数学分析第三章知识点总结
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()(){}()()(){}()()()4(,][,)lim (,][,)lim 5(,]lim (,]lim 6[,)lim x n n n x n n n x f b a f x b a x f x f b f x b x f x f a f x →∞
→∞
→-∞
→∞
→+∞
-∞+∞-∞+∞∞-∞-∞∞+∞设在上有定义。存在的充要条件是：对任何含于且以
为极限的数列，极限都存在且相等。
设在上有定义。
存在的充要条件是：对任何含于且以-为极限的数列，极限都存在且相等。设在上有定义。存在的充要条件是：对任何含于{}()()()()()()()()0
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n n n x x a x f x f x f x x x x f x f x δεδδδε→+∞→+∞∞><∈
-<且以+为极限的数列，极限都存在且相等。3 柯西准则
设函数在
上有定义。
存在的充要条件是：任给存在正数使得对任何有
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lim lim .
56()lim =lim =;,lim =.
67()lim lim ,,x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x g x x f x g x f x g x f x g x A x f x h x g x h x A f x g x f g f g x x δδ→→→→→→→→→≤≤≤≤±⋅→4定理3.5（保不等式性）设与都存在，且在某邻域
内有则定理3.迫敛性设，在某
内有则定理3.四则运算法则若极限与都存在，则函数当()()()()()()()()()()
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00
00lim[]lim lim ;2)lim[]lim lim ;lim 0/lim
lim /lim .
7lim =,lim =.8lim =,lim .
1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f g x x f x g x g x f x A f x A f x A g x B A →→→→→→→→→→→→±=±=⋅≠→==时极限也存在，且1)又若
，则当时极限存在，且有3）补充：
若则设（）若()()()()()()()()()()0
0000,;(2).lim =.
1(),();(2)(9(1)lim =x x x x B x f x g x x f x g x A B f x A B R A B A B x f x B f x B x f x B f x B A B A B f x →→>>≥≥∈><><≥≤≥≤∞则存在点的一个空心邻域，使在此空心邻域中有若存在点的一个空心邻域，使在此空心邻域中有，则推论设，（）若或则存在点的一个空心邻域，使在此空心邻域中有若存在点的一个空心邻域，使在此空心邻域中有或），则（）.设()()()
()()()()()()0
0,000,lim =(2)lim =,lim =0,lim =.
10lim =,+}lim =.
x x x x x x x x n n x n M x x g x M f x g x f x g x b f x g x f x x f x δδ→→→→→∞
→∞
>><-<≥∞∞≠∞∞∞∞且存在和，使当时，就有则；
设则设则对任何趋向的数列{，都有三 函数极限存在的条件
()()()()()()()()()()()()(){}()0
0+00-000
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'
1lim 2lim 3lim 21;lim ;lim x x
x x
o
x x
x x n n n f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x δδ+-→→→→→∞
1单调有界定理
设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在。设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在。设为定义在
上的单调有界函数，则右极限存在。归结原则
设在上有定义。
存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等()()()(){}()()()()(){}()+0
'0'
+
+
00
0'0'
00
2;lim ;lim 3;lim ;lim x x n n n x x n n n f x f x x x x f x f x f x x x x f x δδδδ-→→∞
-
-
→→∞。
设在上有定义。
存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等。
设在
上有定义。
存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等。
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-<-∞+∞设函数在
上有定义。
存在的充要条件是：任给存在正数使得对任何有设函数在
上有定义。
存在的充要条件是：任给存在正数使得对任何有设函数在上有定义。()()()()()()()()'''''''''''''''0,,,(,][,).
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对任何有设函数在上有定义。
存在的充要条件是：任给存在正数使得对任何有设函数在上有定义。存在的充要条件是：任给存在正数使得对任何()()'''.
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