线面垂直的判定及性质优秀课件
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
线面垂直判定-ppt课件
直线与平面垂直的 判定
一、概念：
1、定义：
如果一条直线 l 和一个平面 内的
任意一条直线都垂直，我们就说直线 l
和平面 互相垂直。记作 l
2、画法：
l
P
l
P
3、相关概念：
l 叫做 的垂线 叫做 l 的垂面 l与 的交点P 叫做垂足
l
4、作用：
gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm
Pk
由线面垂直转化为线线垂直
l m
l
m
二、线面垂直判定定理：
m
m n
n A
a
am
a n
mA
αn
线线垂直 线面垂直
例 3 已知 PA⊥α，PB⊥β，垂足分别是 A、B，且 α∩β＝l．求证：l⊥AB．
P
αA l
Bβ
例4 在棱长为 1 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， (1) 求证：A1C⊥BD； (2) 求证：A1C⊥平面 BDC1； (3) 求点 A1 到平面 BDC1 的距离．
直线和平面所成的角：
平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角,称为该直线与 平面所成的角
直线和平面所成的角： [0,90]
1) l或 l// 0
2) l
90
3) l是平面的一斜线(0,90)
l与它在平面内的射影的夹角
关键在于作线面垂直找射影
特例：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影O
Ma
Nb
例5 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，O 为底面ABCD 的中心，B'H⊥D'O，H 是垂足，求证：B'H⊥平面AD'C；
D'
一、概念：
1、定义：
如果一条直线 l 和一个平面 内的
任意一条直线都垂直，我们就说直线 l
和平面 互相垂直。记作 l
2、画法：
l
P
l
P
3、相关概念：
l 叫做 的垂线 叫做 l 的垂面 l与 的交点P 叫做垂足
l
4、作用：
gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm
Pk
由线面垂直转化为线线垂直
l m
l
m
二、线面垂直判定定理：
m
m n
n A
a
am
a n
mA
αn
线线垂直 线面垂直
例 3 已知 PA⊥α，PB⊥β，垂足分别是 A、B，且 α∩β＝l．求证：l⊥AB．
P
αA l
Bβ
例4 在棱长为 1 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， (1) 求证：A1C⊥BD； (2) 求证：A1C⊥平面 BDC1； (3) 求点 A1 到平面 BDC1 的距离．
直线和平面所成的角：
平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角,称为该直线与 平面所成的角
直线和平面所成的角： [0,90]
1) l或 l// 0
2) l
90
3) l是平面的一斜线(0,90)
l与它在平面内的射影的夹角
关键在于作线面垂直找射影
特例：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影O
Ma
Nb
例5 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，O 为底面ABCD 的中心，B'H⊥D'O，H 是垂足，求证：B'H⊥平面AD'C；
D'
线面垂直面面垂直的性质与判定定理课件
学习目标
学习者能够理解面面 垂直的性质与判定定 理的基本概念。
学习者能够通过实际 案例分析，提高解决 实际问题的能力。
学习者能够掌握面面 垂直的性质与判定定 理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与 某一平面内的任意一条直 线都垂直。
性质1
线面垂直，则该直线与平 面内任意直线都垂直，且 线段与平面所成的角为直 角。
06
实例分析
线面垂直实例
总结词
线面垂直的判定定理
详细描述
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该 直线与该平面垂直。
实例
一个长方体，其一条棱与底面垂直，则该棱与底 面所在的平面垂直。
面面垂直实例
总结词
面面垂直的判定定理
详细描述
若两个平面内各有一条相交直线互相垂直，则这两个平面互相垂直 。
实例
证明2
根据判定定理2，如果一个平面$alpha$与另一个平面$beta$的垂线$c$平行，那么可以证明平面$alpha$与平面 $beta$垂直。设过直线$c$作平面$gamma$与$beta$相交于直线$d$，由于$c parallel d$，且$c perp beta$ ，则$d perp beta$。又因为直线$d$在平面$alpha$内，所以平面$alpha perp beta$。
平面与平面垂直的判定定理证明
假设平面β内有一条直线m与平面α垂直，那么可以通过平面的性质证明平面β与平面α 互相垂直。
05
面面垂直的判定定理
判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
线面垂直的判定PPT课件
P
所在的平面,则PA与BC
的位置关系是_垂__直__.
