回顾专题：勾股定理的十种证明方法.ppt
勾股定理有关证明.ppt
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。
在从“面积到乘法公式”一章
的学习中，我们把几个图形拼成一 个新的图形，通过图形面积的计算 得到了许多有用的式子。这节课同 样地我们用多种方法拼图验证了勾 股定理，你有什么感受？
勾股定理的有关证明
编制: 姚永成
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2=c2
b2 a2
1
1
美丽的勾股树
2011年甘肃英才教育学校
早在公元3世纪，我国 数学家赵爽就用左边的图 形验证了“勾股定理”
思考:你能验证吗？
赵爽的“弦图”
C 想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
b (1)
试一试:
３、一个直角三角形的三边长为三个连续
偶数,则它的三边长分别为
( B)
A 2、4、6
Ｂ 6、8、10
Ｃ 4、6、8
Ｄ 8、10、12
例题分析
例 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.
a
c
c
证
明
(2)
(a-b)2 (3)
一
(2) c
c
(3)
(a-b)2 = C2－4× 1 ab
课件华东师大版八年级数学上册 勾股定理解题的十种常见题型 复习精美PPT课件
第公1交4站章D的勾距股离定相理等，求商店C与公交站D之间的距离．
∴BC ＝AB ，即 华东师大版 八年级2 数学上册 复2习课件 AB＝BC.
3．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，D 是斜边 BC 的中点，E，F 分别为 AB，AC 上的点，且 DE⊥DF. (1)若设 BE＝a，CF＝b，且 a－12＋|b－5|＝ m－2＋ 2－m， 求 BE 及 CF 的长；
解：如图，连接 BD，作 BE⊥AD 于点 E. ∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴∠1＝∠ABD＝180°－ 2 60°＝60°. 易得△BAE≌△BDE.∴BD＝AB＝8. 又∠1＋∠2＝150°，则∠2＝90°. 设 BC＝x，则 CD＝16－x，由勾股定理得 x2＝82＋(16－x)2. 解得 x＝10.∴BC＝10，CD＝6.
7．如图，某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300 m，到公交站(D点)的距离为500 m．现要在公路边上建一个商店(C点)，使之到学校A及 公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．
(1)求BC边的长； (2)求证：BE2＋CF2＝EF2.
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm. 7．如图，某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300 m，到公交站(D点)的距离为500 m．现要在公路边上建一个商店(C点)，使之到学校A及 公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离． ②根据勾股定理写出三边长的平方关系； 解：如图，连接CD1. 解：小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．理由如下： ②根据勾股定理写出三边长的平方关系； 解：小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．理由如下：
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
勾股定理种证明有图
勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o. ∴∠HEF=180o ―90o=90o.∴四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形.它的面积等于c 2.∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90o, ∴∠EHA+∠GHD=90o. 又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.∴ABCD 是一个边长为a+b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+.∴222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵D 、E 、F 在一条直线上,且Rt ΔGEF ≌Rt Δ∴∠EGF=∠BED ， ∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o ―90o=90o. 又∵AB=BE=EG=GA=c ，∴ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵Rt ΔABC ≌Rt ΔEBD, ∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o. 即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o ，∠BCP=90o ，BC=BD=a.∴BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴222c b a =+. 【证法3】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P.过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵∠BCA=90o ，QP ∥BC ，∴∠MPC=90o ，∵BM ⊥PQ ， ∴∠BMP=90o ，∴BCPM 是一个矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o ，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o ， ∴∠QBM=∠ABC ，又∵∠BMP=90o ，∠BCA=90o ，BQ=BA=c ， ∴Rt ΔBMQ ≌Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD.过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点L.∵AF=AC ，AB=AD ，∠FAB=∠GAD ， ∴ΔFAB ≌ΔGAD ，∵ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴矩形ADLM 的面积=2a .同理可证，矩形MLEB 的面积=2b .∵正方形ADEB 的面积=矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积 ∴222b a c +=，即222c b a =+. 【证法5】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R.过B 作BP ⊥AF ，垂足为P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵∠BAD=90o ，∠PAC=90o ，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90o ，∠BCA=90o ， AD=AB=c ， ∴Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA.∴DH=BC=a ，AH=AC=b.由作法可知，PBCA 是一个矩形， 所以Rt ΔAPB ≌Rt ΔBCA.即PB= CA=b ，AP=a ，从而PH=b ―a.∵Rt ΔDGT ≌Rt ΔBCA, Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA.∴Rt ΔDGT ≌Rt ΔDHA.∴DH=DG=a ，∠GDT=∠HDA. 又∵∠DGT=90o ，∠DHF=90o ，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o ， ∴DGFH 是一个边长为a 的正方形. ∴GF=FH=a.TF ⊥AF ，TF=GT ―GF=b ―a. ∴TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP=b ，高FP=a+（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++=①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438=ab b 212-， 985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812SS b --.② 把②代入①，得=922S S b ++=22a b +.∴222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c.做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90o ， ∴∠TBH=∠ABE. 