椭圆及其性质(二)

3－1 C. 2
D. 3－1
P
【解析】 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，
•
F1
o
•
F2
x
所以|PF2|＝c，|PF1|＝ 3c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即 3c＋c＝2a，
所以( 3＋1)c＝2a，故椭圆 C 的离心率 e＝ac＝ 32＋1＝ 3－1.故选 D.
b2 所以 xP＝c，将 xP＝c 代入椭圆方程得 yP＝ba2，即|PF|＝ba2，则 tan∠PAF＝||APFF||＝a＋a c＝12，
结合 b2＝a2－c2，整理得 2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以 a2
得 2e2＋e－1＝0，解得 e＝21或 e＝－1(舍去)． 故选 D.
b2 1 a2 ac 2b2
aac 2
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第二部分 专题五 解析几何
7
例 2．（1）已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F，直线 l：2x－y＝0 交椭圆 C 于 A，B 两点，且
|AF|＋|BF|＝6，若点 F 到直线 l 的距离不小于 2，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是(
B．( 2－1，1)
C．(0， 3－1)
D．( 3－1，1)
解析：选 B.由题意得 F1(－c，0)，F2(c，0)，A－c，ba2，B－c，－ba2.
A
y
因为△ABF2 是锐角三角形，所以∠AF2F1＜45°，所以 tan∠AF2F1＜1，
b2 即2ac＜1.整理，得 b2＜2ac，所以 a2－c2＜2ac.两边同时除以 a2 并整理，
的面积是( C )
A.
5 5
B.6 5 5
C.8 5 5
D.4 5 5
M
【解析】 (1)如图，设右焦点为 F′，连接 MF′，NF′.
F
1
N
FMN周长= MF NF MN =2a MF 2a NF MN =4a MN MF NF
因为|MF′|＋|NF′|≥|MN|，所以当直线x＝t过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得△FMN的周长
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第二部分 专题五 解析几何
6
(2)P 是椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF⊥x 轴，若 tan∠PAF＝21，
则椭圆的离心率 e 为( )
A.
2 3
B.
Hale Waihona Puke 2 2C.3 3
D.21
c,
b2 a
【解析】 (1)如图，不妨设点 P 在第一象限，因为 PF⊥x 轴，
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13
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15
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12
4.解析：选 D.法一：不妨设 A 点在 B 点上方，由题意知：F2(1，0)，将 F2 的横坐标代入方程x42＋y32＝1 中， 可得 A 点纵坐标为32，故|AB|＝3，所以内切圆半径 r＝2CS＝86＝34，其中 S 为△ABF1 的面积，C 为△ABF1 的 周长 4a＝8. 法二：由椭圆的通径公式可得|AB|＝2ab2＝3，则 S＝2×3×12＝3，C＝4a＝8，则 r＝86＝43.
的最大值为4a＝4
5.又c＝1，所以把
x＝1
代入椭圆标准方程，得15＋y42＝1，解得
y＝±4
5
5 .
所以此时△
FMN
的面积
S＝2×12×2×4
5
5＝8
5 5.
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4
(1)椭圆定义的应用 ①椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求 焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等； ②椭圆的定义式必须满足 2a>|F1F2|.
•
•
F1 o F2
x
B
得 e2＋2e－1＞0，解得 e＞ 2－1 或 e＜－ 2－1(舍去)．又因为 0＜e＜1，
所以椭圆的离心率 e 的取值范围为( 2－1，1)．
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9
(1)求椭圆离心率的方法 ①直接求出 a，c 的值，利用离心率公式 e＝ac＝ 1－ba22直接求解； ②列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝a2－c2 消去 b，转化为含有 e 的 方程(或不等式)求解． (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 ①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系； ②将所求范围用 a，b，c 表示，利用 a，b，c 自身的范围、关系求范围．
A.
35，1
B.