A
3·如右图，PA平面ABC， p A B C 中 ， B CA B
则图中直角三角形的个
数是（ A ）
A
A4 B3 C2 D 1
2021
B
C B
C
10
例1: 有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A 挂 有一条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它的 下端放在地面 上的(和旗杆脚不在同一条直线上) C、D。如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6 m， 那么旗杆就 和地面垂直，为什么？ A
线面垂直的定义 线面垂直
线面垂直的判定定理
2021
17
小结：
1、入手指南：碰到证明线面垂直的问题，应转 化为证明线线垂直；反之亦然.
2、小心提醒：平面内的这两条直线应该相交；
3、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？
①勾股定理的逆定理（已知长度）
②等腰三角形的三线合一
③利用线面垂直的性质
④利用平行移动不改变夹角大小
⑤正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直
⑥菱形(正方形）的对角线互相垂直
⑦相似
2021
18
作业：1、P66－探究题，请你先写出一个 条件，然后用你的这个条件来证明
A’C⊥B’D’
2、（如图）在正方体AC1中， D1
求证：(1)AC⊥平面D1DB A1
(2)D1B⊥平面ACB1
D
C1 B1
C
A
B
2021
3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？
Байду номын сангаас
2021
7
线面垂直判定定理：
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
线面垂直、面面垂直的性质定理ppt课件
我们说直线 l 与平面 互相垂直。
一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直. 线线垂直则线面垂直.
精选
(1)长方体ABCDA'B'C'D'中,棱AA',BB', CC',DD'所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
A'
C'
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C P
是圆周上不同于A，B的任意一
点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面
C
PAC∩平面ABC＝AC,BC 平
面ABC ∴BC⊥平面PAC
A
O
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
精选
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
和∵αa的⊥交α点, 为o,则可过o作 b’∥a ∴b’⊥α.
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， ∴a∥b. 精选
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内 找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直. 线线垂直则线面垂直.
精选
(1)长方体ABCDA'B'C'D'中,棱AA',BB', CC',DD'所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
A'
C'
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C P
是圆周上不同于A，B的任意一
点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面
C
PAC∩平面ABC＝AC,BC 平
面ABC ∴BC⊥平面PAC
A
O
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
精选
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
和∵αa的⊥交α点, 为o,则可过o作 b’∥a ∴b’⊥α.
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， ∴a∥b. 精选
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内 找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
课件1：线面、面面垂直的判定与性质
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
[练一练] 1．(2014·南通期末)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β.给出
下列命题： (1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥
m⇒α∥β. 其中正确的命题是________(填序号)． 解析：(1)正确；(2)中 l 与 m 还可以是异面或相交的位置
与平面 M 垂直”的________条件(填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)． 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”， 反之可以，所以应该是必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．(2014·盐城摸底)设 m，n 是两条不同的直线，α 是一个平面，
[典例] (2014·连云港期末)如图，在直三棱柱
ABC-A1B1C1 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，E 为 BD 的中点，F 在 AC1 上，且 AC1＝4AF.求证：
(1)平面 ADF⊥平面 BCC1B1； (2)EF∥平面 ABB1A1.
[证明] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平 面 ABC，而 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.
