高等土力学
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高等土力学
4.4 二维渗流与流网
4.4.1二维渗流的基本微分方程 4.4.2 流网及其应用
1.势函数与流函数 2.流网的性质及绘制 3.各向异性土与分层土中的流网 4.流网的应用
流入＝流出：不可压缩流体的连续性原理
vx vz vx dz vz dx (vx dx)dz (vz dz )dx （1） x z 据达西定律： vx vz 0 （2 ） h （3） x x vx k x
他积极筹划，使其进一步充实和 发展，开创了泥沙、潮浪、结构 材料等新的研究领域。承担了治 黄、治淮、华东地区水电工程等 试验研究任务，解决了大量的实 际工程问题。研制了许多水工、 土工试验仪器，编制了试验手册 ，培训试验技术人员，开设了三 期水工试验学习班。
他引进和推广了许多先进技术， 如砂井预压法加固软土地基，用 反滤法和减压井防止渗透破坏， 用补偿基础原理建造不用桩基的 水闸，用就地浇筑混凝土防渗墙 阻止砂砾地基的地下渗漏等。 他也积极参与了黄、淮、海和大西 南、三峡等国家重大工程的咨询 工作。
实验时上端进水，下端出水； 砂筒中安装了2个测压管； 下端测出水量（outflow）——Q。
通过变水头，多次实验得出：出水端的流量 Q与砂柱、测压管水头之间的关系为：
（1）
Q Kω h L
Q ——渗流量； ω——砂柱断面面积； h ——水头损失（m）；L ——渗流途径； K——渗透系数。
H1 H 2 H h I L1 2 L L
单位渗透途径上的机械能损失，也即机械能的损失率。
V=KI，当岩石性质一定时，K为常数，I大，V也大； 说明渗透水流流动速度越大，沿渗流途径的机械能损耗 越大，反之， I越大，驱动水流运动的速度越大。 能量损失：内摩擦消耗和岩石固体边界对水流的摩擦阻 力消耗。 损失的能量最终转变为热能而消耗掉。
1934年秋人美国依阿华大学
1935年春转至密歇根大学 学习力学和水工建筑，在取得硕 士学位时因成绩优秀被授予斐加斐荣 誉奖章，并破格免试攻读博士学位。
在美学习期间，他还受到土 力学奠基人K.太沙基（ Terzaghi）的深刻影响，对 当时尚属新兴学科的土力学 给予高度注视。 他只用了一年半时间就完成了博士 论文《格栅法在拱坝、壳体和平板 分析中的应用》，受到导师和答辩 委员们的称赞，并被授予西格玛赛 荣誉奖章。
（1909 01.03 - 2001 01.01）岩土工程与水工建筑专家 ，江苏吴江，出生于上海
生平：1929 年毕业于中央大学（现南京大学） 土 木工程系，获工科学士学位。
黄文熙
留校任教一年半后到上海慎昌洋行建 筑部任结构设计员，参加了几座高层建筑 物的结构设计。
1933年，黄文熙考取清华 大学第一届留美公费生，主 修河工专业
ν Re c d
d vc ν
Re c
ν v c Rec d v d Re c c ν
式中 Rec 和 Re c 是不随管径d和液体运动粘滞系数而变化的 无量纲比例常数，分别称为液流的上、下临界雷诺数
对于流速为v的实际液流，这一无量纲数可一般地表示为
vd Re ν
Re称为实际液流的雷诺数，它综合反映了影响液体流动型态的 有关因素。 临界雷诺数是一个与d、无关，而与流动型态发生变化对应的无 量纲常数。 因此，可以通过实际液流的雷诺数与临界雷诺数的比较来判别 流动型态。
不可压缩流体的连续性原理
问题引入
理想流体 流体的连续性原理
问题引入
在一条河流中，河面宽阔的地方，水 流平稳，河面狭窄的地方，水流很急 。为什么呢？
长江山峡
山峡大坝
理想流体
1. 流体 气体和液体统称流体。 连续性和流动性。 2. 流体的特点
3. 理想流体 不可压缩、没有粘 滞性的流体。 4. 稳定流动 如果流体在连续、稳 定地流动，它经过空间每一点时的 流速都不随时间变化，这种流动叫 做稳定流动，简称稳流。
