437A A A ⋅⋅个基本事件,故1134374101()2A A A P A A ⋅⋅== (2)都用..“.组合..”.方法..:一件一件不放回地抽取4件,可以看成一次抽取4件,总共含有410C 个基本事件,A 包含有1337C C ⋅个基本事件,故13374101().2C C P A C ⋅== 例2. 甲乙二人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲乙二人依次各抽一题 ⑴甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? ⑵甲乙二人至少有一人抽到选择题的概率是多少?解:⑴【错解】记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,则11642108()15C C P A C == 分析:因甲乙二人依次抽取(取后不放回.....),故计算基本事件的个数应使用排列方法. 【正解】甲、乙各取一次,总共含有210A 个基本事件,其中事件A 含有1164C C ⋅个基本事件,故11642104()15C C P A A ⋅==⑵【错解】记“甲乙二人至少有一人抽到选择题”为事件B 利用对立事件可得:24210114()1()111515C P B P B A =-=-=-=分析:计算所含基本事件的个数考虑了抽取的顺序,故计算事件B 所包含的基本事件也要考虑顺序,要上一致。
【正解】利用对立事件......: (1)都用..“.排列..”.方法..:总共含有210A 个基本事件B ,B 包含有24A 个基本事件,故24210213()1()111515A PB P B A =-=-=-= (2)都用..“.组合..”.方法..:一件一件不放回地抽取2件,可以看成一次抽取2件,总共含有210C 个基本事件,A 包含有24C 个基本事件,故24210213()1()111515C P B P B C =-=-=-=类型二: “有放回”与“无放回”混同.例3.甲、乙两人参加一项智力测试,已知在备选的10道题中,甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题,规定每位参赛者都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题才算通过.⑴求甲、乙两人均通过测试的概率; ⑵求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率【错解】设甲、乙两人通过测试的事件分别为A 、B, ∵从10道中任选一题,甲答对的概率为63105P ==∴抽出3道题,至少答对2道题,由独立重复试验公式得223332381()()()555125P A C =+= 同理,得2233414112()()()555125P B C =+= ⑴∵A 、B 相互独立,∴甲、乙两人均通过测试的概率为: 81112P(AB)=P(A) P(B)=125125⨯= ⑵∵甲、乙两人都未通过测试的概率为 81112)(1)125125-⨯-=∴甲,乙两人至少有一人通过测试的概率为P=1P(A B)=- 分析:从10道备选题中随机抽出3道题进行测试(属于“无.放回..”抽取,应使用“等可能事件.....”的概率公式计算. 【正解】设甲、乙两人通过测试的事件分别为A 、B,则总共含有310C 个基本事件,其中事件A 含有213646C C C ⋅+个,事件B 含有213828C C C ⋅+,故213213646828331010C C C C C C 214P(A)=, P(B)=315C C ++== ⑴∵A 、B 相互独立, ∴甲、乙两人均通过测试的概率为:18P(AB)=P(A) P(B)=45 ⑵∵甲、乙两人都未通过测试的概率为 2141P(A B)=P(A) P(B)=(1)(1)31545-⨯-= ∴甲、乙两人至少有一人通过测试的概率为441P(A B)=145-⋅例4.箱内有大小相同的20个红球,80个黑球,从中任取一个记录其颜色后放回箱内,搅匀再任取一个,记录后又放回搅匀,假设三次都是这样抽取,试回答下列问题:⑴求事件A :“第一次取出的是黑球,第二次取出的是红球,第三次取出的是黑球”的概率;⑵求事件B :“三次恰好有一次取出红球”的概率。
概率解题典型错误类型及根源分析
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概率解题典型错误类型及根源分析高中数学新教材第二册中增加了概率的内容。
本文试图就学生易犯错误类型作些总结,仅供讲授新教材的老师们参考。
类型一:“非等可能”与“等可能”混同例1:掷两枚骰子,求事件A 为出现的点数之和等于3的概率。
错解:掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2,3,4,……,12},有利于事件A 的结果只有3,故111)(=A P 。
分析:公式基本事件的总数的基本事件数有利于事件A A P =)( 仅当所述的试验结果是等可能性时才成立,而取数值2和3不是等可能的,2只有这样情况(1,1)才出,而3有两种情况(1,2),(2,1)可出现,其它的情况可类推。
正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况:(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…,(6,1),(6,2),…,(6,6),基本事件总数为6×6=36。
在这些结果中,有利于事件A 的只有两种结果(1,2),(2,1)。
181362)(==∴A P 。
类型二:“互斥”与“独立”混同例2:甲投篮命中率为0.8,乙投篮命中率为0.7,每人投3次,两人恰好都命中2次的概率是多少?错解:设“甲恰好投中两次”为事件A ,“乙恰好投中两次”为事件B ,则两人都恰好投中两次为A+B 。
.825.03.07.02.08.0)()()(223223=⨯+⨯=⨯=+∴C C B P A P B A P分析:本题错解的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。
将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和。
正确解答:设“甲恰好投中两次”为事件A ,“乙恰好投中”为事件B ,则两人都恰好投中两次为事件AB ,则:.169.03.07.02.08.0)()()(223223=⨯⨯⨯=⨯=∴C C B P A P AB P例3:某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第2声时被接的概率为0.3,响第3声时被接的概率为0.4,响第4声时被接的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接的概率是多少:错解:设电话响第1声时,被接的概率为:P (A 1)=0.1电话响第2声时被接的概率为:P (A 2)=0.3,电话响第3声时被接的概率为:P (A 3)=0.4,电话响第4声时被接的概率为:P (A 4)=0.1,所以电话在响前4声内被接的概率是:.0012.01.04.03.01.0)()()()(4321=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=A P A P A P A P P分析:本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑。
概率问题中的错解剖析
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的 退近, 或将圆 每一条侧棱看作正多 锥的 棱锥 的 侧棱. 由上面所做工作, 对于正四 棱锥, 锥, 圆 我们发现过其底面一顶点A 的截面周长最小
时, 满足:关于中轴面AVH 对称的侧棱上的截
圆 可 作 正n 棱 n 趋 无 时 锥 看 是 s 锥当 于 穷
[1]赵一中 王魁兴 凌世春 《 道不易 现的 》 、 、 . 一 发 错题 ,
P(A +B) = 1一 P(厢 )或P (A + B) = P(庙 +肋 +AB) =0.98, 似地C,D 有一 类 个正常
工作的 概率P (C+D) = 0.97,所以 统正常 系 工 作的 概率P = 0.98x 0. 97= 0:9506.
