第四章整数规划
运筹学——.整数规划与分配问题
2.4 匈牙利法实例(2)
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从各列中减去。
必定满足：bij = aij–ui–vj
0 11 2 0 0
8 0 3 11 0
7 5 0 11 10 4 2 5 0 9 5 0 5 0
8 2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5
二、分配问题与匈牙利法
2.3 匈牙利法
分配问题可以用单纯形法或运输表求解。 库恩(W.W.Kuhn)于1955年提出了指派问题的解 法，他引用了匈牙利数学家康尼格(D.Kö nig)一 个关于矩阵中零元素的定理：系数矩阵中独立0 元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直 线数。这个解法称为匈牙利法。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间 如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时 间最少? 人员
任务 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 甲 乙 丙 丁 7 8 11 9 2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 议中有7个位置（点）Ai供选择。规定
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。
如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利 润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。 问：应如何选址，可使年利润为最大？
第一步：找出每 行的最小元素， 每行对应减去这 个元素。
第4章 整数规划
第4章 整数规划判断:用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界；指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作用法求解；效率矩阵的任一行（或列）减去（或加上）任一常数，指派问题最优解不会受到影响； 匈牙利法只能用于平衡分配问题；对于极大化问题，匈牙利法不能直接求解。
整数规划问题解的目标函数值优于其相应的线性规划问题的解的目标函数。
用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界值，在进行比较剪枝。
分配问题的每个元素都加上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题的每个元素都乘上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题域运输问题的数学模型结构形式十分相似，故也可以用表上作业法求解。
隐枚举法也可以用来求解分配问题简答试述分枝定界法求解问题的主要思想。
试述隐枚举法的步骤。
试讲述割平面方法的基本原理. 试例举三种应该剪枝的情况。
计算题分枝定界法用分枝定界法求解下列整数规划问题12max Z x x =+1212129511414123,x x x x x x +≤-+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 32Z x x =+121212231429,x x x x x x +≤+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 2010Z x x =+1232312312324434323,,x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 79Z x x =+121212136735,x x x x x x x +≤+≤≥－0，且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题123max 33Z x x x =++123231231231324432323,,,x x x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0，且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题：1212121212232478188..3219,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题1212121212250..6221,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312121225231050..7228,0,MaxZ x x x x x s t x x x x x =-+-+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312341234345272222..0,1,2,3,4,5,j MaxZ x x x x x x x x x x x s t x j x x =-+-⎧-+-+=⎪⎪⎪-++=⎨⎪≥=⎪⎪⎩为整数用分枝定界法求解下列整数规划模型12max 23z x x =+121257354936x x x x +≤+≤12,0x x ≥且为整数有如下整数规划问题12max z x x =+12129511414123x x x x +≤-+≤12,0x x ≥且为整数试用分枝定界法求其最优解。
第四章 整数规划
√
√
27
17
结论： 结论： 最优解为x 最优解为 1=1、x2=1、x3=0，即对Ⅰ和Ⅱ两个 、 、 ，即对Ⅰ 项目投资，利润最大为27万元 万元。 项目投资，利润最大为 万元。
18
例2：用完全枚举法求解 型整数规划 ：用完全枚举法求解0-1型整数规划
max f = 3x1 − 2 x2 + 5 x3 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x2 ≤ 3 4x + x ≤ 6 1 3 x1 , x2 , x3 = 0或1
① ② ③ ④
16
点
过滤条件 f≥16 × √ × √ f≥26 × √ √ f≥27 √
约束条件 ① ② ③ ④
f值 值
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
√ √
√ √
√ √
√ √
16 26
√ √ ×
× √
35
min
