根轨迹法校正
根轨迹法校正设计
1 根轨迹法校正设计如果设计指标是时域特征量，应采用时域校正方法，即将设计指标转换为对闭环主导极点位置的设计，常称为根轨迹法。
设计过程中，不必绘制根轨迹图。
根轨迹法同频率分析法一样也可以有串联超前校正、串联滞后校正和串联滞后-超前校正，因“超前”和“滞后”是频域中的概念，在根轨迹法中不使用。
基本概念： ⑴ 动态性能校正使开环增益满足设计要求。
例：)2)(5()(0++=s s s k s G ；111)(p s z s s G c ++=；222)(p s z s s G c ++=； ⑴ 动态性能校正 配置。
配置)(1s G c 的零极点应使需要的闭环极点在校正后的系统根轨迹上，同时还要满足“闭环主导极点”条件。
⑵ 增益校正 配置)(2s G c 零极点，使校正后的开环增益满足要求v c c s K s G s G s sG =→)()()(lim 0120。
说明：以根轨迹的相角条件，图解1z 和1p 的选取；图解2z 和2p 选取原系统的闭环极点位置基本不变，并使开环可以取较大的数值。
典型设计指标：开环增益K ，超调量σ，和调节时间s t 。
无论是典型设计指标还是其它形式的设计指标，都需要转换成满足指标要求的闭环主导极点位置。
设计步骤：1.1 根据动态性能指标，计算闭环主导极点1s 和2s ；1.2 按闭环主导极点条件，选取动态特性校正环节结构)(1s G c ；依据校正后系统特征多项式与期望特征多项式相等，计算出校正环节的参数；1.3 根据开环增益K ，计算增益校正环节)(2s G c 参数；为使根轨迹(起始段除外)形状基本不变，即闭环主导极点基本不变，又要有较高的开环增益，校正环节的零点和极点必须相互接近，且接近原点。
p s z s s G c --=)(2，需满足0)()()(2≈-∠--∠=∠p s z s s G i i i c 和α==∞→pz s G c s )(lim 2； 零点和极点选取方法，1.0)Re(/1<s z ，α/z p =。
控制系统校正的根轨迹方法
控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。
根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。
应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。
在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。
等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。
在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。
等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。
根轨迹超前校正计算步骤如下。
(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。
(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。
为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。
(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：11++=sTp sTz KcGc (2)例题：已知系统开环传递函数： 试设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。
解： 由6.4)(*)(0*lim 0==→s Gc s G s Kv s 得kc=2计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1])); G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold onstep(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);0 2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)G =impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的');为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kcs G S Gc 111)(0)(0011=++=-，式中，M 0是校正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。
根轨迹校正法
在根轨迹校正法中，当系统的动态性能不足时，通常选择什么形式的串联校正网络？网络参数取值与校正效果之间有什么关系？工程应用时应该注意什么问题？
（1）可以采用的校正装置的形式为
