图论及其在数学建模中的应用

自回路
多重边
该图非简单图
完全图： 任何两个点之间都有边相连的简单图。 n 个点的完全图记作 Kn 。
K3
K4
K5
二分图： 点集 V 能划分成两个子集 X、Y，使得每条 边的两个端点分别属于 X 和 Y 的图。 二分图 G 也记作 G = (X, Y, E ) 。
称 G = (X, Y, E ) 为完全二分图，若 X 中的每个点和Y 中的每个点之间皆有边相连，记作 K|X|, |Y | 。
到恰好一个圈 ； (4) G 连通，但删去任何一条边后便不连通； (5) G 中任何两点间有且仅有一条通路（点不重复的
路）。
若 T 是 G 的生成子图且是一棵树，则称 T 是 G 的生成 树或支撑树。
G
T1
T1 至 T8 都是 T 的
T2
生成树
T3
T4
T5
T6
T7
T8
命题：完全图 Kn 有 n n -2 棵生成树。
v3
v5 v6
v8
v1
v2
v4
v7
路 v1v2v4v5v3v4v6v7 的长度为 7 回路 v2v4v5v6v4v3v2 的长度为 6 圈 v2v4v5v3v2 的长度为 4
命题：若点 v 与 v 之间有路，则必有一条长度不 超过 |V | - 1 的路。
在图 G 中，若点 u、v 之间有路，则称 u、v 连通。若
例. 某矿区有 8 个出矿点
（A至H），这 8 个
加权中心为点 B
出矿点每天的矿石产
量分别为 3、5、2、2、
2、7、4、1 百吨。要 从这 8 个出矿点中选 一个建选矿厂，应建
A 1.5 B 3.5 C 2 D 2 2.5 3 3
在何处才能使总运价 E 2 F 3 G 2 H
最低？已知各出矿点
之间的道路和距离如
2
6h
6c
6 43
g4
32
f2
a 1d
10
l(a) l(b) l(c) l(d) l(e) l(f ) l(g) l(h) l(i )
0 6 3 1
63
7 11
5
7 11
6 11
10 9 12 8
10 9 11
10
11
11
S {a} {a,d} {a,d,c} {a,d,c,b} {a,d,c,b,e} {a,d,c,b,e,i} {a,d,c,b,e,i, g}
(1) l(vs ) , l(v) 0 (v vs ) , S {vs }, i s . (2) 若 S V，则终止；否则，对每个 v S 且 {vi , v} E，
令 l(v) max{l(v), min{l(vi ), w(vi , v)}} . (3) 设 l(vk ) max{l(v)| v S}，令 S S {vk }，i k，
注： 当 v 未被访问时，l(v) = 0，否则 l(v) 记录 v 被访 问的序号； 集合 S 保存与某个已访问的点相邻 但还没有被访问的点。
广度优先搜索： 在步骤 (2) 优先访问先加入 S 的点 （先进先出），并且在步骤 (3) 只 需考虑 v V \ S 。
深度优先搜索：
在步骤 (2) 优先访问后加入 S 的点（后进先出），在 步骤 (3) 可以将某个 v S 再加入 S ，这意味着在 S
其中 d(v,u) 表示点 v、u 之间的距离，即最短路长。
解法： 用最短路算法求出所有点对之间的距离，然 后确定 v0 。
例. 某县拟建一消防站为辖区内的 8 个镇服务，问应 设在哪一个镇上才能使它离最远镇的距离最小？ 已知各镇（A 至 H）之间的道路连结情况和距离 如下图所示。
中心为点 B
A 3 B 1.5 C
右图所示。
最短路问题的变种
1. 最可靠路 在通信网络中，已知各段线路的可靠性，求指定两 点间可靠性最大的线路，其中一条线路的可靠性是 其上各段线路的可靠性之积。
用图 G = (V , E) 表示网络，设线路 e (G 的一条边)的可 靠性为 p(e) (0 p(e) 1) ，给 e 定义权 w(e) ln p(e) ， 则 G 的一条路 P 的权
转 (2)。
注： v S 时，l(v) 表示 vs 至 v 的最短路长 ;
v S 时，l(v) 是 vs 至 v 的最短路长的一个上界;
最短路径可以通过反向跟踪获得，即若 l(u) + w(u,v) = l(v) ，则 u 是 v 的紧前点。
例. 求右图中点 a 到其余
b1e 2i 3
点的最短路。
{a,d,c,b,e,i, g, f } {a,d,c,b,e,i, g, f , h}
图的中心与选址问题 1. 使最大服务距离最小 给定一个赋权连通图 G = (V , E , w) ，在该图的点集中 确定一个点 v0 作为该图的中心，使得
