2009年江西高考理科数学卷(含详细答案解析)

绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

第Ⅰ卷
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡
上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式
如果事件互斥，那么
球的表面积公式
,A B
()()()P A B P A P B +=+2
4S R π=如果事件，相互独立，那么 其中表示球的半径,A B R
球的体积公式
()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件
在一次试验中发生的概率是，那么
A p 34
3
V R π=
次独立重复试验中恰好发生次的概率
其中表示球的半径
n k R
()(1)k
k n k n n P k C p p -=-一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数为纯虚数，则实数的值为2
(1)(1)z x x i =-+-x A ．
B ．
C ．
D ．或1-011-1
答案：A
【解析】由 故选A
210
110
x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩
2．函数的定义域为
y =
A ．
B ．
C ．
D ．(4,1)--(4,1)-(1,1)-(1,1]-答案：C 【解析】由.故选C 2
10
11141
340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨
⎨-<<--+>⎩⎩3．已知全集中有m 个元素，中有n 个元素．若非空，则U =A B U ()()U U A B U ððA B I A B I 的元素个数为A ． B ．
C ．
D ．
mn m n +n m -m n -答案：D
【解析】因为，所以共有个元素,故选D [()()]U U U A B A B =I U ðððA B I m n -
4．若函数，，则的最大值为
()(1)cos f x x x =02
x π
≤<()f x
A ．1
B ．
C
D 212
+答案：B
【解析】因为==()(1tan )cos f x x x =+cos x x 2cos(3
x π
-当是，函数取得最大值为2. 故选B
3
x π
=
5．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲2
()()f x g x x =+()y g x =(1,(1))g 21y x =+线在点处切线的斜率为()y f x =(1,(1))f A ． B ． C ． D ．414-21
2
-答案：A
【解析】由已知，而，所以故选A
(1)2g '=()()2f x g x x ''=+(1)(1)214f g ''=+⨯=6．过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若
22
221x y a b
+=0a b >>1F x P 2F
，则椭圆的离心率为
1260F PF ∠=o A
B
C ．
D ．
12
13
答案：B
【解析】因为，再由有从而可得
B 2(,)b P c a -±1260F PF ∠=o
232,b a a
=c e a ==
7．展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数绝对值的(1)n
ax by ++x 243y 和为，则的值可能为32,,a b n A ． B ． 2,1,5a b n ==-=2,1,6a b n =-=-= C ． D ．
1,2,6a b n =-==1,2,5
a b n ===答案：D
【解析】，，则可取，选D 5(1)2433n b +==5
(1)322n a +==1,2,5a b n ===8．数列的通项，其前项和为，则为{}n a 2
2
2(cos sin )33
n n n a n ππ
=-n n S 30S A ． B ．
C ．
D ．470490495510
答案：A
【解析】由于以3 为周期,故2
2{cos
sin }33
n n ππ
-22222222
23012452829(3)(6)(30)
222
S +++=-++-+++-+L 故
2210
102
11
(32)(31)591011[(3)][9]25470222k k k k k k ==-+-⨯⨯=-+=-=-=∑∑选A
9．如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，ABCD A B C Ox Oy Oz 则在下列命题中，错误的为 A ．是正三棱锥O ABC -B ．直线∥平面OB ACD C ．直线与所成的角是AD OB 45o
D ．二面角为
D OB A --45
o
y
x
z
O
A B C
D
答案：B
【解析】将原图补为正方体不难得出B 为错误，故选B
10．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，3集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为35A ．
B ．
C ．
D ．
31
81
3381
4881
5081
答案：D
【解析】故选D 555
3(323)50
381
P -⨯-==11．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为，则下列关系中正确的为
1234,,,ττττ A ． B ．
C ．
D ．143τττ>>312τττ>>423τττ>>341
τ
ττ>>答案：C
【解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以、
1τ=、
，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间
2τπ=33τ=的距离之比，所以，选C 4τ=423
1ττττ>>>12．设函数的定义域为，若所有点构成一
()0)f x a =
<D (,())(,)s f t s t D ∈个正方形区域，则的值为a A ． B ．
C ．
D ．不能确定
2-4-8-答案：B
【解析】
，，，选B 1
2max ||()x x f x -
=
=
||a =4a =-︒
︒
绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

