北师大版初中数学九年级下册知识点汇总
北师大版九年级下册数学知识点

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北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总

北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总函数1. 函数的定义函数是一种特殊的关系,它将一个自变量通过特定的规律映射为唯一的因变量。
函数的定义包括自变量与因变量的关系式及定义域、值域。
2. 函数的性质函数有唯一性和有界性两个重要性质,还有奇偶性、周期性等其他性质。
其中,绝对值函数、反比例函数、幂函数、指数函数等具有一定的特殊性质。
3. 函数图像函数图像是将函数的自变量与因变量的关系绘制在直角坐标系中所得到的图形。
在绘制函数图像的过程中,需要研究函数的单调性、零点、极值等特点。
三角函数1. 角度制与弧度制在三角函数中,角的度量单位可以是角度制和弧度制。
角度制是以度数作为单位,弧度制是以弧长所对应的圆心角的度数作为单位。
两种度量方式可以相互转换。
2. 常用三角函数常用三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
在计算中,需要掌握三角函数的各种性质和公式,如正弦定理、余弦定理、正切定理等。
3. 解三角形解三角形是指通过给定的三角形中的一些已知量求解其余未知量的过程。
在解三角形时,常用的方法包括正弦定理、余弦定理、正切定理等。
解析几何1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基本工具。
在平面直角坐标系中,直线可以表示成一元一次方程,圆可以表示为二元二次方程。
2. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离、相切和相交三种情况。
通过圆心的坐标与半径,可以确定圆的位置关系。
3. 解析几何中的重点知识点解析几何中还有许多重要的知识点,如向量的基本概念与性质、平面向量的数量积和叉积、直线和平面的方程等。
概率统计1. 随机事件随机事件是指在试验过程中,其结果不能确定的事件。
随机事件可以用事件的概率来描述。
2. 概率和事件的运算概率是指某个随机事件在所有可能事件中出现的概率。
概率可以用加法原理、乘法原理和条件概率等进行计算。
3. 抽样调查和统计图表的制作概率统计的重要应用包括抽样调查和统计图表的制作。
在抽样调查中,需要考虑样本的大小与抽样误差;在统计图表的制作中,需要了解直方图、折线图、饼图等基本图形的制作方法。
(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一.锐角三角函数1.正切:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,..即tan A=∠A的对边;∠A的邻边①tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;②tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比;③tanA不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A是锐角的正切;⑤tanA的值越大,梯子越陡,∠A越大;∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大。
2.正弦:..定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sin A=∠A的对边;斜边3.余弦:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cos A=∠A的邻边;斜边锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二.特殊角的三角函数值sinαcosαtanα30º1245º60º3233222213212Bi=h:lhC A图13l图2三.三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2.俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。
4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。
用字母i表示,即.............i=h=tan A l5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。
北师大版九年级(下)数学知识点归纳总结

第一章直角三角形的边角关系九年级下册第1节锐角三角函数一、锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°【说明】①三角函数表示的是两边的比值,所以它只是一个数值,没有单位。
②当用一个大写字母表示角时,其三角函数中角的符号省略,如sin A,cos B,tan C;当用一个希腊字母表示角时,其三角函数中角的符号省略,如sinα,cosβ,tanθ;当用三个大写字母表示角时,其三角函数中角的符号不能省略,如sin∠ABC,cos∠DEF,tan∠GHI;当用一个阿拉伯数字表示角时,其三角函数中角的符号不能省略,如sin∠1,cos∠2,tan∠3。
③如果要表示三角函数的倍数与乘方,应分别表示为2 sin A,3cos B,4tan C,sin2A,cos3B,tan4C;2 sin30°,3cos30°,4tan30°,sin230°,cos330°,tan430°。
二、坡度1、坡度的概念如图所示,我们把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比值叫做坡度(或坡比),通常用字母i表示。
【说明】坡面的坡度实际上就是坡角的正切值,即i=tanα=hl2、三角函数与坡面的陡峭程度(1)tan A的值越大,坡面越陡。
(2)sin A的值越大,坡面越陡。
(3)cos A的值越小,坡面越陡。
三、锐角三角函数的增减性(0°~90°)1、正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);2、余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);3、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)。
四、同角三角函数的关系1、互余关系:sinA =cos(90°-A) cosA =sin(90°-A)2、平方关系:s in 2A +cos 2A =13、弦切关系:tan A =sin cos AA4、倒数关系:tan A ·tan(90°-A)=1第2节 30°,45°,60°角的三角函数值一、探索30°,45°,60°角的三角函数值求30°角的三角函数值,关键根据“直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”,可设30°的锐角的对边为a ,则斜边为2a ,由勾股定理可求得30°3a ,因此可以求出30°的锐角的各个三角函数值:sin30°=2a a =12 cos30°3a3 tan30°3a 33也可以求出60°的锐角的各个三角函数值:sin60°3a =3 cos60°=2a a =12tan60°3a 3求45°角的三角函数值,关键根据“有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形”,可设一条直角边为a ,则另一条直角边也为a 2a ,因此可以求出45°的锐角的各个三角函数值:sin45°2a 22 cos45°2a 2 tan45°=aa =1二、熟记特殊角的三角函数值第3节三角函数的计算一、用计算器求任意锐角的三角函数值1、求整数度数的锐角的三角函数值首先使计算器的面板上出现DEG,然后再按sin cos tan这三个键之一,再从高位向低位按出表示度数的整数,再按键=,就可以在显示屏上得到答案。
新北师大九年级数学下册知识点总结

