高斯公式与斯托克斯公式

P d y d z Q d z d x Rdx d y

(Gauss 公式)
下面先证: R R d x d y d x d y d z z
©
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
©
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y


由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为


P cos Q cos R cos d S
v n d S

©
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y

n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
根据高斯公式, 流量也可表为
③
©
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 lim M V
P Q R M x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
1 f x f y
1 f x f y
cos fy cos
©
P P cos cos d S 因此 P d x y z cos P P cos cos d S z y P P dzdx d xd y z y Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z x z R R R d x y d y d z x d z d x
(2x z)dydz zdxdy ,
其中 为有向曲面
解:设 P 2 x z， Q 0，R z
P 2 x
Q 0 y
R 1 z
2 2
为了用高斯公式,补面 1 : z 1, ( Dxy : x y 1)下侧． 设 与 1 围成立体 由高斯公式, 则
2 1 3

Dx y
3 1
y
x
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dx y Dx y
©
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
©
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
©
y C
则
P d x C P( x, y, z( x, y)) d x
P( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y y n P P z z d xd y Dx y y z y P P o f y cos d S y y D z xy x C fy 1 cos , cos , 2 2 2 2
©

例+. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
1 1
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
13 12
2
o
x
1y

2
0
d
0
1
Dxy
dr

2 0
cos d
2
©
在闭区域 上具有一阶和 v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 Pu 2 2 2 x v v v d x d y d z v u x2 y 2 z 2 Qu y v v v v u cos cos cos d S Ru y z x z u v u v u v d x d y d z x x y y z z 其中 是整个 边界面的外侧. P Q R 分析: 高斯公式 x y z d x d ydz
I ( x 3 z x) d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y. z 解: 作取下侧的辅助面 2 2 2 ( x , y ) D : x y 1 1 : z 1 xy 1 用极坐标 1 I 用柱坐标
©
定义: 设有向量场
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 曲面, 其单位法向量 n, 则称
有向曲面 的通量(流量) .
在场中点 M(x, y, z) 处
第六节
第十章
高斯公式 通量与散度
Green 公式
推广
Gauss 公式
一、高斯公式 二、通量与散度 三、斯托克斯公式 四、环流量与旋度
©
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲
面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
(2x z)dydz zdxdy
©
例1续
1 1
(2 x z )dydz zdxdy
1
(2 1)dv 1dxdy

3 dz
0
1
x2 y2 z
dxdy dxdy
v v v u cos cos cos d S x y z
移项即得所证公式.(见同济 P171)
©
二、通量与散度 引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
2 : z z2 ( x, y ), 则 z R z2 ( x, y ) R xd y dz z d x d y d z Dxd z1 ( x , y ) z y

Dx y
2
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 div A 0 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v (v x , v y , v z ) (其中v x , v y , v z 为常数 ),
div v 0
故它是无源场.
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三、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
公式就是格林公式,故格林公式是斯作:

9 d rd r (r sin z ) d z 0 0 0 2 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
2 1 3
©
(r sin z )r dr d d z

o 1 x
y
例1 计算
z x2 y 2 , (0 z 1) 的上侧．
记， 1 所围区域为, 则
I (
1 1
在 1 上 , 0 2
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
2
xy
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
©
I 2 ( x y z ) d xdydz

Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h

1 h h
o x

y
2 z z d z h
2
0
h
4
1 4 h 2
©
练习. 设 为曲面 z 2 x 2 y 2 , 1 z 2 取上侧, 求
x 2 y 2 1
3 zdz 12
0
1
3 . 2 2
©
例+. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x

y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
©
例+. 设函数
P d y d z Q d z d x R d x d y

v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证 :令 P u x y z 2v 2v 2v x2 y 2 z 2 v v v x y z
侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)

n
证: 情形1 与平行 z 轴的直线只交于
一点, 设其方程为
z
o x

Dx y

: z f ( x, y ) , ( x, y ) D x y