-单纯形法计算中的几个问题
单纯形法的矩阵计算例题
1、在使用单纯形法求解线性规划问题时，初始基本可行解通常通过以下哪种方法获得？A. 两阶段法B. 高斯消元法C. 矩阵求逆D. 逐次逼近法（答案）A2、在单纯形表的迭代过程中，当所有检验数均非负时，说明当前解是？A. 无界解B. 无解C. 最优解D. 可行解但非最优（答案）C3、单纯形法中，选择进入基的变量时，通常选择检验数最小的变量，这是？A. 错误的做法B. 正确的做法，但仅当目标函数求最大值时C. 正确的做法，但仅当目标函数求最小值时D. 无论目标函数求最大还是最小，都是正确的做法（答案）B（假设题目中指的是选择绝对值最大的负检验数对应的变量进入基，若求最小值则选择正检验数）4、在单纯形迭代过程中，若出现某个基变量的值为零，而该变量在目标函数中的系数（即检验数）为正，则？A. 该问题无界B. 应立即停止迭代，因为当前解不可行C. 应将该变量从基中换出D. 这种情况不可能发生（答案）C5、单纯形法中，退出基的变量选择通常基于？A. 检验数的大小B. 基变量在约束条件中的系数比值（即比值检验）C. 目标函数中的系数D. 变量的下界或上界（答案）B6、在单纯形迭代过程中，若所有基变量的检验数均为零，则？A. 达到了最优解，且可能存在多个最优解B. 达到了最优解，且唯一C. 问题无解D. 需要进行人工变量调整（答案）A7、单纯形法中，若某个迭代步骤中发现无法找到符合条件的进入基变量（即所有检验数均非负），则？A. 当前解即为最优解B. 问题无解C. 需要引入人工变量继续迭代D. 应检查初始基本可行解的正确性（答案）A8、在构建初始单纯形表时，若目标函数为求最小化，则检验数应如何计算？A. 检验数= 目标函数系数- 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和B. 检验数= 目标函数系数+ 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和的相反数C. 检验数= 目标函数系数直接作为检验数D. 检验数= 约束条件左侧系数与目标函数系数的比值（答案）B（简化描述，实际计算中需考虑基变量的当前值和目标函数系数）9、单纯形法中，当某个基变量的值为负时，说明？A. 当前解不可行B. 当前解可能是最优解，但需进一步验证C. 应立即将该变量从基中换出D. 这种情况在正确执行单纯形法时不可能发生（答案）D（在正确执行时，基变量应始终非负）10、在单纯形迭代过程中，若发现某个非基变量的检验数为正，且该变量对应的约束条件为“≤”类型，则？A. 该变量应被选为进入基的变量B. 该变量不能进入基，因为其检验数为正C. 需要检查该变量的上界是否满足约束D. 该问题可能无解（答案）A（在求最大化问题时，正检验数对应的非基变量是潜在的进入基候选）。
运筹学单纯形法的例题
可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之下__
3
.
05.07.2020
练习㈠用图解法
5
4 4x1+x2=9
3
2
1 (2.25,0)
0
1
2
3
4
5
6
7
4
.
05.07.2020
练习㈠. 单纯形表
1 31 0 7 4 20 1 9
填入第一个约束的数据.
填入第二个约束的数据.
5
.
05.07.2020
❖至少有一个非基变量的检验数为正,但它的系 数全为非正,则无有限最优解；
❖所有非基变量的检验数全为非正，已有最优解， 但若其中至少有一个的检验数为0，且它的系 数中有2正4 的，则可能有. 无穷多个最优0解5.07.。2020
基变量列中_x_5_换为_x_1_,
改CB列,_-_M__换为_4__.
Excel
17
.
05.07.2020
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解：
Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7
s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x2 ≥ 0
可行域在直线 x1+3x2=7之上__
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x6=9
基引是进谁两?个这 理x“1里?,x人“2 ,工x-”3 如变,x4何量,x5处”,x6≥0
x5 ,x620
.
