第八章 位移法习题解答
《结构力学习题集》第8章位移法
第8章 位移法习 题一、判断题：1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
（ ）2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
（ ） 4、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
（ ）5、图示结构，当支座B 发生沉降∆时，支座B 处梁截面的转角大小为12./∆l ，方向为顺时针方向，设EI =常数。
（ ）6、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
（ ）2θθC7、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是-θ/2 。
（ ）8、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。
（ ）q9、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程 的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。
（ ） 10、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。
（ ） 11、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于 杆 端 位 移 。
（ ） 12、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
2θθC二、填空题：13、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。
（1） （2） （3）（4） （5） （6）EIEIEIEI 2EI EI EIEIEA EA ab EI=EI=EI=24442第13题14、位移法可解超静定结构、静定结构，位移法典型方程体现了_______条件。
15、图示梁A 截面的角位移φA = ____________。
（杆长l，荷载作用在中点）16、图示结构，M AB = __________。
17、图示刚架，各杆线刚度i 相同，不计轴向变形，用位移法求得 M AD = ，M BA =___________。
Di i i A4518、图示结构M BA 的值为_____________,________________侧受拉。
位移法习题解答
8-2、清华8-2c 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
题8-2c (a )方法一：列位移法典型方程解：（1）D 处定向支座与AD 段不平行，视为固定端。
AB 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来，DA 杆D 端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
结构只有一个转角位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：11110P k z R ⋅+=（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。
（4）利用结点的力矩平的平衡求系数：1110;k i =1P R P l =-⋅（5)将系数，自由项代入典型方程得z 1。
110P lz i⋅=（6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：11P M M M z =+⋅30.3()1040.4()20.2()101030.3()10AC AD DA AEP lM i Pl i P l P lM i Pl M i Pl i iP l M i Pl i⋅=+⋅=⋅⋅=+⋅==+⋅=⋅=+⋅=左拉上拉下拉右拉 方法二：转角位移法(c)ACMAB(d)(b)(e)Q ABF Q解：（1）确定结构的基本未知量。
有一个角位移z1，如图所示（b）。
（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定，DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
C1111,,3,3,4,2 FAB AB A AE AD DAM Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=⋅=⋅=⋅=⋅（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z1：111100343010AB AC AD AEPl M M M M M Pl i z i z i z zi =→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=∑（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。
C1111,,330.3,330.3,1010440.4,220.21010FAB ABA AEAD DAM Pl M PlPl PlM i z i Pl M i z i Pli iPl PlM i z i Pl M i z i Pli i=-=-=⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯=讨论；本题将D处的滑动支座改为与杆轴线平行。
