换底公式的推导及特殊换底公式及练习
换底公式
换底公式的形式：
换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
log（a）（b）表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
换底公式的推导过程：
若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M) 和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1
换底公式的应用：
1.在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底.
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时
也通过用换底公式来证明或求解相关问题；
2.在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。
第2课时-换底公式
14
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1， ∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
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必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
[发散思维]
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必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
反思感悟 关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关 数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化 为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
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必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
(2)解：由 3a＝4b＝36， 得 a＝log336，b＝log436， 由换底公式得1a＝log363，1b＝log364， ∴2a＋1b＝2log363＋log364＝log3636＝1.
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必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
A．1a＋1b＝1
B．2a＋1b＝lg 20
C．1a＋2b＝2
D．1a＋2b＝12
解析：AB a＝log210，b＝log510，1a＋1b＝log1210＋log1510＝lg 2＋lg 5＝1，
故 A 正确；
2a＋1b＝log2210＋log1510＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故 B 正确；1a＋2b＝log1210＋log2510 ＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故 C，D 都不正确．
2．已知 2x＝3，log483＝y，则 x＋2y 的值为( A )
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
高一数学必修教学课件第三章换底公式
解决实际问题
增长率问题
在经济学、金融学等领域，经常需要计算增长率。利用换底 公式，可以将连续增长率转化为离散增长率，便于分析和比 较。
音高计算
在音乐领域，音高与频率之间呈对数关系。利用换底公式， 可以将音高转换为以2为底的对数，从而方便计算和分析。
拓展应用领域
工程领域
在工程计算中，经常遇到以不同 底数表示的对数。利用换底公式 ，可以统一底数，简化计算过程
预备知识
01
02
03
对数的定义和性质
学生需要了解对数的定义 、对数的性质和运算法则 ，如对数的乘法、除法、 指数和换底法则等；
指数运算
学生需要掌握指数运算的 基本法则，如指数的乘法 、除法、乘方和开方法等 ；
代数运算
学生需要具备Байду номын сангаас本的代数 运算能力，如代数式的化 简、因式分解、一元二次 方程的解法等。
符号表示的意义
换底公式的符号表示体现了对数运算 的转换关系，通过换底公式可以将不 同底数的对数相互转换，从而简化对 数运算。
03 换底公式应用举 例
简化计算过程
对数运算的化简
利用换底公式，可以将不同底数 的对数转化为相同底数的对数， 从而简化计算过程。
指数运算的化简
通过换底公式，可以将指数运算 转化为对数运算，进一步简化计 算。
。
计算机科学
在计算机科学中，换底公式可用 于算法分析和优化。例如，在排 序算法中，可以利用换底公式将 时间复杂度从O(nlogn)简化为
O(n)。
物理学领域
在物理学中，一些物理量与对数 关系密切相关。利用换底公式， 可以方便地处理这些物理量的计
算和转换。
04 换底公式与对数 运算规则关系
高一数学对数的换底公式及其推论
4
解：二) log4 3 log2 8 log2 4 log2 4 log 1 log2 2 3 9 3 1 2 2 ( 2) ( 1 ) 2 3 1 4 2 2 2
作业：课本P74的4（3）、5
1.课本P74，第1,2,3,4,5,7题 1．求值：
3) log4 3 log9 2 log1
2
32
3 3） 2
条件求值
例2．已知
用a, b 表示
log2 3 a, log3 7 b
l og6 21
l og3 21 l og3 ( 3 7) 解： l og6 21 l og3 ( 2 3) l og3 6