单零点校正：)()(c c c z s k s G +=，零点c z -在s 平面的负实轴上；
零极点校正：)()()
()(c c c c c c z p p s z s K s G >++=，零极点均在负实轴上，零点比极点靠近原
点（即：超前校正）。
（2）零点越靠近原点、极点越远离原点校正作用越强。
（3）在工程应用时，应考虑校正装置的可实施性，零极点分布最好在左半平面的中部，因为零点太靠近原点，微分作用太强，可能使执行机构进入饱和状态而达不到预期的效果。
在根轨迹校正法中，当系统的静态性能不足时，通常选择什么形式的串联校正网络？网络参数取值与校正效果之间有什么关系？工程应用时应该注意什么问题？ （1）校正装置的形式为)()
()()(c c c c c c p z p s z s K s G >++=，即滞后校正装置。
零极点均在负实轴上，零极点非常靠近虚轴，且与受控对象的其他零极点相比可以构成一对偶极子。
由于增加一对偶极子基本不改变系统的动态性能，但可以增大系统的开环增益，从而达到减小系统静态误差的目的。
（2）零极点之比c c p z 的取值越大，系统开环增益增加幅度越大，因为校正后的开环增益是校正前开环增益的c c p z 倍。
（3）在工程实施时，考虑到系统的稳定性，极点不能太靠近原点。
根轨迹法校正
西安石油大学课程设计学院：电子工程学院专业：自动化班级：自动化0901学号：题目根轨迹法校正学生指导老师霍爱清二零一零年十二月目录1任务书 (3)2课程设计的题目 (4)3设计思想 (4)4编制的程序及仿真图 (5)(1)求校正装置的放大系数Kc (5)(2)检验原系统的阶跃响应是否满足要求 (5)(3)检验校正装置是否满足要求 (7)5设计结论 (8)6设计总结 (9)7参考文献 (9)1.《自动控制理论I 》课程设计任务书题目根轨迹法校正学生姓名学号专业班级自动化0901设计内容与要求设计内容：4. 已知单位负反馈系统被控对象的开环传递函数为：)12(4)(0+=sssG设计校正环节。
要求使其校正后系统单位斜坡响应稳态误差025.0vess≤；阶跃响应的超调量%15≤σ；相角稳定裕度︒≥45γ；阶跃响应的调节时间sts20≤。
设计要求：（1）编程绘制原系统节约响应曲线，并计算出原系统的动态性能指标；（2）利用SISOTOOL设计校正方案（得到相应的控制其参数）；（3）绘制校正后系统阶跃响应曲线，并计算出校正后系统的动态性能指标；（4）整理设计结果，提交设计报告。
起止时间2011 年12 月19 日至2010 年12 月30 日指导教师签名年月日系（教研室）主任签名年月日学生签名年月日2.课程设计的题目:已知单位负反馈系统被控对象的开环传递函数为：)12(4)(0+=s s s G 设计校正环节。
要求使其校正后系统单位斜坡响应稳态误差0025.0v e ss ≤；阶跃响应的超调量%15≤σ；相角稳定裕度︒≥45γ；阶跃响应的调节时间s t s 20≤。
3设计思想:当根轨迹的性能指标给定为时域指标（如超调量、阻尼系数、自然频率等）时，用根轨迹法对系统进行校正比较方便。
这是因为系统的动态性能取决于它的闭环零、极点在S 平面上的分布。
因此，根轨迹法校正的特点就是：如何选择控制的零﹑极点，去促使系统的根轨迹朝有利于提高系统性能的方向变化，从而满足设计要求。
根轨迹法
根軌跡法根軌跡法概述在時域分析中已經看到，控制系統的性能取決於系統的閉環傳遞函數，因此，可以根據系統閉環傳遞函數的零、極點研究控制系統性能。
但對於高階系統，採用解析法求取系統的閉環特征方程根（閉環極點）通常是比較困難的，且當系統某一參數（如開環增益）發生變化時，又需要重新計算，這就給系統分析帶來很大的不便。
1948年，伊万思根据反馈系统中开、死循环传递函数间的内在联系，提出了求解死循环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。
因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。
根轨迹法的基本概念根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在S平面上移动的轨迹。
根轨迹增益K * 是首1形式开环传递函数对应的系数。
在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。
控制系统如上图所示。
其开环传递函数为:根轨迹增益。
闭环传递函数为:闭环特征方程为:特征根为：当系统参数K * （或K）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见下表：利用计算结果在S平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K * （或K）从零变化到无穷大时闭环极点在S平面上移动的轨迹，即根轨迹，如下图所示。
图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K * （或K）增大时两条根轨迹移动的方向。