05.07.2020
练习㈢.用单纯形法
Max z=4x1+x2+0x3+0x4 -Mx5 –Mx6
单纯形法的计算题
单纯形法的计算题
单纯形法是一种求解线性规划问题的数学方法。
下面是一道使用单纯形法求解的线性规划问题的例子：
求最大化目标函数z = -2x1 + 3x2，
约束条件：
1. x1 + x2 <= 4
2. 3x1 + 4x2 <= 12
3. x1, x2 >= 0
用单纯形法求解此问题，需要进行以下步骤：
1. 建立初始单纯形表格：根据约束条件，我们可以确定初始单纯形表格的基变量和非基变量。
2. 计算目标函数的系数和：根据目标函数的系数，我们可以计算出目标函数的系数和。
3. 检查退出条件：如果目标函数的系数和大于零，则无法找到可行解；如果目标函数的系数和小于等于零，则已经找到最优解。
4. 迭代计算：如果未达到最优解，需要继续迭代计算，更新单纯形表格，直到找到最优解为止。
5. 输出结果：最终的单纯形表格中，最优解对应的基变量和非基变量的值即为所求的最优解。
具体到这个例子中，可以使用线性规划软件包或编程语言实现单纯形法来求解。
通过输入约束条件和目标函数，可以得到最优解。
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
单纯形法选择题
当然，我可以为您提供关于单纯形法选择题的解答。
为了给您提供最全面的答案，我会按照题目类型和可能的解答方式进行说明。
请注意，以下回答基于一些假设和简化，实际情况可能会有所不同。
问题类型：单纯形法基础概念选择题问题：1. 在单纯形法中，以下哪个选项描述正确地描述了基本可行解的概念？A. 基本可行解是线性规划问题的唯一解。
B. 基本可行解是线性规划问题的初始解。
C. 基本可行解是最优解的一种可能状态。
D. 基本可行解是在最优解不存在时的解。
解答：基本可行解是线性规划问题的初始解，即在单纯形法中，初始时选择的基向量，对应的非基变量值被设置为零，其他变量在可行域内选择最优值。
基本可行解是线性规划问题的初始状态，但不是唯一解，因为可能存在多种不同的基向量选择。
2. 当使用单纯形法求解线性规划问题时，以下哪个选项描述正确地描述了最优解的存在性？A. 在任何情况下，最优解都是存在的。
B. 在大多数情况下，最优解都是存在的。
C. 在某些情况下，最优解不存在。
D. 在某些情况下，最优解存在但不可计算。
解答：最优解的存在性取决于线性规划问题的具体约束条件和目标函数。
一般来说，当线性规划问题有可行解时，最优解是存在的。
然而，在某些特殊情况下，最优解可能不存在或不可计算。
因此，正确答案是C. 在某些情况下，最优解不存在。
3. 当使用单纯形法时，以下哪个选项描述正确地描述了基本调优步骤的作用？A. 基本调优步骤是为了找到基本可行解。
B. 基本调优步骤是为了使基本可行解更接近最优解。
C. 基本调优步骤是为了找到一个基向量，使得目标函数值最小化。
D. 基本调优步骤是为了确保问题能够被成功求解。
解答：基本调优步骤是为了确保问题能够被成功求解。
通过选择一个更好的基向量（通常是使目标函数值更小的基向量），可以确保问题有更好的初始状态，从而增加了找到最优解的可能性。
因此，正确答案是D. 基本调优步骤是为了确保问题能够被成功求解。
总结：以上是对单纯形法基础概念的一些选择题解答。
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
-单纯形法计算中的几个问题
(1-37)
将（1-36）逐个代入(1-37)并整理得到
1 2
Ac
1 2
Ap
1 2
AH
0
1 4
Ac
3 4
Ap
1 4
AH
0
3 4
Bc
1 4
Bp
1 4
BH
0
1 2
Bc
1 2
Bc
1 2
BH
0
表1-15表明这些原材料供应数量的限额,加入到产品A、B、D的 原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过100kg，H总量不 超过60kg。由此
§1-7.单纯形法计算中的几个问题
一、单纯形法计算中的几个问题 1.目标函数极小化时解的最优性判别
对于目标函数值极小化的线性规划问题，这时只需以 所有检验数作为判别表中解是否最优的标志。 2.退化