第二步： 第二步：检验
行检验 列检验
0 * 8 11 0 * 2 3 0 11
第4章 整数规划
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于： 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如： 部分的或全部的为整数。例如：
m Z = x + x2 ax 1 14 1 x +9x2 ≤ 51 −6x +3x2 ≤1 1 x , x ≥ 0且 整 为 数 1 2
(纯整数规划问题) 纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： 为第i天开始上班的人数： Min： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 +x5+x6+x7≥13 x1+x2 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7） i=1,2,…,7）
例：某市6 例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15 生火警时，消防车能在15分 15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划 布点问题的数学模型：
设0−1为决策变量，当表示i地区设站，表示i 为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
4第四章 整数规划
分别求解这两个线性规划问题，得到的解是：
x1 4, x2 2.1, z 349 和 x1 5, x2 1.57, z 341 变量 x2 仍不满足整数的条件，对问题（A）， 必有 ，将（A）增加约束条件，得到
4.2 整数规划的求解算法 能否采用四舍五入或者去尾法求得整数解？ 以例4.1的求解为例，先不考虑 x1 , x2为整数的 条件，采用单纯形法求解该问题，得到： 采用四舍五入法求解，则有 x1 5, x2 0 x1 , x2 ，此解不是可行解； 而去尾法得到 x1 4, x2 0 ，目标函数 z 80 ， 该解是否是最优解呢？实际上，当 x1 4, x2 1 时， z 90 ，表明，去尾法得到的解并非最优解。 若对
4.1 整数规划的数学建模 4.1.1 装箱问题 例4.1 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表4－1 所示。问两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最 大？ 表 4－1
货物 甲 乙 托运限制 体积（米3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱） 5 4 24米3 2 5 13百公斤 20 10
用观察法找问题A的一个整数可行解，一 般可取 x j 0, j 1, , n, 试探，求 得其目标函数值，并记 z 。以 z* 表示问题 A的最优目标函数值；这时有 ， * z z z0 然后按下述步骤进行迭代。
步骤1：分支定界过程 分支过程。在B 的最优解中任选一个不符 bj [b j ] xj 合整数条件的变量 ，若其值为 ，以 bj 表示小于 的最大整数，构造两个约束条件： x j [bj ]和x j [bj ] 1 。将这两个约束条件， 分别加入问题B ，得到后续规划问题 B1和B2 。 不考虑整数条件求解这两个后续问题。 定界过程。以每个后续问题为一分支标明求 解的结果，在其他问题解的结果中，找出最优 目标函数值最大者作为新的上界 z 。从已符合 整数条件的各分支中，找出目标函数值最大者 作为新的下界 z ，若无可行解，则 z 0 。
[经济学]整数规划
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第23页
数学模型
cij：第i人做第j事的费用
1 若指派第i人做第j事
i，j＝1,...,n
xij＝
总费用：cij xij
i 1 j 1
0 若指派第i人不做第j 事 n n
每件事必有且只有一个人去做
每个人必做且只做一件事
x
n
x
j 1
i 1 n
ij
1 j＝1,...,n
ij
1 i＝1,...,n
步骤1： 把各行元素分别减去本行元素的最小值； 然后在此基础上再把每列元素减去本列中 的最小值。
min 4
4 7 6 6 6 8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
0 7 0 6 0 6 0 0 6 min 0
可行解是松弛问题的可行解 最优值不会优于其松弛问题的最优值
第16页
解的特点
第17页
解的特点
第18页
注
释
• 最优解不一定在顶点上达到 • 最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整 数解 • 整数可行解远多于顶点，枚举法不可取
第19页
第四章 整数规划与分配问题
• 整数规划的特点及作用 • 分配问题与匈牙利法 • 分枝定界法与割平面法 • 应用案例
松弛问 题
x j中部分或全部取整数
第 4页
整数线性规划类型
1.纯整数线性规划：
人员安排问题
x j中全部取整数
2.混合整数线性规划： 物资运输问题
x j中部分取整数
3.0－1型整数线性规划： 投资组合问题
x j只能取值0或1
第 5页
人员安排问题
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
24
-
25
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27
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29
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
第四章 整数规划
第四章整数规划第一节整数规划的数学模型及解的特点第二节解纯整数规划的割平面法第三节分支定界法第四节0-1型整数规划第五节指派问题整数规划的数学模型及解的特点一、整数规划数学模型的一般形式要求一部分或全部决策变量必须取整数值的规划问题称为整数规划( integer programming，简记IP )。
不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题(slack problem)。
若松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划问题为整数线性规划( integer liner programming )。
本章仅讨论整数线性规划。