又∵∠BTH=∠BEA=90o ， BT=BE=b ， ∴Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE. ∴HT=AE=a. ∴GH=GT ―HT=b ―a.又∵∠GHF+∠BHT=90o ，∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90o∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EB ―ED=b ―a ，∠HGF=∠BDC=90o ， ∴Rt ΔHGF ≌Rt ΔBDC.即27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90o ，可知∠ABE =∠QAM ，而AB=AQ=c ，所以Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM.又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.所以Rt ΔHBT ≌Rt ΔQAM.即58S S =.由Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM ，又得QM=AE=a ，∠AQM=∠BAE. ∵∠AQM+∠FQM=90o ，∠BAE+∠CAR=90o ，∠AQM=∠BAE ， ∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90o ，QM=AR=a ，∴Rt ΔQMF ≌Rt ΔARC.即64S S =.∵543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+=52341S S S S S ++++ =2c ，即222c b a =+. 【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC=a ，AC=b ，斜边AB=c （如图）.过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•， ∵AB=DC=c ，AD=BC=a ， AC=BD=b ， ∴222AC BC AB +=，即222b a c +=， ∴222c b a =+.【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BCb ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知AD AB AC •≠2，或者BD AB BC •≠2.即AD ：AC ≠AC ：AB ，或者BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵∠A=∠A ，∴若AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB. 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵∠B=∠B ， ∴若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB. 又∵∠ACB=90o ，∴∠ADC ≠90o ，∠CDB ≠90o.这与作法CD ⊥AB 矛盾.所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴222c b a =+. 【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c.作边长是a+b 的正方形ABCD.把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+=22c ab +.∴22222c ab ab b a +=++,∴222c b a =+.。
勾股定理9种证明(有图)之欧阳学创编
勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形.它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ∴∠EGF = ∠BED ， ∵∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴∠BED + ∠GEF = 90°， ∴∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴222c b a =+.【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N. ∵∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴∠QBM = ∠ABC ，又∵∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L.∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ΔFAB ≌ΔGAD ，∵ΔFAB 的面积等于221a ，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB =CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a. ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++=①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812SS b --.② 把②代入①，得= 922S S b ++ = 22a b +.∴222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为 c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴∠TBH = ∠ABE. 又∵∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.∴ HT = AE = a.∴ GH = GT ―HT = b ―a.又∵∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴∠FQM = ∠CAR.又∵∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即64S S =.∵543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴222AC BC AB +=，即 222b a c +=， ∴222c b a =+.【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB∠ADC ≠∠ACB.在ΔCDB 和ΔACB 中，∵∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB. 又∵∠ACB = 90º，∴∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立. ∴222c b a =+.【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴22222c ab ab b a +=++, 222c b a =+。
八年级数学勾股定理的证明PPT教学课件
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab) ½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab
\
a2 + b2 = c2
c
a
b
出入相補
• 劉徽（生於公元三世紀） • 三國魏晉時代人。 • 魏景元四年（即 263 年）為
古籍《九章算術》作注釋。
• 在注作中，提出以「出入相 補」的பைடு நூலகம்理來證明「勾股定 理」。後人稱該圖為「青朱 入出圖」。
证明三
b2
a2 \ a2 + b2 = c2
幾何原本
• 歐幾里得（Euclid of Alexandria; 約 325 B.C. 約 265 B.C.）
• 歐幾里得的《幾何原本》 是用公理方法建立演繹 數學體系的最早典範。
• 「證明一」就是取材自 《幾何原本》第一卷的 第 47 命題。
無字證明
b
a
a+b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
证明一
\ a2 + b2 = c2
c2
弦圖
• 趙爽
• 東漢末至三國時代吳 國人
• 為《周髀算經》作注， 並著有《勾股圓方圖 說》。
美國總統的證明
• 加菲（James A. Garfield； 1831 1881）
• 1881 年成為美國第 20 任總統
• 1876 年提出有關證明
证明二
a
bc
《勾股定理》 完整版PPT课件
弦
勾
勾
股
股
证法三： 伽菲尔德证法:
a bc
a
c
1、整体看
b
2、分割看
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 D
bc c
C a
Aa
bD
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
练习
1.在RtABC中，AB=c，BC=a，AC=b，
B=90
(1)已知a=6,b=10,求c的长度（ B ）
A6
B8
C 10 D 12
(2)已知a=24,c=7,求b的长度（ D ）.