根轨迹与系统性能依据根轨迹图（见系统根轨迹图），就能分析系统性能随参数（如K * ）变化的规律。
1．稳定性开环增益从零变到无穷大时，如系统根轨迹图所示的根轨迹全部落在左半s平面，因此，当K>0时，如图控制系统根所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则在相应K值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。
2．稳态性能由系统根轨迹图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就等于静态误差系数K v。
当r(t)=1(t)时,e ss = 0；当r(t)=t时,3．动态性能由系统根轨迹图可见，当0 <K< 0.5时，闭环特征根为实根，系统呈现过阻尼状态，阶跃响应为单调上升过程；当K=0.5时，闭环特征根为二重实根，系统呈现临界阻尼状态，阶跃响应仍为单调过程，但响应速度较0 <K< 0.5时为快；当K>0.5时，闭环特征根为一对共轭复根，系统呈现欠阻尼状态，阶跃响应为振荡衰减过程，且随K增加，阻尼比减小，超调量增大，但t s基本不变。
基于根轨迹法的串联校正
基于根轨迹法的串联校正基于根轨迹法的串联校正注意：1）⼀般了解根轨迹校正⽅法。
若指标为时域指标采⽤；⽅法简单，容易理解；虽然计算均为代数计算，但是太繁杂，⼀般不采⽤。
2）重点掌握频率法的串联校正。
若指标为频域指标采⽤。
例5 已知待校正系统的单位反馈系统的开环传递函数为0()(0.51)K G s s s =+ 试设计串联校正环节()c G s ，使得校正后系统1) 静态速度误差系数150v K s -≥；2) 超调量%25%σ≤；3) 调节时间2s t s ≤。
解：1) 求取主导极点位置由%e 100%20%σ=≤，得0.4ζ≥，这⾥取0.5ζ=。
取0.02?=，由42s n t ζω=≤，得4n ω≥，这⾥取4n ω=。
则闭环主导极点1,22n s j j ζωω=-±=-±2）将系统传递函数化成零极点形式：02()(0.51)(2)K K G s s s s s ==++011(0)(2)(20)(22)30(21),0,1,2s s j j l l π-∠--∠+=-∠-+-∠-+=-≠+=±± 不满⾜则进⾏动态校正。
3）动态校正——相当于频率法中超前校正-----------------------------------------------------以下是讨论--------------------------------------- -设校正装置111()()c cc c c s z G s k s p -=-，则此时'1112()()(2)()c c c Kk s z G s s s s p -=+-。
注意：校正前系统阶数为2，现在系统阶数为3。
因此，会出现两种情况：A: 校正后系统的阶数不变。
——加⼊的校正装置后系统的⼀个极点会与⼀个零点相互抵消。
这⾥令12c s z s -=+（为什么不11c c s z s p -=-，那就⽩加校正装置了）则12c z =-，此时，'112()()c c Kk G s s s p =-阶数不变。
第23讲根轨迹法串联校正
L(ω)
认为 0.1c1 1 0.01c1 1 50
GG c
G
在穿越频率处 ，有
20 0
Magnitude (dB)
100 1 c1 (0.1 c1 )
-20
Gc
-50
a) 0
-45 φ(ω)
Gc
-90
G
Phase (deg)
解得 c1 31.6
-135
GG c
-180
校正前的相位裕度为
-225 -270
1)
采用串联滞后校正，使校正后的 k v ≥100，≥45
解: 选择的有源滞后网络应具有如下形式的传递函数
G
c
(s)
K c(T2s 1) (T1s 1)
K c(T2s 1) (hT2s 1)
h T1 2 1 T2 1
取 K c 5 ，则提高增益后的开环传递函数为
G(s)
K
cG
1(s)
s(0.1s
99.5
校正后系统的相位裕度为
180 arctan( 46.3) 90 arctan(0.1 46.3) arctan(46.3) 52.2
21.6
99.5
满足要求。
自动控制原理 5
第六章 自动控制系统的校正
二、串联滞后校正
例6－2
已知开环传递函数为
G1(s)
s(0.1s
20 1)(0.01s
a)
b b)
自动控制原理 2
第六章 自动控制系统的校正
例6－1 已知某控制系统的固有开环传递函数为
G
1(s)
20 s(0.1s
1)
要求校正后满足，k v ≥100 ≥50 试确定校正网络的传递 函数。
三阶系统的分析与校正
三阶系统的分析与校正引言：在控制系统中，三阶系统是一种常见且重要的系统。
它具有更高的阶数，因此对于控制系统的性能和稳定性有着更高的要求。
因此，对于三阶系统的分析和校正具有一定的复杂性。
本文将围绕三阶系统的分析和校正展开讨论，并介绍常见的校正方法。