l og3 3 l og3 7 l og3 2 l og3 3
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2,求m
3 若l og 8 3 p, l og 3 5 q,
2.各小组数学负责人17:50办公室
用p, q表 示 l g5
语文
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附赠 中高考状元学习方 法
前 言 高考状元是一个特殊的群体，在许
多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺 目的星星那样遥不可及。但实际上他们和 我们每一个同学都一样平凡而普通，但他 们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之 处就是在学习方面有一些独到的个性，又 有着一些共性，而这些对在校的同学尤其 是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2
小结:
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 三个推论:
对数的换底公式课件
真数必须大于0
换底公式中的真数必须大于0，因为对数定义域的限 制。
换底公式使用时的注意事项
正确选择底数
选择适当的底数可以帮助简化计算， 例如在科学计算中常用以10为底或以
e为底的换底公式。
避免计算错误
换底公式涉及多个对数的运算，容易 出错，需要仔细核对每一步的计算结
推导过程中需要特别注意处理对数的运算次序、底数和指数 的关系，以及不同底数之间的转换关系，以确保推导的正确 性和严谨性。
换底公式证明
换底公式的证明主要基于对数的定义 和性质，通过数学演绎推理的方法进 行证明。证明过程中需要利用已知的 对数运算法则和性质，逐步推导出换 底公式。
证明的关键在于理解对数的基本性质， 掌握对数运算法则的应用，以及能够 灵活运用数学演绎推理的方法。
03
换底公式的应用
利用换底公式进行对数计算
01
换底公式可以将对数计算从一种底数转换为另一种底数，简化 计算过程。
02
利用换底公式可以快速比较不同底数对数值的大小，有助于解
决一些数学问题。
在科学计算中，换底公式可以用于将不同单位或不同来源的数
03
据统一到相同的对数底数下，便于分析和比较。
利用换底公式解决实际问题
与对数的运算律结合
换底公式可以与对数的运算律结合使用，如 log_a(m^n) = n * log_a(m)，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)等。
与指数和对数互化结合
换底公式可以与指数和对数互化的性质结合使 用，如e^(log_a(b)) = b，log_a(e^b) = b等。
05
专题强化一 换底公式(解析版)
强化专题一 换底公式【题型目录】一、换底公式的正用二、换底公式的逆用三、换底公式的基本变形一：log a b ＝1log b a四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m nlog a b 五、解对数方程六、证明对数恒等式【例题详解】一、换底公式的正用1．已知2log 3a =，则下列能化简为12a a 的是（ ） A ．8log 3B ．18log 3C ．18log 6D ．12log 32．()()2839log 3log 3log 2log 2-+=______．（用数字作答）3．若log 86x =，则2log x =___________. 【答案】124．计算：ln 259elog 3log 25-等于___________. 二、换底公式的逆用1．计算：log 52×log 727log 513×log 74＝________. 【答案】－34【详解】原式＝log 52log 513×log 727log 74＝13log log 427＝lg 2lg 13×lg 27lg 4 ＝12lg 2－lg 3×3lg 32lg 2＝－34.200.5573(2)(0.01)5log log 3--⋅= ________三、换底公式的基本变形一：loga b ＝1log b a 1．若43m =，则3log 12=（ ）A ．1m m +B ．21m m +C ．2m m +D ．212m m+2．已知182,1.52x y ==，则x y -=______;3．已知35a b A ==，则122a b+=，则A 等于__________．，0>∴A A 四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m nlog a b 1．化简4839(2log 3log 3)(log 2log 2)=++____________2．已知log 1627＝a ，则log 916＝________.【答案】32a【详解】∵log 1627＝a ，∴432log 3＝a ，∴34log 23＝a ，∴log 23＝43a ， ∴log 916＝243log 2＝42log 32＝2log 32＝2·1log 23＝2×34a ＝32a.五、解对数方程1．方程222log log 1x x +=的解为x =___________．2．方程()233log 12log (1)x x -=+-的解为x =___________.【答案】8【分析】由对数运算法则化方程为233log (1)log [9(1)]x x -=-．再根据对数函数的性质求解．【详解】由()233log 12log (1)x x -=+-得233log (1)log [9(1)]x x -=-，所以219(1)10x x x ⎧-=-⎨->⎩，解得8x =． 故答案为：8．3．求下列各式中x 的值：(1)()3log lg 1=x ；(2)()345log log log 0x =⎡⎤⎣⎦.【答案】(1)1000x =；(2)625x =【分析】（1）结合对数运算求得x 的值.（2）结合对数运算求得x 的值.【详解】（1）()3log lg 1=x ，3lg 3,101000x x ===. （2）()345log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，()4455log log 1,log 4,5625x x x ====.4．解方程：(1)2555log log 1x x x+=. (2)()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭(2)log 六、证明对数恒等式1．利用换底公式证明：log log log 1a b c b c a ⋅⋅=．2．设==a b c x y z ，且111a b c+=，求证：z xy =。