九年级数学下册知识点归纳第一章直角三角形边的关系一•锐角三角函数 1. 正切:定义:在Rt △ ABC 中,锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A 的正切,记作tanA ,① tanA 是一个完整的符号,它表示/A的正切,记号里习惯省去角的符号“/”;② tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中/A 的对边与邻边的比;③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”;④ 初中阶段,我们只学习直角三角形中,/A是锐角的正切;⑤ tanA 的值越大,梯子越陡,ZA 越大;ZA 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2. 正弦:定义:在Rt △ ABC 中,锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦,记作sinA ,即sin AA的对边 ................................... """■ 斜边3. 余弦:定义:在Rt △ ABC 中,锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦,记作cosA ,即cosA A的邻边.............................. ■■■■■ 斜边之变化三•三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为 仰角2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为 俯角值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大 < sin a< 1, 0< cos a< 1。
4. 坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度i tan Al5. 方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
如图3,OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。
6. 方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角.。
(完整版)北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲

图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数 1.正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2.正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二.特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三.三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。
4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..)。
用字母i 表示,即A lhi tan ==5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
新北师大版九年级数学下册知识点复习汇总

新北师大版九年级数学下册知识点汇总第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数1.正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比;③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2.正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二.特殊角的三角函数值图1 图3 图4三.三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。
4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..)。
用字母i 表示,即A lh i tan == 5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
北师大数学九年级下知识点

北师大数学九年级下知识点数学,作为一门学科,对于每个人来说都是必修课之一。
而在九年级下学期,我们将继续深入学习数学的各个领域,包括代数、几何和概率统计等方面的知识点。
本文将对北师大数学九年级下的知识点进行分析和总结,帮助大家更好地理解和掌握这些知识。
1. 代数1.1 方程与不等式在九年级下学期,我们将学习到更加复杂的一元一次方程、一元二次方程和一元一次不等式。
通过解方程和不等式来确定未知数的取值范围,进而解决实际问题。
1.2 平方根与整式九年级下还将学习到平方根的概念和性质,包括有理数的开平方、无理数的性质等内容。
此外,我们还需要掌握整式的基本概念和运算规则,包括多项式的加减乘除、多项式的因式分解等内容。
2. 几何2.1 空间与图形在九年级下学期,我们将学习到三维图形的基本概念和性质,包括点、直线、平面、多面体等内容。
通过学习三维图形的性质,我们可以更好地理解空间几何形体的构造和计算。
2.2 相似与全等相似和全等是几何中重要的概念,我们将学习到相似三角形的判定条件,以及相似三角形的性质和比例运算等内容。
此外,我们还将学习到全等三角形的性质和判定条件。
3. 概率统计3.1 概率在九年级下学期,我们将学习到事件、随机事件和概率的概念。
通过学习概率的计算方法和概率的性质等内容,我们可以更好地理解和应用概率在实际问题中的作用。
3.2 统计统计是数学中重要的应用领域之一,我们将学习到频数、频率、中心极限定理等概念。
通过学习统计的基本方法和原理,我们可以更好地进行数据分析和解读。
通过对以上内容的学习,我们可以发现数学无处不在。
数学不仅是一门学科,更是一种思维方式和解决问题的工具。
九年级下学期的数学知识点将为我们打下坚实的数学基础,为高中和大学里更加深入的数学学习做好铺垫。
在学习数学的过程中,我们要注重理论与实践的结合,通过实际问题的应用来理解和运用数学知识。
同时,要注重培养逻辑思维和解决问题的能力,这将在数学以及其他学科的学习中都大有裨益。
北师大版初中数学定理知识点汇总(九下)

