反函数和复合函数的求导法则
第二节 反函数与复合函数的导数(本科)
e x tan(e x )
13
例8 解：
求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
10( x 2 1)9 ( x 2 1) y
10( x 1) 2 x
2 9
20 x( x 1) .
2 9
14
例9 求函数 y ln x 1 ( x 2) 的导数. 3 x2 1 1 2 解： y ln( x 1) ln( x 2), 2 3 1 1 1 x 1 2 y 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2)
1. 常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
18
2. 函数的线性组合、积、商的求导法则
设u u( x ), v v( x ) 都可导, 则
( 1 ) ( u v ) u v , , R. ( 2) (u . v ) u v uv .
u u v uv ( 3) (v 0). 2 v v
6
二、复合函数的求导法则
复合函数 y f [ ( x)] 在 x0 处可导，且
链导法则
如果 u (x) 在 x0 处可导，而y f (u ) 在u0 ( x0 )点可导，则
dy dx
x x0
dy dy du f (u 0 ) ( x0 ) ， 简记为 dx du dx 。
3复合函数的求导法则,反函数的求导法则
例5
y
1
x
3
,
求 y.
1 x
河海大学理学院《高等数学》
例7 求函 y数 ln3xx2 21(x2)的导 . 数
解 y1ln x2(1 )1ln x (2),
2
3
y1 2x2112x3(x12)
x2x13(x12)
河海大学理学院《高等数学》
且
dy f(u)(x) 或
dx
dy dy du dx du dx
f[(x )] f[(x ) ] (x )
河海大学理学院《高等数学》
推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
f[g(x) ]2ln x
f[g (x )]f[g (x ) ]g (x ) 2 ln x x
g[f(x)]x12
河海大学理学院《高等数学》
例11 设 f (x) 可导,且 yf(s2ixn )f(c2o x),s
求
dy d cos 2 x
解 令 u c2 o x ， sy f则 ( 1 u ) f( u )
dy
dy
d cos 2 x du
f(1u)f(u)
f(s2x i)n f(c2x o ) s
把 cos2 x 整体看作一个自变量
河海大学理学院《高等数学》
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x(y)在某区间 I y 上
单调、可导且 (y)0,则它的反函数 yf(x)
siyn coy s0
因此，在对应区间 Ix 1 , 1 内有
arcxsi nsi1n y
1
反函数和复合函数的求导法则
反函数和复合函数的求导法则在微积分中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的方式。
在函数的研究中，反函数和复合函数是两个重要的概念。
本文将介绍反函数和复合函数的求导法则。
1.反函数反函数是指一个函数的输入和输出对调的函数。
如果函数f将集合A的元素映射到集合B的元素，那么反函数f^(-1)就将集合B的元素映射到集合A的元素。
设函数f的定义域为A，值域为B，则对于任意y∈B，如果存在x∈A，使得f(x)=y，那么函数f的反函数f^(-1)将满足f^(-1)(y)=x。
反函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(x)在区间I上是可导的，且f'(x)≠0。
若函数f在点x处可导，且f'(x)≠0，那么f^(-1)在点y=f(x)处也可导，且有反函数的导数公式：(f^(-1))'(y)=1/f'(x)其中x是f^(-1)(y)=x的解。
这个公式意味着反函数的导数是通过将函数的导数取倒数得到的。
这是因为反函数的定义是将函数的输入和输出对调，因此反函数的斜率应该是原函数斜率的倒数。
2.复合函数复合函数是指由两个或多个函数组合起来形成的新的函数。
设有函数f(x)和g(x)，那么f(g(x))就是一个由两个函数复合而成的函数。
复合函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(g(x))，其中f和g都是可导函数。
那么复合函数y的导数dy/dx可以通过链式法则表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中u=g(x)是变量x经过函数g变换后的结果。
这个公式意味着复合函数的导数是由两部分组成的。
第一部分是外层函数对内层函数的导数，第二部分是内层函数对变量的导数。
通过链式法则，我们可以将复合函数的求导问题转化为求两个简单函数的导数问题。
需要注意的是，如果函数f和g都是可导函数，那么复合函数f(g(x))不一定是可导函数。
复合函数的可导性依赖于函数f和g的可导性。
反函数复合函数求导法则和基本求导公式
反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。
证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。
则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。
二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。