[类题通法] 解决此类问题常用的方法有
(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形
作出判断； (2)否定命题时只需举一个反例； (3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．
[典例] (2013·重庆高考)如图，四棱锥 P -ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝2 3，BC
＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF＝7FC，求三棱锥 P
(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
[练一练] 1．(2014·南通期末)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β.给出
下列命题： (1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥
m⇒α∥β. 其中正确的命题是________(填序号)． 解析：(1)正确；(2)中 l 与 m 还可以是异面或相交的位置
与平面 M 垂直”的________条件(填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)． 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”， 反之可以，所以应该是必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．(2014·盐城摸底)设 m，n 是两条不同的直线，α 是一个平面，
[典例] (2014·连云港期末)如图，在直三棱柱
ABC-A1B1C1 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，E 为 BD 的中点，F 在 AC1 上，且 AC1＝4AF.求证：
(1)平面 ADF⊥平面 BCC1B1； (2)EF∥平面 ABB1A1.
[证明] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平 面 ABC，而 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.
[类题通法] 解决此类问题常用的方法有
(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形
作出判断； (2)否定命题时只需举一个反例； (3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．
[典例] (2013·重庆高考)如图，四棱锥 P -ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝2 3，BC
＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF＝7FC，求三棱锥 P
课件2：线面、面面垂直的判定与性质
固
基 础
因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.
考 情
因为PH 平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD 平面
ABCD，
典 例
所以PH⊥平面ABCD.
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
91淘课网 ——淘出优秀的你
(2)如图，连接 BH，取 BH 的中点 G，连接 EG.
高
自 主
因为 E 是 PB 的中点，
高 考
主
体
落( )
验
实
·
· 固
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
明 考
基
情
础
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
典
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
91淘课网 ——淘出优秀的你
高
自 主
【解析】 设α∩β＝a，若直线l∥a，且l α，l β，则 考 体
落 实
固 基 础
面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，
· 明 考 情
D 是棱 AA1 的中点．
(1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC；
(2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，
典 求这两部分体积的比．
例
课
探 究 ·
【思路点拨】 (1)证明DC1⊥平面BDC.
后 作 业
提 知 能
(2) 先 求 四 棱 锥 B—DACC1 的 体 积 ， 再 求 三 棱 柱 ABC—
2 12 .
《线面垂直的判断》课件
学习目标
掌握定义
学生应能准确理解线面垂直的定 义。
理解判定定理
学生应能掌握并运用线面垂直的判 定定理。
应用能力
通过实例分析，培养学生运用线面 垂直知识解决实际问题的能力。
02
线面垂直的定义
线面垂直的概念
线面垂直是指一条直线与一个 平面垂直，即这条直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
在几何学中，线面垂直是描述 直线与平面之间关系的一种重 要概念。
判定定理
如果一条直线与平面内两条相交直线 都垂直，那么这条直线与这个平面垂 直。
符号表示
若直线m与平面α内的两条相交直线l 和n都垂直，则m⊥α。
判定定理的证明
• 证明过程：假设直线m与平面α内的两条相交直线l和n都垂直，那么m与l的夹角为0°，m与n的夹角也为0°。由于l和n相交 ，所以它们的夹角为180°，因此直线m与平面α的夹角为90°，即m⊥α。
判定方法三：利用其他性质
总结词：间接证明
详细描述：除了直接验证和利用判定定理外，还可以通过其他性质来证明线面垂直关系。例如，如果一条直线与平面内的两 条平行直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。此外，还可以利用平面的性质和直线的性质来证明线面垂直关系。
05
练习与巩固
基础练习题
判断题
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线与该平面垂直。
《线面垂直的判断 》ppt课件
contents
目录
• 引言 • 线面垂直的定义 • 线面垂直的判定定理 • 线面垂直的判定方法 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
知识关联
理解线面垂直的判断是空间几何 的重要概念，是解决实际问题的 基础。
线面垂直的性质PPT资料(正式版)
这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b， b’与c垂直，显然不可能。
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
正交确换的 “是条件”与“记。结论直” 线b和α的交点为o,
则可过o作 b’∥a. 已知a⊥α , a⊥b , b α,求证 b ∥α
思考2:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？
三、理论迁移
例 2: 如图，已知 l,CA
于点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l .
C β
B
α
l
Aa
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 1.类比探究：
交换“平行”与“垂直”
变式探究
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
1.类比探究：
交换“平行”与“垂直” 则可过o作 b’∥a.