图 1北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册)第一章 直角三角形边的关系※一. 正切:定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA ,即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”; ④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切; ⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大; ∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
※二. 正弦..: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;※三. 余弦:定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ;※余切:定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
(通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若∠A 为锐角,则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=; )90sin(cos A A ∠-︒= ②)90cot(tan A A ∠-︒=; )90tan(cot A A ∠-︒=※当从低处观测高处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为仰角..※当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角.. ※利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
北师大版九年级数学(下)全书知识总结

(2) 的值越大,梯子越陡。
(3) 的值越小,梯子越陡。
3、导出公式
(1) ; 。
(2) 。
(3) .
要点诠释:
(1)公式成立的条件是
(2)锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.
1.230°、45°、60°角的三角函数值
要点一、1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
利用三角函数的定义,可求出30°、45°、60°角的各三角函数值,归纳如下:
锐角
30°
45°
1
60°
要点诠释:
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若 ,则锐角 .
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.
(4)由锐角三角函数的定义知:
当角度在0°<∠A<90°间变化时, , ,tanA>0.
要点二、梯子的倾斜程度与梯子的关系
1、坡度:坡面的铅直高度 与水平宽度 的比称为坡度(或坡比),用字母 表示。设坡角为 ,则坡度 = = ,如图,坡度通常写成 的形式.
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a>0
向上
(0,0)
y轴
x>0时,y随x增大而增大;
x<0时,y随x增大而减小.
当x=0时,
y最小=0
y=ax2
a<0
向下
(0,0)
y轴
x>0时,y随x增大而减小;
北师大版九年级数学知识点汇总

一、数与代数1.数的概念与数的读法2.数的比较大小3.整数的四则运算4.分数的概念与分数的四则运算5.小数的概念与小数的四则运算6.百分数的概念与百分数的四则运算7.有理数的概念与有理数的四则运算8.正数、负数与绝对值9.代数式与代数方程10.一次代数方程的解11.二次根式的概念与运算12.分式的概念与运算13.根式的概念与运算14.简单的函数与函数的图象二、几何1.平行线与平行四边形2.相交线与相交角3.三角形的分类与性质4.角的概念与角的分类5.直角三角形与斜角三角形6.相似三角形与比例7.圆的概念与性质8.圆内接四边形与正多边形9.三视图与棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的概念三、统计与概率1.统计调查与统计图表2.频率分布直方图与频率分布折线图3.统计数据的分析与统计平均数、中位数、众数4.概率的概念与概率的计算四、函数与方程1.函数的概念与函数的性质2.函数关系与函数图象3.函数与方程的思想与方法4.一次函数的概念与性质5.一次函数图象与应用6.一次函数方程与问题7.二次函数的概念与性质8.二次函数的图象与应用9.二次函数方程与问题的解法五、计量与单位1.长度、面积与体积2.常用度量单位与换算3.时间与速度4.英制单位与国际单位六、解析几何初步1.平面直角坐标系2.点的坐标与位置关系3.直线的方程与性质4.圆的方程与性质5.解直线与圆的方程及几何应用七、三角函数的初步研究1.角的三要素2.角度与弧度3.正弦定理与余弦定理4.解三角形的问题以上是北师大版九年级数学的主要知识点汇总,涵盖了数与代数、几何、统计与概率、函数与方程、计量与单位、解析几何初步、三角函数的初步研究等各个方面。
对于学生来说,掌握这些知识点将有助于他们在九年级数学学习中取得更好的成绩。
新北师大九年级数学下册知识点总结

图 1图 3图4新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数 1.正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2.正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二.特殊角的三角函数值三.三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。
4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..)。
用字母i 表示,即A lhi tan ==5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
北师大版初三(下)数学重点知识点汇总