正解3: 系统正常工作的情况有: ABCD,
A BCD , AB(刃 , ABCD , AB. , ABCD , ABC 7, .
2007 年第3 期
于正 n 棱锥, 我们提出了 如下猜想: 猜想 对任意正n( n> 3)棱锥, 过底面一 顶点A 的截面周长最短时满足: 关于中轴面 AVH 对称的 侧棱上的截面顶点亦关于中 轴面
AVH 对称.
想.
中学 研究 数学
面顶点亦关于中 轴面对称. 因 我们有上述猜 而,
显然, 这个问题比正四 棱锥的截面周长最 短情形更为复杂. 如能找到一个一般性的方法 解决任意正n 棱锥的截面周长最短问 对于 题, 正四 棱锥的问题则迎刃而解.
中学 研究 数学
p2, 乙 少一 解 题的 率多 ? 则甲 至 个 决问 概 大
错解:记“ 解决某问 为李件A 乙解 甲 题” 决某问 为事件B , 甲乙至少一个解决问 题” 则“ 题"为A + B , 所以P (A + B) = P (A ) + P (B)
概率论常见错误解析
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概率论常见错误解析概论:在概率论中,常见的错误解析是指在概率计算过程中常见的错误做法或误区。
这些错误可能导致计算结果的不准确性,从而对决策和判断产生误导。
本文将对概率论中常见的错误解析进行详细的分析和解释。
一、等可能性错误:等可能性错误是指错误地假设所有事件具有相等的概率。
在概率论中,很多情况下事件的概率是不相等的,而是根据事件发生的可能性来确定的。
举一个简单的例子来说明这个错误:假设有一个袋子,里面有3个红球和7个蓝球,现在从袋子中随机抽取一个球,猜测其颜色。
如果遇到这个错误的假设,那么可能会错误地认为红球和蓝球的概率是相等的,即为50%。
然而,根据实际情况,红球和蓝球的概率分别为30%和70%。
因此,等可能性错误会导致对事件概率的误判。
二、独立性错误:独立性错误是指错误地假设两个事件是相互独立的。
在概率论中,独立事件是指两个事件的发生与否互不影响。
然而,很多情况下,事件之间都存在某种相关性,因此不能简单地将两个事件视为独立事件。
举个例子来说明这个错误:假设有一个袋子,里面有5个红球和5个蓝球,每次从袋子中随机抽取一个球不放回,并记录球的颜色。
现在连续进行5次实验,结果显示前4次抽取的球都是红色,错误地认为第五次抽取仍然是红色的概率仍然是50%。
然而,由于每次抽取球都未放回,第五次抽取的概率会受前四次抽取结果的影响,会发生变化。
因此,独立性错误会导致对事件概率的误判。
三、无限性错误:无限性错误是指错误地假设概率是无限存在的。
在概率论中,概率是一个介于0和1之间的数值,表示事件发生的可能性大小。
然而,在一些情况下,人们错误地认为概率的取值可以超出这个范围。
举个例子来说明这个错误:假设有一个自动摄像机可以连续监控某个事物的运动,保证可以无限次数地捕捉事件。
错误地认为概率是无限存在的,即认为某个事件在任意给定的时间段内都会发生。
然而,实际上,概率仅仅表示事件发生的可能性大小,而不是事件一定会发生。
四、归纳性错误:归纳性错误是指基于过去的观察和经验,错误地做出未来事件的概率判断。
概率问题错解的分类及剖析
![概率问题错解的分类及剖析](https://img.taocdn.com/s3/m/96c0aa2baaea998fcc220e23.png)
一
、
元 素 进 行 排 列 或 组 合 , 共 有 多少 种 方 法 的 问题 。 求 区别 排 列 问 题 与 组 合 问 题 要 看 是 否 与顺 序 有 关 , 与顺 序 有 关 的属 于排 列 问题 。 与顺 序 无 关 的属 于 组 合 问题 。 在概 率 题 中我 们 经 常会 碰 坚 实 的 基 础 . 利 于学 生 数 学 思 维 培 养 , 利 于 学 生 以后 相 关 有 有 专 业 课 的 学 习 。 教 师 应 在 实 践 中创 新 , 现 新 的 、 易 接 受 的 发 容 教 学 方 法 . 课 堂 教 学 生 动 、 跃 、 生 机 , 学 生 学 习 有 兴 让 活 有 让 趣 、 创新 。 有 三 、 层 次 教 学 的主 要 探 索 分 怎 样 分 层 是 分 层 次 教 学 的核 心 问题 。 为 了保 证 分 层 教 学 目标 及 其 效 果 的 实 现 , 们 分 别 从 以下 几 个 方 面 进 行 了分 层 。 我
2按 学 生 分 层 次 .