按最小比值来确定换出基的变量时，有时出现存在 两个以上相同的最小比值，从而使下一个表的基可行解 中出现一个或多个基变量等于零的退化解。退化解的出 现原因是模型中存在多余的约束，使多个基可行解对应 同一顶点。当存在退化解时，就有可能出现迭代计算的 循环，尽管可能性极其微小。为避免出现计算的循环， 1974年勃兰特（Bland）提出了一个简便有效的规则：
单价(元/kg) 50
35
D
不限
25
原材料名称
C P H
每天最多供应量(kg) 单价(元/kg)
100
65
100
25
60
35
解 如以 A表c 示产品A中C的成分，Ap 表示产品A中P的成分，依次
类推。有(1-36)
Ac
1 2
A, Ap
1 4
单纯形法计算方法存在的问题
204 2011.112011年11月科教纵横按照单纯形法的计算方法，有些数学模型在求解时会存在一些不必要的转换，使计算量相对增加。
下面通过两个例子的计算说明。
例1数学模型的计算，用单纯形法计算其标准形式为：单纯形法计算表如表1。
表1例1计算表表中a＝－2M－3，b＝6M－3，c＝－M－3/2，d＝－M+1/2，e＝－M+3/4，f＝－M－1/4。
例1有惟一最优解为：X*＝（0 2.5 1.5）T，Z*＝1.5，其中第二次转换是用x1换x7，第三次转换是用x3换x1，相当于第二次转换是多余的计算。
表1有207个字。
类似这样的例子，在计算时完全可以避免，这就是对单纯形法计算时的方法做适当的改变。
在确定换入变量时不一定把最大的检验数对应的非基变量做为换入变量，而应该看哪种变量对应的费效比高。
例1计算中若第二次转换是用x3换x7比用x1换x7更有利，一是单位产品对第一种资源消耗量少（4和6），二是x3是赚的而x1是赔的（1和－3）。
因此例1的计算可按表3进行。
表3有162个字，比表1少45个字，计算量少了25%。
因此我们在学习中只要灵活掌握知识，而不是死学书本，才能学到知识的真谛。
表3例1简化计算表作者单位：郑州大学西亚斯国际学院商学院作者简介：李小林（1964.06— ），男，陕西周至，郑州大学西亚斯国际学院商学院教师，副教授，硕士研究生，主要从事统计学和运筹学的教学和研究工作。
单纯形法计算方法存在的问题文/李小林摘 要：通过举例说明单纯形法计算方法存在的问题，供相关学习者在使用中借鉴。
关键词：单纯形；计算方法；存在问题；改进方法中图分类号：O1-0 文献标识码：A 文章编号：1006-4117（2011）11-0204-01。
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2
最优化--单纯形法解例
例1 用单纯形法解下列问题：解：将原问题化成标准形：x 4与添加的松弛变量x 5，x 6在约束方程组中其系数列正好构成一个3阶单位阵，它们可以作为初始基变量，初始基可行解为X =（0, 0, 0,10, 8, 4）T列出初始单纯形表，见表1。
22x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
242)24,110(m in ===θ 因此确定2为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x 2去置换基变量x 6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x 2的系数列(1, -1, 2)T 变换成x 6的系数列(0, 0, 1)T ，变换之后重新计算检验数。
变换结果见表2。
1231234123123min 2..210,248,244,0,1,,4.j x x x s t x x x x x x x x x x x j -++-+=-+≤-+-≤≥=123123412351236max 2..210,248,244,0,1,,6.j x x x s t x x x x x x x x x x x x x j -+-+-+=-++=-+-+=≥=检验数σ3=3>0，当前基可行解仍然不是最优解。
继续“换基”，确定2为主元素，即以非基变量x 3置换基变量x 5。
变换结果见表3。
此时，3个非基变量的检验数都小于0，σ1= -9/4，σ5= -3/2，σ5= -7/4，表明已求得最优解：T)0,0,8,5,12,0(=*X 。