则b与b’确定一个平面β，设α∩β=c, 则 O∈c
a ⊥α,b⊥α a ∥b 线面垂直的性质定理:
思考3:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？ 交换“平行”与“垂直” 思考3:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？ 思考2:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？ 于点A， 于点B， 交换“平行”与“垂直” 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b 线面垂直的性质定理: 又∵ b’ ∥a, b’ ⊥c， 思考3:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？ 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b 交换“条件”与“结论” ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b 交换“平行”与“垂直”
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
正交确换的 “是条件”与“记。结论直” 线b和α的交点为o,
则可过o作 b’∥a. 已知a⊥α , a⊥b , b α,求证 b ∥α
思考2:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？
三、理论迁移
例 2: 如图，已知 l,CA
于点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l .
C β
B
α
l
Aa
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 1.类比探究：
交换“平行”与“垂直”
变式探究
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
1.类比探究：
交换“平行”与“垂直” 则可过o作 b’∥a.
则b与b’确定一个平面β，设α∩β=c, 则 O∈c
a ⊥α,b⊥α a ∥b 线面垂直的性质定理:
思考3:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？ 交换“平行”与“垂直” 思考3:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？ 思考2:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？ 于点A， 于点B， 交换“平行”与“垂直” 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b 线面垂直的性质定理: 又∵ b’ ∥a, b’ ⊥c， 思考3:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？ 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b 交换“条件”与“结论” ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b 交换“平行”与“垂直”
【正式版】线面垂直的性质PPT
ba
则b与b’确定一个平面β，设α∩β=c, 则 O∈c
交换“条件”与“结论” 思考2:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？
反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？
a ⊥α,a⊥ b b ∥α α
随堂测试
1.判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
设直线a,b分别在正方体ABCD-A1B1C1D1
O
又∵ b’ ∥a, b’ ⊥c，
①线面垂直的性质定理及其应用
思考3:如果直线a，b都垂直于平面 α，由观察可知a//b，从理论上如 何证明这个结论？
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
位置关系？ 记直线b和α的交点为o,
例 1: 请在下面的横线上填上适当的条
交换“条件”与“结论”
这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b， b’与c垂直，显然不可能。
2.逆向探究： 例 1: 请在下面的横线上填上适当的条
又∵ b’ ∥a, b’ ⊥c， 已知a⊥α , a⊥b , b α,求证 b ∥α
1.类比探究：
交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
变式探究
2.逆向探究：
交换“条件”与“结论”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
交换“平行”与“垂直” 垂直于同一个平面的两条直线平行
a
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说一说：你认为应当怎样定义直线与平面垂直？
直线与平面垂直的定义：
如果直线 l 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们 就说直线 l 和平面 互相垂直。
记作： l .
其中直线 l 叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线 l 的垂面.
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足。
直线与平面垂直的定义：
C B
练习 2.过 ABC所在平面 外一点 P，作 PO ,垂足为 O,
连接 PA,PB,PC.
（1）若 PA=PB=PC， C 90 ,则 O 是 AB 边的
点
（2）若 PA=PB=PC，则 O 是 ABC的
心
（3）若 PA PB, PB PC, PC PA, 则 O 是 ABC的
心
课堂小结
新课讲解
找一找：（1）在教室里找直线与平面垂直的例子； （2）在已学过的几何体中找直线与平面垂直的例子.
D1
P C1
O1
A1
B1
D
C
A
B
O
O
图3
新课讲解
想一想：圆锥、圆柱是怎样形成的？ 从圆锥与圆柱的形成过程中，你们看到了 直线与平面垂直有什么特征吗？
议一议：你们觉得直线与平面垂直的特征是什么？
注意：①理解“任意”，表示所有。如果直线与平面内 的所有直线都垂直，直线才与该平面垂直。
②根据定义，若直线与平面垂直，则直线与该 平面内的任意直线都垂直。
即
l
m
l
m
新课讲解
想一想：利用定义判定直线与平面垂直时很难做到的，
那么有ห้องสมุดไป่ตู้有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直 呢？
议一议：下列条件能判断直线与平面平行吗？
a
b
m
n
a m, a n a // b b m,b n
————线面垂直定义
又 m, n 是相交直线
b
————线面垂直的判定定理
课堂练习
练习 1.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 求证：(1) BD 平面 ACC1A1 ；
(2) BD A1C .