位移法习题
结构力学-位移法习题1.确定用位移法计算下图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。
2.判断题1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。
（）2)位移法可用于求解静定结构的内力。
（）3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。
（）4)位移法只能用于求解连续梁和钢梁，不能用于求解桁架。
（）3.已知下图所示钢架的结点B产生转角，试用位移法概念求解所作用外力偶M。
4.若下图所示结构结点B向右产生单位位移，试用位移法概念求解应施加的力。
5.已知钢架的弯矩图如下图所示，各杆常数，杆长，试用位移法概念直接计算结点B的转角。
6.用位移法计算下图所示的连续梁，作弯矩图和剪力图。
EI=常数。
7.用位移法计算下图所示结构，作弯矩图。
常数。
8.用位移法计算下图所示各结构，并作弯矩图。
常数。
9.利用对称性计算下图所示结构，作弯矩图。
常数。
10.下图所示等截面连续梁，，已知支座C下沉，用位移法求作弯矩图。
11.下图所示的刚架支座A下沉，支座B下沉，求结点D的转角。
已知各杆。
12.试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
13.试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
14.试用位移法计算图示结构，并绘出M图。
15.试用位移法计算图示结构，并绘出M图。
16.试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。
6m 6m9ml lq(a)4m 4m4m(b)10kN/m6m6m 6m 6m6m(a)8m 4m 4m 4m 4m20kN/m17. 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M 图。
18. 试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
19. 试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M 图。
已知杆件截面高度h ＝0.4m ，EI ＝2×104kN ·m 2，α＝1×10－5。
20.试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M 图。
3EI lA D CB l EI EIϕl Δ=ϕa 2aa 2aaF P6m 4m A B C +20℃0℃ +20℃0℃ 20kN8m 8m 6m 3m A C D EB F G EI 1=∞EI 1=∞ 3EI3EI 3EI EI。
位移法习题课
6i
6i
1
Pl
lC
lD
8C
D
i
i
k13
6i k23
6i
l
l 3 k331
A
21i2i
B 12i
l
l
2i
2i
Pi
i
F1P 1
1 Pl F2 P 8
F3 P
8 Pl A
2i
B
P
2i
2i
12i E
12i
F
l
l
E
1 Pl 8
F
k 33
72i l2
F1P 0 F2 P 0 F3P P
（3）列经典方程：20i1
M BA
1 2
ql 2
q
F 0.5l
i ql
0.5l
M BC 4i1 2i 2 M BD 4i1
M CB 2i1 4i 2
M CE
3i 2
3 ql 2 16
A iB
i
C 0.5l
i
i ql 0.5l
D
E
M CF
i 2
3 ql 2 8
l
l
（3）基本方程：
M B 0 M BA M BC M BD 0 MC 0 M CB M CE M CF 0
位移法习题课
1、超静定构造
力法：多出未知力，变形协调条件 位移法：结点位移，静力平衡条件
相对每一种独立旳结点角位移，可列一种结点力矩平衡方程 相对每一种独立旳结点线位移，可列一种截面力矩平衡方程
2、基本未知量鉴定
结点角位移：构造内部刚结点数；支座位移不作为基本未知量。
结点线位移：将构造中全部结点均改为铰结（点弹（性涉支及座固除定外端）），
结构力学 第八章 作业参考答案
D
Z2
B
2I 2FL/9 I
M图
D
L
B
A
L
B
2FL/9
A
L
FL/9
B
解： （1）该结构为有两个基本未知量，分别为 Z1 和 Z 2 ，如图。 （2）可以得到位移法的典型方程：
⎧r11Z1 + r12 Z 2 + R1P = 0 ⎨ ⎩r21Z1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
（3）做出基本结构的各单位内力图和荷载内力图。令 其中系数： r11 = 14i 自由项： R1 p = 0 （4）求解出多余未知力。
4
1m
E
E
E r12 2I
4m
I
I
4m
I
I
1m
0.75 E
1m
结构力学 第八章 习题 参考答案
（2）可以得到位移法的典型方程：
⎧r11Z1 + r12 Z 2 + R1P = 0 ⎨ ⎩r21Z1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
（3）做出基本结构的各单位内力图和荷载内力图。 其中系数： r11 = r22 =
8－7 试用位移法计算连续梁，绘制弯矩图。 EI = 常数
A Z1 B 6m 6m
基本体系
Z1 C 6m
A B 6m 6m C 6m
D
D
解： （1）该结构为有两个基本未知量，分别为 Z1 和 Z 2 ，如图。 （2）可以得到位移法的典型方程：
⎧r11Z1 + r12 Z 2 + R1P = 0 ⎨ ⎩r21Z1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