( ) 层 的方 法 1分 方 面 . 师 要根 据 学生 的数学 基 础 、 习能 力 、 习 教 学 学 态度 、 习成绩 和学 习兴趣 的差异 , 学 以及 提 高 学 习 效 率 的 要 求 , 合教材 和学生 的学 习可能性 水平 , 结 以及 大 学 阶 段 学 生 的 生 理 特 点 及 性 格 特 征 , 教 学 大 纲 所 要 达 到 的 基 本 目标 、 按 中 层 目标 、 展 目标 这 三 个 层 次 的 教 学 要 求 , 学 生 按 131 发 将 :: 的 比 例 分 为 A、 C三 个 层 次 : B、 A层 是 拔 尖 的 优 等 生 , 类 学 此 生学 习兴趣 浓厚 、抽象思 维能 力强 、成绩好 ; C层 是 数 学 基 础 较 差 、学 习 有 困 难 的 学 生 ; 层 是 巾 间 层 次 的 学 生 ,介 于 B
解概率题错误类型及根源分析
![解概率题错误类型及根源分析](https://img.taocdn.com/s3/m/88c2db17866fb84ae45c8dbd.png)
解概率题错误类型及根源分析孟冠竹高中数学新教材增加了概率内容,而新增内容在每年的高考中都有所侧重。
本文试图就同学们易犯错误类型作些总结,供同学们参考。
类型一:“非等可能”与“等可能”混同例1.掷两枚骰子,求事件A 为出现的点数之和等于3的概率。
错解:掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{}23412,,,…,,事件A 的结果只有3种,故P A ()=111。
分析:公式P A A ()=事件的基本事件数基本事件的总数,仅当所述的试验结果是等可能时才成立,而取数值2和3不是等可能的。
2只有这样情况(1,1)才出现,而3有两种情况(1,2)、(2,1)可出现,其他的情况可类推。
正解:掷两枚骰子可能出现的情况:(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…,(6,1),(6,2),…,(6,6),基本事件总数为6636⨯=。
在这些结果中,事件A 只有两种结果(1,2),(2,1)。
故P A ()==236118。
类型二:“互斥”与“独立”混同例2.甲投篮命中率为0.8,乙投篮命中率为0.7,每人投3次,两人恰好都命中2次的概率是多少?错解:设“甲恰好投中2次”为事件A ,“乙恰好投中2次”为事件B ,则两人都恰好投中2次为事件A+B 。
故P A B P A P B C C ()()().....+=+=⨯+⨯=080207030825232232分析:本题错解的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。
将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和。
正解:设“甲恰好投中2次”为事件A ,“乙恰好投中2次”为事件B ,则两人都恰好投中2次为事件AB 。
故P AB P A P B C C ()()().....=⨯=⨯⨯⨯≈080207030169232232例3.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第1声时被接的概率为0.1,响第2声时被接的概率为0.3,响第3声时被接的概率为0.4,响第4声时被接的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接的概率是多少?错解:设电话响第1声时被接的概率为:P A ().101=; 电话响第2声时被接的概率为:P A ().203=; 电话响第3声时被接的概率为:P A ().304=;电话响第4声时被接的概率为:P A ().401= 所以电话在响前4声内被接的概率是:P P A P A P A P A =()()()()1234···= 0103040100012.....⨯⨯⨯=。
【高考数学 易错专练】知识点 条件概率 易错点 条件概率应用错误(原卷及答案)
![【高考数学 易错专练】知识点 条件概率 易错点 条件概率应用错误(原卷及答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/c7291570842458fb770bf78a6529647d2628346d.png)
知识点 条件概率 易错点 条件概率应用错误知识点 条件概率 易错点 条件概率应用错误【易错诠释】.条件概率:设A ,B 是条件S 下的两个随机事件,()0P A >,则称在事件A发生的条件下事件B 发生的概率为条件概率,记作()|P B A ,()()()|P AB P B A P A =,其中()P AB 表示事件A 与事件B 同时发生构造的事件.要注意概率()|P A B 与()P AB 的区别: (1)在()|P A B 中,事件A ,B 发生有时间上的差异,B 先A 后;在()P AB 中,事件A ,B 同时发生.(2)样本空间不同,在()|P A B 中,事件B 成为样本空间;在()P AB 中,样本空间仍为Ω,因而有()()|P A B P AB ≥.【典例】假定生男生女是等可能的,某家庭有3个孩子,其中有1名女孩,求其至少有1个男孩的概率.错解1:此家庭有3个孩子共有(男,男,女),(女,女,男),(男,男,男),(女,女,女)4种可能,故其中有1名女孩条件下至少有1个男孩的概率为2142=. 错因分析:基本事件空间认识有误,此家庭中3个孩子出生有先后顺序,应包含8种可能;同时条件概率求解时若采用缩小事件空间用古典概型求解时事件总数应为7,而不是8.因为(男,男,男)中不包含其中有1个女孩.正解1:此家庭共有3个孩子,包含基本事件有(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)其中至少有1个女孩共有7种可能,其中至少有1个男孩有6种可能,故其概率为67. 错解2:记事件A 表示“其中有1名女孩”,B 表示“至少有1个男孩”,则()()()338|778P A B P B A P A ⋂===. 错因分析:其中有1名女孩共有6种可能,即至少有1名是女孩,错解中误理解为有且只有1名女孩.正解2:()668|778P B A ==. 【针对练习】1.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是A.0.8B.0.75C.0.6D.0.452.设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94,使用到700h后还能继续使用的概率是0.87,问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是多少?3.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取1粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率.