三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。
证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。
2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。
证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。
因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。
3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。
反函数的导数 复合函数的求导法则
证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u ∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆ u→ 0 ∆u
则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∆u ∆u ∴ lim = lim [ f ′( u0 ) +α ] ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u ′( u0 ) lim + lim α lim = f ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
dy ∴ = f ′( u)(sin x )′ dx = f ′(sin x ) cos x
例9：y = x 2 f (sin x ), 求
请动手做一做
解： dy = ( x 2 )′ f (sin x ) + x 2 ( f (sin x ))′
dy dx
dx
= 2 xf (sin x ) + x f ′(sin x ) cos x
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u = ϕ ( x )在点 x0可导 , 而y = f ( u) 在点 u0 = ϕ ( x0 )可导 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dy dy du ′ ′ x = x0 = f ( u0 ) ⋅ ϕ ( x0 ).或 x = x0 = u = u0 . dx dx du dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
反函数与复合函数的运算与求导法则
商式法则：对 两个函数的商 求导，先将分 子和分母分别 求导，再将结
果相除
反函数法则： 对反函数求导， 先将原函数求 导，再将结果
取倒数
复合函数的运算规则
乘法运算： f(g(x)h(x))=f(g (x))h(g(x))
加法运算： f(g(x)+h(x))=f (g(x))+f(h(x))
幂运算： f(g(x)^n)=f(g( x))^n
定义域：复合函 数中各个函数的 定义域的交集
值域：复合函数 中各个函数的值 域的并集
复合函数的求导 法则：链式法则 和乘积法则
复合函数的求导法则
链式法则：对 复合函数求导， 需要将外层函 数的导数与内 层函数的导数 相乘，再对内
层函数求导
乘积法则：对 两个函数的乘 积求导，先将 两个函数分别 求导，再将结
复合函数的导数： d/dx[f(g(x))]=( u'v'f')/(u'v')
复合函数的应用场景
物理问题：解决物理中的运动学、热力学等问题
经济问题：研究经济变量之间的相互影响，如供需关系、价格形成等
计算机科学：处理数据、图像、信号等，实现数据变换和算法优化
工程领域：在机械、航空、化工等领域中，复合函数的应用非常广泛，如控制系统的设 计、流体动力学的研究等
反函数与复合函数的运 算与求导法则
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目录
01 添 加 目 录 项 标 题 03 复 合 函 数 的 运 算 与
求导法则
02 反 函 数 的 运 算 与 求
导法则
04 反 函 数 与 复 合 函 数
09 反函数与复合函数的导数,隐函数的导数
dy 1.
dx x0
注 隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x, y,
这是与显函数求导不同的地方.
21
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例8 求由方程 ey xy e 0 所确定的隐函数
y f x的导数 y.
解 方程两边对 x 求导, 并注意到 y是 x 的函数, 利用
28
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小结
反函数的求导法则
f (x) 1
( y)
复合函数的求导法则
dy dy du dx du dx
隐函数的导数
方程两边分别关于自变量求导
幂指函数 y (x) (x) 的导数
对数求导法
29
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课后练习
P72-73 习题2-3 1-6
解 y ln cos x 可以看成由 y ln u,u cos x 复合
而成, 故此由复合函数的求导公式, 得
dy dy du 1 sin x
dx du dx u
1 sin x tan x.
cos x
13
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例5 求函数 y arcsin x2 1的导数.
