2019高考数学专题突破：解三角形专题(含答案)

3
，a = 2.
(1) 求 ABC 的周长的取值范围；
( 2 ) 求 b2 + c 2 的取值范围.
解析 : b c a 2 4 3 = = = = =k sin B sin C sin A 3 3 2 2 (1)易得 : b = k sin B, c = k sin C , B = − C 3 b + c = k ( sin B + sin C ) = 4sin C + 6 5 2 由C 0, , 得C + , , 则有 : b + c ( 2, 4 6 6 6 3 正弦定理 : 又a = 2, 则CABC = a + b + c ( 4, 6 .
加强
( 05) ( 06 ) ( 07 )
a : b : c = sin A : sin B : sin C; sin 2 B = sin 2 A + sin 2 C − 2sin A sin C cos B; S ABC =
abc 1 1 b abc = S ABC = ac sin B = ac ; 4R 2 2 2R 4R 1 S ABC = ( a + b + c ) r ( r为内切圆半径 ) ; 2 1 2 2 2 3 S a b c sin A sin B sin C ; ABC = 8 ( 08) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C; 证 : tan A + tan B + tan C = − tan ( B + C ) + tan ( B + C )(1 − tan B tan C ) = tan A tan B tan C
类型题: 在 ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .
1 1 1 , 则 sin 2C − − , 6 ຫໍສະໝຸດ Baidu 2 2
(1) 已知 A = 120 ，求 sin B + sin C 的最大值；
( 2 ) 已知 a = 3 ， A = 60 ，求 bc 的最大值； ( 3) 已知 a 2 + b 2 = 2c 2 ，求 cos C 的最小值； ( 4 ) 已知 sin A +
解三角形专题
三角形共有 9 个要素，三个顶点，三条边，三个角
基础
( 01) ( 02 ) ( 03) ( 04 )
b a c = = = k = 2 R ( ABC外接圆半径 ) sin B sin A sin C a 2 + c2 − b2 2 2 2 cos B = , b =a + c − 2ac cos B 2ac 1 S ABC = ac sin B 2 sin B = sin ( A + C ) , cos B = − cos ( A + C ) , tan B = − tan ( A + C )
特殊
( 09 ) BA BC = ac cos B = (10 )
1 2 2 2 (a + c − b ) 2 ABC , a, b, c成等差数列
B A−C = cos 2 2 A+C A−C A C 1 2 cos = cos tan tan = 2 2 2 2 3 证 : 2sin B = sin A + sin C 2b = a + c 2sin B = sin A + sin C 2sin B B cos ; 2 2 A+C A−C B A−C A+C A−C A+C A−C RHS = sin + − cos = cos cos ; + sin = sin 2 2 2 2 2 2 2 2 B A−C 2sin = cos . 2 2 LHS = 2sin
解析 :
2
，求 ABC 的面积．
a 2 + b2 − c2 余弦定理 : cos C = c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C 2 ab (1)由a, b, c依次成等差数列, 得2b = a + c 又 sin A : sin B = 3 : 5, 则a : b = 3 : 5 令a = 3k , b = 5k , 则c = 7 k 即 最大角为C 由cos C = a 2 + b2 − c2 1 2 = − , 得C = ; 2 ab 2 3 ( 2 )由b = 1, 得a + c = 2
解三角形专题
问题类型 :
( 01) : 边长,角度数值计算问题; ( 02 ) : 三角形形状判断问题; ( 03) : 边长,角度等范围最值问题; ( 04 ) : 实际问题中高度,长度等表达式问题; ( 05) : 三角形唯一性等问题；
解三角形专题
第 001 题 正弦定理、三角恒等变换、三角函数、最值范围问题 在 ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且 A =
2 sin B = 2 sin C ，求 cos C 的最小值.
解三角形专题
第 002 题 边长与数列，内角与向量，函数与方程 已知在 ABC 中，三边长 a, b, c 依次成等差数列． (1) 若 sin A : sin B = 3: 5 ，求三个内角中最大角的度数；
( 2 ) 若 b = 1且 BA BC = b2 − ( a − c )
( 2 ) b 2 + c 2 = k 2 ( sin 2 B + sin 2 C )
2 = k 2 sin 2 ( − C ) + sin 2 C 3 1 = k 2 1 + sin 2C − 6 2 7 2 由C 0, , 得2C − − , 6 6 6 3 1 3 3 1 + sin 2C − , 2 6 4 2 16 又k 2 = , 则b 2 + c 2 ( 4,8 . 3