因为下临界流速vc不受液流扰动情况影响，比较稳定，而上临 界流速v'c则受液流扰动情况影响很大，不稳定。因此，与vc对 应的下临界雷诺数Re是一个稳定的常数；而与v'c 对应的上临界 雷数 Re 则是个不稳定的数值，如果水流能维持高度的平静条 c
件，Rec 可以很高，反之则较低。实验表明，有压圆管流的，
1952年院系调整后，先后在南 京工学院、华东水利学院任教。
1952至1956在河海大学任教授并 创立河海大学岩土工程研究所， 同时担任水利部南京水利实验处 处长，为建国初期我国的水利水 电建设做了大量的工作 1955年选聘为中国科学院院士（学 部委员）。
1956年起，黄文熙调任清华大学教 授并兼任水利部水利科 学研究院副院长。
在工程方面成就杰出
1931 — 1933 年，在设计一座 17 层钢架结 构时，创造了“框架力矩直接分配法”， 完满地完成了设计任务，深得当时建筑 部主任的赞赏，称誉他“具有解决困难 任务的特殊能力” 。用这种方法进行力 矩分配，计算工作量也比克劳斯的力矩 分配法少。
1935年，他着手研究拱坝结构分析 的新方法——格栅法，经多年的艰苦 工作才告完成。此法是把拱坝（或壳 体）当成由许多水平拱段和垂直梁段 所组成的格栅，它们都刚性地连接在 格栅的结点上。这种将结构离散化 的方法，实开目前广泛应用的有限 元法的先河。
1958年水利科学研究院改组为水 利部、电力部所属的水利水电科学 研究院，他在清华大学执教的同时， 仍兼任该院副院长，负责全院的学 术领导工作。
1978年，他以古稀之年出任清华 大学水利系土力学教研组主任， 创出了一批高水平的科研成果， 培养了一批高质量的硕士生和博 士生。
同时兼任水利水电科学研究院和南 京水利科学研究院顾问。
达西公式各物理量的含义
过水断面ω 与实际过水断面ω ' 过水断面ω ：砂柱的横切面积，是指水流通过的包括岩石 骨架与空隙在内的整个断面。 实际过水断面 ω ′：扣除结合水所占据范围以外的空隙面 n 积，也就是重力水所占据的空隙面积 。
e
有效孔隙度ne：重力水流动的空隙体积（不包括不连通的死孔隙 和不流动结合水所占据的空间）与岩石体积之比。
。
ω
ω′
渗透流速V与实际流速u
Q V u
ne
V ne u
ω，V
ω'，u
达西流速小于实际流速。 u和V都是平均流速。 渗流计算时用渗透流速V，研究地下水污染时用实际流速u。
水力梯度（hydraulic gradient）
水力梯度是沿渗透途径上的水头损失（Head loss）与相应渗透途径 的长度之比：
散岩石渗透系数参考值松
渗透 渗透系数 系数 松散岩石名称 松散岩石名称 （m/d） （m/ d）
亚粘土 亚砂土 0.001-0.1 0.1-0.5 中砂 粗砂 5-20 20-50
粉砂
细砂
0.5-1.0
1.0-5.0
砾石
卵石
50150
100500
影响K的主要因素为颗粒大小，其次为分选 ；
思考题：砾石、砂、砾砂混合样，比较K的大小
影响渗透系数的因素—— 以松散岩石,等 径孔隙为例来分析
V u ne K I I
2 0
多孔介质（概化为等径的平行毛细管束）：
K
32
I d u 32
2 d0 ne
K k
K表示渗透率
K与液体的物理性质有关，与液体的容重γ成正比，与动力 粘滞系数μ成反比。 K与岩石的性质有关，与空隙大小（d0）成2次方，与空隙 多少（ne）成一次方。
而一般约为12000，但如果在外界干扰很少的条件下，可高达。 在工程实际中，液流的扰动总是存在的。由于不稳定的流动型态 过渡区范围不大，而且在过渡区，对于同一流速v，湍流时的损 失相对大于层流的损失，用湍流的结果去解决或设计工程问题是 相对较安全的。因此，工程实际中就统一用下临界雷诺数作为液 体流动型态的判别标准。即对于有压圆管流，当其实际雷诺数
x h v y k y y
2h 2h k x 2 k y 2 0 （4） x y
二维土单元的渗流
h h 2 0 2 x y
2 2
（4）