y x3 3x y x2 5x3 27,
方程两端求导, 得到:
3y2 dy 3y2 6xy dy 15x2 0,
dx
dx
20
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整理后得:
关于反函数及复合函数求导法则的证明
关于反函数及复合函数求导法则的证明反函数与复合函数求导法则是高等数学中重要的内容，其中反函数求导法则是指如果y=f(x)为单调函数，则可以定义其反函数记作x=f(y)，并且可以求得x关于y的导数：$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(y)}$，而复合函数求导法则则是指当y=h(x)为单调函数、z=g(y)也为单调函数时，则z关于x的导数为：$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=g'(y)\cdoth'(x)$。
本文旨在证明这两种法则所提出的结论是正确的。
首先讨论反函数求导法则，我们设随机变量x为原函数y的函数参数，不断增加（或者减少）直到y的值等于某一特定的$y_0$,此时变量x的值记作$x_0$,由于y为函数参数，因此可同时视x及y作性质相同的函数参数，此时有$y=f(x)$与$x=f(y)$，即反函数，设有$x_0=f(y_0)$，同时为$y_0$构造一个微增量$\Delta y$，此时有：$$x_0+\Delta x=f(y_0+\Delta y)$$将其分解成函数y与x的两个函数，有：$$\Delta x=f(y_0+\Delta y)-f(y_0)$$由于$\Delta y$与$\Delta x$非常微小，可以认为$\Delta x$等于函数f的导数：$$\Delta x=f'(y_0)\cdot \Delta y$$将其整理，有：$$\frac{\Delta x}{\Delta y}=f'(y_0)$$令$\Delta y$趋0，得：$$\frac{dx}{dy}=f'(y_0)$$即已证明反函数求导法则：$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(y)}$ 接下来讨论复合函数求导法则，设z为y的函数参数，即$z=g(y)$，由反函数的求导法则有：$$\frac{dz}{dy}=g'(y)$$又有z为x的函数参数：$$z=h(x)$$再应用反函数求导法则得：$$\frac{dz}{dx}=h'(x)$$将上面两式相乘，得：$$\frac{dz}{dx}=g'(y)\cdot h'(x)$$即已证明复合函数求导法则：$\frac{dz}{dx}=g'(y)\cdoth'(x)$经过上述分析，可以看出反函数与复合函数求导法则都是基于单调函数求导的性质所推导出的一种有效的求导方法。
反函数、复合函数求导法则和基本求导公式
2. ( x ) x 1
3. (a x ) a xln a
4. (loga
x)
1 x lna
5. (sin x) cos x
(tan x) sec2x
(secx) secx tan x 6. (arcsin x) 1
1 x2
(arctan x )
1
1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
.
2、 设 y sin2 x,则 y=
sin 2x
.
2x
3、 设 y arctan(x 2 ),则 y= 1 x 4
.
4、 设 y ln cos x ,则 y= tan x
.
10xtan2x ln 10
5、 设 y 10x tan 2x ，则 y= (tan 2x 2x sec2 2x) .
课内练习
求下列函数的导数：
(1) y ln x ,
(3) y sin2( x cos x) (5) y ln(x x2 1)
(2)
y
x2 tan 2
x
x2 (4) y ( x2 2)3
x
(6) y 2 ln x .
(1) y ln x ,
ln x
ln x ln( x)
x 0, x 0.
dy
利用arcsin x arccos x 以及arctan x arc cot x ,
2
2
得
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x)
1 1 x2
.
例：求函数 y a x (a 0,a 1)的导数.
解：y a x 的反函数是 x log a y (0 y ).
2[1][1].4.3-5_反函数、复合函数求导法则及基本求导公式
![2[1][1].4.3-5_反函数、复合函数求导法则及基本求导公式](https://img.taocdn.com/s3/m/8746ab1da300a6c30c229f35.png)
例 解:
设函数 y = 3
cos 2 ( x sin x 2 )
, 求 y′ .
y′ = 3
cos 2 ( x sin x 2 )
ln 3
⋅ 2 cos(x sin x2 ) ⋅ (− sin(x sin x2 ))
⋅ (sin x 2 + x cos x 2 ⋅ 2 x).