去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：T )8,5,12,0(=*X ,最小值为-19例2 用大M 法求解下列问题：12312312313min 3..211,243,21,0,1,,3.j x x x s t x x x x x x x x x j +--+≤+-≥-=≥=解 引进松弛变量x 4、、剩余变量x 5和人工变量x 6、x 7，解下列问题：1234567123412356137min 300()..211243210,1,2,,7j x x x x x M x x s t x x x x x x x x x x x x x j +-++++-++=+--+=-+=≥=用单纯形法计算如下：由于σ1<σ2< 0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x 1为换入非基变量；以x 1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm
运筹学习题2-单纯形法
量，将使目标函数值得到最快的增长。
答：
二、 单纯形法迭代中，任何从基变量中替换出来的变量，在紧接着的
下一次迭代中，会不会再进入基变量中？为什么？
答：
三、 下表为用单纯形法计算时某一步的表格，已知该线性规划问题中
目标函数为，约束条件均用“≤”关系连接，, 为松弛变量，该表中解代入
目标函数可得z =10。求a---g的值；问此表所给的解是否为最优解。
−S 0 1
1 X1 4 1 0 X4 12 0 0 X5 1 0
−S −4 0
1 X1 3 1 0 X4 4 0 1 X2 2 0
−S −5 0
1
0
0
X2
X3
X4
1
1
0
5
0
1
1
0
0
1
0
0
1/2 1/2 0 4 −1 1 1/2* −1/2 0
1/2 −1/2 0
0
1
0
0
3
1
1 −1 0
0
0
0
0 θi X5
《运筹学》习题（二）
班级
姓名
1、 判断题
1、 无约束的变量xj，通常令，其中，在用单纯形法求得的最优解中有
可能同时出现。
2、用单纯形法求解标准形的线性规划问题时，与对应的变量都可
以被选作换入变量。
3、单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下 一个解中至少有一个基变量的值为负。
4、单纯形法计算中，选取最大正检验数对应的变量xk作为换入变
5
0
1
0
0 X5 5 1
1
0
0
1
−S 0 1
单纯形法的计算
㈡、单纯形法的计算步骤三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；（3）换基：用进基变量替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.（3）单纯形法的计算算列例 1：用单纯形法求线性规划问题的解2312323423min 2.-22-3120,1,2,3,4,5j z x x st x x x x x x x x x x j =-++=+=-+=?５解 这里B ()145,,A A A =是一个单位矩阵，且()2,1,20Tb =>，故基B 是可行基， 1x ，4x ，5x为基变量， 2x ，3x 为非基变量，基B 对应的基本可行解为()2,0,0,1,2Tx =，其目标函数值00Z =。
方程组Ax b =已是典式，得到第一张单纯形表如下表。
注意，第0行的元素应该是将目标函数232z x x =-+化成等价的方程2320z x x +-=后的相应元素。
检验数210x =>，故当前解不是最优解，2A 列中有22a ，32a 两个元素均为正数，32223212min ,min ,111b b a a 禳禳镲镲==睚睚镲镲铪铪故转轴元为22a ，2x 进基变量，4x 为出基变量。
单纯形法解的四种情况
单纯形法解的四种情况单纯形法是运筹学中求解线性规划问题的一种常用方法。
它的基本思想是利用线性规划问题的几何性质，通过不断优化目标函数值，使得问题的最优解逐渐逼近。
在运用单纯形法求解线性规划问题时，存在四种不同的情况，下面一一进行详细介绍。
一、唯一最优解当线性规划问题满足严格的可行性条件和凸性条件时，求解出的最优解就是唯一的。