结构力学(5.1.2)--位移法习题及参考答案
习 题6-1 试确定图示结构位移法基本未知量的个数。
6-2～6-6作图示刚架的M 图。
(a)(f)习题6-1图(d)习题6-2图习题6-5图习题6-3图（BC 杆件为刚性杆件）习题6-4图6-6 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
6-7 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
6-8 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
EI 为常数。
6-9试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。
EI 为常数。
6-10 试用位移法计算图示结构，并作弯矩图（提示：结构对称）。
习题6-9图习题6-7图6-11作图示刚架的体系内力图。
6-12 设支座 B 下沉0.5cm B D =，试作图示刚架的M 图。
6-13如图所示连续梁,设支座C 下沉淀1cm ，试作M 图。
6-14图示等截面正方形刚架,内部温度升高+t°C ，杆截面厚度h ,温度膨胀系数为 ，试作M 图。
10 kN/m( a )( b)40 kN习题6-10图BGH习题6-11图（a ）（b ）q6-15试作图示有弹性支座的梁的弯矩图，332EIk l=，EI =常数。
6-16 试用弯矩分配法计算图示连续梁，并作M 图。
6-176-18 用力矩分配法计算图示结构，并作M 图。
6-19 已知图示结构的力矩分配系数1238/13,2/13,3/13,A A A m m m ===作M 图。
6-20 求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。
已知q=20kN/m,各杆EI 相同。
习题6-17图习题6-13图习题6-14图6-21～6-22 用力矩分配法计算图示连续梁，作M 图，并计算支座反力。
EI=常数。
6-23～6-25用力矩分配法计算图示刚架，作M 图。
EI=常数。
参考答案6.1 (a) 2 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 6 (f) 26.2 15BD M =kN·m （右侧受拉）20kN/m 40kN习题6-22图习题6-21图15kN/m习题6-23图F P =10kN 习题6-24图习题6-25图6.321112AB M ql =（上侧受拉）6.4P 0.4AD M F l =（上侧受拉）6.5150AC M =kN·m （左侧受拉）6.651.3AB M =kN·m （左侧受拉）6.780AB M =kN·m （上侧受拉）6.816.9AB M =kN·m （左侧受拉）6.9 (a) 10.43CA M =kN·m （左侧受拉） (b) 56.84CE M =kN·m （下侧受拉）6.10 (a) 8.5AB M =kN·m （上侧受拉） (b) 34.3AC M =kN·m （左侧受拉）6.11 (a) 20.794DC M ql =（右侧受拉） (b) 6.14GD M q =（右侧受拉）6.1223.68AC M =kN·m （右侧受拉）6.1359.3310BA M =ￗkN·m （上侧受拉）6.142/M EIt h a =（外侧受拉）6.152/32BA M ql =（下侧受拉）6.1617.5CB M =kN·m （下侧受拉）6.1778.75CD M =kN·m （上侧受拉）6.1827/12AB M ql =（上侧受拉）6.191117.95A M =kN·m （上侧受拉）6.200.34AD m =，13.33AD M =kN·m 6.2142.3BA M =kN·m （上侧受拉）6.2217.35BA M =kN·m （上侧受拉）6.2357.4BA M =kN·m （上侧受拉）6.2428.5BA M =kN·m （上侧受拉）6.2573.8BD M =kN·m （左侧受拉）。
位移法习题课+(1)
结点弯矩平衡 利用转角位移方程写
出杆端弯矩剪力 截面内外力平衡
问题： 1。位移法方程的物理意义？ 平衡方程
2，变形协调条件何处体现
设定关键位移时已体现
典型方程法
图8-7刚架位移法方程
｛r11Z1+r12Z2+r13Z3+FRR1P1P==00 r21Z1+r22Z2+r23Z3+FRR2P2P==00 r31Z1+r32Z2+r33Z3+FRR3P3P==00
自由项： R1p=-ql2/12 R2p=ql2/12
R3p=-FP
｝ 带入位移法典型方程，12iZ1+4iZ2-6iZ3-ql2/12=0
求得Z1 Z 2和Z3
4iZ1+12iZ2-6iZ3+ql2/12=0 -6iZ1-6iZ2+24i/l2Z3-FP=0
位移法典型方程
不同结构相同 的方程形式
F BA
——杆端弯矩的一般公式 近角 （习惯上称为两端固支单跨 梁的转角位移方程）。
方程的记忆的口诀：
远角 侧移 固端弯矩
θA FP
q
θB
A
B
i EI l ΔAB
B’
“近4远2侧负6，固端弯矩不能丢。”
（3）杆端剪力的 一般公式由迭加 原理，同样可得：
FQ AB
6i l
A
6i l
（2）由迭加原理，得总的杆端弯矩 MAB：
M AB
3i A
- 3i
AB l
M
F AB
θA q A
FP
B
——一端固支、一端铰支 单跨梁的转角位移方程。
第8章位移法
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核，在图（f）中取结点1为隔离体，验算是否满足 的平衡条件。由