课内练习
求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
(arctan x )′ = 1 1 + x2
(e x )′ = e x
1 (ln x )′ = x (cos x )′ = − sin x (cot x )′ = − csc 2 x (csc x )′ = − csc x cot x 1 (arccos x )′ = − 1 − x2 1 ′=− (arc cot x ) 1 + x2
tan
2
(2) y =
x
y′ =
2 x tan 2 x − x 2 2 tan x sec 2 x tan 4 x 2 − 2x . = tan x
(3) y = sin2 ( x cosx)
y′ = 2sin(x cos x)(x cos x)′
= 2 sin(x cos x)(cosx + x sin x)
dy 例： y = arctan x , 求 . 设 dx
解： 函数 y = arctan x 的反函数是 x = tan y ( −
dx = (tan y )′y= sec 2 y > 0. dy
π
2
< y<
π
2
).
1 1 dy 1 1 . = = = = 2 2 2 dx dx sec y 1 + tan y 1+ x dy
反函数、复合函数求导法则及基本求导公式
2.4.5 基本求导数公式 0 1（ . C） 2. ( x ) x 1
1 4. (loga x ) x ln a 5. (sinx ) cos x (tan x ) sec2x (se cx ) se cx tan x 1 6. (arcsinx ) 1 x2 1 (arctanx ) 1 x2
则 f [ g( x )] | x 4 | x 4 在x 0处可导.
故选（ 3 ）。
(2) 错
16. ( x ) x 1
y x e
ln x
e ln x
令 t ln x 则y x 可看成由 y e t 与 t ln x复合而成。
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
例如： y ln(sin( 2 x 1))， 则 1 y cos(2 x 1) ( 2 x 1) sin( 2 x 1) 2 cos(2 x 1) sin( 2 x 1)
双曲双曲与反双曲函数的导数公式
(sh x ) ch x
(ch x ) sh x
(cth x )
1
(arch x )
1 (th x ) 2 ch x
(arshx ) x 1
2
1 sh2 x
1 x2 1
1 (arth x ) 1 x2
(arcth x )
(1)必可导； ( 2)必不可导； ( 3)不一定可导
解： 已知 f (u) | u | 在u 0处不可导，
a . 若u g ( x ) sin x , u在x 0处可导，
反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数是指由一个反函数和一个普通函数复合而成的函数，通常被写作f（g（x））。
求反函数的导数复合函数的求导法则就是链式法则。
链式法则可以让我们求解复杂函数的导数，它可以将复杂的函数分解成一些简单的函数，然后利用其中的一些简单函数的已知导数计算出整个函数的导数。
首先了解几个基本概念：
1、定义域：定义域指变量的取值范围，所有在定义域内的取值，对应的函数值都是定义的。
2、域：函数的取值范围就叫域，也就是实际上函数所取得的真实数值范围。
3、反函数：如果一个函数f（x）的反函数是g（x），那么g（x）的定义域就是f（x）的域，而f（x）的定义域就是g（x）的域。
4、导数：导数表示函数的变化率，是描述函数单调性的概念。
基于上文所说的基本概念，可以提出反函数的导数复合函数的求导法则：
即反函数的导数复合函数f（g（x））的求导法则是：
f（g（x））的导数等于f（g（x））在g（x）处的导数乘以g（x）在x处的导数。
即：
f（g（x））′=f（g（x））′g（x）′
举例说明：
如果f（x）和g（x）分别如下定义：
f（x）=x2+1
g（x）=ln（x）。
反函数和复合函数的求导法则
二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)(1)(00y x f ϕ'='。
证明：00000)()(1lim)()(lim )()(lim000y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕ )(1)()(l i m 10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。