知识点条件概率易错点条件概率应用错误知识点条件概率易错点条件概率应用错误【易错诠释】.条件概率:设A ,B 是条件S 下的两个随机事件,()0P A >,则称在事件A发生的条件下事件B 发生的概率为条件概率,记作()|P B A ,()()()|P AB P B A P A =,其中()P AB 表示事件A 与事件B 同时发生构造的事件.要注意概率()|P A B 与()P AB 的区别:(1)在()|P A B 中,事件A ,B 发生有时间上的差异,B 先A 后;在()P AB 中,事件A ,B 同时发生.(2)样本空间不同,在()|P A B 中,事件B 成为样本空间;在()P AB 中,样本空间仍为Ω,因而有()()|P A B P AB ≥.【典例】假定生男生女是等可能的,某家庭有3个孩子,其中有1名女孩,求其至少有1个男孩的概率.错解1:此家庭有3个孩子共有(男,男,女),(女,女,男),(男,男,男),(女,女,女)4种可能,故其中有1名女孩条件下至少有1个男孩的概率为2142=.错因分析:基本事件空间认识有误,此家庭中3个孩子出生有先后顺序,应包含8种可能;同时条件概率求解时若采用缩小事件空间用古典概型求解时事件总数应为7,而不是8.因为(男,男,男)中不包含其中有1个女孩.正解1:此家庭共有3个孩子,包含基本事件有(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)其中至少有1个女孩共有7种可能,其中至少有1个男孩有6种可能,故其概率为67.错解2:记事件A 表示“其中有1名女孩”,B 表示“至少有1个男孩”,则()()()338|778P A B P B A P A ⋂===.错因分析:其中有1名女孩共有6种可能,即至少有1名是女孩,错解中误理解为有且只有1名女孩.正解2:()668|778P B A ==.【针对练习】1.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良。
经典概率问题中的错解逻辑解析
![经典概率问题中的错解逻辑解析](https://img.taocdn.com/s3/m/6902356ae45c3b3567ec8b8b.png)
龙源期刊网 经典概率问题中的错解逻辑解析作者:宋岑陈兰兰来源:《新一代》2016年第04期摘要:在一些经典的概率问题中,计算出的理论概率与学生的实际感受差距很大。
本文通过一些实例,解析错解的逻辑,引导学生从正确的角度去感受概率,让理论结果和感受统一起来。
关键词:概率;逻辑;感受生活中有很多有趣的概率问题,其结果经常出乎我们的意料。
可以肯定,课本上教授的知识是没有问题的,所以是我们的感受出了偏差。
本文通过几个实例,探究错解产生的原因,并从正确的角度去感受理论结果的正确性。
例1:一个班级有50名同学,至少有两人同一天过生日的概率?结果显示,至少有两人同一天出生的概率高达97%,这大大出乎一些人的意料。
因为按照一般感受,这应该是一个低概率事件才对。
一方面,原题容易错误地理解成50人中与自己生日相同的概率,因为遇到与自己生日相同的同学的确是低概率事件。
另一方面,从365个日子中随机挑50个,很多人误以为很难出现重复。
而实际上,每次挑选都能避开之前的选择,连续50次不重样,这才是真正的低概率事件。
例2:三扇门中一扇门后放有汽车,另外两扇门后放有山羊。
你先选定一扇门,然后主持人打开剩下两扇门中藏有山羊的一扇。
(注:主持人知道汽车在哪一扇门后面)此时,你会改变选择么?例3:一对夫妻有两个孩子,其中一个是男孩,问另一个还是男孩的概率。
面对生活中的概率问题,人们总是喜欢用生活常识去判断,用生活中的语言去重述。
然而在不经意间,错误就产生了。
这类逻辑错误隐蔽性强,对后续的概率学习影响较大,应及时纠正。
请相信书本,反复琢磨,体会不同逻辑中那微妙的差别,才能真正领悟概率的奥妙。
易混易错的条件概率问题
![易混易错的条件概率问题](https://img.taocdn.com/s3/m/d7de0c1d852458fb770b565b.png)
易混易错的条件概率问题作者:向清耀皮桂兰来源:《中学生理科应试》2015年第01期条件概率是新课程标准实施后新增加的内容,它较以往互斥事件和独立事件的概率求法有很大区别,且与独立事件容易混淆,很多学生在此辨别不清,特别是条件概率中的条件变复杂时,学生更是无所适从,理不清头绪,自然成了难点,但它已成为近几年高考的新热点,而且难度不断加深,题目也由选填题逐步变化在解答题中呈现,我们应该引起足够的重视!下面就如何辨析及求解“条件概率”问题整理如下,帮助学生走出迷雾!一、定义回顾设A和B为两个事件,P(A)>0,那么,在A“已发生”的条件下,B发生的条件概率P (B|A),读作A发生的条件下B发生的概率.定义为:P(B|A)=n(AB)n(Ω)n(A)n(Ω)=P(AB)P(A).思考1三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?错解第一人中奖概率是13,后2人概率为12.正解若抽到中奖奖券用“Y ”表示,没有抽到用“Y”表示,那么三名同学的抽奖结果共有三种可能:YYY,YYY和YYY.易知每一名同学抽到中奖奖券的概率都为13.思考2三张奖券中只有一张能中奖,如果在第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下,最后一名同学抽到奖券的概率是多少?错解中奖概率是13.正解用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体,Ω={YYY,YYY,YYY}.既然已知事件A 必然发生,那么只需在A={YYY,YYY}的范围内考虑问题,在事件A发生的情况下事件B发生等价于事件A和事件B同时发生,即AB发生.而事件AB中仅含一个基本事件YYY,因此P(B|A)=n(AB)n(A)=12.问题的关键是条件概率发生的样本空间发生了变化!由Ω={YYY,YYY,YYY}A={YYY,YYY}.二、范例分析例1某市准备从7名报名者(其中男4人,女3人)中选3人参加三个副局长职务竞选,若选派三个副局长依次到A、B、C三个局上任.求(1)所选3人中A局为男副局长的概率;(2)所选3人中A局为男副局长,B局为女副局长的概率;(3)A局是男副局长的情况下,B局为女副局长的概率.分析此题关键要读懂题意,能够辨别独立事件和条件概率,不能混淆,第二问和第三问分别考查独立事件同时发生和条件概率的求法.解(1)记D=“A局是男副局长”,P(D)=C14A26A37=4×6×57×6×5=47.(2)记D=“A局是男副局长”,E=“B局为女副局长”,P(DE)=C14C13C15A37=4×3×57×6×5=27.(3)法一:记D=“A局是男副局长”,E=“B局为女副局长”,则P(E|D)=P(DE)P(D)=C14C13C15/A37C14A26/A37=C14C13C15C14A26=4×3×54×6×5=12.法二:记D=“A局是男副局长”,E=“B局为女副局长”.则P(E|D)=n(DE)n(D)=C14C13C15C14A26=12.