统计学培训讲义

例3 有两台光谱仪Ix,Iy用来测量材料中某种金属的含量, 为 鉴定它们的测量结果有无显著的差异, 制备了9件试块 (它 们的成份, 金属含量,均匀性等均各不相同), 现在分别用这 两台仪器对每一试块测量一次, 得到9对观察值如下:
x(%) 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 y(%) 0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89 d=x-y(%) 0.10 0.09 -0.12 0.18 -0.18 0.11 0.12 0.13 0.11 问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异？
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加强自身建设，增强个人的休养。202 0年11 月27日 上午10 时18分2 0.11.27 20.11.2 7
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追求卓越，让自己更好，向上而生。2 020年1 1月27 日星期 五上午1 0时18 分41秒1 0:18:41 20.11.2 7
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南京航空航天大学
目
录
随机样本 抽样分布 点估计 估计量的评选标准 区间估计 正态总体均值与方差的区间估计 (0-1)分布参数的区间估计 单侧置信区间 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 分布的拟合检验 秩和检验
§2 正态总体均值的假设检验
设总体X ~ N(, 2 ), X1 , X2 ,, Xn是来自X的样 本, 均值和方差分别为X和S2 .
分析: 现分别作各对数据的差di=xi-yi如上表, 并假设d1, d2, …, d9来自正态总体N(d, 2), 这里d, 2均 属未知. 若两台机器性能一样, 则各对数据的差异可看作 是随机误差, 随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为0,
因此本题归结为检验假设: H0: d=0, H1: d ≠ 0
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谢谢大家！
解 : 按题意需检验H 0 : 0 225, H1 : 225.
取 0.05. 统计量T X , Sn
当H
0成立时,由
X S
0 n
X 知, Sn
X 0 Sn
t
(n
1)蕴含
X S
n
t (n 1),
当H
成立时
0
,
T
~
t(n
1),
P{T t (n 1)}
所以拒绝域为 X 0 Sn
从而拒绝域为
|
X 0 n
|
z /2 .
ii)H 0 : 0 , H1 : 0
取统计量Z X 0 , 对于给定的(0 1), n
当H
0
成立时,
X
0 n
X ,故 n
X 0 n
z
蕴含
X
n
z,
而 X ~ N(0,1), n
X
P{
n z } ,
P{ X 0 n
t (n 1),
现n 16, t 0.05 (15) 1.7531,又算得X 241.5,s 98.7259,
即有T X 0 0.6685 1.7531, Sn
T不落在拒绝域中,故接受H0 ,即认为元件的平 均寿命不大于 225小时.
三. 两个正态总体均值差的检验(t-检验):
设X1 , X2 ,, Xn1是来自正态总体 N(1 , 2 )的样本, Y1 , Y2 ,, Yn2是来自正态总体 N(2 , 2 )的样本,且 设两样本独立,又分别记它们的样本均 值为X, Y,
记样本方差
S12
,
S
2 2
,
设
1
,
2
,
2均未知.
1.已知
2 1
2 2
,
但其值未知,
检验
1
2
i)H 0 : 1 2 , 取统计量T
(
0和
仍取统计量
0
T X 0 ,可类似地推出拒绝域 .(在这不再详述 ) Sn
例1. 某种电子产品的寿命x(以小时记)服从正态分 布,, 2均未知, 现测得16只元件的寿命如下:
159 280 101 212 224 379 179 264
222 362 168 250 149 260 485 170 问：是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时?
现 | T | 的值不落在拒绝域内故 接受H0 , 认为两台仪器的测量结 果并无显著差异.
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踏实，奋斗，坚持，专业，努力成就 未来。2 0.11.27 20.11.2 7Friday , November 27, 2020
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弄虚作假要不得，踏实肯干第一名。1 0:18:41 10:18:4 110:18 11/27/2 020 10:18:41 AM
,
从而拒绝域为
X 0 n
z .