一、三阶系统的基本特点和模型表示三阶系统是一个具有三个自由度的系统，可以用如下的传递函数表示：G(s)=K/(s^3+a*s^2+b*s+c)其中，K为传递函数的增益，a、b、c分别为系统的阻尼、震荡频率和系统自然频率。
二、三阶系统的稳定性分析稳定性是控制系统设计和校正的基本要求。
对于三阶系统的稳定性分析可以采用Bode图和Nyquist图等方法。
1. Bode图分析通过绘制传递函数的幅频响应和相频响应曲线，可以得到系统的幅度余弦曲线和相位余弦曲线。
根据Bode图的特点，可以确定系统的稳定性。
2. Nyquist图分析Nyquist图是对传递函数的极坐标表示。
通过绘制传递函数的Nyquist图，可以分析系统的稳定性。
以上两种方法都可以用来评估系统的稳定性。
如果系统的Bode图和Nyquist图图像均在单位圆内，则系统是稳定的。
三、三阶系统的校正方法校正是为了使控制系统具有所需的性能指标，通过调整系统中的参数和控制器等手段实现。
1.PID控制器的设计PID控制器是最常用的控制器之一，具有简单、稳定、易于实现等特点。
PID控制器由比例控制、积分控制和微分控制三部分组成。
通过调整PID控制器中的三个参数，可以实现对三阶系统的控制。
2.根轨迹法根轨迹法是一种经典的校正方法，通过分析系统的根轨迹来设计合适的校正器。
根轨迹是描述系统根位置随参数变化而变化的曲线。
通过调整参数，可以使根轨迹满足设计要求，进而实现对系统的校正。
3.频率响应方法频率响应方法基于传递函数的幅频响应和相频响应特性进行校正。
根据系统的特性，通过调整增益和相位等参数，可以实现对系统的校正。
以上是常见的三阶系统的校正方法，可以根据实际需求选择合适的方法进行校正。
自动控制原理6 第五节根轨迹法设计校正网络
-6
5
4.画出校正以后系统根轨迹，求出 A1 点根轨迹增益
Kr
A1 A1 2 A1 9.6 A1 4
50.4
速度误差系数
Kv
K
Kr
2
4 9.6
10.51(
1
s
)
校正系统的开环传函为：
KcGc
(s)G(s)
50.4(s 4) s(s 2)(s 9.6)
6
用根轨迹法设计相位滞后校正网路
b
、b 0.2
；
（5）选 Zc和
Pc
：
1 bT
2.5，及
1 T
0.5
，zC
Pc
5
1 b
s+2.5 1 0.4s
Gc (s) 0.2 s+0.5 1 2s
校正后系统的开环传函
Gc G
2500k 0.2 (s 2.5) s(s 25)(s 0.5)
13
（6）画出校正后系统的根迹，除原点外，形状与原系统相似；
用根轨迹法设计相位超前校正网络 当品质指标以时域指标提出时，用根轨迹设计系统较方便。当
期望闭环主导极点位于未校正系统根轨迹的左边时，就可使用超前 校正。
在不考虑稳态指标时设计步骤如下：
1.根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A的位置；
2.画出未校正系统的根轨迹，求出使根轨迹通过A点所需要的补偿
（8）校验指标；
（9）求出网络参数 R,C ；
10
例：有一单位反馈控制系统的开环传函为 G(s) 2500k ，要求满
s(s 25)
足下列性能指标；
（1）当输入是一个1rad s的单位速度函数时，输出的速度函数
与输入速度函数的最终稳态误差不大于0.01rad； （2）单位阶跃响应的最大超调量 p 12% ，试设计一个相位滞
根轨迹法校正课程设计
根轨迹法校正 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解根轨迹法的概念，掌握根轨迹的基本绘制方法。
2. 学生能够运用根轨迹法分析控制系统的稳定性，并识别系统的性能指标。
3. 学生能够掌握通过根轨迹法进行控制系统校正的基本原理和步骤。
技能目标：1. 学生能够独立绘制根轨迹图，并分析控制系统的稳定性。
2. 学生能够运用根轨迹法设计简单的控制系统校正方案，提高系统性能。
3. 学生能够通过实际案例，运用所学知识解决控制系统中的实际问题。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对自动控制系统的兴趣，激发他们的探究欲望。
2. 培养学生严谨的科学态度，使他们认识到理论知识在实际工程中的重要性。
3. 培养学生的团队协作意识，使他们能够在小组合作中发挥自己的专长，共同解决问题。
课程性质：本课程为自动控制系统相关内容的深化学习，旨在帮助学生掌握根轨迹法校正的基本原理和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
学生特点：学生已具备一定的自动控制理论知识，具有一定的数学基础和动手能力。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，通过案例分析和实际操作，使学生能够将所学知识应用于控制系统设计和分析中。
同时，注重培养学生的团队合作能力和创新意识。
在教学过程中，关注学生的学习进度，及时调整教学方法和节奏，确保课程目标的实现。
二、教学内容1. 根轨迹基本概念：根轨迹的定义、意义及其在控制系统中的应用。