D1 A1
D A
C1 B1
线面垂直的判定及性质优秀课 件
复习提问
1、直线和平面的位置关系是什么？
（1）直线在平面内——无数个公共点 （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线和平面平行——没有公共点
复习提问 2、观察以下图片：
如果将图片中的旗杆、比萨斜塔和电线杆抽象为直线，地面 抽象为平面，如上图，请问这三个图形中的直线与平面的位 置关系分别是怎样的？
试问：折痕 AD 与桌面垂直吗？
BD
C
如何翻折才能使 AD 与桌面所在平面垂直？
新课讲解
【实验 2】
如图， AD BD, AD CD ，固定 BD ，保持 DC 紧贴桌面， 让折纸的 CAD 部分绕着 AD 旋转。请问： CAD 能转动吗？
A
小结：线不在多，相交就行.
D
B
C
直线与平面垂直的判定定理：
（1）直线 l 和平面 内的一条直线垂直 （2）直线 l 和平面 内的两条平行直线垂直 （3）直线 l 和平面 内的两条相交直线垂直
新课讲解
【实验 1】
请你拿出准备好的三角形纸片，我们一起来做一个实验：
如图，过 ABC 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD ，
然后将翻折后的纸片竖起放置在桌面上
A
（ BD, DC 与桌面接触）
在中国古代第一部数学专著《九章算术》中， 就提出将底面为长方形且有一条侧棱与底面 垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角 三角形的四面体称之为鳖臑。
（阳马）
（鳖臑）
本节课我们学习了哪些知识？运用这些知识 能解决什么问题？
1. 怎样证明直线与平面垂直？ 2. 怎样证明直线与直线垂直？ 线线垂直 判定定理 线面垂直
定 义
课后作业
1. 教材 67 页练习第 1 题 2. 74 页 B 组第 2 题 3. 预习直线与平面所成的角和二面角（教材 66-68 页）
新课导入
定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直.
符号语言：
lm
ln
m
,
n
l
α
m n o
l m On
解决问题
讨论前面提出的问题，即怎样才能知道电线杆被扶直了？
两种方法： ①过电线杆与地面的交点在地面内画两条相交直线， 用直角尺分别检验电线杆与两直线所成的角是否为直角； ②在电线杆上取一点（该点离电线杆与地面交点 8 米）， 在该点系上两条长 10 米的绳子，再将这两条绳子的另一 端固定在地面离交点 6 米的地方，看两条绳子是否被拉直。
例题分析
例 1．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中。
D1
(1) BD 平面 CDD1C1 吗？为什么？ A1
C1 B1
(2) AD 平面 CDD1C1 吗？为什么？ (3) A1A BD 吗？为什么？
D C
A
B
图 10
例题分析
例 2.已知 a // b, a , 求证： b
证明：在 内作两条相交直线 m, n a ,m ,n
直线与平面垂直的定义：
如果直线 l 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们 就说直线 l 和平面 互相垂直。
记作： l .
其中直线 l 叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线 l 的垂面.
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足。
直线与平面垂直的定义：
C B
练习 2.过 ABC所在平面 外一点 P，作 PO ,垂足为 O,
连接 PA,PB,PC.
（1）若 PA=PB=PC， C 90 ,则 O 是 AB 边的
点
（2）若 PA=PB=PC，则 O 是 ABC的
心
（3）若 PA PB, PB PC, PC PA, 则 O 是 ABC的
心
课堂小结
新课讲解
找一找：（1）在教室里找直线与平面垂直的例子； （2）在已学过的几何体中找直线与平面垂直的例子.
