选修4-4参数方程

1－x 【解】 (1)由已知 t＝ ，代入 y＝4t 中，得 4x＋3y 3 －4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线． (2)∵0≤t≤π， ∴－3≤x≤5，－2≤y≤2，
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(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16. ∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)， 它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为 4 的上半圆．
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即 A(1， 3)，B(－ 3，1)，C(－1，－ 3)，D( 3，－1)．
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(2)设 P(2cos φ， 3sin φ)， 令 S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2， 则 S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1，所以 S 的取值范围是[32,52] ．
5 |4cos θ＋3sin θ－6|， 5 d 2 5 则|PA|＝ ＝ |5sin(θ＋α)－6|，其中 α 为锐角，且 sin 30° 5 4 tan α＝ . 3 22 5 当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为 . 5
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．
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【解】 (1)曲线 C 数)．
x＝2cos φ， y＝3sin φ
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(φ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
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为极轴建立极坐标系， 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ＝2， 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列， π 点 A 的极坐标为(2， )． 3
x＝1＋4cos t， (2) y＝－2＋4sin t
2 x ＝ 2 ＋ sin θ， (3) y＝－1＋cos 2θ
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(t 为参数，0≤t≤π)；
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(θ 为参数)．
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线段 AB 的中点为 M，求： (1)P、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段 AB 的长．
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1 π t ＋ 当 θ＝kπ＋ (k∈Z)时，y＝0，x＝± . t 2
1 由于当 t＞0 时，t＋ ≥2； t 1 当 t＜0 时，t＋ ≤－2，于是|x|≥2. t ∴方程 y＝0(|x|≥2)表示 x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的 向左和向右的两条射线．
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考向 预测
预测 2016 年高考将以直线和圆的参数方程为切 入点融极坐标方程于其中，考查参数方程与普通 方程的互化及应用参数方程求范围或最值问题.
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考向一 参数方程与普通方程的互化
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1 2t＋ t 短轴长为 ，
1 2t－ t ，
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kπ x 1 y (2)当 θ≠ (k∈Z)，由①得 ＝t＋ ，由②得 ＝t 2 sin θ t cos θ
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【解】 (1)由已知可得
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A 2cos
π π ，2sin ， 3 3
B 2cos C 2cos D 2cos
π π π π ＋ ＋ ， 2sin 3 2 3 2， π π ＋ π ＋ π ， 2sin 3 3 ， π 3π π 3π ＋ ＋ ， 2sin 3 3 ， 2 2
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4 【例 2】 已知直线 l 过点 P(2,0)，斜率为 ，直线 l 和抛 3 物线 y2＝2x 相交于 A、B 两点，设
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图 51
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[典例剖析] 1 t ＋ x ＝ sin t θ， ① (t≠0) ②
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【例 1】 已知参数方程： y＝t－1cos θ t
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(1)若 t 为常数，θ 为参数，判断方程表示什么曲线？ (2)若 θ 为常数，t 为参数，方程表示什么曲线？
＜α＜2π)，M 为 PQ 的中点．
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(1)求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数， 并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．
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【解】 (1)依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin
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(3)由 y＝－1＋cos 2θ 可得 y＝－2sin2θ， 把 sin2θ＝x－2 代入 y＝－2sin2θ 可得 y＝－2(x－2)， 即 2x＋y－4＝0，又∵2≤2＋sin2θ≤3，
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第二节 参数方程
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考纲要求：1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择 适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.3.掌握直线 的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简
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2α)， 因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 故 M
x＝cos α＋cos 2α， 的轨迹的参数方程为 y＝sin α＋sin 2α
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(α 为参
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数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离 d＝ x2＋y2＝ 2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当 α＝π 时，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点．
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【解】 (1)当 t≠± 1 时，由①得 sin θ＝ ， 1 t＋ t
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x
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由②得 cos θ＝
y 1 t－ t
，
x y ∴ 12＋ 12＝1， t＋ t－ t t 它表示中心在原点， 长轴长为 焦点在 x 轴上的椭圆； 当 t＝± 1 时，y＝0，x＝± 2sin θ，x∈[ －2,2] ，它表示在 x 轴上[ －2,2] 的线段．
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∴所求的方程是 2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一 条线段．
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考向二 参数方程的应用 [典例剖析]
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【思路点拨】 (1)利用 sin2θ＋cos2θ＝1 消去参数 θ，并 就 t 的不同取值讨论曲线类型．
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(2)利用加减消元法消去参数 t，注意前后的等价性．
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1 － ， t 平方相减得 x2 y2 x2 y2 － ＝4，即 － ＝1 sin2θ cos2θ 4sin2θ 4cos2θ 它表示中心在原点， 实轴长为 4|sin θ|， 虚轴长为 4|cos θ|， 焦点在 x 轴上的双曲线； 当 θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，它表示 y 轴；
x＝2cos θ， 的参数方程为 y＝3sin θ
(θ 为参
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直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0.
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(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d＝
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(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标； (2)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2
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的取值范围．
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2．(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知动点 P，Q 都在曲线 C：
x＝2cos t， y＝2sin t
(t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0
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参数方程、普通方程互化的方法： (1)参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程， 消参可用代入消参或利用恒等式消参等． (2)参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注 意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．
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[ 命题规律预测]
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从近几年的高考题看，本部分的考查重点是参数 命题 方程和直角坐标方程的互化，热点是参数方程、 规律 极坐标方程的综合性题目，总体试题难度较小， 主要考查转化和化归的思想方法．
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x2 y2 3．(2014· 课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C： ＋ ＝1，直线 l： 4 9
x＝2＋t， y＝2－2t
(t 为参数)．
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单的相关问题．
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[基础真题体验]
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考查角度[ 参数方程及其应用] 1 ． (2012· 课 标 全 国 卷 ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 是
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[对点练习]
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将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲 线．
x＝1－3t， (1) y＝4t
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(t 为参数)；
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