- 教材章节：第三章第二节- 内容：根轨迹图的绘制方法、关键点和关键轨迹的特点。
2. 控制系统稳定性分析：利用根轨迹分析系统稳定性，判断系统性能。
- 教材章节：第三章第三节- 内容：稳定性的判定条件、稳定性分析步骤。
3. 根轨迹校正原理：介绍根轨迹法校正控制系统的基础知识。
- 教材章节：第三章第四节- 内容：校正的基本原理、常用校正方法及效果分析。
4. 校正方案设计：结合实际案例，设计控制系统校正方案。
- 教材章节：第三章第五节- 内容：校正方案的设计步骤、参数计算方法、系统性能优化。
高国燊《自动控制原理》(第4版)(章节题库 自动控制系统的校正)
第6章 自动控制系统的校正1．在根轨迹校正法中，当系统的动态性能不足时，通常选择什么形式的串联校正网络？网络参数取值与校正效果之间有什么关系？解：（1）可以采用的校正装置的形式如下：单零点校正：，零点－z c在s平面的负实轴上；零极点校正：，零极点均在负实轴上，零点比极点靠近原点（即：超前校正）。
（2）零点越靠近原点、极点越远离原点校正作用越强。
2．试回答下列问题，着重从物理概念说明。
（1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点？在实现校正规律时，它们的作用是否相同？（2）如果Ⅰ系统经过校正之后希望成为Ⅱ型系统，应该采用哪种校正规律才能保证系统的稳定性？（3）串联超前校正为什么可以改善系统的动态性能？（4）从抑制噪声的角度考虑，最好采用哪种校正形式？解：（1）无源校正装置的输出信号的幅值总是小于输入信号的幅值。
即传递过程只能衰减不能放大。
而有源校正装置则可以根据用户要求放大或缩小。
在实现校正规律时，它们的作用是相同的。
（2）为保证加入积分环节后特征方程不出现漏项，一般选择校正装置的形式为（3）适当选取校正装置的参数，可以有效改变开环系统中频段的特性：提高系统的稳定裕量，以减小超调；提高穿越频率，以加快调节速度。
（4）选择滞后校正装置，可以减小系统高频段的幅值，从而削弱高频干扰信号对系统的影响。
3．单位负反馈最小相位系统开环相频特性表达式为（1）求相角裕度为30°时系统的开环传递函数；（2）在不改变截止频率的前提下，试选取参数与T，使系统在加入串联校正环节后，系统的相角裕度提高到60°。
解：（1）系统开环传递函数为整理得解得（2）加入串联校正环节后系统开环传递函数4．设有单位反馈的火炮指挥仪伺服系统，其开环传递函数为若要求系统最大输出速度为12°/s，输出位置的容许误差小于2°，试求：（1）确定满足上述指标的最小K值，计算该K值下系统的相角裕度和幅值裕度；（2）在前向通路中串接超前校正网络计算校正后系统的相角裕度和幅值裕度，说明超前校正对系统动态性能的影响。
根轨迹校正实验报告
根轨迹校正实验报告一、实验目的本实验旨在通过观察系统的根轨迹，对系统进行校正，以达到控制系统的稳定性、快速性和精确性要求。
二、实验原理1. 根轨迹根轨迹是指在极坐标系下，由系统特征方程的根在复平面内的运动轨迹。
2. 根轨迹的性质- 当系统的开环传递函数中，理论上根轨迹的起点是传递函数零点的位置。
- 根轨迹对称于实轴。
- 根轨迹总是从系统的零点出发，逐渐趋向于系统的极点。
3. 根轨迹设计的基本要求- 所有根轨迹应该位于左半平面。
- 根轨迹的密度越大，系统的稳定性越好。
- 根轨迹与虚轴的交点个数为系统开环传递函数的极点数与零点数之差。
- 根轨迹经过的区域越小，系统的快速性越好。
三、实验步骤本次实验使用了MATLAB软件进行根轨迹校正实验，具体步骤如下：1. 给定开环控制系统的传递函数，并画出其对应的零极点分布图。
通过观察零极点的位置，确定系统的初始根轨迹起点。
2. 使用MATLAB的rlocus函数，绘制出开环根轨迹。
通过该函数，我们可以根据系统传递函数的特点，得到根轨迹的形状。
3. 根据根轨迹的形状和性质，校正系统。
可以通过调整控制器的参数或改变系统的结构等方式，来使根轨迹满足系统的要求。
4. 经过多次调整和校正，得到符合要求的根轨迹。
通过观察根轨迹的形状和分布，判断系统是否稳定、快速和准确。
四、实验结果与分析经过根轨迹校正，我们得到了一条符合要求的根轨迹。
通过分析根轨迹的形状和性质，我们可以得出以下结论：1. 系统的稳定性由于根轨迹位于左半平面，且大部分根轨迹较为密集，因此系统的稳定性较好。
没有根轨迹位于右半平面，避免了系统的不稳定性。
2. 系统的快速性根轨迹的起点与旁边的极点较近，根轨迹与虚轴的交点附近也没有极点，因此根轨迹经过的区域较小。
这意味着系统的快速性较好，能够快速响应输入变化。
3. 系统的准确性根轨迹与实轴的交点个数与系统的极点数与零点数之差相符，说明系统的准确性较好。
这样的根轨迹设计使得系统能够准确响应输入信号，实现精确控制。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
根轨迹法的串联迟后校正.ppt
由于 pc 和 zc十分接近，
即 A zc 与 A pc 十分接近，
所以有：点 A 的幅角条件仍然近似成立
m
n
A z j A pi
j 1
i 1
A zc A pc 2l 1