在这种情况下，单纯形法通过一系列计算步骤，得出的就是该问题的最优解。
此时，算法的收敛速度也是最快的，因为每次迭代都会使得目标函数值有所改善，确定下一次迭代的方向也较为明确。
二、无解当线性规划问题没有可行解时，单纯形法会失败。
这通常是因为约束条件之间存在冲突，导致问题无法求解。
例如，如果一个约束条件要求变量的值大于等于某个数，而另一个约束条件要求该变量的值小于该数，那么就会导致问题无法求解。
这种情况下，单纯形法会一直进行迭代，直到达到指定的迭代次数或者发现无法得到更好的解为止。
三、无界当线性规划问题的目标函数可以无限地取得更小的值时，就被称为无界问题。
这种情况通常是由于约束条件中某个变量的值可以无限大或者无限小，导致目标函数的值可以无限地下降。
在这种情况下，单纯形法会一直迭代下去，但却无法得到最优解。
此时，需要对约束条件进行适当的调整，添加额外的限制条件以消除无界情况。
四、多解当线性规划问题可以有多个最优解时，就称为多解问题。
例如，当目标函数有多个极小值点，每个极小值点都是最优解。
在这种情况下，单纯形法只能找到其中一个最优解，而无法确定其他最优解的位置。
在实际应用中，多解问题较为常见，在解决此类问题时，需要进一步确定目标函数的相关参数，以便正确地找到所有的最优解。
综上所述，单纯形法在求解线性规划问题时，会出现四种不同的情况，即唯一最优解、无解、无界和多解。
对于每种不同的情况，需要采取不同的策略来进行处理。
因此，在运用单纯形法求解线性规划问题时，需要对这些情况进行充分的考虑，以便正确地解决问题。
单纯形法的循环问题
单纯形法的循环问题和解决方法摘要：单纯形法是解决线性规划的最普遍的方法，但是在出现退化问题的时候很容易出现循环现象。
本文对循环问题进行了分析，并给出了解决循环问题的几种方法。
关键字：单纯形法 循环问题单纯形法的循环问题在单纯形法计算过程中，基变量有时存在两个以上相同的最小比值，在下一次的迭代中就有一个或几个基变量等于零，这称之为退化。
单纯形法迭代过程中选取出基变量，若多于一个可选者就会出现退化，当出现这样情况，选择出基变量不当的话，就可能导致迭代过程中基的反复，即迭代过程的循环，这样目标函数值永远达不到最优解。
这种问题就是单纯形法的循环问题。
出现循环问题的原因退化是循环的必要条件，当线形规划中出现退化的基本可行解时，如果进基，出基变量选取准则不合理就有可能出现循环现象。
例子：123412345123463731min ()204421156********2210(1,2,...,7)jf x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =-+-+⎧--++=⎪⎪⎪--++=⎨⎪+=⎪⎪≥=⎩在上面的例子中，每次迭代出现多个候选的出基变量时，我们都是选取最上面行的基变量作为出基变量，最后还是出现了循环。
有学者证明：迭代出现循环的最小迭代次数是6次，因此上面的例子已经是出现循环的最简单的例子。
不难发现在出现循环现象时，每次迭代至少有两个基变量取零值，且其中至少有一个变量是候选的出基变量。
解决循环的方法退化是循环的必要条件，要避免循环要么是考虑如何在退化的情况下采取措施使循环不会发生，要么是从根本上消除退化现象。
1、摄动法就是从根本上消除退化现象，将原规划进行摄动处理，使之成为一个非退化的规划问题。
线形规划存不存在退化的基本可行解，重要是和右端常数b 有关。
摄动法用向量1()nj j j b b a εε==+∑ 来代替原规划P 中的b 得到一个新的规划P(ε) ;其中j a 是系数矩阵的列向量，ε是一个非常小的正数可以证明：当ε是个很小的正数时，P(ε)是不会退化的；当ε→0时，P(ε)的最优解就是原问题P 的最优解。