∑==nj jj x c z 1min)max(或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=中部分或全部取整数j j n j i j ij x n j x m i b x a ),,1(0),,1(),(1 ∑==nj jj x c z 1min)max(或⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=),,1(0),,1(),(1n j x m i b x a j nj i j ij 松弛问题为1. 纯整数线性规划(pure integer liner programming )：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2. 混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3. 0-1型整数线性规划( zero-one integer liner programming)：指决策变量只能取值0 或1 的整数线性规划。
例：某服务部门各时段（每2小时为一时段）需要服务员人数见表，按规定服务员连续工作8小时（即四个时段）为一班。
现在要求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少。
时段12345678服务员最少数目10891113853设在第j 时段开始上班的服务员人数为x j 。
系统工程---第四章 整数规划
问题B2 x1=2.25 x2=4 f2=272.5
90 f * 285
max f 50x1 40x 2 4 x1 5 x 2 29 3 x1 2 x 2 16 问题B4 x 2 3 x 4 1 x1 , x 2 0
继续对问题B1和 B2进行分解， 因f1 >f2，先分解B1为B3和 B4
例3 求解0-1规划
max f x x x x x x x x x x x x x x , x , x 或
① ② ③ ④
90 f * 288.5 由 x2=3.285 得到两个分枝如下：
max f 50x1 40x 2 4 x1 5 x 2 29 3x1 2 x 2 16 问题B1 x2 3 x1 , x 2 0
max f 50x1 40x 2
整数规划问题A
max(min)f ( x) c j x j
j 1 n
其松弛问题B
max(min)f ( x) c j x j
j 1 n
n a ij x j (, )bi , i 1,2, , m j 1 x j 0 且为整数, j 1,2, , n
f f1
再用观察法找到 A的一个整数可行解，求其目标函数值作为 f*的下界，记为f，这时有 f f * f Step3 判断 f 是否等于 f 。如果 f f ，则 A 的最优解即为 其目标函数值等于 f 的那个整数可行解。否则，进行Step4。
Step4 分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 xj=bj，以[bj]表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件：
运筹学课件--第四章 整数规划
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7
x1≤3 x1≥4
LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8
x2≤6
LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
x2≥7 无可行解 x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35
OR:SM OR:SM
LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33
10
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
【例3.5 】用分枝定界法求解例3.1
max Z 4 x 1 3 x 2 1 . 2 x 1 0 . 8 x 2 10 2 x 1 2 . 5 x 2 25 x 1 , x 2 0 , 且均取整数
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：
7
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
一、舍入化整法
为了满足整数解的要求，自然想到“舍入”或“截尾”处理，以得到 与最优解相近的整数解。 这样做除少数情况外，一般不可行，因为化整后的解有可能超出 了可行域，成为非可行解；或者虽是可行解，却不是最优解。
不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题 对于例1的数学模型，不考虑整数约束的最优解：
6
LP1 LP3
LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33
C o
14
3
4
10
x1
OR:SM OR:SM
x2 ① ②
10 A
由于 Z 3 Z 1，选择 LP 3 进行分枝，增加约束 x 1 4 及 x 1 5，到线性规划 LP 4 及 LP 5：
max Z 4x1 3x2 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP4 : LP4:X=(4,6),Z4=34 x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4x1 3x2
运筹学-4-整数规划ppt课件
.
8
第四章 整数规划 0-1规划
解：设xi
1 0
带第 i件物品
不带第 i件物品 数学模型：
Z表示所带物品的总价值
m
Z ci 带第i件
ci xi
i 1
m
携带物品的总重量 bi x i
i 1
m
max Z ci xi
m i1
s.t
i1
bi xi
b
xi 0,1，
i 1, 2, m
i1
1, 2,..., m
i1
s.t. xij bj j 1, 2 , n
i1
xij
0
,
yi 0,1
混合型整数规划
.
11
第四章 整数规划
例 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再 建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有 B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需 求地的单位物资运费cij，见下表：
.