注1：00y y x x →⇔→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dydx dx dy =，其中dydx dx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。
【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数，由定理1得：2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin xy y y x -=-=='='。
注1：同理可证：22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos xx arcc x x x x +-='+='--='；2：2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。
【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。
反函数的导数 复合函数的导数
- 50 -§2.3 反函数的导数 复合函数的导数一.反函数的导数 1.法则设x=()y ϕ是直接函数，()x f y =是它的反函数。
由ch1§10Th4知，若x=()y ϕ在区间I y 内单调且连续，则其反函数y=f(x)在对应区间I=(){}y I y y x x ∈=,ϕ内也是单调且连续的。
若x=()y ϕ又是可导的，考虑反函数y=f(x)的可导性及()()。
与y x f ϕ'',间的关系。
()y y I x x x x I x x x ∆∈∆+≠∆∆∈∀有,,0,,由y=f(x)的单调性,()(),0≠-∆+=∆x f x x f y 有yxx y ∆∆=∆∆1,因y=f(x)连续，故当00→∆⇒→∆y x ,假设()()()()()1111lim lim ,0lim ,0000y x f y yx x y y x y y x y ϕϕϕ'=''=∆∆=∆∆≠∆∆≠'→∆→∆→∆即则即结论：如果函数x=()y ϕ在某区间I y 内单调、可导且()0≠'y ϕ,那么它的扫函数y=f(x)在对应区间内也可导且有(1)式成立。
即反函数的导数等于直接函数导数- 51 -的倒数。
2.反三角函数的导数例1.y=arcsinx D=[-1,1] 是 x=siny 的反函数，x=siny 在⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππy 内单调、可导且()2211s i n 11c o s 11,0c o s s i n xy y x y y y y x-=-=='='∴>=' 类似可求 ()211arccos xx --='例2．y=arctgx ()+∞∞-,是x=tgy 在开区间⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππy 的反函数(单调可导)，()()222222111111sec 1,0cos 1sec xarcctgx x y tg y y x y tgy x x y +-='+=+=='∴>=='='同理，ex.设x=()1,0≠>a a a y 为直接函数，则y=log a x 是反函数，()+∞∞-==,y y I a x 在内单调可导，且()()()ax a a x I a aa ya x yyln 1ln 1log ,0,0ln =='+∞=∴≠='内有在 特殊地，a=e ()xx 1ln ='..复合函数的求导法则1.如果()x u ϕ=在点x 0可导，而在点()00x u ϕ=可导，则复合函数()][x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为()()000x u f dx dyx x ϕ'⋅'==。
反函数复合函数初等函数求导.ppt
（ 1
2 x 2）
dx
3
4x 33（1 2 x2）2 .
返回
推广
设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ (x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
返回
例10 y lncos(e x )求 dy。
dx 解 所 给 函 数 可 分 解 为 y ln u,u cosv,v e x . 因
1 x2
返回
例2 求函数 y loga x 的导数. 解 x a y在I y (,)内单调、可导,
且 (a y ) a y ln a 0, 在Ix (0,)内有 :
(log a
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
返回
例3 求函数 y arctan x 的导数.