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题 max z =nj j j=1c x ∑1,1,2,...,0,1,2,...nij j i j ja xb i mx j n =⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n )进行编号, 则可得下列方程组11,111122,1122,1112.........,,...,0m m n n m m n n m m m m nn n nn x a x a x b x a x a x b x ax a x b x x x +++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩显然得到一个m ×m 单位矩阵121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭ 以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得111,111222,112,11.........m m n nm m n nm m m m m mn n x b a x a x x b a x a x x b a x a x ++++++=---⎧⎪=---⎪⎨ ⎪⎪=---⎩令12...0,m m n x x x ++====由上式得(1,2,...,)i i x b i m == 又因i b ≥0, 所以得到一个初始基可行解12()12()(,,...,,0,...,0)(,,...,,0,...,0)Tm n m Tm n m X x x x b b b --= =个个（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
第2章--单纯形法的几种特殊情况学习资料
450-25M
6 30 4 780-4M
2
管理运筹学
§4 几种特殊情况
解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量，得标准型如下：
目标函数 max z x1 x2
约束条件 x1 x2 s1 1,
填入单纯形表计算得：
迭 基 CB x1
x2
s1
代变 次量
1
1
0
数
3x1 2x2 s2 6,
s2 M 9. 显然这是线性规划的可行解，此时目标函数
z x1 x2 M 1 M 2 M 1.
管理运筹学
5
§4 几种特殊情况
由于M可以是任意大的正数，可知此目标函数值无界。
上述的例子告诉了我们在单纯形表中识别线性规划问题是无界的方法： 在某次迭代的单纯形表中，如果存在着一个大于零的检验数 ，并 ij 且该列 的系数向量的每个元素aij(i=1,2,…,m)都小于或等于零，则此线性规划问题 是无界的，一般地说此类问题的出现是由于建模的错误所引起的。
2x1 x2 s2 400, x2 s3 250, x1, x2 , s1, s2 , s3 0.
填入单纯形表计算得：
管理运筹学
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迭 基变 CB x1 代量
次 数
50
s1 s2 0 s3
01 02 00
zj
0
cj-zj
50
s1 s2 1 x2
01 02 50 0
zj
0
cj-zj
50
x1 2 s2
x1 s2 30, x1 x2 s3 a1 40, x1, x2 , s1, s2, s3, a1 0.
填入单纯形表计算得：
管理运筹学
1
§4 几种特殊情况
单纯形法例题
Content
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x j 0 j 1,2
求其基本可行解和最大目的值
化为原则型：
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
S.T
4x1
x4 16
4x2
(6) 表1-6最终一行旳全部检验数都已为负或零。这表达目旳函数 值已不可能再增大，于是得到最优解
cj
23 0
00
θ
CB
XB
B﹣1b x1 x2
x3
X4
x5
2
x1
4
1 0 1 1/4 0
0
x5
4
0 0 -2 1/2 1
3
x2
2
0 1 1/2 -/2 -1/8 0
X*=X=(4,2,0,0,4)T 目旳函数旳最大值 z*=14
[4]称为主元素。
(4) 以[4]为主元素进行迭代运算，即初等行变换，使P2变换为(0,0,1)T,在XB 列中将x2 替代x5 ,于是得到新表
cj
2 30 0 0
CB
XB B﹣1b x1 x2 x3 x4 x5 θ
0
x3
2 [1] 0 1 0 -1/2 2
0
x4
16
4 00 1 04
3
x2