10
第四章 整数规划
解：设 xij表示A 工 i运厂 往B 商 j的店 运量
m
n
则总运费为
c ij x ij
i1 j 1
数学模型：
mn
m
设yi
1 0
则总建厂费为
在第 i个地点建m厂in Z
不在第 i个地点建厂 n
m
fi yi
j1 m
xij
i1
j
ai
1
yi
cij xij
i
fi yi
1 若 建 工 厂 yi 0 若 不 建 工 厂(i3,4)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
第04章 整数规划
第4章整数规划在前面讨论的线性规划问题中，决策变量的取值可以是整数也可以是小数或分数，但在有些实际问题中，决策变量只有取整数才有意义。
例如，生产或配备的机器的台数，完成工作需要的人数等等。
这时，若得到的解为小数或分数就不符合要求，粗看起来，似乎只要把已得到的带有小数或分数的解，经过“四舍五人”的办法，就可得到问题的整数解。
但这常常是不行的，因为化整后的解不一定是可行的解。
或虽是可行解，但不一定是最优解，因此，对于此类问题有必要另行研究。
我们把有变量限制为整数的规划问题称为整数规划（Integer Programming）。
在整数规划中，若所有变量都限制为整数，称为纯整数规划；若仅有一部分变量限制为整数，称为混合整数规划。
在纯整数规划中，若所有变量的取值仅限于0或1，称为0－1型整数规划。
对于整数规划的求解，还没有像线性规划中单纯形法那样普遍有效的方法。
但已经出现了一系列的算法，常用的有分枝定界法、隐枚举法、匈牙利法等。
下面分别进行介绍。
1 分枝定界法在求解整数规划时，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以确定最优解。
对于小规模问题，这个方法是可行的，也是有效的。
而对于大规模问题，可行的整数组合数很大，穷举法是不可能的。
所以，一般采取的方法是仅检查可行的整数组合中的一部分来确定最优的整数解，分枝定界法（Branch and Bound Method）就是这样的一种方法。
分枝定界法是以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果这个解不符合整数条件，就将原问题分为几个部分，每部分都增加了决策变量为整数这样的约束条件，这样就缩小了原线性规划问题的可行域。
考虑到整数规划的最优解不会更优于线性规划的最优解，对于求最大值问题来说，相应的线性规划的目标函数的最大值就成为整数规划目标函数值的上界。
分枝定界法就是利用这个性质进行求解的。
现举例说明这种方法。
例4—1 求解下列整数规划问题解先不考虑整数约束，求解相应的线性规划，得因x1、x2不满足整数条件，故需进行分枝迭代。
运筹学 第四章 整数规划与分配问题
第四章 整数规划与分配问题
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(4)
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第二节 分配问题与匈牙利法
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同 的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由 于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去 完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用） 也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个 人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率 最高（或所需时间最少），这类问题称为指派 问题或分配问题。
种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种
零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式， 使得即满足需要，所用的原材料又最少？
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设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数模型：
x1 … xn
零件 方 个数 式 零件
A1 b1 Am am1 amn bm
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逻辑变量的应用
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(3)两组条件满足其中一组
若 x1 4，则 x2 1 ；否则（即 x1 4 时） 2 3 x
列的零元素，则只要令这些零元素位置的 xij 1 ，其 n n 余的 xij 0 ，则 z aij xij 就是问题的最优解．
i 1 j 1
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如效率 矩阵为
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。
一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。
整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。
本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。