35，1
C.12，1
D.0， 35
)
y
A
解析：选 B.设 F1 是椭圆的左焦点，由于直线 l：2x－y＝0 过原点， 因此 A，B 两点关于原点对称，所以四边形 AF1BF 是平行四边形，
•
F1
o
•
F
x
所以|BF1|＋|BF|＝|AF|＋|BF|＝6，即 2a＝6，a＝3， 点 F(c，0)到直线 l 的距离 d＝|2c5|≥2，所以 c≥ 5，又 c<a，即 5≤c<3，
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第二部分 专题五 解析几何
5
椭圆的几何性质(多维探究)
角度一 求椭圆离心率的值(范围)
例 1.（1）(2018·高考全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点．若 PF1⊥PF2，
且∠PF2F1＝60°，则 C 的离心率为( )
y
A．1－
3 2
B．2－ 3
-4
a2 -2 = a2 ,
a2 a
-2
2
在F1 =1
3
AB中
2am
1
•
F1
o
•
33ma F2
2
m2 a
B
x
得
a2＝3.又
2
c2＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，椭圆
C
的方程为x32＋y22＝1.故选
B.
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3
(3) 椭圆x52＋y42＝1 的左焦点为 F，直线 x＝t 与椭圆相交于点 M，N，当△FMN 的周长最大时，△FMN
的左、右焦点分别为
C.x92＋y42＝1
D.x92＋y52＝1
F1，F2，过 F2 且垂直于长轴的直线交椭圆于
A，B
两点，则△ABF1
内切圆的半径为( )
A.43
B．1
C.45
D.34
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第二部分 专题五 解析几何
11
参考答案：
1.解析：选 D.因为 a2＝25，所以 2a＝10，所以由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.
(2)焦点三角形的结论
椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2 构成的△ PF1F2 叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. ①4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ； ②焦点三角形的周长为 2(a＋c)； ③S△PF1F2＝21|PF1||PF2|·sin θ＝b2·1＋sincoθs θ＝b2tan θ2， 当|y0|＝b，即 P 为短轴端点时，S△PF1F2 取得最大值，为 bc.
2.解析：选 B.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则 m2＋n2＝4(36－16)＝80，即(m＋n)2－2mn＝80，又 m＋n＝2×6＝1 所以 mn＝32，S△PF1F2＝12mn＝16. 3.解析：选 D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B 的周长为|AF1|＋|AF2| ＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以 a＝3.因为椭圆的离心率 e＝ac＝23，所以 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝5，所以椭 圆 C 的方程为x92＋y52＝1，故选 D.
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第二部分 专题五 解析几何
课后作业：
1．已知椭圆2x52＋1y62 ＝1 上一点 P 到椭圆一个焦点 F1 的距离为 3，则 P 到另一个焦点 F2 的距离为(
10
)
A．2
B．3
C．5
D．7
2．若椭圆3x62＋1y62 ＝1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2 的连线互相垂直，则△PF1F2 的面积为(
B
所以 e＝ac＝3c∈ 35，1.
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第二部分 专题五 解析几何
8
（2）已知点 F1，F2 分别是椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，
B 两点．若△ABF2 是锐角三角形，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是( )
A．(0， 2－1)
A1 x
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第二部分 专题五 解析几何
2
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1，0)，F2(1，0)，过 F2 的直线与 C 交于
A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为( )
(A2).设x22椭＋圆y2的＝方1 程为xa22＋Bby22.＝x321＋(ay>22b＝>01)，连接
第二部分 高考热点 分层突破
解析几何——椭圆及其性质（二）
高三文科数学组 奚鹏
数学 课堂
第二部分 专题五 解析几何
1
椭圆的定义及应用(典例迁移)
例 2.(1) 已知 F1、F2 是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且
PF1⊥PF2，若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________． 解析：(1)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则rr112＋＋rr222＝＝42ca2，，
平方得
r12 r22 2r1r2 4a2
y
所以 2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，
所以S△PF1F2＝1/2r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
一般地，若 1F1PF2
S△PF1F2＝ 2 |PF1||PF2|·sin
θ＝
b2
tan
2
P
A1
•
F1
o
•
F2
)
A．36
B．16
C．20
D．24
3.已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两
点，若△AF1B 的周长为 12，则 C 的方程为( )
4.已知A.椭x32＋圆xy422＋ ＝y132＝1
B.x32＋y22＝1
C.x42＋y32＝1
F1A，令|F2B|＝m，
D.x52＋y42＝1
y
则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得 m＝a2，
A
故|F2A|＝a＝|F1A|，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点．在等腰
F1 cos
AFF21中ABcosa2 F2194aAFa322 -a94aa222=aa1322