4.5三角形的内切圆

三角形，
D
． I
它是三角形 三条角平分线 的交点。 点I到 △DEF的三条 边 的距离相等。
E
图2
F
如图，在△ABC中，∠A=60°，点I是内心。
（1）求∠FIE的度数。
（2）求∠FDE的度数。
（3）求∠BIC的度数。 解：
1 （2）∠FDE=1/2∠FIE= （180°-∠A）=60° 2
（3）∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB) =180°-1/2(180°-∠A） （1）∵I是△ABC的内心∴∠AFI=∠AEI=90° ∴∠A+∠FIE=180°∴∠FIE=180°-∠A=120°
请同学们在动手试验的基础上，预 测一下当圆最大时，圆与三角形各边有 什么位置关系？
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形。
在扔的过程中，小亮发现石头扔的越靠近三 角形池塘的“中心”，那么圆形波纹就会越大， 那到底这个所谓的“中心”在三角形的什么位置 呢？
如何做三角形的内切圆？
A
12
o B
3 4 5
I C
D
三角形一定有内切圆,请用类比的方 法研究下面多边形的内切圆问题。
1. 四边形也一定有内切圆吗？五边形呢？
2.圆内接平行四边形一定是矩形，对吗？ 3.圆外切平行四边形一定是菱形，对吗？ 4.正多边形一定有内切圆，对吗？ ……
4.5 三角形的内切圆
高密向阳中学 陈光双
古希腊的数学家认为：“一切立体图形中最 美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。” 它的完美来自于中心对称，无论处于哪个位置， 都具有同一形状。它最协调、最匀称。
小明和同伴放学后经过一个三角形的池塘，小 明提议向池塘中进行扔石头比赛，比的不是谁扔的 更远，而是看谁扔出圆形波纹更大。 同学们能想象的出这个最大圆形波纹与池塘 的三条边是怎样的状态吗？
I D
B
Hale Waihona Puke Baidu
1 =90°+ ∠A=120° 2
结论：在△ABC中，I是内心，∠BIC= 90°+
1 2
∠A
如图， ⊙O是△ABC的外切圆，点I是 △ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，连接BD。
求证：BD=ID
证明：连接BI， ∵点I是△ABC的内心 ∴ ∠1=∠2， 同理 ∠3=∠4， 而 ∠BOD=∠1+∠3， ∠ OBD=∠4+∠5， 又 ∵∠2=∠5， ∴∠BID=∠IBD. ∴ BD=ID.
外心
三角形中 特殊线的 交点
内心
到三边距 离相等
三角形 一定有
一定在三 角形内部
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。 ⊙ O是△ABC的 外接 圆，
A
． O
点O叫△ABC的 外 心，
它是三角形 三边垂直平分线 点O到△ABC的三个顶点 距离相等。
B
的交点。 图1
C
2.如图2，△DEF是⊙I的 外切 ⊙I是△DEF的 内切 圆， 点I是 △DEF的 内 心，
C
F
E
o
A D
B
步骤：第一步：做∠CAB和∠ACB的角平分线，交点为I；
第二步：做点I到边AB的垂线段ID;
第三步：以I为圆心，以ID长为半径做圆，即可。
口诀：做出两角平分线，定下圆心是关键，
半径也需圆心定，点到边的垂线段。
三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心。
类比三角形外心的性质总结：
三角形内心的性质：
C F E
o
A D B
①三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 ②三角形的内心到三角形三条边的距离相等
比较外心和内心的相同点和不同点
不相同点
三角形外 接圆圆心 三条边的 垂直平分 线的交点 到三顶点 距离相等 不一定 在三角 形内部
相同点
与三角形 有特殊位 置关系圆 的圆心
不相同点
三角形内 切圆圆心 三个角的 角平分线 的交点