法三:(缩小样本空间)既然A局是男副局长,只需考虑B局和C局,B局只能从3个女副局长中选一个,C局任意选.则P(E|D)=3×56×5=12.例2在一个盒子中有大小一样的20个球,其中10个红球,10个白球,每个人从盒子中摸出一个球,摸后不放回,然后下一个人接着摸球.(1)求第一个人摸出一个红球的概率.(2)求第1个人摸出1个红球,紧接着第2个人摸出一个白球的概率.(3)求在第1个人摸出1个红球的条件下,第2个人摸出一个白球的概率.解记“第1个人摸出红球”为事件A,“第2个人摸出白球”为事件B,(1)P(A)=1020=12;(2)P(AB)=10×1020×19=519;(3)法一: P(B|A)=P(AB)P(A)=5/1910/20=1019法二:P(B|A)=n(AB)n(A)=A110A110A110A110+A210=1019法三:(缩小样本空间)第一次摸出的球不再考虑,第二次只能从剩余的19个球中去摸,摸到白球的可能有10种,则P(B|A)=C110C119=1019.规律提炼(1)解决“条件概率”问题的一般方法:法一:P(B|A)=P(AB)P(A)法二:P(B|A)=n(AB)n(A)法三:缩小样本空间(2)P(B|A)与P(AB)的概率有本质的区别与联系联系:事件A、B都发生了区别:样本空间不同,在P(B|A)中,事件A成为新的样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为原样本空间.是否以上三种方法对所有条件概率问题都适用呢?不一定.图1例3(2011年湖南高考)如图1,EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则(1)P(A)=;(2)P(B|A)=.答案:2π,14.法一:∵P(A)=2π,P(AB)=12π=12π∴P(B|A)=P(AB)P(A)=12π2π=14法二:(缩小样本空间)也即落在正方形区域的面积与扇形中的正方形的面积之比. P(B|A)=122=14.规律提炼1.在古典概型背景下的条件概率3种方法一般均能够适用,但在几何概型中不能用方法2;2.条件概率的计算方法要根据具体问题灵活选择!三、能力提升例4某中学为了迎接即将在武汉市召开的世界中学生运动会,学生篮球队准备假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3 个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2个球,用完后放回.(1)设第一次训练时至少取到一个新球,第二次训练也取到一个新球的概率.(2)在第一次训练时至少取到一个新球的条件下,求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.分析此题第一问和第二问仍然是独立事件与条件概率的区别,但更主要的是条件概率中“条件A”变复杂如何解决!解(1)设“第一次训练时取到i个新球”为事件Ai(i=1,2,3).P(A1)=C13C13C26=35,P(A2)=C23C26=15.设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件B.则“第一次训练时至少取到一个新球,第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A1B+A2B,而事件A1B、A2B互斥,所以,P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B).由条件概率公式,得∵P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=35×C12C14C26=35×815=825又∵P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=15×C11C15C26=15×13=115.所以,第一次训练时至少取到一个新球,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为∴P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)=825+115=2975.(2)法一:设A=“在第一次训练时至少取到一个新球”,C= “第二次训练时恰好取到一个新球”,则第一次训练时至少取到一个新球的条件下,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为P (C|A).∵P(A)=P(A1)+P(A2)=45又∵P(AC)=P(A1B)+P(A2B)=825+115=2975.∴P(C|A)=2975÷45=2960法二:设A=“第一次训练时至少取到一个新球”C=“第二次训练时恰好取到一个新球”P(C|A)=n(AC)n(A)=C13C13C12C14+C23C11C15(C13C13+C23)C26=2960.典型错解1.第一问和第二问互相混淆.2.第二问中易错解为P(C|A)=C12C14+C11C15C26=1315.规律总结1.认真分析、甄别究竟是独立事件同时发生还是条件概率.2.属古典概型背景下的条件概率问题一般可以用三种方法解答:法一:P(B|A)=P(AB)P(A)法二:P(B|A)=n(AB)n(A)法三:缩小样本空间属于几何概型背景下的条件概率问题一般可以用两种方法解答:法一:P(B|A)=P(AB)P(A)法二:缩小样本空间3.当条件变得复杂时应该牢记条件概率公式并解答.四、衔接练习1.(2011辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=().A.18B.14C.25D.122.(2010安徽)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).①P(B)=25;②P(B|A1)=511;③事件B与事件A1相互独立;④A1,A2,A3是两两互斥的事件;⑤ P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中哪一个发生有关.3.若α∈(0,π2),方程x2sin2α+y2cos2α=1表示焦点在y轴上的椭圆的条件下长半轴长不小于2的概率是.4.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:(1)第1次抽到理科题的概率;(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.5.科研人员为了研究某病毒抗体疫苗,现用小白鼠作抗体实验,可重复使用.实验前共有8只小白鼠,其中4只新白鼠(即没有试验过的小白鼠),4只旧白鼠(即至少实验过一次的小白鼠).每次实验,都从中任意取出2只,实验完后放回.(1)设第一次实验时至少取到一只新白鼠,第二次训练时恰好取到一只新白鼠的概率;(2)在第一次实验时至少取到一只新白鼠的条件下,求第二次实验时恰好取到一只新白鼠的概率.答案:1.B2.②④3.234.解(1)P(A)=n(A)n(Ω)=1220=35.(2)P(AB)=n(AB)n(Ω)=620=310.(3)法一、由( 1 )( 2 )可得,在第 1 次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12.法二、因为n(AB)=A23=6,n(A)=A13×A14=12,所以P(B|A)=612=12.。