6
所以，点 A 仍然满足根轨迹的幅角条件，
或者只有微小的变动。 结论 在原系统中加入串联迟后校正的一对开环偶极子
12
3 根据系统的设计要求，求出满足稳态误差
指标的开环放大倍数 K，即校正以后的开环放大
倍数 K A 。
4 为了使 A 点的开环放大倍数由 KA增大到 KA ，
串联迟后校正的参数应满足
T KA
KA
13
此外，在选择 T 和 时，要做到
1
zc
和
pc
1 T
充分接近，并靠近原点。
居左
居右 T , 1 1 0
超前校正环节的传递函数并入到 G0 (s) 中， 然后再
进行串联迟后校正。
11
串联迟后校正的具体设计步骤 已作串联超前校正！
1 用原系统的开环传递函数 G0 (s) 作出原系统的
根轨迹， 确认调整开环放大倍数可以使原系统的 动态性能指标满足设计要求。
2 在原系统的根轨迹上确定闭环主导极点的位置
A ，并求出点 A 对应的开环放大倍数 KA 。
600 p1
-10
-5
0
Re
G0 (s) 的根轨迹
29
串联迟后校正后的根轨迹
Root Locus 0.5
0.4
0.3
0.2
Imaginary Axis
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
根轨迹法和频率响应法校正
根轨迹法和频率响应法校正根轨迹法和频率响应法是两种常用的控制系统校正方法。
这篇文章将围绕这两种方法进行阐述。
首先，我们来介绍根轨迹法。
根轨迹法是一种基于根轨迹的控制系统校正方法。
它通过绘制开环传递函数的根轨迹图来设计合适的控制器。
开环传递函数是未加上控制器后的传递函数，根轨迹图则反映了系统闭环极点的变化情况。
根据根轨迹图，我们可以确定控制器的增益和相位来实现系统的稳定和响应速度的要求。
接下来，让我们介绍频率响应法。
频率响应法是一种基于系统的频率响应特性来设计控制器的方法。
它通常使用幅频特性曲线和相频特性曲线来描述系统的频率响应特性。
在幅频特性曲线上，我们可以看到系统对不同频率输入的响应幅值，从而可以根据需求来设计合适的增益。
而在相频特性曲线上，我们可以看到系统对不同频率输入的相位差，从而可以根据需求来设计合适的相位。
以上是根轨迹法和频率响应法的简要介绍。
接下来，让我们来分析它们的优缺点和适用场景。
首先，根轨迹法适用于线性系统和单输入单输出变量的情况。
这种方法可以提供极点位置信息，而且具有直观性和易于理解的特点。
缺点是需要在整个频率范围内进行分析并找到关键频率点，需要较高的数学功底和计算能力。
其次，频率响应法适用于多变量系统和非线性系统的情况。
这种方法可以提供系统的幅度和相位特性，而且可以在局部频率范围内进行分析。
缺点是对系统的稳态误差和非线性特性无法进行考虑，需要对系统进行模型化。
在实际应用中，我们可以根据系统的特性来选择合适的方法。
如果系统较为简单且线性，可以选择根轨迹法；如果系统较为复杂或存在非线性特性，可以选择频率响应法。
当然，也可以将两种方法结合使用，以获取更好的校正效果。
总之，根轨迹法和频率响应法是两种常用的控制系统校正方法。
了解它们的优缺点和适用场景有助于我们在实际应用中做出合适的决策。
无源串联校正设计总结
无源串联校正设计总结使用相位超前网络进行校正相位超前网络的电路实现：2111212112()1()1o i E s R R C s R R E s R R C sR R +=+++ 取 122R R a R +=111j aT a j Tωω+=+ (频域校正使用)11s aT s T+=+(根轨迹校正使用)频域校正方法： 无源超前网络的频率特性为：111j aT a j Tωω+=+a. 首先调节被控对象的增益，使其满足稳态误差系数的要求;b. 画出改变增益后，系统的Bode 图。
求解以下频域性能指标：1111,,,c g G M ωγωc. 首先，取:'01m φγγ=-由式：'''1sin()1sin()m m a φφ+=-求解a 值，再由：()'2200c L ω+=C1解出'2c ω，然后由下式：'0112(1.2~2)()()m c c φγγφωφω⎡⎤=-+-⎣⎦确定最终的相位超前量。
d. 由：1sin()1sin()m m a φφ+=-确定a 的大小，再由：2()200c L ω+=确定2c ω的大小，再由：1aT=21c T =确定aT 和T 的大小。
e. 使用无源网络进行频域校正时，会导致增益下降a 倍，因此还需要在网络后级串入一个增益为a 的放大器，进行增益补偿。
f. 重新计算四项频域指标，看是否满足性能指标要求。
计算技巧：a. 求解a 时，使用式2(1c M ω=绕过对数运算，直接进行求解。
b. 第三步中的试探性计算，可以给出由于增益增加，导致增益剪切频率右移时，应该加入的相角补偿。
根轨迹校正方法 无源超前网络的零极点形式为：11s aT s T+=+罗斯-沃伦方法是一种通过直接配置超前网络的零极点，以保持开环增益不变的暂态特性校正方法。