各向同性饱和土体二维渗流基本微分方程
h h 0 （ 4 ） 2 2 x y
2 2
适用于边界条件简单情况。使用微分方程求解。
单位时间内流过某一截面的流体的体积 叫做流体在该截面的流量，用符号Q 表示， 即
Q Sv
单位：米3 / 秒 （m3 / s）
水
表
金属流量计
达西定律
法国水力学家H.Darcy，1856年通过大量 的水通过均匀砂柱渗流实验得出； 实验条件
等径圆筒装入均匀砂样，断面为ω； 上下各置一个稳定的溢水装置——保持 稳定水流；
渗透系数K（coefficient of permeability）
也有称为水力传导度（Hydraulic Conductivity） V=KI，当I=1时，K=V ；因此K在数值上是当I=1时的渗 透流速。 具有流速量纲[L/T]，常用单位cm/s，m/d； I一定，K大，则V也大， Q 也大，因此，渗透系数 K 是表征岩石透水性的定量指标；K愈大，则表明岩石的 透水能力愈强； 影响渗透系数的因素
。
达西定律的适用条件
适用条件
雷诺数（Re）小于1-10之间某一数值的层流才符合达西定律；
Vd Vd Re
天然条件下地下水的渗流速度通常很缓慢，绝大部分为层流运动，一 般可用线性定律描述其运动规律。
当地下水流速相当大时，呈紊流运动，此时的渗透服从非线性渗透定 律称为哲才（A.Chezy）定律：
由水力学中水动力学基本原理：
h I J L
（2）
——水力梯度 （hydraulic gradient） Q=KIω 达西定律实验装置
（2）
Q=KIω
上式表明：渗透流量（Q）与渗透系数（K）、过水断面（ω） 及水力梯度（I）成正比。 渗透流速 Q V 根据水力学流速与流量的关系： Q=ω· V 与（2）式Q = K I ω比较 V=K· I （3） V称为渗透流速（seepage velocity \Darcy velocity \specific discharge）,为单位面积上的流量——称比流量； 渗透流速与水力梯度一次方成正比； 故达西定律又称为线性渗透定律。
1937年夏抗日战争前夕，黄文 熙接受中央大学的邀聘，毅然回 国。 他先后在杭州浙江水利局和 西安东北大学短暂工作， 1937年冬几经辗转到达重庆。此 后他在中央大学水利系担任教授、 系主任，并兼任水利部水利讲座、 中央水利实验处特约研究员、土 工实验室主任等职。
1949年中央大学更名南京大学 后，任南京大学工学院水利工 程系教授。
vd Re Re c 2300 ν vd Re Re c 2300 ν
为层流
为湍流
对于明渠流和非圆形断面的有压流，其雷诺数Re中的长度量d 一般采用水力半径R代替。试验表明，这时的Re一般为500~600。
例如，明渠流的Rec可取575。天然条件下的明渠流，其雷诺数一
般都相当大，多属于湍流，因此很少进行流动型态的判别。 若有压圆管流中的长度量d也用水力半径R来代替，则其临界 雷诺数值为575。
缓缓流动的河水
流体的连续性原理
如图所示，设v1、v2 分别是流体流经S1 和
S2 的速度，在单位时间从S1 流入的体积为
S1v1 ，从S2 流入的体积为S2 v2 ，则有
源自文库S1v1 S2v2
S v 恒量
或
在理想流体的稳定流动中，单 位时间流过同一管道的任何截面的 流体的体积相等，这个结论叫做流 体的连续性原理。
1942一1957年，他创建了地基沉 降与地基中应力分布新的计算方法
他建议用三个正应力之和来进行计算， 这既考虑了地基土的侧向变形，也简 化了计算和减少了编制计算图表的工 作量。他还建议用三轴压缩仪进行试 验，研究土的弹性模量及泊松比与土 体的应力值及其比例间的函数关系。
V KI
1 2
液体流动型态的判别
雷诺在进一步试验中发现，临界流速对于不同的管径d、不 同的液体种类和不同的温度（即不同的液体粘滞系数）是不一 样的。但分析大量的试验结果发现，临界流速随管径d和液体运
动粘滞系数的变化是有规律的，它与