3
检验数
x5 12
x j 0 j 1,2,,5
➢ 根据原则型将有关数字填入表中，得到初始单纯形表
cj
CB
XB
0
x3
0
x4
0
x5
检验数
23000
单纯形法
z z0 j x j
j m 1
n(1.2.21)称 j ( j m 1 ,, n ) 为检验数。
定理1.2.1 设（1.2.17）和（1.2.21）是最大
化线性规划问题关于当前基本可行解x*的两个典式。
若关于非基变量的所有检验数σ j≤0成立，则当前
基本可行解x*就是最优解。 将σ j≤0称为最大化问题的最优性准则。显然， 对于最小化问题最优性准则应是σ j≥0。
30x1 + x3 = 160 - 20x2 5x1 = 15 - x2 - x4 （1.2.6） x1 + x5 = 4 进一步分析，用消元法将（1.2.6）中x1的系数列向量 （30,5,1）T 化成(1.2.3)中x4的系数矩阵（0,1,0）T
的形式。得到：
x3 = 70 - 14x2 + 6x4 x1 = 3 - 1/5x2 - 1/5x4
(b'1, b'2, … , b'm ,0 , …, 0)T是当前基本可行解。若有一个非
基变量xm+t的检验数σ
m+t>0，且xm+t对应的系数列向量
P'm+t=(a'1,m+t,a'2,m+t,„，a'm,m+t)中，所有分量a'i,m+t≤0，则该 线性规划问题具有无界解（或称无最优解）。
1.2.2 单纯形表
x2= 5 - 1/14x3 + 3/7x4
x1 = 2 + 1/70x3 - 2/7x4
（1.2.11）
x5 = 2 - 1/70x3+ 2/7x4
将（1.2.11）代入目标函数式，得到用非基变 量x 3
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
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（1）当存在多个 j 0 时，始终选取下标值为最小 的变量作为换入变量；（2）当计算值出现两个 以上相同的最小比值时，始终选取下标值为最小 的变量作为换出变量。
3.无可行解的判别
本章第四节单纯形法迭代原理中，讲述了用 单纯形法求解时如何判别问题结局属唯一最优解、 无穷多最优解和无界解。当线性规划问题中添加 人工变量后，无论用大M法或两阶段法，初始单 纯形表中的解因含非零人工变量，故实质上是非 可行解。当求解结果出现所有时，如基变量中仍 含有非零的人工变量（两阶段法求解时第一阶段 目标函数值不等于零），表明问题无可行解。
的逆阵，将J中的第L个数改为k ，转入 （2）。
§1-9.单纯形法应用实例
例1-12 合理利用线材问题
现要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1.5m的 元钢各一根，已知原料长7.4m，问应如何下料，使用 的原材料最省。
解 最简单做法是，在每一根原材料上截取2.9m， 2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套，每根原材料 省下料头0.9m。为了做100套钢架，需用原材料 100根，有90米料头,若改为用套裁，这可以节约 原材料。下面有几种套裁方案，都可以考虑采用， 见表1-13。
0,
得到最优解，停止；否则，记为k主元列，
转入（4）。
（4）计算 B1 pk ,若B1 pk 0， 得无界解，停 止：否则转入（5）。
（5）求
min i
{((BB11pbk))
|
(B 1
pk
)i
0}
(B 1b)l (B 1 pk )l
并记l为主元行。 （6）构造矩阵 Elk用 Elk 左乘B 1 得到新基
2 6Biblioteka 11 0以 表x31,-x115。为表基中变当量所列有c出j 初 z始j 单0纯形表时，，进基行变迭量代中计仍算含有，非过零程的见
人工变量x，5 2 故例1-12的线性规划问题无可行解。
cj
2
1 0 0 -M
CB 基 b
0 -M
xx53
2 6
cj zj
2 -M
x1
x5
2 2
cj zj
min z 0x1 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5
x1 2x2
x4
100
s.t.