其设计步骤如下：a. 首先计算控制系统的开环增益，使其满足稳态误差系数的要求，记录K ；b. 由给定的时域性能指标，计算校正后系统的主导极点1A 和2A ；c. 由开环增益不变的约束条件，有：1()i c i r ri ciz z z B K A K K A p p p ∏∏==∏∏即：1()c r r c z B K A K A p =i r ip K Kz ∏=∏1()c r cr z K B A p K A =其中：111()()r p K A G A =11,c c B A p A A z =+=+d. 由几何关系，有：cos cot sin c cz B A p φλφ=-其中φ为超前网络提供的相位超前角，满足：1()(21)p G A k φπ+∠=+由上式可以解出：11cot cot ()sin rr K K A λφφ=-e. 由：sin()sin()c nz λφωλφθ-=-+sin()sin()c np λωλθ=+即可完成相位超前网络的零极点配置。
串联超前校正参数确定
即
K = 20
则校正前系统的性能指标为：
30.60 h12dB
可见系统不稳定，画出未校正系统的bode图。
整理课件
25
L( dB)
60 40 20
0
-20lgb
-20dB/dec
1=1 /T
c
-20dB/dec
2=1 /bT
-40dB/dec
c
-60dB/dec
0
-90o -180o
整理课件
()
需要补偿的超前角为：
c ( 1 1 6 .7 0 8 7 .3 0 4 4 0 ) 1 8 0 0 6 8 0
整理课件
13
(2)画出未校正系统的根轨迹图
s1
pc
zc
s2 校正后的系统开环传递函数为：
G 0(s)G c(s)=s(s1K 4)*(s5)((ss p zcc))
整理课件
其中： M = |s 1 ||s 1 1 4 ||s 1 5 | 1 2 0 3
综上可求得： 3 5 0
| zc | 5.82
整理课件
| pc | 40.5
16
(3)画出校正后系统的根轨迹图
校正后的系统开环传递函数为：
6.96K* (s5.82) G 0(s)G c(s)=s(s14)(s5)(s40.5)
(s12)900
得到： (s 1 整 理z 课c) 件 (s 1 p c) 3 0 0
10
为了使zc/pc最大，可按下述方法制图： 从s1点作平行于实轴的射线 s1A，然后作角As10的角平 分线s1B，最后作s1 pc和s1 zc，它们和s1B的夹角为/2。
得到： zc 2.9 pc 5.9
根轨迹校正法的原理
根轨迹校正法的原理
根轨迹校正法是一种用于控制系统稳定性分析和设计的方法。
其基本原理是在复平面中绘制系统的根轨迹，并通过调整反馈增益或者其他参数，使得根轨迹能够满足所需的稳定性要求。
具体来说，根轨迹可以通过以下步骤进行绘制：
1. 将系统的传递函数表示为一个分子多项式和一个分母多项式的比值形式。
2. 将分母多项式因式分解，得到系统的极点位置。
3. 在复平面上标出所有极点的位置，并将它们连成一条曲线，这就是系统的初始根轨迹。
4. 根据反馈方式不同，选择相应的根轨迹变换公式进行计算，得到经过反馈后的新根轨迹。
5. 根据所需稳定性要求，在新根轨迹上选择合适的点作为闭环系统极点位置，并计算对应的反馈增益或参数值。
6. 重复以上步骤，直至满足所有稳定性要求为止。
通过这种方法，可以有效地设计出符合要求的控制系统，并且对于已有系统也可以进行优化和改进。
同时，在实际应用中，还可以结合其他控制方法进行综合设计，以达到更好的控制效果。
总之，根轨迹校正法是一种简单而有效的控制系统设计方法，其原理基于对系统根轨迹的分析和调整，能够满足不同稳定性要求，并在工程实践中得到广泛应用。
自动控制系统校正方法
自动控制系统校正方法
下面将介绍几种常见的自动控制系统校正方法：
1.基于试探法的校正方法：
这种方法通过对控制系统进行试探性的扰动，观察系统的响应来确定
调整参数的大小和方向。
常见的方法有阶跃响应法和斜坡响应法。
阶跃响
应法通过输入一个阶跃信号，观察系统的输出响应，调整参数使输出尽快
收敛到期望值。
斜坡响应法则是通过输入一个斜坡信号，观察系统的输出
响应的斜率，根据斜率的大小和方向调整参数。
2.基于频域分析的校正方法：
这种方法使用频域分析工具来分析系统的幅频特性，从而得到系统的
频率响应函数，进而调整参数使得系统的频率响应函数与期望值尽量接近。
其中最常见的方法是根轨迹法和频率响应曲线法。
根轨迹法通过画出系统
的根轨迹图来分析系统的稳定性和性能，进而调整参数。
频率响应曲线法
通过绘制系统的幅频特性曲线，观察曲线的形状、幅值和相位信息，从而
调整参数。
3.基于模型预测的校正方法：
这种方法通过建立系统的数学模型来进行系统的校正。
常见的方法有
最小二乘法和极大似然法。
最小二乘法通过最小化实际输出与期望输出之
间的平方误差来调整参数。
极大似然法则是通过最大化实际输出的似然函
数来调整参数，从而使系统的输出尽可能接近期望输出。
需要注意的是，不同的自动控制系统校正方法适用于不同的系统和控
制目标。
在进行校正时，需要根据实际情况选择合适的方法，并根据实际
测试结果进行调整和优化。
此外，校正过程中还需考虑系统的非线性特性、外界干扰和噪声等因素的影响，以实现系统的更好性能。