对数的换底公式推导
对数的换底公式推导
对数的换底公式是数学中一个很重要的公式，它可以用来计算不同对数之间的关系，成为科学研究中不可缺少的一部分。
本文将通过证明换底公式来帮助读者理解其中的原理。
首先，我们要明确一下关于对数的概念，以及换底公式的定义。
对数（log）是一个抽象概念，它表示两个数字之间的关系。
换底公式（logab = logcb / logca）指的是两个对数（logab logcb)之间的关系，即logab于logcb以logca商。
接下来，我们来证明换底公式。
设有两个数ab，其中ab0。
由于logab = logcb / logca，我们可以认为：
b = c^(logca logcb )
下一步，我们可以将b两边同时乘以a：
ab = c^(logca logcb ) a
我们知道，ab于cn幂。
我们可以进一步将上式简化为：
ab = c^(logca + logcb )
以上就是换底公式的证明。
换底公式的应用不仅限于简单的计算，它也可以用于更深层次的研究。
比如，由于logar = logbr + logcr，因此可以用换底公式推导出ab 之间的指数表达式。
此外，换底公式还可以用于方程解等数学问题。
比如，在一个简单的方程中，如果已知ab对数，则可以通过换底公式求解方程。
综上所述，换底公式是一个重要的数学公式，它不仅可以用于简
单的计算，还可以用于更深层次的研究，从而为科学研究带来更多可能性。
高一数学对数的换底公式及其推论
复习
对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
对数换底公式
logm N loga N logm a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 如何证明呢?
两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
n 2) log am b log a b m
n
你能证明吗?
例题与练习
马王堆汉墓的年代.
作业：课本P75的11,12
补充：1．求值：
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2 ,求m
3．若log
8
3=p,
log
3
5=q ,
用p,q表示 lg 5
； https:///brands/4003.html 新加坡妈妈烤包 新加坡妈妈烤包加盟；
例1、计算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 34 Nhomakorabea2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
换底公式推导
换底公式推导换底公式是数学中常用的公式之一，它在计算数学中的对数运算时非常有用。
通过换底公式，我们可以将一个对数的底数转换为另一个底数，从而使计算更加方便。
在本文中，我们将推导换底公式的数学推导过程。
首先，我们先来回顾一下对数的定义。
对数是指以某个数（称为底数）为底的指数。
例如，以底数为2的对数，就是求解下面的方程：2^x = y其中，x为对数，y为底数。
根据这个定义，我们可以得到下面的关系：log2 y = x其中，log2表示以底数为2的对数。
接下来，我们介绍换底公式的一般表达式。
设底数为a的对数为x，底数为b的对数为y，底数为c的对数为z，那么根据换底公式，我们可以得到如下的关系：loga c = logb c / logb a这个公式可以帮助我们在不同底数之间转换对数。
接下来，我们将推导这个公式的过程。
首先，我们有两个对数方程：a^x = cb^y = c我们希望找到一个关系将x和y联系起来。
我们可以将第一个方程两边取以底数为b的对数，得到：logb (a^x) = logb c根据对数的性质，我们可以将指数移到对数的前面，得到：x logb a = logb c同样地，我们可以对第二个方程进行同样的操作，得到：y logb b = logb c由于logb b = 1，所以我们可以将上式简化为：y = logb c由于我们的目标是将x和y联系起来，所以我们需要将x表示为y的函数。
为此，我们将x和y进行交换，得到：x = loga c / loga b这就是我们所要推导的换底公式。
通过这个公式，我们可以将底数为a的对数转换为底数为b的对数。
公式右边的分式表示了从底数为a的对数到底数为b的对数的转换系数。
接下来，让我们举个例子来说明换底公式的用法。
假设我们要计算log4 16的值，但是我们知道计算底数为4的对数不容易。
这时，我们可以使用换底公式，将底数为4的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式，我们有：log4 16 = log2 16 / log2 4我们知道log2 16 = 4，log2 4 = 2，代入上式得到：log4 16 = 4 / 2 = 2通过换底公式，我们得到了底数为4的对数log4 16的值为2。
lna÷lnb换底公式
lna÷lnb换底公式对于数学爱好者来说，对于对数函数的研究是必不可少的。
而其中一个重要的概念就是换底公式，它在对数函数的求解中扮演着非常重要的角色。
在本文中，我们将会深入探讨换底公式中的一个特殊情况，即lna÷lnb换底公式。