第一节整数规划问题及其数学模型一、问题的提出在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。
整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。
当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。
先来看下面的例子。
例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？表4－112量都要求为整数，建立模型如下：2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x 要求该模型的解，首先不考虑整数约束条件④，用单纯形法对相应线性规划求解，其最优解为：x 1＝3.25 x 2＝2.5 max z ＝14.75由于x 1＝3.25，x 2＝2.5都不是整数，不符合整数约束条件。
管理运筹学第四章整数规划与指派问题
货物运输路线选择案例
案例描述
某物流公司需要为其客户提供从起点到终点的货物运 输服务。在运输过程中，有多种可能的路线可以选择 ，每条路线都有不同的运输成本和时间。此外，客户 对货物的运输时间和成本也有一定的要求。
整数规划应用
该案例可以通过整数规划来解决。首先，将每条路线的 选择定义为整数决策变量，1表示选择该路线，0表示 不选择。然后，根据每条路线的运输成本和时间，构建 目标函数，即最小化总运输成本和时间。接下来，根据 客户的要求和路线的特点，构建约束条件，如运输时间 限制、成本限制和路线连通性等。最后，使用整数规划 求解算法，找到满足所有约束条件的最优路线组合，即 最小化总运输成本和时间的路线选择方案。
展望
未来，整数规划与指派问题将在更多领域得到应用和推广 ，为实际问题的解决提供更加有效的方法和工具。同时， 随着相关技术的不断发展，整数规划与指派问题的求解方 法将更加高效和精确，为相关领域的发展提供更加有力的 支持。
THANKS
感谢观看
要点一
Xpress
Xpress是一款功能强大的数学优化求 解器，适用于线性规划、整数规划等 多种问题。它提供了丰富的算法和工 具，支持大规模问题的求解和分析。
要点二
LINGO
LINGO是一款易于使用的数学优化建 模工具，具有直观的语法和丰富的函 数库。它可以帮助用户快速构建和求 解线性规划、整数规划等问题，并提 供详细的解决方案和报告。
原理
通过添加割平面约束条件，逐 步缩小问题的可行域，从而找 到整数最优解。
添加割平面
根据松弛问题的最优解，构造 一个割平面约束条件，添加到 原问题中。
迭代
重复添加割平面和求解新问题 的步骤，直到找到整数最优解 或确定无整数最优解为止。
第四章 整数规划
第四章 整数线性规划（Inregre Linear Progemming ）§1 整数规划特点及应用前面讨论的LP 的最优解可能是分数或小数。
但是在经济管理和工程实践中，常常会出现要求变量值取整数的现象。
如决策变量是机器台数、人数或车辆数等。
最初有些人认为：只要对非整数解“舍入取整”即可。
但后来发现这是不行的。
因为舍入取整后的解不见得是可行解，即使是可行解，也不一定是最优整数解。
因此，这里另设一章，研究此问题，并称这种求整数最优解的LP 问题为整数线性规划，简记为“ILP ”。
整数规划分为许多类型：通常把所有变量都要求取整数的整数规划，称其为全（纯）整数规划；把部分变量要求取整数的整数规划，称为混合型ILP 。
把所有变量取值均为0或1的整数规划称为0-1规划。
等等。
求解整数规划的一种简单方法是：先不考虑整数条件，直接求解相应的线性规划问题，当最优解为非整数且数值都较大时，把非整数最优解取整到最接近的整数可行解即可。
但是，当最优解为非整数且数值都较小时，这种舍入化整的办可能导致解的可行性被破坏。
例如，我们来研究下面整数规划问题。
例4-1求解下面ILP 问题： 相应的LP ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤++=为整数2121212121,0,5.45.0143223max x x x x x x x x x x z ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,5.45.0143223max 21212121x x x x x x x x z解：若先不考虑整数约束条件求解相应的LP问题，由图解法得可行域如图4-1。
最优解X*=（3.25，2.5）。
所谓整数解，即要求变量取整数值。
而由X*舍入化整得到的解，如（4，3）或（4，2）或（3，3）都不在可行域上，所以都不是可行解，而（3，2）虽是可行解，但它并不是最优整数解，因为该例有一个可行解X=（4，1），其目标值Z=14，大于可行解（3，2）的目标值13。
为了求得该整数规划的最优整数解，我们将经过B点的目标函数等值线向可行域内平行移动，首次碰到的整数点即为所求。
整数规划（PDF）
例4-2：求解整数规划问题
s.t. 4x1 2x2 1 4x1 2x2 11
2x2 1
c=[-1;-1];
x1, x2 0, 且取整数值
A=[-4 2;4 2;0 -2];
b=[-1;11;-1];
lb=[0;0];
M=[1;2];
%均要求为整数变量
Tol=1e-8; [x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],lb,[]) [x1,fval1]=intprog(c,A,b,[],[],lb,[],M,Tol)
可行否
枚举法随着变量维数增加呈指数增长，不可行！
四舍五入可能都不是可行解，不可行！
max s.t.