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西安石油大学课程设计
学院：电子工程学院
专业：自动化
班级：自动化0901
学号：
题目根轨迹法校正
学生
指导老师霍爱清
二零一零年十二月
目录
1任务书 (3)
2课程设计的题目 (4)
3设计思想 (4)
4编制的程序及仿真图 (5)
(1)求校正装置的放大系数Kc (5)
(2)检验原系统的阶跃响应是否满足要求 (5)
(3)检验校正装置是否满足要求 (7)
5设计结论 (8)
6设计总结 (9)
7参考文献 (9)
1.《自动控制理论I 》课程设计任务书
题目根轨迹法校正
学生姓名学号专业班级自动化0901
设计内容与要求设计内容：
4. 已知单位负反馈系统被控对象的开环传递函数为：
)1
2(
4
)
(
0+
=
s
s
s
G
设计校正环节。
要求使其校正后系统单位斜坡响应稳态误差
025
.0v
e
ss
≤；阶跃响应的超调量%
15
≤
σ；相角稳定裕度︒
≥45
γ；阶跃响应的调节时间s
t
s
20
≤。
设计要求：
（1）编程绘制原系统节约响应曲线，并计算出原系统的动态性能指标；
（2）利用SISOTOOL设计校正方案（得到相应的控制其参数）；
（3）绘制校正后系统阶跃响应曲线，并计算出校正后系统的动态性能指标；
（4）整理设计结果，提交设计报告。
起止时间2011 年12 月19 日至2010 年12 月30 日指导教师签名年月日
系（教研室）主任签
名
年月日学生签名年月日
2.课程设计的题目:
已知单位负反馈系统被控对象的开环传递函数为：
)
12(4)(0+=s s s G 设计校正环节。
要求使其校正后系统单位斜坡响应稳态误差0025.0v e ss ≤；阶跃响应的超调量%15≤σ；相角稳定裕度︒≥45γ；阶跃响应的调节时间s t s 20≤。
3设计思想:
当根轨迹的性能指标给定为时域指标（如超调量、阻尼系数、自然频率等）时，用根轨迹法对系统进行校正比较方便。
这是因为系统的动态性能取决于它的闭环零、极点在S 平面上的分布。
因此，根轨迹法校正的特点就是：如何选择控制的零﹑极点，去促使系统的根轨迹朝有利于提高系统性能的方向变化，从而满足设计要求。
二阶系统的性能指标和参数之间具有明确的解析式，而高阶系统没有这一点，只能通过寻找对系统动态性能起决定作用的主导极点，从而近似二阶系统，在留有余量的情况下，作为设计依据。
因此，可以把讨论对系统性能指标的要求转化为对系统期望主导极点在S 平面上的分布要求。
所以，根轨迹校正法就是迫使被校正系统的根轨迹通过主导极点而达到校正的目的。
4编制的程序及仿真图:
(1)求校正装置的放大系数Kc 。
根据自动控制理论，对Ⅰ型系统有K=Kv=ss
o e r = 1/0.025 =40rad/s
校正装置的放大系数为Kc= K/ Ko = 40/4 =10rad/s
（2）检验原系统的阶跃响应是否满足要求。
用以下程序绘制绘制未校正的Bode 图与单位阶跃响应曲线： >> %MATLAB PROGRAML8.m
K=40;
n1=1;
d1=conv([1 0],[2 1]); %分母用conv 表示卷积s1=tf(K*n1,d1); %转换成传递函数 sisotool(s1) %on 调用SISOTOOL 根轨迹设计
图1.未校正系统的根轨迹及Bode 图
图2未校正系统的阶跃响应图
由图可得调节时间 3.91s；
上升时间0.125s；
超调量70.1%；
相角裕量12.8deg。
所以不符合题目要求。
图3校正后的根轨迹及Bode 图
则可得相应的控制参数为:C(s)=0.0166
)
6.11()78.01(s s ++
图4校正后的阶跃响应曲线图
由上图可得相角裕量为57.7deg
调节时间为8.47s
超调量11.2%
以上条件均满足题目要求.
5设计结论
通过应用根轨迹法案校正装置，使系统满足题目的性能指标的要求，首先要根据给定的动态时域性能指标，确定期望的闭环主导极点的区域位置，若是二阶系统可以直接求出极点，高阶可以求出主导极点，绘制未校正系统的根轨迹，若期望主导极点不在此根轨迹上，而且可以看出此根轨迹不能提供满意的动态性能，说明只能靠改变增益来满足系统的性能指标，必须使用校正装置来改造闭环系统的根轨
迹，使其通过主导极点，用SISOTOOL，很方便满足条件，且很快可以求出校正装置传递函数，若校正后的根轨迹已经通过期望的闭环主导极点，则应该检验相应的闭环比例系数是否满足要求，若不满足，可以在原点附近增加偶极子的方法来提高开环比例系数，同时保持根轨迹通过期望的主导极点。
6设计总结
通过利用《自动控制理论》课程设计这次机会，我们基本上掌握了MATLAB编程和仿真的应用方法，并加深了对自动控制知识的理解。
在做这次设计同时，我感受到了MATLAB的先进功能，它集成许多工具个仿真功能，具有很强的数值计算能力，使烦躁无味且很抽象的自动控制变的简单易学，吸引了大家的积极性。
7参考文献：《自动控制理论》课程设计指导书薛朝妹、霍爱清著（西安石油大学电子工程学院）
《自动控制理论》胡寿松. 著科学出版社。