等可能条件下概率问题的错因分析和教学反思
![等可能条件下概率问题的错因分析和教学反思](https://img.taocdn.com/s3/m/a97a2a7642323968011ca300a6c30c225901f085.png)
等可能条件下概率问题的错因分析和教学反思在学习概率论的过程中,等可能条件下的问题经常会引发学生的困惑和错误。
本文将分析学生在解决概率问题时常犯的错误原因,并提出教学反思,以期改善学生的学习效果。
一、对问题条件的理解不准确在解决等可能条件下的概率问题时,学生常常出现对问题条件的理解不准确或不清楚的情况。
他们可能没有完全理解题目中给出的条件,进而导致后续计算的错误。
例如,考虑一个掷硬币的问题:掷一枚硬币,出现正面的概率是多少?学生可能会错误地认为出现正面的概率是1/2,因为硬币掷出后可能正反两面均有可能出现。
然而,这个问题中的条件是掷一枚硬币,“出现正面”的概率只涉及到正反两面的情况,因此正确答案应为1/2。
解决这个问题,教师可以引导学生仔细阅读题目,确保理解题目中给出的条件。
同时,在课堂中可以通过举例、讲解等方式,加深学生对概率问题条件的理解。
二、计算方法选择错误在计算等可能条件下的概率时,学生常常选择错误的计算方法,从而导致最终结果错误。
他们可能没有将等可能条件下的概率问题与其他类型的概率问题区分开来,导致使用了错误的计算步骤或公式。
例如,考虑一个从扑克牌中随机抽取一张牌的问题:抽到红心的概率是多少?学生可能会错误地应用全概率公式,将红心牌的数量除以整副牌的数量。
然而,在等可能条件下抽取一张牌的问题中,每张牌出现的概率均相等,因此正确答案应为红心牌的数量除以总牌数。
为解决这个问题,教师可以通过提供不同类型的概率问题,引导学生区分并熟悉等可能条件下概率问题的特点与计算方法。
三、无法正确解读概率结果即使学生正确计算了等可能条件下的概率,他们也可能无法正确解读概率结果,从而在后续问题中出现错误。
例如,考虑一个掷骰子的问题:掷一次,出现偶数点数的概率是多少?学生可能正确地计算了偶数点数出现的概率为1/2,但在后续问题中仍然无法正确运用该概率结果。
他们可能会错误地认为连续两次掷骰子出现偶数点数的概率仍然为1/2,而不是(1/2)*(1/2)=1/4。
高考数学复习点拨:两个常混淆问题
![高考数学复习点拨:两个常混淆问题](https://img.taocdn.com/s3/m/93b30db1a1c7aa00b42acb4e.png)
两个常混淆问题概率问题思维抽象,方法独特,要用到较复杂的排列、组合知识,并且还要分清有关概念的特定含义,稍有疏忽就会致错.下面就两个常混淆的概率问题予以分析,以引起读者的注意.一、“条件概率()P B A |”与“相互独立事件的概率()P AB ”混淆例1 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球,作不放回抽样,每次任取一球,取2次,求:(1)第二次才取到黄色球的概率;(2)发现其中之一是黄色的,另一个也是黄色的概率.误:(1)设A =“第一次取到白球”,B =“第二次取到黄球”,C =“第二次才取到黄球”.62()()93P C P B A ===∴|. (2)设D =“取两次其中至少有一个是黄色的”,E =“两个都是黄色的”,F =“其中之一是黄色的,另一个也是黄色的”. 651()()1093P F P E ==⨯=∴. 析:本题错误在于()P AB 与()P B A |的含义没有弄清. ()P AB 表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率;而()P B A |表示在缩减的样本空间A S 中,作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率.正:(1)464()()()()10915P C P AB P A P B A ===⨯=|, (2)()656446655()()()10910910910913P ED P F P E D P D ⎛⎫⎛⎫===⨯÷⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭|. 二、“独立”与“不独立”混淆.例2 甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙二人依次各抽取一题.(1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?误:(1)设甲抽到选择题为事件A ,乙抽到判断题为事件B ,则161103()5C P A C ==,141102()5C P B C ==, 因为A ,B 为独立事件,所以甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为326()()()5525P A B P A P B ==⨯=··. (2)设甲抽到选择题为事件A ,乙抽到判断题为事件B ,则甲、乙二人中至少有一人抽到选择题为事件A B A B A B ++···,因为161103()5C P A C ==,141102()5C P B C ==, 所以有()P AB A B A B ++···()()()P A B P A B P A B =++··· ()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++3232322111155555525⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 析:错解是独立事件概念模糊,将事件A ,B 误认为是相互独立事件,其实不然.甲抽到选择题与否对乙抽到判断题的概率是有影响的,A ,B 不是相互独立事件.正:(1)因为甲、乙依次抽到一题的可能结果有116424C C =个,所以甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率为2449015=. (2)从对立事件考虑,甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为1143210215C C A =,故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为21311515-=.。
易混易错的条件概率问题
![易混易错的条件概率问题](https://img.taocdn.com/s3/m/1bb77ec55022aaea998f0f25.png)
.