可知计算无误。
题8-5试用位移法计算图（a）所示刚架，并绘制弯矩图。
（6）校核。在图（e）中取结点1为隔离体，验算是否满足平衡条件。由
可知计算无误。
题8-3试用位移法计算图（ห้องสมุดไป่ตู้）所示刚架，并绘制内力图。
题8-3图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 ，基本结构如图（b）所示。
（2）列出位移法方程
（3）求系数和自由项。绘出 和荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图（c）、（d）所示。
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘弯矩图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核心。在图（f）中取结点1为隔离体，有
再取杆12为隔离体，有
可知计算无误。
题8-6试用位移法计算题19。6图（a）所示刚架，并绘出弯矩图。
题8-6图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 和结点1的水平线位移 ，基本结构如图（b）所示。
在图（c）、（d）中分别利用结点的平衡条件计算出系数和自由项如下：
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘地内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（e）所示。利用杆件和结点的平衡条件可作出 图，分别如图（f）、（g）所示。其中在绘 图时需补充水平方向的变形条件才能求出，即A1杆的伸长量与B1杆的伸长量之和等于零。
位移法
100.00
M图
-3500.00
-100.00 -100.00 -100.00 200.00 200.00 -3700.00 0.00
-3800.00
图9-5
FQ 图
-3800.00
-3700.00
FN 图
MBA= 3 2EI /L θB=6i θB
MCF= 3 2EI /L θC= 6i θC
Z2
2i
4i
2 2i
k21
M
A
0
斜杆
2i M1
3 2i / l
k 22 (12 6 2 )i / l
2
k12
6i / l
Z2=1
k22
M2
k12
A
k22
12i / l 2
F1P 0
F2 P P
F1P
6i / l
A
Z1 0.013Pl / i Z 2 0.05Pl 2 / i
X
0
K F 0
解方程求独立结点位移 迭加作内力图 用平衡条件进行校核
解方程求多余未知力 迭加作内力图 用变形条件进行校核 不能解静定结构
可以解静定结构
§7.9 联合法与混合法
1.联合法
P
EI=C
=
P/2
P/2
+
P/2
P/2
力法:6个未知量 P/2 位移法:6个未知量 部分力法,部分位移法:4个未知量 P/2
4、求解基本未知量： θB = qL2 /102i θC = - qL2 /136i
7、画出内力图和位移图（ q=6800、L=1、EI=1）
-500.00 -400.00 -300.00 -400.00 -200.00 400.00 3300.00 0.00 -400.00 -400.00 0.00 300.00 300.00 300.00 300.00
位移法网上练习题答案
位移法网上练习题答案一、( 本 大 题18分 )Z2- Pl+ ql 192962Pl+ql Pl-ql 2192Pl/M 35315图8()Z E I l ql Pl 121648160⨯+-=，()()Z Pl l qEI 1233768=-基 本 体 系 （2 分） 系 数 （4 分） 自 由 项 （4 分） 解 方 程 （1 分） M 图 （4 分） 二、( 本大题14分 )814812414851M 图 （ ⨯ql 2）基 本 体 系4分 ，M 1、M P 图 及 系 数 共9分，列 方 程 、 解 方程 3分M 图 2分。
四、( 本 大 题13分 )Z( 5分 ）Z m i 128=/ , Z ml i 256=-/ . ( 8 分 ）五、( 本 大 题19分)Pr i h r r i h r i h 11212212222242448===-=/,/,/, （6 分）R P R P P P 12=-=-,,（4 分）()()Z Ph i Z Ph i 1222812==/,/,（4 分）1/21/21/21/21/41/41/41/43/43/4M ( )Ph 图 （4 分）六、( 本 大 题12分 )M1图=114iMP 图4444Z图 M ()kN .m 5228266616812M 图r i 1111=,R P 144=, Zi 14=-/七、( 本 大 题18分 )Z 1r i 115= , R Pl P 14=/ , Z 1=-Pl / 20i , N P AB =35/1/51/103/10M 图 ()⨯Pl（1/4结构4分，方程2分，M 1图2分，M P 图2分，系数4分，方程解2分，M 图2分） 八、( 本 大 题21分 )Z 2基 本 体 系5 /185 /18/6/62 /92 /9/18/18M 图Pl Pl Pl Pl Pl Pl Pl Pl 简 化126036612201812112222Z Z l Z Pl Z l Z l P Z Pl -==-+-==/,////,/简 化 1/4结构 （ 3 分 ）基 本 体 系 （ 2 分 ） 位移法典型方程 （ 2分 ） M 1图（2分）；M 2图 （2分）；M P 图 （2分） 系 数 （ 3 分 ） 自 由 项 （ 2 分 ） 解 方 程 （ 1 分 ） M 图 （ 2 分 ）。
(整理)位移法习题.