初三(下)重点知识点汇总第1课锐角三角函数1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)正弦:我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______,记作sinA.即sinA=∠A的对边斜边=ac.(2)余弦:锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______,记作cosA.即cosA=∠A的邻边斜边=bc.(3)正切:锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的______,记作tanA.即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab.(4)三角函数:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.2.锐角三角函数的增减性(1)锐角三角函数值都是___值.(2)当角度在0°~90°间变化时,①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).(3)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,0≤sinA≤1,0≤cosA≤1.当角度在0°<∠A<90°间变化时,tanA>0.3.互余两角三角函数的关系在直角三角形中,∠A+∠B=90°时,正余弦之间的关系为:(1)一个角的正弦值等于这个角的余角的______值,即sinA=(90°﹣∠A);(2)一个角的余弦值等于这个角的余角的______值,即cosA=sin(90°﹣∠A);也可以理解成若∠A+∠B=90°,那么sinA=cosB或sinB=cosA.参考答案:1.(1)正弦;(2)余弦;(3)正切2.(1)正3.(1)余弦正弦第2课特殊角的三角函数值1.特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值.sin30°=;cos30°=;tan30°=;sin45°=;cos45°=;tan45°=1;sin60°=;cos60°=;tan60°=;2.特殊角的三角函数值的应用(1)应用中熟记特殊角的三角函数值,一是按值的变化规律去记,正弦逐渐_______,余弦逐渐_______,正切逐渐_______;二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.(2)特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多.参考答案:1. 30°、45°、60°2.(1)增大减小增大第2课解直角三角形(1)1.解直角三角形(1)解直角三角形的定义在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.(2)解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系:∠A+∠B=90°;②三边之间的关系:__________;③边角之间的关系:sinA=∠A的对边:斜边=a:c,cosA=∠A的邻边:斜边=b:c,tanA=∠A的对边:邻边=a:b.(a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边)2.特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值.sin30°=;cos30°=;tan30°=;sin45°=;cos45°=;tan45°=1;sin60°=;cos60°=;tan60°=;参考答案:1.(2)a2+b2=c22. 30°、45°、60°第3课解直角三角形(2)1.解直角三角形的应用(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如:测不易直接测量的物体的高度、测河宽等,关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度,计算出所要求的物体的高度或长度.(2)解直角三角形的一般过程是:①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.2.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(1)坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做_____,它是一个比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常写成i=1:m的形式.(2)把坡面与水平面的夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间的关系为:i=h/l=tanα.(3)在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角即是一锐角,坡度实际就是一锐角的正切值,水平宽度或铅直高度都是直角边,实质也是解直角三角形问题.应用领域:①测量领域;②航空领域③航海领域:④工程领域等.3.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(1)概念:仰角是_____的视线与水平线的夹角;俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角.(2)解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.4.解直角三角形的应用-方向角问题(1)在辨别方向角问题中:一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数.(2)在解决有关方向角的问题中,一般要根据题意理清图形中各角的关系,有时所给的方向角并不一定在直角三角形中,需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.参考答案:2.(1)坡比3.(1)向上看向下看第4课二次函数1.二次函数的定义(1)二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y═ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为_____,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.(2)二次函数的取值范围:一般情况下,二次函数中自变量的取值范围是__________,对实际问题,自变量的取值范围还需使实际问题有意义.2.二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是______________,对称轴直线____________,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向____,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向____,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.3.根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意,建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定.①描点猜想问题需要动手操作,这类问题需要真正的去描点,观察图象后再判断是二次函数还是其他函数,再利用待定系数法求解相关的问题.②函数与几何知识的综合问题,有些是以函数知识为背景考查几何相关知识,关键是掌握数与形的转化;有些题目是以几何知识为背景,从几何图形中建立函数关系,关键是运用几何知识建立量与量的等式.参考答案:1.(1)整式;(2)全体实数2.(﹣,)x=﹣①上;②下3.自变量第5课二次函数的图像1.二次函数的图象(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法:①_______:先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表.②_______:在平面直角坐标系中描出表中的各点.③_______:用平滑的曲线按顺序连接各点.④在画抛物线时,取的点越密集,描出的图象就越精确,但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时,要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接起来.画抛物线y=ax2(a≠0)的图象时,还可以根据它的对称性,先用描点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另一侧.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.2.二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)①二次项系数a决定抛物线的______和_______.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;|a|还可以决定开口大小,|a|越大,开口就越___.②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c).④抛物线与x轴交点个数.△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.3.二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状____,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.参考答案:1.(1)①列表;②描点;③连线;2.①开口方向大小小3.不变第6课二次函数解析式的判定1.二次函数解析式的三种常见形式二次函数的解析式有三种常见形式:①_________:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0);②_________:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标;③_________:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0);2.待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数的解析式.在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择________,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为________来求解;当已知抛物线与x 轴有两个交点时,可选择设其解析式为_______来求解.参考答案:1.①一般式;②顶点式;③交点式2. 一般式 顶点式 交点式第7课 用函数观点看一元二次函数1.二次函数与一元二次方程的关系如果抛物线与x 轴有公共点,公共点的横坐标是,那么当时,函数的值是0,因此______就是方程ax bx c 20++=的一个根。
北师大版九年级下册数学知识点大全