maxd
uV
(v0
,
u)
minmaxd
vV uV
(v,
u)
最小生成树问题 给定一个赋权连通图 G = (V , E , w) ，求 G 的一棵生成 树 T 使得 T 中所有边的权之和最小。
Kruskal 算法 思想： 在不形成圈的条件下，优先挑选权小的边形成
生成树。
v5
7
v1 4 v6 3 6
v7
25 3
78
v2 4 v3 8 v4
v5
v1 4 v6 3
最短路问题：求赋权图上指定点之间的权最小的路。
Dijkstra 算法
假设：对一切 e E，有 w(e) 0 。
(1) l(vs ) 0 , l(v) (v vs ) , S {vs }, i s . (2) 若 S V，则终止；否则，对每个 v S 且 {vi , v} E，
令 l(v) min{l(v), l(vi ) w(vi , v)} . (3) 设 l(vk ) min{l(v)| v S}，令 S S {vk 3
K3, 3
命题：图 G 是二分图当且仅当 G 中不存在长度为 奇数的圈 。
二、最短路问题
在图 G = (V , E ) 的边集上定义权函数 w : E R 后就
得到一个赋权图，记为 G = (V , E , w) 。 对于赋权图，路的长度（即路的权）通常指路上所有 边的权之和。
(3) 对一切满足l(v j ) max{l(u), l(v)}的 v j ，令 l(v j ) min{l(u), l(v)}。
(4) E1 | V | 1? 是 , 算法终止；否, 取 k k 1，转 (2) 。
注： 算法构造的最小生成树的边集为 E1；标号 l 具有性质：
当且仅当 u、v 之间有一条仅由 E1 中的边形成的路时，
中将 v 的次序后移，从而 v 可以被更早地访问。
v3
v5
v7
v1 v2 v4
v6
从 v1 出发，按广度优先访问到的 点序列为 v1v2v3v4v5v6v7 ;
按深度优先访问到的点序列为 v1v3v5v7v6v4v2 。
简单图： 任何一条边连结 两个不同的点， 任何两个点之间 至多有一条边的 图。
eP w(e) ln eP p(e)
求最可靠路等价于在赋权图 G (V , E, w) 中求最短路。
2. 最大容量路
设在图 G = (V , E , w) 中，权 w(e) 表示 边 e 的通过能力(或容量)，求 G 中指 定两点间的一条通过能力最大的路。
一条路的通 过能力等于 路上各边通 过能力的最 小值。
(1) 令 l(v) 0 (v V ), S {vs }, k 1 ; (2) 取 v S， 令 S S \ {v}, l(v) k ; (3) 对 每 个v V， 若 {v, v} E 且 l(v) 0， 则 将v
加入 S ;
(4) 若 S ， 算 法 终止 ； 否 则 ， 令k k 1， 转 (2) 。
l(u) = l(v)，因此在步骤 (2) 发现 l(u) = l(v) 时，(u, v) 不能
,v4
}
在图的概念中，点的空间位置、 边的曲直长短都是无关紧要的， 重要的是其有几个点以及哪些点 之间有边相连。
如果用点表示要研究的对象，则图的边可以用来反映 对象之间是否存在某种关系。
用点表示人，边表示两个人是否互相认识； 在地区公路图中，用点表示城市，边表示城市之间是 否有公路直接相连； 在分子结构图中，用点表示原子，边表示原子之间是 否存在化学键； ……
G
G'
G''
G' 和 G'' 都是 G 的生成子图。
图 G 的一条点与边的交替序列 P v0e1v1e2v2 ek vk 称为路，其中 ei {vi1 , vi } (1 i k) .
边数 k 称为路 P 的长度。
当 v0 = vk 时，称 P 为回路。除 v0 = vk 外，点不重复的 回路称为圈。
转 (2)。
注：v S 时，l(v) 表示 vs 至 v 的最大容量路的容量;
具体路径可以通过反向跟踪获得，即 v 的紧前点 u 应满足
min{l(u), w(u, v)} l(v) .
三、树
无圈的连通图称为树。树的等价定义：
(1) G 无圈且 |E| = |V| - 1 ； (2) G 连通且 |E| = |V| - 1 ； (3) G 无圈，但在两个不相邻的点之间添加一条边后得
命题：图的所有点的度数之和等于边数的两倍，即
vV deg(v) 2 | E | 。
例. 碳氢化合物中氢原子的个数为偶数。
H
H
C
H
H
H C
H
H C
H
H C
HC C
H