【解析版】小专题(一) 三角形三条重要线段的应用
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小专题(一) 三角形三条重要线段的应用
类型1 三角形的高的应用
1．如图,在△ABC 中,AB ＝AC,DE ⊥AB,DF ⊥AC,BG ⊥AC,垂足分别为点E,F,G.求证：DE ＋DF ＝BG.
证明：连接AD,
∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △ADC , ∴12AC·BG＝12AB·DE＋12
AC·D F. 又∵AB ＝AC,
∴BG ＝DE ＋DF.
类型2 三角形的中线的应用
2．如图,已知BE ＝CE,ED 为△EBC 的中线,BD ＝8,△AEC 的周长为24,则△ABC 的周长为(A )
A ．40
B ．46
C ．50
D ．56
3．(广东中考改编)如图,△ABC 的三边的中线AD,BE,CF 的公共点为G,且AG ∶GD ＝2∶1,若S △ABC ＝12,则图中阴影部分的面积是4．
4．在等腰三角形ABC 中,AB ＝AC,一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分成15 cm 和6 cm 两部分,求这个等腰三角形的三边长．
解：设AD ＝CD ＝x cm ,则
AB ＝2x cm ,BC ＝(21－4x)cm .
依题意,有AB ＋AD ＝15 cm 或AB ＋AD ＝6 cm ,则有2x ＋x ＝15或2x ＋x ＝6,
解得x ＝5或x ＝2.
当x ＝5时,三边长为10 cm ,10 cm ,1 cm ；
当x＝2时,三边长为4 cm,4 cm,13 cm,
而4＋4＜13,故不成立．
∴这个等腰三角形的三边长分别为10 cm,10 cm,1 cm.
类型3三角形的角平分线的应用
5．(1)如图,在△ABC中,D,E,F是边BC上的三点,且∠1＝∠2＝∠3＝∠4,以AE为角平分线的三角形有△ABC和△ADF；
(2)如图,若已知AE平分∠BAC,且∠1＝∠2＝∠4＝15°,计算∠3的度数,并说明AE是△DAF的角平分线．
解：∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE＝∠CAE.
又∵∠1＝∠2＝15°,
∴∠BAE＝∠1＋∠2
＝15°＋15°
＝30°.
∴∠CAE＝∠BAE＝30°,
即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.
又∵∠4＝15°,∴∠3＝15°.
∴∠2＝∠3＝15°,
∴AE是△DAF的角平分线．
6．如图,在△ABC中,BE,CD分别为其角平分线且交于点O.
(1)当∠A＝60°时,求∠BOC的度数；
(2)当∠A＝100°时,求∠BOC的度数；
(3)当∠A＝α°时,求∠BOC的度数．
解：(1)∵∠A ＝60°,
∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°.
∵BE,CD 为△ABC 的角平分线,
∴∠EBC ＋∠DCB ＝60°,
∴∠BOC ＝180°－(∠EBC ＋∠DCB)
＝180°－60°＝120°.
(2)∵∠A ＝100°,
∴∠ABC ＋∠ACB ＝80°.
∵BE,CD 为△ABC 的角平分线,
∴∠EBC ＋∠DCB ＝40°,
∴∠BOC ＝180°－(∠EBC ＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.
(3)∵∠A ＝α°,
∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－α°.
∵BE,CD 为△ABC 的角平分线,
∴∠EBC ＋∠DCB ＝90°－12
α°, ∴∠BOC ＝180°－(∠EBC ＋∠DCB)＝180°－(90°－12α°)＝90°＋12α°.