A 20
B 11 C 13
D 25
A
c
b
B
a
C
2.在Rt△ABC中, a=5,c=13,
则下列计算正确的是 （ B ）
2 、运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
拓展
在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出
水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐
及水面,如果知道红莲移动A
x2+22=(x+1)2
1
C
2
H
┓
?x
B
美丽的勾股树
（×）
（2）若a、b、c为Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2.
（×）
C不一定代表 直角三角形
的斜边哦
练习
4.求下列直角三角形中未知边的长: 5
勾股定理的证明(比较全的证明方法)课件
总统证明法
美国总统加菲尔德在1876年独 立发现了勾股定理的一种新的 证明方法，后来被称为“总统 证明法”。
总统证明法利用了代数和三角 恒等式来证明勾股定理，这种 方法与前两种几何证明方法有 所不同。
总统证明法不仅证明了勾股定 理，而且也展示了数学中代数 和三角学的紧密联系。
05
勾股定理的推广
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果三角形三边满足勾股定理， 则这个三角形是直角三角形。
证明方法
利用勾股定理和三角形的性质， 通过反证法证明。假设三角形不 是直角三角形，则其三边不满足 勾股定理，与已知条件矛盾。
勾股定理的推广形式
勾股定理的推广
对于任意多边形，如果其内角和为 180度，则其边长满足勾股定理。
对未来研究的展望
深入研究和探索
勾股定理的证明方法有很多种，但还有很多 值得探索和研究的地方。例如，如何将不同 的证明方法进行比较和整合，如何进一步简 化证明过程等。这些问题的研究和探索，有 助于推动数学教育的发展和进步。
与其他学科的交叉研究
勾股定理不仅在数学中有应用，在其他学科 如物理学、工程学、经济学等也有广泛的应 用。如何将勾股定理与其他学科进行交叉研 究，发挥其在解决实际问题中的作用，也是 未来研究的一个重要方向。
03
勾股定理的代数证明方法
哈里奥特证明法
哈里奥特证明法是一种基于无穷小差分的代数证明方法。它 通过将直角三角形转化为等腰直角三角形，利用无穷小差分 的性质，推导出勾股定理。
哈里奥特证明法不仅证明了勾股定理，还为微积分学的发展 奠定了基础。
欧拉证明法
勾股定理知识点总结PPT课件
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那
么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其 中一个叫做另一个的逆定理.
练习：
1.下列说法，正确的是（ D ） A.真命题的逆命题是真命题 B.原命题是假命题，它的逆命题也是假命题 C.定理一定有逆定理 D.命题一定有逆命题
练习：
1.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一 定是勾股数的是（ C ）
A.a+1,b+1,c+1
B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c
D.a-1,b-1,c-1
2.下列几组数：①1，2，3；②30，40，50；③ 3，4 ，1. 55
其中是勾股数的有_____②____（只填序号）
直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。 (10-x)2 - x2 = 62
2a,2b,2c D.