请把答案填在答题卡上
13．已知向量，，，若∥，则=
．
(3,1)a =r (1,3)b =r (,7)c k =r ()a c -r r
b r k 答案：5【解析】
36
513
k k --=⇒=14．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱111ABC A B C -2,A B π的体积为 ．答案：8
【解析】由条件可得，所以，到平面，所以所2
AOB π
∠=AB =O ABC 求体积等于．
8
15的解集为区间,且,则．
(2)k x ≤+[],a b 2b a -=k =
【解析】由数形结合，直线在半圆之下必须，则直
(2)y k x =+y =3,1b a ==
线过点（），则(2)y k x =+1,k =
16．设直线系,对于下列四个命题：:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤ ．中所有直线均经过一个定点A M
．存在定点不在中的任一条直线上
B P M ．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上
C (3)n n ≥n M
．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
D M 其中真命题的代号是
（写出所有真命题的代号）．
答案：　
,B C 【解析】因为所以点到中每条直线的距离
cos (2)sin 1x y θθ+-=(0,2)P M
1
d =
=即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,所以A 错M C 2
2
(2)1x y +-=M 误
又因为点不存在任何直线上,所以B 正确
(0,2)对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确
3n ≥n C C 中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D 错误,M ABC AEF 故命题中正确的序号是 B,C
三.解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）
设函数()x
e f x x
=
（1）求函数的单调区间；
()f x （2）若，求不等式的解集．0k >'
()(1)()0f x k x f x +->解： (1) , 由,得 .'
22111()x x x
x f x e e e x x x
-=-
+='()0f x =1x =因为 当时,； 当时,； 当时,；0x <'
()0f x <01x <<'
()0f x <1x >'
()0f x >所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .
()f x [1,)+∞(,0)(0,1]-∞，(2)
由 ,2'
21()(1)()x x kx kx f x k x f x e x -+-+-=2
(1)(1)0x
x kx e x
--+=> 得：.
(1)(1)0x kx --<故：当 时, 解集是：；
01k <<1
{1}x x k
<<当 时，解集是： ；1k =∅当 时, 解集是：.
1k >1
{1}x x k
<<18．（本小题满分12分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行
评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是
.若某人获得两个“支持”，则给1
2
予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额．ξ (1) 写出的分布列； (2) 求数学期望．
ξE ξ解：（1）的所有取值为ξ0,5,10,15,20,25,30
1(0)64P ξ==
3(5)32P ξ==15(10)64P ξ==5
(15)16P ξ== 15(20)64P ξ==3(25)32P ξ==1
(30)64P ξ==
（2）. 31551531
5101520253015326416643264
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=19．（本小题满分12分）
△中，所对的边分别为，,
ABC ,,A B C ,,a b c sin sin tan cos cos A B
C A B
+=
+.
sin()cos B A C -=（1）求
；
,A C （2）若,求.
3ABC S ∆=+,a c 解：(1) 因为，即，
sin sin tan cos cos A B C A B +=
+sin sin sin cos cos cos C A B
C A B
+=+所以，sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+即 ，
sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-得 . 所以,或(不成立).
sin()sin()C A B C -=-C A B C -=-()C A B C π-=--即 , 得，所以.2C A B =+3C π=23B A π
+=
又因为，则，或（舍去）
1sin()cos 2B A C -==6B A π-=56
B A π
-=得5,412
A B
ππ==
(2)， 1sin 32ABC S ac B ∆==
= 又, 即 ，
sin sin
a c A C
==得a c ==
20．（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是矩形，平面
P ABCD -ABCD PA ⊥，，. 以的中点为球心、ABCD 4PA AD ==2AB =AC O 为直径的球面交于点，交于点.
AC PD M PC N （1）求证：平面⊥平面；
ABM PCD （2）求直线与平面所成的角的大小；CD ACM （3）求点到平面的距离.N ACM 解：
方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC 。

又因为P A ⊥平面ABCD ，则PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ＰＡＤ，则CD ⊥AM ，所以A M ⊥平面PCD ，
所以平面ABM ⊥平面PCD 。