1 2 2 1 , P( AB) = = 法一: ȵ P( A) = 2π π π 1 P( AB) 2π 1 ʑ P ( B | A) = = = P ( A) 2 4 π
数学版
中
学
生
理
科
应
试
· 11·
( 2 ) 法一: 设 A = “在第一次训练时至少取到一 , C = “第二次训练时恰好取到一个新球” , 个新球” 则第一次训练时至少取到一个新球的条件下, 第二次 训练时恰好取到一个新球的概率为 P( C | A) . ȵ P ( A ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) = 4 5 8 1 + = 25 15
( 430312 )
向清耀
皮桂兰
YYY, YYY} A = { YYY, YYY} . 变化! 由 Ω = { YYY, 二、 范例分析 例 1 某市准备从 7 名报名者( 其中男 4 人, 女 3 人) 中选 3 人参加三个副局长职务竞选, 若选派三 B、 C 三个局上任. 求 个副局长依次到 A、 ( 1 ) 所选 3 人中 A 局为男副局长的概率; ( 2 ) 所选 3 人中 A 局为男副局长, B 局为女副局 长的概率; ( 3 ) A 局是男副局长的情况下, B 局为女副局长 的概率. 分析 此题关键要读懂题意, 能够辨别独立事 件和条件概率, 不能混淆, 第二问和第三问分别考查 独立事件同时发生和条件概率的求法. ( 1 ) 记 D = “A 局是男副局长” , 2 C1 A 4 ˑ6 ˑ5 4 4 6 P( D) = = = . 7 ˑ6 ˑ5 7 A3 7 解 ( 2 ) 记 D = “A 局是男副局长” , E = “B 局为女 , P( DE) = 副局长”
求解概率问题常见典型错误例析
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计算点数之和大于 7 的概率 .
错解:记点数之和为 X,则 X 的可能值为
2、3、4、…、11、12,共 11 种结果 . 由于基本事
件数 N = 11,“X > 7”有 8、9、10、11、12 共 5 种
不同结果,即 n = 5,所以根据概率计算公式
可得
P(X
>
7)=
5 11
.
剖析:对于公式 P(A)=
例 5 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋 内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事 件是( ).
题 4 道 . 甲、乙两人依次各抽 1 题:(1)甲抽到
选择题,乙抽到判断题的概率是多少?(2)
甲、乙两人至少有 1 人抽到选择题的概率是
多少?
错解:(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题
的可能结果有 C61C41 个,又甲、乙二人依次抽
到题的可能结果有 C120 个,所以甲抽到选择
题、乙抽到判断题的概率为
C61C
1 4
设甲、乙两人至少有 1 人抽到选择
题为事件 A,则甲、乙两人都未抽到选择题为
事 件 A,由 对 立 事 件 的 计 算 公 式 ,得
P(A)
=
1
-
P(A)
=
1
-
C41C31 C120
=
11 15
.
剖析:上述解法错把甲、乙依次抽一题
理解为甲、乙同时抽一题,前者与顺序有关,
的,也就是说结果产生了重复,故解法 1 是
错误的 . 错解 2 错在将题中“获得及格”误当
成“恰好及格”,实际上当他 3 道题都答对
时,也“获得及格”,这种情况遗漏了 .
正解:正确结果为:
P(A)=
这些错误需要谨慎
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这些错误需要谨慎广东 黄 辉概率是初中时期一个比较重要的知识点,也是一个易错点,同学们在解与概率有关的问题时经常出错,下面举例说明,以引起同学们注意.一、忽略事件发生的可能性大小致错例1 已知甲袋中有1个红球、1个白球,乙袋中有2 个红球、1个白球(两种球只是颜色不同).从甲、乙两袋中同时摸出红球的概率是多少?错解:树状图如下图所示:由树状图知,总的结果数有4 种,其中从两袋中同时摸出红球的结果有1种, 因此从两袋中同时摸出红球的概率为14.剖析:因为乙袋中有2 个红球、1个白球,因此从乙袋中摸出红球和白球的可能性不同,而错解把它们的可能性当成了相同来运算.正解:由于乙袋中有2个红球,因此能够将它们编号后再画树状图如下图所示:由树状图知,总的结果数有6 种, 它们显现的可能性是相同的,其中从两袋中同时摸出红球的结果有2种,因此从两袋中同时摸出红球的概率为62=13.二、混淆放回与不放回致错例2 一个不透亮的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色不同外,其他都一样),其中红球2个,蓝球1个,黄球1个.现进行两次摸球,第一次摸出一个球(不放回),第二次再摸出一个球,请用树状图或列表法求两次摸出的球差不多上红球的概率.错解:树状图如下图所示:由树状图知,总的结果数有16 种, 它们显现的可能性是相同的,其中两次摸出的球差不多上红球的结果有4种,因此两次摸出的球差不多上红球的概率为164=14. 剖析:由于对不放回事件明白得不够准确,错误地认为第二次袋中还有4个球而导致出错.正解:树状图如下图所示:由树状图知,总的结果数有12 种, 它们显现的可能性是相同的,其中两次摸出的球差不多上红球的结果有2种,因此两次摸出的球差不多上红球的概率为21.126。
例说2道概率题目的深层剖析
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例说2道概率题目的深层剖析
谢鹏作
【期刊名称】《中学教研:数学版》
【年(卷),期】2014(000)010
【摘要】自2010年甘肃省实施新课程以来,“条件概率”便进入了高中数学.4年来,大部分数学教师已讲授过该内容,也有一部分教师初次学习并讲授“条件概率”等内容.面对新的问题,因缺少经验,在教学过程中他们像学生一样容易犯种种错误.为了有效应对在“条件概率”教学中发生的各种困局,下文举2个例子深度剖析原因,以飨读者.1高考题目参考答案中的“·”在高三集体备课会上,一个偶然的机会,教师1提出了2012年安徽省数学高考理科试题第17题的参考答案是错误的.同时,他对参考答案进行了错误分析,并给出了自己的解法.【总页数】3页(P19-21)
【作者】谢鹏作
【作者单位】玉门市第一中学甘肃玉门735211
【正文语种】中文
【中图分类】G633.66
【相关文献】
1.一道概率题的错解剖析与多解探求 [J], 曾庆宝
2.一道概率题的错解剖析 [J], 罗亮
3.一道错解概率题的剖析及释因 [J], 朱日华
4.一道传统概率题的多种解法及深层次联系 [J], 李春雷
5.一道概率题错解的剖析 [J], 朱日华
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二个典型条件概率问题的错解浅析
条件概率:对于两个事件A ,B 就是事件A 在另外一个事件B 已经发生条件下的发生概率。
条件概率表示为P(A|B),读作“在事件B 发生的条件下事件A 的概率”。
示例:根据大量的统计,大熊猫活到十岁的概率是0.8,活到十五岁的概率是0.6,若现有一只大熊猫已经十岁了,则他活到十五岁的概率是多少?