一、对数函数的基本概念在研究lna÷lnb换底公式之前，我们需要先了解对数函数的基本概念。
对数函数是数学中一个非常重要的函数，它可以将一个数转化为指数的形式，从而方便我们进行计算。
具体来说，对于正实数a 和正实数b（b≠1），我们定义如下的对数函数：其中，a表示底数，b表示真数，x表示对数。
对于对数函数，我们需要注意以下几点：1. 底数必须是正实数且不能等于1；2. 真数必须是正实数；3. 对数必须是实数。
4. 对于同一个底数，不同的真数对应不同的对数。
二、换底公式的基本概念在对数函数中，换底公式是一个非常重要的定理。
它可以将一个底数为a的对数表达式转化为底数为b的对数表达式，从而方便我们进行计算。
具体来说，我们有如下的换底公式：其中，a和b为正实数且a≠1，x为任意实数。
在换底公式中，我们需要注意以下几点：1. 底数必须是正实数且不能等于1；2. 对数必须是实数；3. 对于同一个对数，不同的底数对应不同的值。
三、lna÷lnb换底公式的推导对于lna÷lnb换底公式，我们需要先推导出它的具体表达式。
具体来说，我们有如下的推导过程：首先，我们有如下的等式：其中，e为自然常数，它的值约为2.71828。
接下来，我们对等式两边取以a为底的对数，得到：其中，lna表示以e为底的对数。
同样地，我们对等式两边取以b为底的对数，得到：其中，lnb表示以e为底的对数。
接下来，我们将第二个等式左右两边乘以-1，得到：将第三个等式代入到第四个等式中，得到：将等式两边同时乘以lna，得到：将等式两边同时除以lnb，得到：将等式左边的lna÷lnb化简，得到：其中，lna÷lnb表示以b为底的对数。
指数函数换底公式推导
指数函数换底公式推导
指数函数换底公式是用来将一个指数函数的底数换成另一个底数的公式。
假设我们有一个指数函数 y = a^x，我们想要将其底数a 换成 b，我们可以利用换底公式来表示为 y = b^x =
(a^x)/(a^(log_a(b)))。
下面我将从多个角度解释换底公式的推导过程。
首先，我们知道对数的定义是，如果 a^x = y，那么 log_a(y) = x。
利用这个定义，我们可以推导换底公式。
假设我们有一个指数函数 y = a^x，我们想要将其底数 a 换成 b，我们可以表示为 y = b^x。
现在我们来推导这个过程。
首先，我们知道 log_a(y) = x，根据对数的性质，我们可以将其转化为指数形式，即 a^x = y。
现在我们想要将底数 a 换成 b，我们可以将上述等式两边取对数，得到 log_b(a^x) = log_b(y)。
根据对数的性质，我们知道 log_b(a^x) = x log_b(a)。
将这个等式代入前面的等式，我们得到 x log_b(a) = log_b(y)。
进一步变换得到 x = (log_b(y))/(log_b(a))，这就是指数函数换底公式。
换底公式的推导过程就是利用对数的性质和定义，将原指数函
数的底数换成另一个底数的过程。
通过这个推导过程，我们可以清晰地理解换底公式的原理和推导方法。
总结一下，指数函数换底公式是通过对数的性质和定义推导得到的，可以帮助我们将一个指数函数的底数换成另一个底数。
这个公式在数学和科学领域中有着重要的应用，能够帮助我们简化计算和分析复杂的指数函数问题。
高一数学复习知识讲解课件41 对数的运算(第2课时) 换底公式及应用问题
4.3.2对数的运高一数学复习知换底公式及应数的运算(第2课时)
复习知识讲解课件
式及应用问题
课时学案
探究
1
(1)
换底公式的本质是化异底为数或自然对数，解决一般对数的求值问题(2)
利用换底公式化简、求值的一般思路 异底为同底，也可以将一般对数化为常用对问题．
般思路：
探究2 利用对数式与指数式互化求值(1)在对数式、指数式的互化运算中，则，尤其要注意条件和结论之间的关系，(2)对于连等式可令其等于k (k >0，且由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数
化求值的方法：
，要注意灵活运用定义、性质和运算法，进行正确地转化．
且k ≠1)，然后将指数式用对数式表示，再的对数，从而使问题得解．
探究3 关于对数运算在实际问题中的
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题代入，最后利用对数运算性质、换底公式进(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数运算，从而简化复杂的指数运算．
题中的应用： 先将题目中数量关系理清，再将相关数据公式进行计算．
可将指数式利用取对数的方法，转化为对
课 后 巩 固。
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2.推论： （） 1 logb a
n
1 loga b
n （） 2 logam b loga b m
（） 3 loga b logb c logc d loga d
鸣谢马海红
未经允许转载
loga d 右边
四、应用
例1 计算：
(1) log9 27
例2
；
(2) log8 9 log 27 32
用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：
log2 48 ； log3 10 ;
lg 48 lg 2
17 0.3
56.7
log8 ;
=
lg10 lg 3
1 0.48
三、推论
令N
推论1
n
1 logb a log a b
log a N 则 logb N a， log a b
就变形为
1 log am b logbn a m m logbn a
1
1 1 m m log a b n n log a b
n 推论2 log am b m log a b
n
（数乘）
注意：1.在实际解题过程中以上三式从左向右运算
不必考虑 M ，N 是否非负；但是从右向左运算时必 须保证 M ，N 非负；2.两端的底数必须相同这就是 说利用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .
