八年级上册实数知识点及练习

第四章实数

一、实数

1、实数的定义：有理数和无理数统称实数。

2、分类：正有理数

有理数0 有限小数或无限循环小数

负有理数

实数正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

二、无理数

1、无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

2、常见的无理数：

（1）所有开方开不尽的方根。

（2）化简后含有π的数。

（3）无限不循环小数。

3、无理数的小数部分的表示

一个无理数减去整数部分，差就是小数部分。如：√2的整数部分是1，因此√2的小数部分就是√2−1；π的小数部分就是π−3.

三、实数与数轴上的点的对应关系

1、实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数。

【提醒：任意两个实数之间都有无数个有理数和无数个无理数。】

2、利用实数与数轴的对应关系解题

例、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则√(a+b)2+a的化简结果为。

四、实数大小的比较方法

1、一般方法

（1）性质比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数；两个负数相比，绝对值大的反而小。

（2）数轴比较法：右边点表示的数总比左边点表示的数大。

（3）差值比较法

（4）商值比较法

2、特殊比较法

（1）平方法

（2）倒数比较法

3的大小：。

例、比较2，√5，√7

五、平方根、算术平方根

1、平方根的概念：如果x2=a，那么x 叫做a的平方根。

2、平方根的性质：

（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。

（2）0的平方根是0.

（3）负数没有平方根。

3、平方根的表示方法

正数a的算数平方根可以用√a表示；正数a的负的平方根，可以用“−√a”表示，故正数a的平方根可以用符号“±√a”表示，读作“正、负根号a”.

4、平方根与算术平方根的联系

（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是该数的算术平方根。（2）相同点：只有非负数才有平方根和算术平方根；

0的平方根和算术平方根都是0.

5、开平方

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中数a叫作被开方数。

（平方运算和开平方运算是互为逆运算的关系。）

六、二次根式

1、二次根式的概念：一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，其中“√”称为二次根号，“a”称为被开方数。

3、√a2与(√a)2的区别与联系

八上实数练习专练

【基础知识巩固】

1、有理数、无理数统称为实数。

2、无理数的定义：无限不循环小数是无理数。

【辨析】①无限小数是无理数。（）②无理数是无限小数。（）

3、数轴上的点表示所有实数。即有理数、无理数都能在数轴上找到对应的点。

4、“夹逼法”确定无理数的整数部分，无理数的小数部分即该数减去整数部分。

3=a

5、√a2=|a|= a （a≥0）；√a3

−a（a<0）

6、平方根与算术平方根的联系：非负数的平方根有两个，并互为相反数，算术平方根是其

中正数的那个平方根。

【习题专练】

1、下列说法正确的是（）

A．无限小数都是无理数。 B. 带根号的数都是无理数。

C. 无理数都是无限小数。

D. 无理数都是开方开不尽的数。

2、下列说法正确的是（）

A. √81的平方根是 ±3

B. 1的立方根是±1

C. √1=±1

D. √x>0

3、一个数的平方根与这个数的立方根之和为0，则这个数是（）

A. −1

B. ±1

C. 不存在

D. 0

4、下列说法正确的是 （ ）

A. 1的立方根与平方根都是1

B. √a 33

=√a 2 C. √83

的平方根是±√2 D. √8+183=2+12=5

2

5、下列各式正确的是 （ ）

A. √16=±4

B. √643

=4 C. √−9=−3 D. √1619=41

3 6、估计√38 的值在 （ ）

A. 4和5之间

B. 5和6之间

C. 6和7之间

D. 7和8之间 7、若√a =2，则 (2a −5)2−1 的立方根是 （ ）

A. 4

B. 2

C. ±4

D. ±2 8、两个实数的和为负数，积为正数，这两个实数 （ ）

A. 同为正实数

B. 同为负实数

C. 异号且正实数的绝对值较大

D. 异号且负实数的绝对值较大 9、面积为S 且两条邻边的比为1:3的长方形的宽为 （ ） A. √3S B.

√S 3

C. √S

3 D. √S

10、√643

的平方根是 ；−√64 的立方根是 ；√a 的立方根是2，则a= .

11、数轴上表示−√2的点到原点的距离是 ；到原点的距离为√2的点表示的实数是 ；数轴上到−√2 的点距离为√2 的点所表示的数是 。 12、一个实数的绝对值是 √7−√3，这个实数是 。 13、写出两个无理数，使它们的和为2： 。 14、一个正数的平方根是2a −7 和 a +4 ，则 a = ，这个正数为 15、若√a −1+b 2−4b +4=0，则 ab 的值等于 。

16、已知 |a|=5，√b 2=7，且|a +b |=a +b ，则 a −b = . 17、如图，a ，b ，c 分别是数轴上点A ，B ，C 所对应的实数。试化简： √c 2+|a −b |+√(a +b)33

+|b −c|.

18、已知 5x +19 的算术平方根是8，且 y =2−|√−a 2−1| ，求 3x −2y 的平方根。