（2）验证c 与a +b 是否具有相等关系，若c ＝a +b ， 2 2 2 直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长为（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
3.若一个三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足
a2 6a 9 b 4 0 ，它的第三边长为5，则这个
三角形是___直__角____三角形（按角分类填写）
3. 原命题与逆命题
互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个
勾股定理的证明(比较全的证明方法)ppt课件
那么： c2 4 ab (b a)2 2
得： c2 =a2+ b2．
6
刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：
勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各
从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．
I
令正方形ABCD为朱方，正方
形BEFG为青方．在BG间取一点H，
E
使AH=BG，裁下△ADH，移至
D
C
F
△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形
A
BH G
DHFI．勾股定理由此得证．
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7
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广 泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法，最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这 篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 c “弦图”，其中每一个直角三角形称 为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 “弦实”，所以，如果以a、b、c分别 表示勾、股、弦之长，
朱实 中黄实 b (b-a)2 a
勾股定理的证明
32
42
52
1
勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人 们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨 和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法 3．刘徽的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法 5．其他证法
勾股定理的证明(比较全的证明方法)课件
欧几里得证明：逻辑严密，易于理解，但需要一定的数学基础
海伦证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
卡尔丹证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
费马证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
牛顿证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
欧拉证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
诺特证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
冯 ·诺 伊 曼 证 明 ： 简 洁 明 了 ， 易 于 理 解 ， 但 需 要 一 定 的 数 学 基 础
希尔伯特证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
罗素证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
哥德尔证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
弦图：由两个直角三角形组成的图形 证明过程：通过比较两个直角三角形的面积，得出勾股定理 应用：适用于解决勾股定理相关的问题 优点：直观易懂，易于理解
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折弦证明法的原理：通过将直角三角形的斜边和直角边分别折成两个直角三角形，从而证明 勾股定理。
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折弦证明法的步骤：首先，将直角三角形的斜边和直角边分别折成两个直角三角形；然后， 比较这两个直角三角形的斜边和直角边的长度，发现它们满足勾股定理。
未来展望：随着科技的发展，勾股定理的证明方法将更加多样化、智能化，为人类探索未知世 界提供更多可能。
汇报人：PPT
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折弦证明法的优点：直观易懂，易于理解。
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折弦证明法的局限性：只适用于直角三角形，对于其他类型的三角形不适用。
原理：将直角三角 形的两个直角边分 别延长，形成两个 全等三角形
步骤：将两个全等 三角形的斜边分别 延长，形成两个全 等矩形
勾股定理9种证明(有图)
勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P.过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点L.∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a ，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a.∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT ―HT = b ―a.又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ， 即 222c b a =+.【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC ∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB. 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+. 【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.。
专题勾股定理的十种证明方法 ppt课件
证明九
证明九
a2 + b2 = c2 c2
证明九
证明九
证明九
拼 图 游 戏
拼图游戏
无字证明
青出
青方
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出
⑤
④
b
c
③
a
①②
无字证明
青朱出入图（刘徽）
青出
青方
青 出
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
证明十
II I
III
注意：
面积 I :面积II :面积III = a2 : b2 : c2
• “太阳当空照，花儿对我笑，ຫໍສະໝຸດ 鸟说早早早……”11
美丽的勾股树
2002年，在北京举行的国际 数学家大会会标
早在公元3世纪，我国 数学家赵爽就用左边的图 形验证了“勾股定理”
思考:你能验证吗？
赵爽的“弦图”
C 想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
b (1)
a
c
c
(4)
证
明
(2)
(a-b)2 (3)
专题：勾股定理的十种证明方法
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2=c2
b2 a2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
证明三
c2
a2 b2
对比两个图形,你能直接观察验 证出勾股定理吗？
勾股定理---勾股定理的证明.ppt
17、1、1 勾股定理
228and235
勾股定理—中国人的定理 (毕达哥拉斯定理）
勾股定理的证明方法有400多种，既然这个定理如此受追 捧，我们也试着去证明勾股定理吧!