ν d 成正比，即
上、下临界流速临界流速可分别表示为
vc
4.4 二维渗流与流网
4.4.1二维渗流的基本微分方程 4.4.2 流网及其应用
1.势函数与流函数 2.流网的性质及绘制 3.各向异性土与分层土中的流网 4.流网的应用
流入＝流出：不可压缩流体的连续性原理
vx vz vx dz vz dx (vx dx)dz (vz dz )dx （1） x z 据达西定律： vx vz 0 （2 ） h （3） x x vx k x
他积极筹划，使其进一步充实和 发展，开创了泥沙、潮浪、结构 材料等新的研究领域。承担了治 黄、治淮、华东地区水电工程等 试验研究任务，解决了大量的实 际工程问题。研制了许多水工、 土工试验仪器，编制了试验手册 ，培训试验技术人员，开设了三 期水工试验学习班。
他引进和推广了许多先进技术， 如砂井预压法加固软土地基，用 反滤法和减压井防止渗透破坏， 用补偿基础原理建造不用桩基的 水闸，用就地浇筑混凝土防渗墙 阻止砂砾地基的地下渗漏等。 他也积极参与了黄、淮、海和大西 南、三峡等国家重大工程的咨询 工作。
实验时上端进水，下端出水； 砂筒中安装了2个测压管； 下端测出水量（outflow）——Q。
通过变水头，多次实验得出：出水端的流量 Q与砂柱、测压管水头之间的关系为：
（1）
Q Kω h L
Q ——渗流量； ω——砂柱断面面积； h ——水头损失（m）；L ——渗流途径； K——渗透系数。
H1 H 2 H h I L1 2 L L
单位渗透途径上的机械能损失，也即机械能的损失率。
V=KI，当岩石性质一定时，K为常数，I大，V也大； 说明渗透水流流动速度越大，沿渗流途径的机械能损耗 越大，反之， I越大，驱动水流运动的速度越大。 能量损失：内摩擦消耗和岩石固体边界对水流的摩擦阻 力消耗。 损失的能量最终转变为热能而消耗掉。
1934年秋人美国依阿华大学
1935年春转至密歇根大学 学习力学和水工建筑，在取得硕 士学位时因成绩优秀被授予斐加斐荣 誉奖章，并破格免试攻读博士学位。
在美学习期间，他还受到土 力学奠基人K.太沙基（ Terzaghi）的深刻影响，对 当时尚属新兴学科的土力学 给予高度注视。 他只用了一年半时间就完成了博士 论文《格栅法在拱坝、壳体和平板 分析中的应用》，受到导师和答辩 委员们的称赞，并被授予西格玛赛 荣誉奖章。
（1909 01.03 - 2001 01.01）岩土工程与水工建筑专家 ，江苏吴江，出生于上海
生平：1929 年毕业于中央大学（现南京大学） 土 木工程系，获工科学士学位。
黄文熙
留校任教一年半后到上海慎昌洋行建 筑部任结构设计员，参加了几座高层建筑 物的结构设计。
1933年，黄文熙考取清华 大学第一届留美公费生，主 修河工专业
ν Re c d
d vc ν
Re c
ν v c Rec d v d Re c c ν
式中 Rec 和 Re c 是不随管径d和液体运动粘滞系数而变化的 无量纲比例常数，分别称为液流的上、下临界雷诺数
对于流速为v的实际液流，这一无量纲数可一般地表示为
vd Re ν
Re称为实际液流的雷诺数，它综合反映了影响液体流动型态的 有关因素。 临界雷诺数是一个与d、无关，而与流动型态发生变化对应的无 量纲常数。 因此，可以通过实际液流的雷诺数与临界雷诺数的比较来判别 流动型态。
不可压缩流体的连续性原理
问题引入
理想流体 流体的连续性原理
问题引入
在一条河流中，河面宽阔的地方，水 流平稳，河面狭窄的地方，水流很急 。为什么呢？
长江山峡
山峡大坝
理想流体
1. 流体 气体和液体统称流体。 连续性和流动性。 2. 流体的特点
3. 理想流体 不可压缩、没有粘 滞性的流体。 4. 稳定流动 如果流体在连续、稳 定地流动，它经过空间每一点时的 流速都不随时间变化，这种流动叫 做稳定流动，简称稳流。