位移法一、判断题1.位移法与力法的主要区别是，位移法以结点位移为基本未知量，而力法则以多余未知为基本未知量。
（）2. 位移法的基本未知量包括结点转角和独立结点线位移，其中结点转角数等于结构中所有刚结点的数目。
（）3.位移法中杆端弯矩正负号的规定与作弯矩图时的规定相同。
（）4.利用结点或横梁的平衡条件建立的平衡方程式称作位移法的基本方程。
（）5.独立结点线位移的数目，对于多层刚架（无侧向约束）等于刚架的层数，对于复杂刚架等于为使铰化结点后体系成为几何不变体系所需增加的链杆数目。
（）6.位移法的基本未知量是结构的多余约束力。
（）7.杆端弯矩与结点转角、在垂直杆轴线方向的相对线位移及固端弯矩之间的关系式，称为转角位移方程。
（）8.位移法的基本未知量是结构的多余约束力（）。
9.用位移法计算图1所示结构时，其基本未知量有3个（）。
图 110.位移法只能用来解超静定结构。
（）二、选择题1.试确定下面结构的位移法基本未知量的个数：（）A．θ=1，Δ=1B．θ=2，Δ=2C．θ=2，Δ=1D．θ=1，Δ=2三、填空题1.力法和位移法是解超静定结构的两种基本方法。
它们的主要区别在于力法是以____________为基本未知量，而位移法则以____________作为基本未知量。
2.位移法基本未知量包括____________和____________。
结点转角未知量的数目等于该结构的____________。
独立结点线位移的数目，对于多层刚架等于刚架的____________ ，对于复杂刚架等于为使铰化结点后体系成为几何不变体所需增加的____________。
3.杆端弯矩与____________及 ____________间的关系式称为转角位移方程。
4.结构的刚结点被固定后，各杆在荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力称为____________和____________。
5.图2所示刚架用力法计算时的基本未知量为____________，用位移法计算时的基本未知量为____________，为了使计算简化应选用____________。
结构力学课后答案第8章矩阵位移法
习 题8-1 试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。
8-2 试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。
8-3 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。
(a)解：（a ）用后处理法计算 （1）结构标识（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T44332211 θνθνθνθν=∆[]Ty M F M F M F M F F 4y43y32y211 =θ（3）计算单元刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2222322211211462661261226466126122EI 21 l l -l l l -l -l l -l l l l - l k k k k k ①①①①①⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222233332232223 33 6 3632336 362EI 21 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ②②②②②lll⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222234443343323 33 6 3632336 362EI 2 1 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ③③③③③（4）总刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=222222222234443343333322322222112112 3300003 6 3 6 000 03403003601236000 0 3632600 363186120000 26460 0 0 06126122EI 0 0 00 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 l l -l l l - l - - l l -l l l l - l - - l l -l l -l l l l - -l -- l l -l l l l - l k k k k k k k k k k k k k ③③③③②②②②①①①①θ （5）建立结构刚度矩阵支座位移边界条件[][]00004311 θ θ θν=将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。
位移法举例
3b ql 3 , Z2 a a 8 16i
R2 P
ql 12ia 2 2 l
ql 2 6ia ql 2 6ia ql 2 MA 2i 12 l 12i l 4
Z
q
A
b
l
a
基本体系2
r11Z R1P 0
ql 2 3ib ql 2 r11 4i , R1P 6 l 3
加上约束 平衡条件
单位位移引起的 约束力 荷载等外因在基 本结构中产生的 约束力
超静定结构的特性
1.除荷载外，其他因素如温度变化、支座位
移等亦引起内力；
2.超静定结构内力单由平衡条件无法全部确 定，必须考虑变形协调条件，其内力值与材 料性质各截面尺寸有关；
3.多余联系破坏后，超静定结构仍能维持几 何不变，具有较强的防御能力 4.超静定结构具有多余联系，一般较静定结 构刚度大，内力分布也均匀。
单位弯矩图和荷载弯矩图为：
r11 6 4 2
如何求 r21 未加杆 端弯矩
r11
6 l
6 l
r21
r21 66 2 l
r12
66 2 l
r12 r22
由 M o 0 有：
r22
9 12 2 l
2
问题：由 M O 0 求 r21
O
r11
4 2
N BA
O
6 l
位移法解题示例
例 1.用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. EI = 常数. 解：选取基本结构 Z2 Z1
位移法典型方程：
r11Z 1 r12 Z 2 R1P 0 r21Z 1 r22 Z 2 R2 P 0
单位弯矩图为 :
土木工程力学(本)期末位移法计算题答案新
计算题位移法部分1. 用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