D1
P C1
O1
A1
B1
D
C
A
B
O
O
图3
新课讲解
想一想：圆锥、圆柱是怎样形成的？ 从圆锥与圆柱的形成过程中，你们看到了 直线与平面垂直有什么特征吗？
议一议：你们觉得直线与平面垂直的特征是什么？
注意：①理解“任意”，表示所有。如果直线与平面内 的所有直线都垂直，直线才与该平面垂直。
②根据定义，若直线与平面垂直，则直线与该 平面内的任意直线都垂直。
即
l
m
l
m
新课讲解
想一想：利用定义判定直线与平面垂直时很难做到的，
那么有ห้องสมุดไป่ตู้有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直 呢？
议一议：下列条件能判断直线与平面平行吗？
a
b
m
n
a m, a n a // b b m,b n
————线面垂直定义
又 m, n 是相交直线
b
————线面垂直的判定定理
课堂练习
练习 1.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 求证：(1) BD 平面 ACC1A1 ；
(2) BD A1C .
D1 A1
D A
C1 B1
线面垂直的判定及性质优秀课 件
复习提问
1、直线和平面的位置关系是什么？
（1）直线在平面内——无数个公共点 （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线和平面平行——没有公共点
复习提问 2、观察以下图片：
如果将图片中的旗杆、比萨斜塔和电线杆抽象为直线，地面 抽象为平面，如上图，请问这三个图形中的直线与平面的位 置关系分别是怎样的？
试问：折痕 AD 与桌面垂直吗？
BD
C
如何翻折才能使 AD 与桌面所在平面垂直？
新课讲解
【实验 2】
如图， AD BD, AD CD ，固定 BD ，保持 DC 紧贴桌面， 让折纸的 CAD 部分绕着 AD 旋转。请问： CAD 能转动吗？
A
小结：线不在多，相交就行.
D
B
C
直线与平面垂直的判定定理：
（1）直线 l 和平面 内的一条直线垂直 （2）直线 l 和平面 内的两条平行直线垂直 （3）直线 l 和平面 内的两条相交直线垂直
新课讲解
【实验 1】
请你拿出准备好的三角形纸片，我们一起来做一个实验：
如图，过 ABC 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD ，
然后将翻折后的纸片竖起放置在桌面上
A
（ BD, DC 与桌面接触）
在中国古代第一部数学专著《九章算术》中， 就提出将底面为长方形且有一条侧棱与底面 垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角 三角形的四面体称之为鳖臑。
（阳马）
（鳖臑）
本节课我们学习了哪些知识？运用这些知识 能解决什么问题？
1. 怎样证明直线与平面垂直？ 2. 怎样证明直线与直线垂直？ 线线垂直 判定定理 线面垂直
定 义
课后作业
1. 教材 67 页练习第 1 题 2. 74 页 B 组第 2 题 3. 预习直线与平面所成的角和二面角（教材 66-68 页）
新课导入
定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直.
符号语言：
lm
ln
m
,
n
l
α
m n o
l m On
解决问题
讨论前面提出的问题，即怎样才能知道电线杆被扶直了？
两种方法： ①过电线杆与地面的交点在地面内画两条相交直线， 用直角尺分别检验电线杆与两直线所成的角是否为直角； ②在电线杆上取一点（该点离电线杆与地面交点 8 米）， 在该点系上两条长 10 米的绳子，再将这两条绳子的另一 端固定在地面离交点 6 米的地方，看两条绳子是否被拉直。
例题分析
例 1．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中。
D1
(1) BD 平面 CDD1C1 吗？为什么？ A1
C1 B1
(2) AD 平面 CDD1C1 吗？为什么？ (3) A1A BD 吗？为什么？
D C
A
B
图 10
例题分析
例 2.已知 a // b, a , 求证： b
证明：在 内作两条相交直线 m, n a ,m ,n