因为下临界流速vc不受液流扰动情况影响，比较稳定，而上临 界流速v'c则受液流扰动情况影响很大，不稳定。因此，与vc对 应的下临界雷诺数Re是一个稳定的常数；而与v'c 对应的上临界 雷数 Re 则是个不稳定的数值，如果水流能维持高度的平静条 c
件，Rec 可以很高，反之则较低。实验表明，有压圆管流的，
1952年院系调整后，先后在南 京工学院、华东水利学院任教。
1952至1956在河海大学任教授并 创立河海大学岩土工程研究所， 同时担任水利部南京水利实验处 处长，为建国初期我国的水利水 电建设做了大量的工作 1955年选聘为中国科学院院士（学 部委员）。
1956年起，黄文熙调任清华大学教 授并兼任水利部水利科 学研究院副院长。
在工程方面成就杰出
1931 — 1933 年，在设计一座 17 层钢架结 构时，创造了“框架力矩直接分配法”， 完满地完成了设计任务，深得当时建筑 部主任的赞赏，称誉他“具有解决困难 任务的特殊能力” 。用这种方法进行力 矩分配，计算工作量也比克劳斯的力矩 分配法少。
1935年，他着手研究拱坝结构分析 的新方法——格栅法，经多年的艰苦 工作才告完成。此法是把拱坝（或壳 体）当成由许多水平拱段和垂直梁段 所组成的格栅，它们都刚性地连接在 格栅的结点上。这种将结构离散化 的方法，实开目前广泛应用的有限 元法的先河。
1958年水利科学研究院改组为水 利部、电力部所属的水利水电科学 研究院，他在清华大学执教的同时， 仍兼任该院副院长，负责全院的学 术领导工作。
1978年，他以古稀之年出任清华 大学水利系土力学教研组主任， 创出了一批高水平的科研成果， 培养了一批高质量的硕士生和博 士生。
同时兼任水利水电科学研究院和南 京水利科学研究院顾问。
达西公式各物理量的含义
过水断面ω 与实际过水断面ω ' 过水断面ω ：砂柱的横切面积，是指水流通过的包括岩石 骨架与空隙在内的整个断面。 实际过水断面 ω ′：扣除结合水所占据范围以外的空隙面 n 积，也就是重力水所占据的空隙面积 。
e
有效孔隙度ne：重力水流动的空隙体积（不包括不连通的死孔隙 和不流动结合水所占据的空间）与岩石体积之比。
。
ω
ω′
渗透流速V与实际流速u
Q V u
ne
V ne u
ω，V
ω'，u
达西流速小于实际流速。 u和V都是平均流速。 渗流计算时用渗透流速V，研究地下水污染时用实际流速u。
水力梯度（hydraulic gradient）
水力梯度是沿渗透途径上的水头损失（Head loss）与相应渗透途径 的长度之比：
散岩石渗透系数参考值松
渗透 渗透系数 系数 松散岩石名称 松散岩石名称 （m/d） （m/ d）
亚粘土 亚砂土 0.001-0.1 0.1-0.5 中砂 粗砂 5-20 20-50
粉砂
细砂
0.5-1.0
1.0-5.0
砾石
卵石
50150
100500
影响K的主要因素为颗粒大小，其次为分选 ；
思考题：砾石、砂、砾砂混合样，比较K的大小
影响渗透系数的因素—— 以松散岩石,等 径孔隙为例来分析
V u ne K I I
2 0
多孔介质（概化为等径的平行毛细管束）：
K
32
I d u 32
2 d0 ne
K k
K表示渗透率
K与液体的物理性质有关，与液体的容重γ成正比，与动力 粘滞系数μ成反比。 K与岩石的性质有关，与空隙大小（d0）成2次方，与空隙 多少（ne）成一次方。
而一般约为12000，但如果在外界干扰很少的条件下，可高达。 在工程实际中，液流的扰动总是存在的。由于不稳定的流动型态 过渡区范围不大，而且在过渡区，对于同一流速v，湍流时的损 失相对大于层流的损失，用湍流的结果去解决或设计工程问题是 相对较安全的。因此，工程实际中就统一用下临界雷诺数作为液 体流动型态的判别标准。即对于有压圆管流，当其实际雷诺数
x h v y k y y
2h 2h k x 2 k y 2 0 （4） x y
二维土单元的渗流
h h 2 0 2 x y
2 2
（4）
各向同性饱和土体二维渗流基本微分方程
h h 0 （ 4 ） 2 2 x y