3x1
2x3 x2 2x3
2x4 x5 3x5
100 100
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
计算得到最优下料方案是：按Ⅰ 方案下料30根；Ⅱ方案 下料10根；Ⅳ方案下料50根。即需90根原材料才能制造 100套钢架。
§1-7.单纯形法计算中的几个问题
一、单纯形法计算中的几个问题 1.目标函数极小化时解的最优性判别
对于目标函数值极小化的线性规划问题，这时只需以 所有检验数作为判别表中解是否最优的标志。 2.退化
按最小比值来确定换出基的变量时，有时出现存在 两个以上相同的最小比值，从而使下一个表的基可行解 中出现一个或多个基变量等于零的退化解。退化解的出 现原因是模型中存在多余的约束，使多个基可行解对应 同一顶点。当存在退化解时，就有可能出现迭代计算的 循环，尽管可能性极其微小。为避免出现计算的循环， 1974年勃兰特（Bland）提出了一个简便有效的规则：
2 . 单纯形法计算步骤的框图见page35图1-
§1-8修正单纯形法
一、修正单纯形法的基本思想
运用单纯形法时，如果知道可行基的逆 B 就
能利用 B 原始数据计算基变量的取值及检验
数，从而能够确定一个基本可行解，并判断它
是否为最优解。因此在整个计算过程中，只要
保存原始数据和现行的逆即可。修正单纯刑法
(1-37)
将（1-36）逐个代入(1-37)并整理得到
1 2
例1-13 配料问题
某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种 不同规格的产品A、B、C。已知产品的规格要 求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材 料单价，分别见表1-14和表1-15，该厂应如何安 排生产，使利润收入为最大？
产品名称 A
B
规格要求
原材料C不少于50% 原材料P不少于25% 原材料C不少于25% 原材料P不少于50%
x1 x2 x3 x4 x5
[1] 1 1 0 0
2
2 0 -1 1
2+2M 1+2M 0 -M 0
1 1 100 0 0 -2 -1 1
0 -1 -2-2M -M 0
二、单纯形法小结
1. 对给定的线性规划问题应首先化为标准形式， 选取或构造一个单位矩阵作为基，求出初始基 可行解并列出初始单纯形表。对各种类型线性 规划问题如何化为标准形式及如何选取初始基 变量可参见page35表1-14。
例1-11 用单纯形法求解线性规划问题
max z 2x1 x2
s.t.
2
x1 x1
x2 2 2x2 6
x1 , x 0
解 用图解法可看出本例无可行解。现用单纯形法求解，在添加松
驰变量和人工变量后，模型可写成
max z 2x1 x2 0x3 0x4 Mx5
s.t. 2x1x1 x22x2x3 x4 x5
单价(元/kg) 50
35
D
不限
25
原材料名称
C P H
每天最多供应量(kg) 单价(元/kg)
100
65
100
25
60
35
解 如以 A表c 示产品A中C的成分，Ap 表示产品A中P的成分，依次
类推。有(1-36)
Ac
1 2
A, Ap
1 4
A, Bc
1 4 B, Bp
1 B(1-36)
2
这里
Ac Ap AH A Bc B p BH B
为了得到100套钢架，需要混合使用各种下料方案。设 按Ⅰ方案下料的原材料要数为，Ⅱ方案为，Ⅲ方案为， Ⅳ方案为，Ⅴ方案为。根据表1-13的方案，可列出以下 数学模型：
方案 下料数(根) Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅲ Ⅴ 长度m
2.9
12
1
2.1
2 21
1.5
31
2
3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 料头 0 0.1 0.2 0.3 0.8
的基本思想就是给定初始基本可行基后，通过
修改新基的逆
B
进而完成其他运算。在整个
计算过程中，始终保持先行基的逆B 。
二、修正单纯形发的步骤
（1）求一个初始基B并求出它的逆B ， 写出基底描述J。
（2）求单纯形乘子Y (CBT B )T 。
（3）求 j c j Y T p j
及max{ jJ
j } k ,若 k