y
( y)
返回
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin 2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
dx du dx u
sinxcosx
例6 y e x3 ,求 dy 。
dx
解 y e x3可看做由y eu ,u x3复合而成，因此
dy dy du eu 3x2 3x2e x3 . dx du dx
变限积分求导公式四个
变限积分求导公式四个一、复合函数的求导法则设函数y=f(u)和u=g(x)都有导数，则复合函数y=f(g(x))的导函数为：dy/dx = dy/du * du/dx二、反函数的求导法则设函数y=f(x)的反函数为x=g(y)，其中f'(x)≠0，则反函数的导函数为：dy/dx = 1 / (dx/dy)三、隐函数的求导法则设方程F(x,y)=0确定了y作为x的函数，则可通过隐函数求导法则求出y'：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)四、参数方程的求导法则设曲线的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，则有：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)dz/dx = (dz/dt) / (dx/dt)下面我们来详细解释一下每个公式的应用和推导过程。
一、复合函数的求导法则复合函数指的是将一个函数作为另一个函数的参数或者自变量。
设函数y=f(u)和u=g(x)，其中f(u)和g(x)都有导数，则复合函数y=f(g(x))的导函数为：dx du--*--dy dx例如，设y=sin(2x)，u=2x，则有dy/du = cos(u)和du/dx = 2、代入复合函数求导公式得到：dy/dx = dy/du * du/dx = cos(u) * 2 = 2cos(2x)二、反函数的求导法则反函数是指若y=f(x)为一一对应的函数，且其导数f'(x)≠0，则函数x=g(y)为反函数，反函数的导函数为：dy-- = 1 / dxdxdy=----dx例如，设y=x^2，求其反函数x=√y在y=4处的导数。
代入反函数的求导公式得到：dx 1 1 1--=--=----=----=0.5dy 2√y 2√4 2√4 2三、隐函数的求导法则隐函数是指由方程F(x,y)=0确定的y作为x的函数。
设方程F(x,y)=0，其中∂F/∂y≠0，则隐函数的导数为：dy - (∂F/∂x)--=-----------dx (∂F/∂y)例如，设x^2+y^2=1，则有∂F/∂x=2x，∂F/∂y=2y。
2-3高等数学B复合函数求导法则
,
y
y 0 (x 0),
f ( x)连续,
又知 ( y) 0
f ( x) lim y lim 1 1
x0 x y0 x ( y)
即 f ( x) 1 .
y
( y)
2-3 反函数求导法则、复合函数求导法则
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
I
内
x
也
可
导
,
且有
f ( x) 1 .
( x)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
2-3 反函数求导法则、复合函数求导法则
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
5、 y (arcsin x )2； 2
6、 y e arctan x ；
7、 y arcsin x ； arccos x
8、y arcsin 1 x . 1 x
三、设 f ( x)，g( x) 可导，且 f 2 ( x) g 2 ( x) 0 ,求函数
y f 2 ( x) g 2 ( x) 的导数 .
故
y u
f (u0 )
( lim 0) u0
则 y f (u0 )u u
lim x 0
y x
lim [
x0
f
(u0
)
u x
u] x
f
(u0
)
lim
x 0
u x
lim
x 0
lim
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二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)(1)(00y x f ϕ'='。
证明：00000)()(1lim)()(lim )()(lim000y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕϕϕ )(1)()(lim 10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。
注1：00y y x x →⇔→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dydx dx dy =，其中dydx dx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。
【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数，由定理1得：2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin xy y y x -=-=='='。
注1：同理可证：22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+='--='；2：2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。
【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。
解：利用指数函数的导数，自己做。