Δ1(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令EIi =，作1M 图2=11k 11i作P M 图24由0=∑B M ，得=P F 1m kN ⋅-21⑸解方程组，求出=∆1i11212.用位移法计算图示刚架，求出系数项和自由项。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项 令lEI i=，作1M 图=111作P M 图P得=PF 18Pl3、用位移法计算图示刚架，求出系数项和自由项。
ll /2l /2解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点角位移1∆。
(2)基本体系在刚结点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
基本体系(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令lEI i =，作1M 图11作P M 图 得=PF 18PlF P F P4、用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
2m2m 4m4m(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点角位移1∆。
(2)基本体系在刚结点施加附加刚臂，约束结点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令lEI i =，作1M 图如所示。
（3分）得i k 1111= （2分） 作P M 图如所示。
（3分）得m kN 51⋅-=P F5、用位移法计算图示连续梁，列出位移法方程，求出系数项和自由项。
EI =常数。
lll参考答案：基本体系PM典型方程01111=+∆P F ki k 1111=8/31l F F P P -=6.用位移法计算图示刚架，列出典型方程，求出系数项及自由项。
位移法基本原理加例题分析知识分享
3. 位移法的典型方程
Your company slogan
• 位移法基本概念 2. 形常数载常数 • 位移法的典型方程 • 计算步骤和举例
4.1 位移法的计算步骤 4.2 计算举例
Your company slogan
4. 计算步骤和举例
Your company slogan
4.2 计算举例
Your company slogan
1. 位移法基本概念
（2）位移法的基本结构 位移法的基本结构是单跨超静定梁的组合体 假象地： 1）在刚结点上加”附加刚臂”阻止结点转动；
2）在刚结点（或铰结点）沿线位移方向加“附 加链杆”阻止结点移动。
Your company slogan
• 位移法基本概念 2. 形常数载常数
计算出来。常用的载常数表见教材。 已知杆端弯矩，可由杆件的力矩平衡方程求出剪力： 。
其中 是相应的简支梁在荷载作用下的杆端剪力；MAB，MBA的
正负按位移法杆端弯矩正负号规定。
Your company slogan
• 位移法基本概念 2. 形常数载常数 • 位移法的典型方程
3.1 建立基本结构 3.2 典型方程的建立 3.3 方程的物理意义 3.4 系数和自由项的计算
4. 计算步骤和举例
Your company slogan
4. 计算步骤和举例
Your company slogan
4. 计算步骤和举例
Your company slogan
谢谢！
2012.10.20
结束语
谢谢大家聆听！！！
29
Your company slogan
Your company slogan
Your company slogan
土木工程力学(本)位移法计算题答案新(往年考题)----
1. 用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
E I =常数。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程 01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项 令6EI i =，作1M 图 =11k 11i作P M 图由0=∑B M ，得=P F 1m kN ⋅-21⑸解方程组，求出=∆1i 1121 2.用位移法计算图示刚架，求出系数项和自由项。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程 01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项 令lEI i =，作1M 图 得=11k 12i作P M 图得=P F 18Pl 3用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程 01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项 令lEI i =，作1M 图 得=11k 8i作P M 图得4、用位移法计算图示刚架，求出系数项和自由项。
解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点角位移1∆。
(2)基本体系在刚结点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
基本体系(3)位移法方程 01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项 令lEI i =，作1M 图 得=11k 12i 作P M 图得=P F 18Pl 5、用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点角位移1∆。
(2)基本体系在刚结点施加附加刚臂，约束结点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程 01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项 令lEI i =，作1M 图如所示。
位移法习题
三、用位移法计算图示连续梁，并绘出弯矩图。
各杆EI 相同且为常数。
（10分）解：（1）选取基本结构如下图所示，Δ1为基本未知量。
（2）写出位移法方程如下：k 11Δ1+ F 1P = 0（3）计算系数k 11及自由项F 1P 令EIi =12，则 i AB =3i ， i BC =2ik 11 = 12i+2i =14i 1P 40F =3kN •m （4）求解位移法基本未知量将系数及自由项代入位移法方程，得：1P 11140F 203k 14i 21i∆=-=-=-（5）作M 图基本结1M6i M P图4040四、用位移法计算图示刚架，并绘制弯矩图。
