初一数学有关三角形旋转的题

一、在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，

1、如图1，顺次连接P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论；

证明时依据的定理或定义有：

（1）；

（2）。

2、若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2）：

①判断此时四边形PQMN的形状为，并说明理由

②当AE=6，EB=3，求此时四边形PQMN的周长（结果保留根号）

3、在图2的基础上，将△BCE绕着点E旋转任意一个角度，在旋转过程中，四边形PQMN的角∠MNP的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出∠MNP的度数。

二、如图①，将两个有公共直角顶点A的不全等的等腰直角三角板叠放在一起，点B在AD上，点C在AE上．

(1)在图①中，你发现线段BD，CE的数量关系是，直线BD，CE相交成度的角．

(2)将图①中的△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到图②，这时(1)中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△ABC绕点A继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

(3)如图③若将“两个有公共直角顶点A的不全等的等腰直角三角板”改为“两个有公共顶角为锐角∠A的不全等等腰三角形”，△ABC绕点A逆时针旋转任意一个角度，这时(1)中的两个结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

三、(2014百校联考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB的角度记为α．

(1)操作与证明：如图①，点D为边BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转角度α至AE位置，连接CE．求证：BD＝CE；

(2)探究与发现：如图②，在(1)中若α＝90°，点D变为BC延长线上一动点．可以发现：①线段BD和CE的数量关系是________；②线段BD和CE的位置关系是________；

(3)思考与判断：如图③，在(1)中若α＝90°，AB2＝BD·BC，判断四边形ADCE 的形状，并说明理由．

四、如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是线段OC上一点,过点A 作BE的垂线，交线段OB于点Ｇ，垂足为点Ｆ,

（1）求证：OG=OE；

（2）如图2,若点E在AC的延长线上,过点A作BE的垂线，交OB的延长线于点G,垂足为点F，求证OG=OE．

（3）如图3，将图1 中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且∠ABC=60度，其余条件不变，试求ＯＧ：ＯＥ的值。

五、如图1，在Rt△ABC中,AC=BC,∠C＝90°，点D是CB的中点，将△ACD沿AD 折叠后得到△AED，过点B作BF平行AC，交ＡＥ的延长线于点Ｆ。

1、问线段BF和EF的数量关系？并说明理由。

2、若将图1中“AC=BC”改成“AC≠BC”，其他条件不变，如图2，那么1中的发现是否仍然成立？请说明理由。

3、若将图1中“在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°”改为“在△ABC中”，其他条件不变，如图3，那么1中的发现是否仍然成立，请说明理由。

六、两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，∠BAC=∠EDF=30°，

AC=DF=2．△ABC固定不动，将△DEF沿AC平移（点D在线段AC上移动）．（1）猜想与证明：如图①，当点D为AC的中点时，请你猜想四边形BDCE的性状，并证明结论；

（2）思考与验证：如图②，连接BD，BE，CE，四边形BDCE的形状在不断的变化，它的面积变化吗？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由；

（3）操作与计算：如图③，当点D为AC的中点时，将点D固定，然后再将△DEF 绕点D顺时针旋转60°，若点P为线段AC延长线上一动点，求PE+PF的最小值．

七、（2014•模拟）问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为直线AB上的一动点（点D不与点A，B重合）连接CD，以点C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接BE，试探索线段AB，BD，BE之间的数量关系．

小组展示：“希望”小组展示如下：解：线段AB，BD，BE之间的数量关系是AB=BE+BD．证明：如图①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°

∴∠ACB=∠DCE

∴∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB

即∠ACD=∠BCE

∵CE是由CD旋转得到．

∴CE=CD

则在△ACD和△BCE中，

AC=BC

∠ACD=∠BCE

CD=CE

∴△ACD≌△BCE（依据1）

∴AD=BE（依据2）

∵AB=AD+BD

∴AB=BE+BD

反思与交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：______

依据2：______

（2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论：

①如图②，当点D在线段AB的延长线上时，三条点段AB，BD，BE之间的数量关系是______．

②如图③，当点D在线段BA的延长线上时，三条线段AB，BD，BE之间的数量关系是______．

（3）如图④，当点D在线段BA的延长线上时，若CD=4，线段DE的中点为F，连接FB，求FB的长度．

八、如图1，在△ABC和△AEF中，∠BAC=∠EAF=α，AB=AC，AE=AF，点D是BC 的中点，点M是EF的中点，连接CE，点N是CE的中点，连接DN，MN．

（1）如图2，将△AEF绕点A旋转，使点E，F分别在边BA，CA的延长线上．

①试探究线段DN与MN的数量关系，并证明你的结论；

②此时，∠DNM与α之间存在等量关系，这个等量关系为_____。请说明理由．（2）将△AEF绕点A旋转，使点E落在△ABC部，如图3，此时，你在（1）中得到的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。