北师大版九年级下册数学知识点大全数学演算题的特点就在于:解题方法虽然不同,但最后的答案一定只有一个,只要演算正确,就可殊途同归。
接下来小编在这里给大家分享一些关于北师大版九年级下册数学知识点,供大家学习和参考,希望对大家有所帮助。
北师大版九年级下册数学知识点1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y 轴的抛物线。
一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:一般式y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] ;重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a0时,抛物线向上开口;当a0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
_______Δ= b^2-4ac0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)特殊值的形式7.特殊值的形式①当x=1时 y=a+b+c②当x=-1时 y=a-b+c③当x=2时 y=4a+2b+c④当x=-2时 y=4a-2b+c二次函数的性质8.定义域:R值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷);②[t,正无穷)奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数。
(最新整理)北师大版初三下册数学知识点总结

自变量的取值范围是全体实数.
y ax2 (a 0) 是二次函数的特例,此时常数 b=c=0.
※在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并
确定自变量的取值范围.
※二次函数 y=ax2 的图象是一条顶点在原点关于 y 轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.
描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随 x 的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线
◎在△ABC 中,∠C 为直角,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,则有 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2; (2)两锐角的关系:∠A+∠B=90°;
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北师大版初三下册数学知识点总结
(3)边与角之间的关系:
sin A a , cos A b , tan A a , cot A b ;
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北师大版初三下册数学知识点总结
第一章 直角三角形边的关系 ※一。 正切:
定义:在 Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作 tanA, 即 tan A A的对边 ;
A的邻边
①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠"; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A"; ④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切; ⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大. ※二. 正弦: 定义:在 Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sinA,即 sin A A的对边 ;
斜边
※三. 余弦: 定义:在 Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作 cosA,即 cos A A的邻边 ;
新北师大九年级数学下册知识点总结

图 1图 3图4新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数 1.正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2.正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二.特殊角的三角函数值三.三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。
4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..)。
用字母i 表示,即A lhi tan == 5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
北师大版数学九年级下册:章节知识点总结