三、初等函数的求导公式1、常数和基本初等函数的求导公式：（1）0)(='c （2）1)(-='μμμx x （3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -=' （5）x x 2sec )(tan =' （6）x x 2csc )(cot -=' （7）x x x tan sec )(sec ⋅=' （8）x x x cot csc )(csc ⋅-=' （9）a a a x x ln )(=' （10）x x e e =')( （11）a x x a ln 1)(log =' （12）xx 1)(ln =' （13）211)(arcsin xx -=' （14）211)(arccos xx --='（15）211)(arctan x x +=' （16）211)cot (xx arc +-=' （17）chx shx =')( （18）shx chx =')( （19）xch thx 21)(=' （20）11))1(ln()(22+='++='x x x arcshx（21）11))1(ln()(22-='-+='x x x arcchx（22）211)11ln 21()(xx x arcthx -='-+='四、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。
定理2（复合函数求导法则）：如果)(x u ϕ=在0x x =点可导，且)(u f y =在)(00x u u ϕ== 点也可导，那么，以)(u f y =为外函数，以)(x u ϕ=为内函数，所复合的复合函数))((x f y ϕ=在0x x =点可导，且)()(000x u f dxdyx x ϕ''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ϕϕ''='=证明： 000000)()()()(lim ))(())((lim00x x x x u u u f u f x x x f x f x x x x --⋅--=--→→ϕϕϕϕ =0000)()(lim )()(lim00x x x x u u u f u f x x u u --⋅--→→ϕϕ=)()(00x u f ϕ'⋅' 所以)()(,]))(([00x u f x f ϕϕ''=∃'。
注 1：若视0x 为任意，并用x 代替，便得导函数：)())(())((x x f dxx df ϕϕϕ'⋅'=，或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' 或dx dudu dy dx dy ⋅=。
2：))((x f ϕ'与]))((['x f ϕ不同，前者是对变量)(x u ϕ=求导，后者是对变量x 求导，注意区别。
3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： )())(()))(((])))((([x h x h g x h g f x h g f '⋅'⋅'='等。
【例3】求xy 1arctan =的导数。
解：x y 1arctan =可看成u arctan 与x u 1=复合而成，211)(arctan u u +='，21)1(x x -='， 22211)1()1(11)1(arctan x x xx y +-=-⋅+='='⇒。
【例4】求μx y =（μ为常数）的导数。
解：x e x y ln μμ==是u e y =，x v v u ln ,=⋅=μ复合而成的。
所以111)(ln )()()(-⋅=⋅⋅=⋅⋅='⋅'⋅'='='μμμμμμμμx x xx e x v e x y u 。
这就验证了前面§2、1的[例4]。
由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。
在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。
【例5】21x y -=，求y '。
解：22221221)1(1121])1[()1(xxx x x x y --='-⋅-⋅='-='-='。
【例6】x e y sin 1-=，求y '。
解： xx e x eey xxxsin 1)sin 1(21)sin 1()(sin 1sin 1sin 1-'-⋅⋅='-⋅='='--- xxexx xx e sin 1sin 1sin 1cos 21sin 1cos 21----=--⋅=。
【例7】))1cos(2arcsin(2-=x y ，求y '。
解：))1cos(2()]1cos(2[11))1cos(2(arcsin(2222'---='-='x x x y=)1()]1sin([2)1(cos 4112222'-⋅--⋅--x x x=)1(cos 41)1sin(42)1(cos 41)1sin(2222222----=⋅----x x x x x x 。
【例8】))2tan ln(ln(ln xy =，求y '。
解：)2tan (ln 2tanln 1)2tan ln(ln 1))2tan (ln(ln )2tan ln(ln 1'⋅='⋅='xx x x x y)2(2cos 12tan 12tan ln 1)2tan ln(ln 1)2(tan 2tan 12tan ln 1)2tan ln(ln 12'⋅⋅⋅⋅='⋅⋅⋅=x x x x x x x x x2tanln ln 12tan ln 1sin 12tanln ln 12tan ln 12tan 12cos 1212xx xx x x x ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=。
【例9】])()[(21)(21)2('-'='-='-='---x x x x x x e e e e e e x h s ][21)]1([21xx xx e e e e --+=--=， 即chx x h s ='。
同理，shx x h c ='。
【例10】)1ln(2x x y ++=，求y '。
解：)1(11])1[ln(222'++⋅++='++='x x x x x x y)1(11211[11222'+++++=x x x x)(11)12211(11222'=+=++++=arshx xx x x x 。
同理： )(11)1(ln(22'=-='-+archx x x x 。
小结：1 、函数的四则运算的求导法则： 设)(),(x v v x u u ==，则(i)v u v u '±'='±)( (ii)u c cu '=')((iii)v u v u uv '+'=')( (iv)2)(vv u v u v u '-'=' )0(≠v2、复合函数的求导法则：设))(()(),(x f y x u u f y ϕϕ=⇒==的导数为： dxdudu dy dx dy ⋅= 或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' 或dxx d duu df dx x df x u )()())(()(ϕϕϕ⋅==。