B
勾
a C
c
弦
A
RtABC中，C 90 ，
0
则a b c
2 2
2
b 股
我们古代将直角三角形中较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫做弦。
b
∟
a
c
1 1 1 (a + b)(b + a) = 2 c2 + 2( 2 2 1 1 1 2 2= a + ab + 2 b 2 c2 + ab 2 a2 + b2 = c2
ab )
b
∟
c
a
证 法 4：
毕达哥拉斯证法
a2
a2 c2
b2
a 2 + b 2 = c2
例题精讲
1已知：a 6, b 8, 求c; 2已知：a : b 3 : 4，c 15，求a、b 1 解： 在RtABC中，c 90 0 2 由a : b 3 : 4, 设a为3 x, b为4 x; 又 a 6, b 8 a 2 b 2 c 2 勾股定理 2 2 2 c 2 a 2 b 2 勾股定理 3 x 4 x 15
为了纪念毕达哥拉斯这个人，希腊就将这个图形发行了希腊邮票
赵爽的“弦图”
早在公元3世纪，我国数 学家赵爽就用左边的图形验证 了“勾股定理”。 在北京召开的2002年国际 数学家大会（TCM－2002）的 会标，其图案正是“弦图”， 它标志着中国古代的数学成就 . 思考:你能验证吗？
勾股定理9种证明(有图)之欧阳美创编
勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形.它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P.∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,∴∠EGF = ∠BED ， ∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90º.即 ∠CBD= 90º.又∵∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.设多边形GHCBE 的面积为S ，则ab S c 2122⨯+=, ∴222c b a =+.【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为 c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N. ∵∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴∠QBM = ∠ABC ，又∵∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点 L.∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ΔFAB ≌ΔGAD ， ∵ΔFAB 的面积等于221a ， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b . ∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴222b a c += ，即 222c b a =+.【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB =CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a. ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .K∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA .又∵∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）.用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++=① ∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=， ∴824321S ab b S S --=+= 812S S b --.②把②代入①，得= 922S S b ++ = 22a b +.∴222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为 c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴∠TBH = ∠ABE. 又∵∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT ―HT = b ―a.又∵∠GHF + ∠BHT = 90º， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，∴∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ，∴∠FQM = ∠CAR.又∵∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即64S S =.∵543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴222AC BC AB +=，即 222b a c +=， ∴222c b a =+. 【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB.在ΔCDB 和ΔACB 中，∵∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则∠CDB ≠∠ACB.又∵∠ACB = 90º，∴∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴222c b a =+.【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为 c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +. ∴22222c ab ab b a +=++,222c b a =+。
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b (1)
a
c
c
证
明
(2)
(a-b)2 (3)
一
(2) c
c
(3)
(a-b)2 = C2－4× 1 ab
2
a2+b2－2ab = c2－2ab
(4)
可得：a2 + b2 = c2
优选
6
b
证
明a
二
c
c b
a
a
c
b
(a+b)2 =
c2 4 1 ab 2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c
a 可得: a2 + b2 = c2
专题：勾股定理的十种证明方法
优选
1
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2=c2
b2
a2
优选
2
1
1
美丽的勾股树
优选
3
2002年，在北京举行的国际
数学家大会会标
优选
4
早在公元3世纪，我国 数学家赵爽就用左边的图 形验证了“勾股定理”
思考:你能验证吗？
赵爽的“弦图”
优选
5
C 想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
优选
16
证明八（欧几里得《原本》优选17源自证明八优选18
证明八
优选
19
证明八
优选
20
证明九 a2
b2
优选
21
证明九
优选
22
证明九
优选
23
证明九
优选
24
证明九
a2 + b2 = c2
c2
优选
25
证明九
优选
26
证明九
优选
27
证明九
拼
图
游
戏
优选
28
拼图游戏
优选
29
无字证明
青出
青方
优选
34
证明十
I II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
优选
35
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
优选
36
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
Garfield； 1831 1881）
• 1881 年成为美国第 20 任总统
• 1876 年提出有关证明
优选
14
证明七 “总统”证法
a
bc
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2×½ab
a2 + 2ab + b2 = c2 +2 ab
a
c
a2 + b2 = c2
b
优选
15
证明八（欧几里得《原本》
优选
37
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
优选
38
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III
因此，a2 + b2 = c2 。
优选
39
b
大正方形的面积该怎样表示?
优选
7
证明三
c2
优选
8
优选
9
优选
10
a2 b2
优选
11
对比两个图形,你能直接观察验 证出勾股定理吗？
a2
a2
c2 b2
a2 + b2 = c2
优选
12
证明六 印度婆什迦羅的 證明
c b a
c2 = b2 + a2
优选
13
美国总统的证明
• 加菲尔德 （James A.
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出 优选
30
⑤
④
b
c
③
a
①②
无字证明
优选
31
青朱出入图（刘徽）
青出
青方
青 出
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
优选
32
证明十
II I
III
注意：
面积 I :面积II :面积III = a2 : b2 : c2
优选
33
证明十
I II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2