f 5x1 8x2 x1 x2 6 5x1 9x2 45 x1, x2 0, 且取整数值
x* f*
9 15 T 44 165 4
x [2 4]
四舍五入后的解 不是可行解！
一般整数规划问题的MATLAB求解
输入参数
MATLAB工具箱中的bintprog函数在求0-1规划问题时，提供的参数有如下几种 模型参数： x、c、b、beq、A和Aeq 初始解参数：x0 算法控制参数： options，我们可以通过optimset命令对这些具体的控制参数进
行设臵，其中主要参数的设臵方法如下一页的表格所示
调用格式 [x,fval,exitflag]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,TolXInteger)
一般整数规划问题的MATLAB求解
标准形式
min f cT x s.t. Ax b
Aeq x beq lb x ub xi 0 (i 1, 2,...,n) x j 取整数值 (j M )
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若考虑固定费用就必须引入0—1变量：
1, yi = 0,
当生产第i种容器即xi > 0时 当不生产第i种容器时即xi = 0
i = 1,2,3
则该问题的数学模型为
maxz = 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 - 100y1 - 150y 2 - 200y 3 2x 1 + 4x 2 + 8x 3 <= 500 2x + 3x + 4x <= 300 2 3 1 x 1 + 2x 2 + 3x 3 <= 100 x 1 - My1 <= 0 s.t. x 2 - My2 <= 0 x 3 - My3 <= 0 x 1 , x 2 , x 3 >= 0 y , y , y = 0or1 1 2 3
每周工时(小时/月)
B1 0.3 0.7 250
B2 0.2 0.1 100
B3 B31 0.3 0.5 150 B32 0.2 0.4 120
利润 （元/件） 25 40
– 解：设A1、A2产品的生产数量分别为x1、x2件，在不 考虑B31和B32相互排斥的情况下，问题的数学模型为
maxz = 25x1 + 40x 2 0.3x1 + 0.7x 2 <= 250 0.2x + 0.1x <= 100 1 2 s.t. 0.3x1 + 0.5x 2 <= 150 0.2x + 0.4x <= 120 1 2 x1, x 2 >= 0, 且为整数
地区1 地区1 地区2 0 10 地区2 10 0 地区3 16 24 地区4 28 32
单位：min
地区5 27 17 地区6 20 10
地区3
地区4 地区5
16
28 27
24
32 17
0
12 27
12
0 15
27
15 0
21
25 14
地区6
20
10
21
25
14
0
解：引入0－1变量xi作决策变量，令
资源 金属板（吨） 劳动力（人/月） 机器设备（台/月）
小号容器
中号容器
大号容器
2 2 1
4 3 2
8 4 3
解：设x1、x2、x3分别为小号容器、中号容器、大号容器 的生产数量。不考虑固定费用，则问题的数学模型为
maxz = 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 2x1 + 4x 2 + 8x 3 <= 500 2x + 3x + 4x <= 300 1 2 3 s.t. x1 + 2x 2 + 3x 3 <= 100 x1, x 2 , x 3 >= 0
部门 A B C 产品1 1.5 2.0 0.25 产品2 3.0 1.0 0.25 产品3 2.0 2.5 0.25
（1）写出该问题利润最大的线性规划模型； （2）生产主管注意到，在上问中，没有考虑生产配置成本。若考虑配置成 本的情况下，产品的最大利润为多少（建立数学模型）？这三种产品的 配置成本分别为：400元、550元和600元。
第四节 0－1整数规划应用(Applications)
一、相互排斥的计划(Mutually exclusive planning)
– 例4.6 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，有7个 点Ai（i＝1，2，…，7）可供选择，要求满足以下条件： 1) 在东区，在A1，A2，A3三个点中至多选两个； 2) 在西区，A4，A5两个点中至少选一个； 3) 在南区，A6，A7两个点为互斥点。 4) 选A2点必选A5点。 – 若Ai点投资为bi万元，每年可获利润为ci万元，投资总额 为B万元，试建立利润最大化的0－1规划模型。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
五、指派问题（Assignment problem）（P223）
• 指派问题是一种特殊的整数规划问题。在实践中经常会遇到一种 问题：某单位有m项任务要m个人去完成（每人只完成一项工 作），在分配过程中要充分考虑各人的知识、能力、经验等，应 如何分配才能使工作效率最高或消耗的资源最少？这类问题就属 于指派问题。引入0－1变量xij
1 x j为是或有 xj = 0 x j为否或无