北师大版初中数学九年级(上册)各章标题第一章 证明(二) 第二章 一元二次方程 第三章 证明(三) 第四章 视图与投影 第五章 反比例函数 第六章 频率与概率北师大版初中数学九年级(下册)各章标题第一章 直角三角形边的关系 第二章 二次函数 第三章 圆第四章 统计与概率北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点第一章 证明(二)一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。
(2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。
(3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。
(4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。
推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。
二、等腰三角形1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。
等腰三角形的其他性质:①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。
③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2b<a ④等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A ,底角为∠B 、∠C ,则∠A=180°—2∠B ,∠B=∠C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。
(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形. 三、等边三角形性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。
(2)三线合一判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3):有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形 (一)、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
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北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总第一章 直角三角形边的关系※一. 正切:定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA ,即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大; ∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
※二. 正弦..: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;※三. 余弦: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ;※余切: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
(通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若∠A 为锐角,则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=;)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=;)90tan(cot A A ∠-︒=※当从低处观测高处的目标时,视线与水平线图1图 3图4所成的锐角称为仰角..※当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成 的锐角称为俯角..※利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。
※同角的三角函数间的关系:倒数关系:tg α·ctg α=1。
※在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
◎在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,则有 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2;(2)两锐角的关系:∠A +∠B=90°; (3)边与角之间的关系:;cot ,tan ,cos ,sin a bA b aA c bA c aA ====;cot ,tan ,cos ,sin baB abB caB cbB ====(4)面积公式:chc ab 2121S ==∆(hc 为C 边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径2cb a r -+=(6)直角三角形的外接圆半径c R 21=◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:图2h i=h:lBC※如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角.. (或叫做坡比..)。
用字母i 表示,即A lhi tan ==◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角...。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。
第二章 二次函数※二次函数的概念:形如)0(2≠++=,a a 、、b、c bx ax y 是常数的函数,叫做x 的二次..函数..。
自变量的取值范围是全体实数。
)0(2≠=a ax y 是二次函数的特例,此时常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围........。
※二次函数y =ax 2的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线...。
描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数;②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y 轴(或称直线x =0)。
③当a >0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。
当a <0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。
④函数的增减性:A 、当a >0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时x y x x y x B 、当a <0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时x y x x y x⑤当|a |越大,抛物线开口越小;当|a |越小,抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值:当a >0,且x =0时函数有最小值,最小值是0;当a <0,且x =0时函数有最大值,最大值是0. ※二次函数c ax y +=2的图象是一条顶点在y 轴上且与y 轴对称的抛物线※二次函数c bx ax y ++=2的图象是以a b x 2-=为对称轴,顶点在(ab 2-,ab ac 442-)的抛物线。
(开口方向和大小由a 来决定)※|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y 轴,y 随x 增长(或下降)速度越快;|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y 轴,y 随x 增长(或下降)速度越慢。
※二次函数c ax y +=2的图象中,a 的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c 决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。
※二次函数c bx ax y ++=2的图象与y =ax 2的图象的关系:c bx ax y ++=2的图象可以由y =ax 2的图象平移得到,其步骤如下:①将c bx ax y ++=2配方成k h x a y +-=2)(的形式;(其中h=ab2-,k=a b ac 442-);②把抛物线2ax y =向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位,得到y=a(x-h)2的图象;③再把抛物线2)(h x a y -=向上(k>0)或向下(k<0)平移| k|个单位,便得到k h x a y +-=2)(的图象。
※二次函数c bx ax y ++=2的性质:二次函数c bx ax y ++=2配方成ab ac a b x a y 44)2(22-++=则抛物线的①对称轴:x =a b2-②顶点坐标:(ab 2-,a b ac 442-) ③增减性: 若a>0,则当x<a b 2-时,y 随x 的增大而减小.....;当x>ab2-时,y 随x 的增大而增大。
......若a<0,则当x<a b 2-时,y 随x 的增大而增大.....;当x>ab 2-时,y 随x 的增大而减小。
......④最值:若a>0,则当x=a b 2-时,a b ac y 442-=最小;若a<0,则当x=ab2-时,ab ac y 442-=最大※画二次函数c bx ax y ++=2的图象:我们可以利用它与函数2ax y =的关系,平移抛物线而得到,但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象,其步骤如下:①先找出顶点(a b 2-,ab ac 442-),画出对称轴x=ab2-;②找出图象上关于直线x=ab2-对称的四个点(如与坐标的交点等); ③把上述五点连成光滑的曲线。
¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k 的形式求得,也可以借助图象观察。
¤解决最大(小)值问题的基本思路是:①理解问题;②分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; ③用数学的方式表示它们之间的关系;④做数学求解;⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数c bx ax y ++=2的图象(抛物线)与x 轴的两个交点的横坐标x 1,x 2是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根※抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:ac b 42->0 <===> 抛物线与x 轴有2个交点; ac b 42-=0 <===> 抛物线与x 轴有1个交点;ac b 42-<0 <===> 抛物线与x 轴有0个交点(无交点);※当ac b 42->0时,设抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,则这两个点之间的距离:2122121224)()(||||1x x x x x x x x AB -+=-=+=化简后即为:)04(||4||22>--=ac b a ac b AB ------ 这就是抛物线与x 轴的两交点之间的距离公式。
第三章 圆一. 车轮为什么做成圆形 ※1. 圆的定义:描述性定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转所形成的圆形叫做圆.;固定的端点O 叫做圆心..;线段OA 叫做半径..;以点O 为圆心的圆,记作⊙O ,读作“圆O ”集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆.心.,定长叫做圆的半径....,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆..。
对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念:①弦和直径:弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.。
直径:经过圆心的弦叫做直径..。
②弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧..,简称弧.,用符号“⌒”表示,以CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆..。
优弧:大于半圆的弧叫做优弧..。
劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧..。
(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。