二. 未知2, 检验:
i)H0 : 0 , H1 : 0 取统计量T X 0 , 对于给定的(0 1),
Sn
当H
成立时
0
,
T
~
t(n
1),
P{| T | t /2 (n 1)} ,
从而拒绝域为
|
X 0 Sn
|
t /2 (n
1).
关于单侧假设检验
故拒绝域为T
XY 11
t 0.05 (18) 1.7341.
S
10 10
分别求出在标准方法和 新方法下的样本均值和 样
本方差如下 :
n1
10, X
76.23,
S
2 1
3.325
n2
10, Y
79.43,
S
2 2
2.225,
又S
2
(10
1)S
2 1
(10
1)S
2 2
10 10 2
2.775, t 0.05 (18) 1.7341,
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安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 11.2710 :18:411 0:18No v-2027 -Nov-2 0
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不可麻痹大意，要防微杜渐。20.11.27 20.11.2 710:18:4110:1 8:41No vember 27, 2020
79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体N(1,2)和 N(2,2), 1, 2, 2均未知. 问建议的新的操作方法能否提 高得率?
解 : 需要检验假设H 0 : 1 2 0, H1 : 1 2 0.
XY ,
11
S
n1 n2
其中S
2
(n1
1)S
2 1
(n 2
1)S
2 2
n1 n2 2
,
当H0成立时, T ~ t(n1 n2 2),
对于给定的, P{| T | t /2 (n1 n 2 2)} ,
故拒绝域为 | T | t /2 (n1 n 2 2). 1. 对于单侧检验“H0:1≤2+”和 “H0:1≥2+ ”, 可以类似地推出. 常用的是=0. 2. 对于12, 22已知时, 可用“u- 检验 方法”检验.
例2. 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议 是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每 炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同. 先用标准方法炼一炉, 然后手建议的方法炼一炉, 以后交 替进行, 各炼了10炉, 其得率分别为:标准方法:
78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法:
一. 已知2, 检验:
i)H0 : 0 , H1 : 0 ,
取统计量Z X 0 , n
对于给定的(0 1),当H0成立时, Z ~ N(0,1),
当H
成立时
1
,
若
0时,
Z偏小,反之,
Z偏大,
故Z的拒绝域的形式为 Z k 1或Z k 2 ,
而当H 0成立时有P{| Z | z /2 } ,
解 :由前面的知识知,取T d 0 , sn
若H0成立, T ~ t(n 1),
知其拒绝域为
|
T
||
d s
0 n
|
t / 2 (n
1),
取 0.01, 现n 9, t 0.005 (9 1) 3.3554,
即知拒绝域为 | T || d 0 | 3.3554, sn
由观察值知d 0.06,s 0.1227,| T | 1.467 3.3554,
现由样本观察值T 4.295 1.7341,所以拒绝H0 ,即 认为建议的新操作方法 较原来的优.
四. 基于成对数据的检验(t-检验):
设X和Y是两个正态总体, 均值分别为1和2. X和Y 不是相互独立的, 取成对样本:(X1,Y1), (X2, Y2),…, (Xn, Yn).
要检验H0: 1 = 2, H1: 1 ≠ 2.
z } ,
从而拒绝域为
X 0 n
z.
iii)H 0 : 0
取统计量Z X 0 , 对于给定的(0 1), n
当H
0
成立时
,
X
0 n
X ,故 n
X 0 n
-z
蕴含
X
n
-z ,
而 X n
~
N(0,1), P{ X n
-z }
,
P{ X 0 n
-z }
我们可以把这个问题转化成单个总体的假设检验. 令D=X-Y,它服从N(1- 2, 2),这里1, 2, 2均未知. Di=Xi-Yi(i=1, 2, …, n)是来自Z的样本. 显然, 检验H0: 1= 2, H1: 1 ≠ 2等价于检验 H0: 1- 2=0, H1: 1- 2≠0, 于是把问题转化为上节 的情况.