求根公式专题

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阅读与思考

一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.

初学一元二次方程，需要注意的是： 1、熟练求解

解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：

① 若0=++c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1. ② 若0=+-c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1-.

2、善于变形

解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.

思想精髓

一元二次方程的求根公式为1,2x =

① 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； ② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；

③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？

例题与求解

例1 阅读下列的例题

解方程： 2||20x x --=

解：①当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-(舍)

① 当0

2|3|30x x ---=，则方程的根是＿＿＿＿

（晋江市中考试题）

解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.

例2 方程2|1|(42)x x -=-+的解的个数为（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.

例3 已知m ，n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22+19986)(20008)m m n n +++（的值.

（“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：若求出m ，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m ，n 的等式，不妨从变形等式入手.

反思：

一元二次方程常见的变形方法有：

①把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c =-- ②把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c +=- ③把20(0)ax bx c a ++=≠变形为c

ax b x

+

=- 其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换. 例4 解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=

解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况，当1-m ≠0时，还考虑就24b ac -的值的三种情况加以讨论.

例5 已知三个不同的实数a ，b ，c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x ，有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根，求a ，b ，c 的值.

解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.

方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是： ①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解. ②设出公共根，设而不求，消去二次项.

例6 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.

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1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72

=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配成＿＿＿

＿＿_________的形式.

（杭州市中考试题）

2、若分式222

21

x x x x --++的值为0，则x 的值等于＿＿＿＿.

（天津市中考试题）

3、设方程2199319940,x x +-=和2(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α，β，

则βα⋅＝＿＿＿.

4、方程2|45|62x x x +-=-的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题）

5、方程23(1)1x x x ++-=的整数解的个数是＿＿＿＿.

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个

（山东省选拔赛试题）

6、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0

（德州市中考试题）

7、已知a , b 都是负实数，且

1110a b a b +-=-，那么b

a

的值是（ ）

A B C D 、 （江苏省竞赛试题）

8、方程2||10x x --=的解是（ ）

A 、

12± B 、12-± C 、12±或12-± D 、12

-+± 9、已知a 是方程2199910x x -+=的一个根，求2

21999

19981

a a a -+

+的值.

10、已知2

410a a ++=且423

21

322a ma a ma a

--=++，求m 的值. （荆州市竞赛试题）

11、是否存在某个实数m ，使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.