第三节
0－1整数规划
– 0－1整数规划的数学模型可表示为：
maxz = c j x j
j=1
n
n aij x j = bi s.t j=1 x = 0或1 j
(i = 1,2,,m) (j = 1,2, ,n)
预计完成时间
客户 项目主管 1 2 3 1 10 9 6 2 15 18 14 3 9 5 3
设 xij=1表示指派主管i完成第j项市场调查， 否则 xij=0 则问题的数学模型为： min f= 10x11+15x12+9x13+9x21+18x22+5x23+6x31+14x32+3x33 x11+x12+x13 = 1 x21+x22+x23 = 1 x31+x32+x33 = 1 x11+x21+x31 = 1 x12+x22+x32 = 1 x13+x23+x33 = 1 xij≥0，i=1，2，3；j=1，2，3
二、互排斥的约束条件(Mutually exclusive constraints)
例4.7 某产品有A1和A2两种型号，需要经过B1、B2、B3三 道工序，单位工时和利润、各工序每周工时限制见表所示， 问工厂如何安排生产，才能使总利润最大？（B3工序有两 种加工方式B31和B32，产品为整数）。 工序 型号 A1 A2
思考与讨论
1、建立数学模型 某制造公司生产 3种产品。每种产品的生产都涉及到 A、B、C三个部门。 各产品在每个部门的劳动时间如下表；在接下来的一个生产时期内， A 部门的可用劳动时间为450小时，B部门为350小时，C部门为50小时。利 润回报分别为：产品1：25元/件；产品2：28元/件；产品3：30元/件。
项目 净现值(万元) 所需投资(万元) 所需生产资料(吨) 1 50 1000 40 2 20 500 30 3 70 3000 60 4 30 800 35 5 60 2000 50 6 10 200 10
三、固定成本问题 (Fixed cost problem)
例4.8 某公司制造小、中、大三种尺寸的容器，所需 资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所 需的各种资源的数量如下表所示：不考虑固定费用， 小、中、大号容器每售出一个其利润分别为4万元、5 万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，另外若生产，不管每种 容器生产多少，都需要支付一笔固定费用：小号为100 万元，中号为150万元，大号为200万元。问如何制定 生产计划使获得的利润对大？
(1) (2)
• 工序B3只能从两种加工方式中选择一种，那么约束条件 （1）和（2）就成为相互排斥的约束条件。为了统一在一 个问题中，引入0-1变量
1, yi = 0,
则数学模型为
B3采用B3i加工方式 B3不采用B3i加工方式
maxz = 25x1 + 40x 2
i = 1,2
0.3x1 + 0.7x 2 <= 250 0.2x1 + 0.1x 2 <= 100 0.3x1 + 0.5x 2 <= 150 + M(1- y1 ) s.t. 0.2x 1 + 0.4x 2 <= 120 + M(1- y2 ) y + y = 1 2 1 x1, x 2 >= 0, 且为整数 y1 , y2 = 0或1
1, 表示在地区i设消防站 xi = i = 1,2,...,6 表示在地区i不设消防站 0, – 本问题的约束方程是要保证每个地区都有一个消防站 在15分钟行程内。如地区1，由表4－9可知，在地区1 及地区2内设消防站都能达到此要求，即x1＋x2≥1 – 因此本问题的数学模型为： min z＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6 x1＋x2 ≥1 x1＋x2 ＋x6 ≥1 x3＋x4 ≥1 x3＋x4＋x5 ≥1 x4＋x5＋x6 ≥1 x2 ＋x5＋x6 ≥1 xi＝1或0 （i＝1，…，6）
四、布点问题 (Location Problem)
例4.9 某城市消防队布点问题。该城市共有6个区，每个区都可以建消 防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发 生火警时，消防车要在15 分钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消 防车行驶的时间见表4－9，请帮助该市制定一个布点最少的计划。 表4－9 消防车在各区间行驶时间表
案例：福尔市场营销调查指派问题（P223） • 福尔市场营销调查公司有3个新客户需要进行市场调查， 目前正好有3个人没有其他工作，由于他们的对不同市场 的经验和能力不同，估计他们完成不同任务所需时间如 下表。公司面临的问题是如何给每个客户指派一个项目 主管（代理商），使他们完成市场调查的时间最短。
1 指派第i个人完成第j项任务 x ij = 0 不指派第i个人完成第j项任务
minz =
i=1 m
j=1
m
cij xij
i = 1,2,...,m j = 1,2,...,m
m xij = 1 j=1 m s.t x ij = 1 i=1 xij = 0或1
解：设决策变量为
当Ai点被选用 1, xi = i = 1,2,...,7 当Ai点未被选用 0, 建立0－1规划模型如下：