二、换底公式
1、利用计算器计算 lg15 和 lg 2 ； 结果：1、 lg15 1.7, 2、 ln15 2.7,
n
n log a b m
注：实际上由换底公式直接可得推论2，
请同学们自己推导.
log a b n log b n a log am b log a b m log a a m m
n
na b logb c logc d loga d
lg b lg c lg d lg d 证明 左边 lg a lg b lg c lg a
(0， ) 在 上是减函数，故可取 x =1，2，3，4，5， 6， .... 直至对应的y 0.5为止，如下表所示：
x y 0.84 方法一：利用指数函数的性质可知
x
y 0.84x
0
1
1
0.84
2
0.71
3
0.59
4
0.50
5
0.42
...
...
由表可知，当时 y 0.5，对应的 x 4 , 即约经过4年该物质的剩留量是原来的一半. 方法二： 由题意可得 0.84 x 0.5， 即x log0.84 0.5 lg 0.5 利用换底公式得 x ， lg 0.84 用科学计算器计算得 x 3.98， 即月经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.
的对数转换公式：
换底公式
loga N logb N (其中a，b 0，a，b 1，N 0) loga b
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面 对log 2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类 似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程， 并思考如何将以 b 为底 N 的对数转换为以 a为底的对 数的比值.
2.1
lg lg 8
0.5 0.9
log5 50 ;
log1.082 2
0.56
例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每 经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多 少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个 有效数字）. 分析：对于实际问题的解答，其基本思路为： 1.分析实际问题； 2.建立数学模型； 3.利用数学方法求解； 4.解答. 解：设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y，则 经过1年，剩留量是 y 0.84 经过2年，剩留量是 y 0.842 …… x 经过x年，剩留量是 y 0.84
例4 若lg2=m， lg3 n，求log512的值.
lg12 lg 4 lg 3 解：log 5 12 10 lg 5 lg 2 lg 4 lg 3
lg10 lg 2
2 lg 2 lg 3 1 lg 2
2m n 1 m
五、
终结
log a N logb N (其中a，b 0，a，b 1.换底公式： 1，N 0) log a b
证明
设 logb N x ，根据对数的定义，有
b N
x
两边取以 a为底的对数，得
x
loga b loga N .
由于b 0，所以可得 x loga b loga N， 又由于b 1，所以可得 log a N loga N . x ， 即 logb N log a b loga b
2、利用计算器计算 ln15 ln 2 和 .
lg 2 0.3;
ln 2 0.7.
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10； 第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学 计算器可以直接计算常用对数和自然对数.
问题1 可否利用计算器求出 log2 15 的值呢？ 我们可设log 2 15 x ， 从而有
2 x 15
对上式两边同取以10为底的对数可得
log10 2 log10 15，即
x
lg 2 lg15 x lg 2 lg15 lg15 lg15 x ， 即 log 2 15 lg 2 lg 2
x
lg15 x log 2 15 lg 2
3.91.
lg15 抽象推广到一般情况可得重要 由 log 2 15 lg 2
一、从对数的运算性质说起
则有： 1，M 0，N 0， 如果a 0， a
(1) loga (M ) loga (N ) loga (MN ); （加法）
(2) loga (M ) loga (N ) loga (MN ); （减法）
1
(3) nloga M loga M , (n R );