（2）由（1）知，，又，则是的中点可得
AM PD ⊥PA AD =M PD
，AM
=MC ==
则1
2
ACM S AM MC ∆⋅=设D 到平面ACM 的距离为，由即，
h D ACM M ACD V V --
=8=可求得
，h =
设所求角为，则，。

θsin h CD θ=
=arcsin θ=（3）可求得PC=6。

因为AN ⊥NC ，由，得PN 。

所以。

PN PA PA PC =8
3
=:5:9NC PC =故N 点到平面ACM 的距离等于P 点到平面ACM 距离的。

5
9
又因为M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等，由（2
）可知所求距离为。

59h =方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，
(0,0,0)A (0,0,4)P ， ，，；设平面的一
(2,0,0)B (2,4,0)C (0,4,0)D (0,2,2)M ACM 个法向量，由可得：，令
(,,)n x y z =r ,n AC n AM ⊥⊥r u u u r r u u u u r 240
220
x y y z +=⎧⎨+=⎩，则
1z =。

设所求角为，则，(2,1,1)n =-r
αsin CD n CD n
α⋅==u u u r r
u u u r r
D
B
所以所求角的大小为。

（3）由条件可得，.在中，,所以,则AN NC ⊥Rt PAC ∆2
PA PN PC =⋅83
PN =
,
，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到103NC PC PN =-=
59NC PC =P C
A M 5
9
P 平面距离为则，所以所求距离为。

C A M
h AP n h n
⋅==u u u r r
r
5h 9=21．（本小题满分12分）
已知点为双曲线（为正常数）上任一100(,)P x y 22
2
218x y b b
-=b 点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接
2F 1P A 并延长交轴于.
2F A y 2P (1)求线段的中点的轨迹的方程;
1P 2P P E (2)设轨迹与轴交于两点,在上任取一点
E x B D 、E ,直线分别交轴于两点.
111,(0)Q x y y ≠（）QB QD ，y M N ，求证:以为直径的圆过两定点.
MN 解： (1) 由已知得,则直线的方程为:,208
303F b A b y （，
），（，）2F A 0
3(3)y y x b b
=-- 令得,即,
0x =09y y =20(0,9)P y 设,则,即代入得:,P x y （，）00002
952
x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩22002218x y b b -=2222
418
25x y b b -
=即的轨迹的方程为.
P E 22
22
1225x y b b -=(2) 在
中令得,则不妨设
,2222
1225x y b b
-=0y =22
2x b
=00B D （
，），，）于是直线的方程为:,直线的方程为:,
QB )y x =
QD )y x =
则
,00M N （（则以为直径的圆的方程为: ,
MN 2
0x y y +=（令得:,而在上,则,0y =222
122
122b y x x b
=-11,Q x y （）22221225x y b b -=22
2112225x b y -=于是,即以为直径的圆过两定点.5x b =±MN (5,0),(5,0)b b -22．（本小题满分14分）
各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有
{}n a 12,a a a b ==m n p q +=+,,,m n p q .
(1)(1)(1)(1)
p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=++++（1）当时，求通项
14
,25
a b =
=;n a （2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有
a a λn 1
.
n a λλ
≤≤解：（1）由
得(1)(1)(1)(1)
p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=
++++将代入化简得
121121.(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a --++=++++1214
,25
a a == 1121
.
2
n n n a a a --+=
+所以
1
1
111,131n n n n a a a a ----=⋅++故数列为等比数列，从而1{
}1n
n
a a -+即11,13n n n a a -=+31
.31
n n n a -=+可验证，满足题设条件.
3131
n n n a -=+
(2) 由题设的值仅与有关,记为则(1)(1)m n m n a a a a +++m n +,m n b +
111.(1)(1)(1)(1)n n n n n a a a a b a a a a +++==++++考察函数 ,则在定义域上有
()(0)(1)(1)a x f x x a x +=>++1,
111()(),12,011a a f x g a a a a a ⎧>⎪+⎪⎪≥==⎨⎪⎪<<⎪+⎩
故对， 恒成立.
*n N ∈1()n b g a +≥又 ,222()(1)
n n n a b g a a =≥+注意到,解上式得10(
)2
g a <
≤n a =≤≤取,即有
. λ=1.n a λλ≤≤。