需要注意的是,在这些定义中 A 与 B 之间不一定有因果或者时间顺序关系。
A 可能会先于 B 发生,也可能相反,也可能二者同时发生。
A 可能会导致 B 的发生,也可能相反,也可能二者之间根本就没有因果关系。
条件概率的集合解释:在同一个样本空间 Ω 中,事件的子集 A 与 B ,如果随机从 Ω 中选出的一个元素属于 B ,那么下一个随机选择的元素属于 A 的概率就定义为在 B 的前提下 A 的条件概率。
条件概率公式 P(A|B) = P(AB)/P(B)
典型错题1、有两个口袋中装大小相同的小球,第一个口袋中装有50个,其中标号为1的有10个;第二个口袋中装有30个,其中标号为1的有18个。
先从两袋中随机地取一袋,然后不放回地从该袋中先后随机取出两个小球,求:(1)先取出的小球标号是1的概率;(2)先取出的小球标号是1的条件下,第二次取出的小球仍是标号为1的概率。
解:设第一次从第一个口袋中取到1号球的随机事件记为1B
第一次从第二个口袋中取到1号球的随机事件记为2B 则515010)(1==B P ,5
33018)(2==B P (1)先取出的小球标号是1的随机事件记为A
则5
253215121)(21)(21)(21=⨯+⨯=+=B P B P A P (2)设从第一个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为1C
从第二个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为2C
则)|(11B C P =
499,)|(22B C P =29
17 所以142154729172149921)|(21)|(212211=⨯+⨯=+=B C P B C P P 上述解法(2)为是错解,理由是它们在先取出的小球标号是1的条件下,第二次从不同口袋中取出标号为1的球的事件,不是等可能事件,因而不能用等可能事件的概率公式求解。
正解:(1)同上
(2)设从第一个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为1C
从第二个口袋中第二次取出标号为1的球的随机事件记为2C
则先取出的小球标号是1,第二次取出的小球仍是标号为1的事件为C 1B 1+C 2B 2。
P (B 1 C 1+B 2 C 2)=2917301821499501021⨯⨯+⨯⨯=1421276 P=P(A))C B C P(B 2211+=521421276
=1421
690 典型错题2、如图所示,质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发,规则如下:当正方体上底面出现的数字是1,质点P 前进一步(如由A 到B );当正方体上底面出现的数字是2,质点P 前进两步(如由A 到C );当正方体上底面出现的数字是3,质点P 前进三步(如
由A 到). 在质点P 转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷
终止.
(Ⅰ)求点P 恰好返回到A 点的概率;
(Ⅱ)在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中,用随机变量ξ 表
示点P 恰能返回到A 点的投掷次数,求ξ的数学期望。
分析:(1)求点P 恰好返回到A 点的概率,首先我们要对回到A 点的情况分类讨论,由于回到原点最少需要两次投掷,最多需要四次投掷,故我们可以分两次、三次、四次,四种情况进行讨论,计算出每种情况性质的概率,相加即得结果.
(2)由(1)的结论我们不难得到ξ的值分别等2,3,4时的概率,然后我们代入数学期望公式即可求解.
解答:
解:(Ⅰ)投掷一次正方体玩具,上底面每个数字的出现都是等可能的,其概率为31621==P ,因为只投掷一次不可能返回到A 点;
若投掷两次点P 就恰能返回到A 点,则上底面出现的两个数字应依次为:
(1,3).(3,1).(2,2)三种结果,其概率为3
13)31
(22=⨯=P ; 若投掷三次点P 恰能返回到A 点,则上底面出现的三个数字应依次为: (1,1,2).(1,2,1).(2,1,1)三种结果,其概率为9
13)31
(33=⨯=P ; 若投掷四次点P 恰能返回到A 点,则上底面出现的四个数字应依次为:(1,1,1,1) 其概率为81
1)31
(44==P ; 所以,点P 恰好返回到A 点的概率为P=P 2+P 3+P 4=
81378119131=++. (Ⅱ)在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种,
因为,P (ξ=2)=
73,P (ξ=3)=73,P (ξ=4)=7
1 ; 所以,E ξ=2•73 +3•73 +4•71 =73 此解答(Ⅰ)是正确的,但解答(Ⅱ)是错误的。
理由是7种结果出现的可能性是不
相等的,即每一结果出现的概率不相同,例(1,3)结果出现的概率是
91,(1,1,1,1)结果出现的概率是81
1,因而不是等可能性事件,解题不能按等可能事件的概率问题求解。
再例:一对夫妇生二个子女,有3 种不同结果即二男,二女,一男一女,显然三个不同结果不是等可能的,其概率不相同,分别为
41,41,21。
因此,按此方法分类不能用等可能事件的概率问题求解。
正解:(Ⅰ)同上
(Ⅱ)随机变量ξ的可能取值为2,3,4,其分布列为:P (ξ=2)=37
2781
3731
2==P P , P (ξ=3)=3798137913==P P ,P (ξ=4)=37
181
37811
2==P P ; 即ξ分布为
所以,E ξ=2•3727 +3•379 +4•371 =3785 . 解决等可能性事件的概率问题,关键是要求基本事件出现的可能性都相等,要弄清每个基本事件的含义是解决问题的前提,正确把握各个结果出现的可能性是否相等的是解决问题的关键,不要把条件概率问题误认为等可能性事件的概率问题,记住用等可能性事件的概率公式求解问题必须强调所有结果中每一结果出现的概率都相同.
练习题:。