2 2
适用于边界条件简单情况。使用微分方程求解。
单位时间内流过某一截面的流体的体积 叫做流体在该截面的流量，用符号Q 表示， 即
Q Sv
单位：米3 / 秒 （m3 / s）
水
表
金属流量计
达西定律
法国水力学家H.Darcy，1856年通过大量 的水通过均匀砂柱渗流实验得出； 实验条件
等径圆筒装入均匀砂样，断面为ω； 上下各置一个稳定的溢水装置——保持 稳定水流；
渗透系数K（coefficient of permeability）
也有称为水力传导度（Hydraulic Conductivity） V=KI，当I=1时，K=V ；因此K在数值上是当I=1时的渗 透流速。 具有流速量纲[L/T]，常用单位cm/s，m/d； I一定，K大，则V也大， Q 也大，因此，渗透系数 K 是表征岩石透水性的定量指标；K愈大，则表明岩石的 透水能力愈强； 影响渗透系数的因素
。
达西定律的适用条件
适用条件
雷诺数（Re）小于1-10之间某一数值的层流才符合达西定律；
Vd Vd Re
天然条件下地下水的渗流速度通常很缓慢，绝大部分为层流运动，一 般可用线性定律描述其运动规律。
当地下水流速相当大时，呈紊流运动，此时的渗透服从非线性渗透定 律称为哲才（A.Chezy）定律：
由水力学中水动力学基本原理：
h I J L
（2）
——水力梯度 （hydraulic gradient） Q=KIω 达西定律实验装置
（2）
Q=KIω
上式表明：渗透流量（Q）与渗透系数（K）、过水断面（ω） 及水力梯度（I）成正比。 渗透流速 Q V 根据水力学流速与流量的关系： Q=ω· V 与（2）式Q = K I ω比较 V=K· I （3） V称为渗透流速（seepage velocity \Darcy velocity \specific discharge）,为单位面积上的流量——称比流量； 渗透流速与水力梯度一次方成正比； 故达西定律又称为线性渗透定律。
1937年夏抗日战争前夕，黄文 熙接受中央大学的邀聘，毅然回 国。 他先后在杭州浙江水利局和 西安东北大学短暂工作， 1937年冬几经辗转到达重庆。此 后他在中央大学水利系担任教授、 系主任，并兼任水利部水利讲座、 中央水利实验处特约研究员、土 工实验室主任等职。
1949年中央大学更名南京大学 后，任南京大学工学院水利工 程系教授。
vd Re Re c 2300 ν vd Re Re c 2300 ν
为层流
为湍流
对于明渠流和非圆形断面的有压流，其雷诺数Re中的长度量d 一般采用水力半径R代替。试验表明，这时的Re一般为500~600。
例如，明渠流的Rec可取575。天然条件下的明渠流，其雷诺数一
般都相当大，多属于湍流，因此很少进行流动型态的判别。 若有压圆管流中的长度量d也用水力半径R来代替，则其临界 雷诺数值为575。
缓缓流动的河水
流体的连续性原理
如图所示，设v1、v2 分别是流体流经S1 和
S2 的速度，在单位时间从S1 流入的体积为
S1v1 ，从S2 流入的体积为S2 v2 ，则有
源自文库S1v1 S2v2
S v 恒量
或
在理想流体的稳定流动中，单 位时间流过同一管道的任何截面的 流体的体积相等，这个结论叫做流 体的连续性原理。
1942一1957年，他创建了地基沉 降与地基中应力分布新的计算方法
他建议用三个正应力之和来进行计算， 这既考虑了地基土的侧向变形，也简 化了计算和减少了编制计算图表的工 作量。他还建议用三轴压缩仪进行试 验，研究土的弹性模量及泊松比与土 体的应力值及其比例间的函数关系。
V KI
1 2
液体流动型态的判别
雷诺在进一步试验中发现，临界流速对于不同的管径d、不 同的液体种类和不同的温度（即不同的液体粘滞系数）是不一 样的。但分析大量的试验结果发现，临界流速随管径d和液体运
动粘滞系数的变化是有规律的，它与
ν d 成正比，即
上、下临界流速临界流速可分别表示为
vc