（10分）解： （1）选取基本结构如下图所示，Δ1、Δ2为基本未知量。
（2）写出位移法方程如下： k 11Δ1+ k 12Δ2+ F 1P = 0 k 21Δ1+ k 22Δ2+ F 2P = 0 （3）计算系数及自由项 令EIi =4，则 i AB = i BC =2i ， i BE = i CF = i ， i CD =4 i 作1M 图、2M 图和M P 图如下：D基本结构D1M 图k 11 = 8i+4i+8i =20ik 21 =4i k 21 = k 12 =4ik 22 = 8i+4i=12iF 1P =40 kN •m F 2P =-30 kN •m （4）求解位移法基本未知量将系数及自由项代入位移法方程，得： 20i Δ1+ 4i Δ2+40= 0 4i Δ1 +12i Δ2-30= 0 解得： 17528i ∆=- 29528i∆= （5）作M 图D2DP {DM图五、用位移法计算图示刚架，并绘出弯矩图。
（10分）解： （1）对称结构受对称荷载作用，可简化为如下结构： 选取基本结构如图所示，Δ1为基本未知量。
（2）写出位移法方程如下：k 11Δ1+ F 1P = 0（3）计算系数k 11及自由项F 1P 令EIi =L，则 i AD = i DE =i 作1M 图和M P 图如下：E1M基本结构k 11 = 4i+4i =8i21P qL F =12（4）求解位移法基本未知量将系数及自由项代入位移法方程，得：221P 111qL F qL 12k 8i 96i∆=-=-=- （5）作M 图由对称性，得原结构的M 图如下：EPE5qL 48M 图22qL25qL 48M 图22qL 22qL 48六、用位移法计算图示刚架(利用对称性)，并绘出弯矩图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8-2、清华8-2c 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
题8-2c (a )方法一：列位移法典型方程解：（1）D 处定向支座与AD 段不平行，视为固定端。
AB 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来，DA 杆D 端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
结构只有一个转角位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：11110P k z R ⋅+=（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。
（4）利用结点的力矩平的平衡求系数：1110;k i =1P R P l =-⋅（5)将系数，自由项代入典型方程得z 1。
110P lz i⋅=|（6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：11P M M M z =+⋅30.3()1040.4()20.2()101030.3()10AC AD DA AEP lM i Pl i P l P lM i Pl M i Pl i iP l M i Pl i⋅=+⋅=⋅⋅=+⋅==+⋅=⋅=+⋅=左拉上拉下拉右拉方法二：转角位移法(c)MAB(d)(b)(e)Q ABF Q解：（1）确定结构的基本未知量。
有一个角位移z1，如图所示（b）。
（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定，DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
C1111,,3,3,4,2 FAB AB A AE AD DAM Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=⋅=⋅=⋅=⋅（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z1：111100343010AB AC AD AEPl M M M M M Pl i z i z i z zi =→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=∑（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。
（C1111,,330.3,330.3,1010440.4,220.21010FAB ABA AEAD DAM Pl M PlPl PlM i z i Pl M i z i Pli iPl PlM i z i Pl M i z i Pli i=-=-=⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯=讨论；本题将D处的滑动支座改为与杆轴线平行。
(b)(e)(d)MAB(c)Q ABF Q解：（1）确定结构的基本未知量。
有一个线位移z1，如图所示（b）。
（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定。
C 1111,,3,3,,F AB AB A AE AD DA M Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=⋅=⋅=⋅=-⋅（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z 1：1111003307AB AC AD AE PlM M M M M Pl i z i z i z z i=→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=∑ （4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。
C 1111,,3333,33,777711,7777F AB AB A AE ADDA M Pl M Pl Pl Pl M i z i Pl M i z i Pl i i Pl Pl M i z i Pl M i z i Pli i =-=-=⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯==-⋅=-⨯=- -类8-2 d 、试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。
4q =20k N /mq =20k N /m解：1)基本结构如图(b)，有两个位移法未知量。
2)列典型方程：111122*********P P k z k z R k z k z R ⋅+⋅+=⎧⎨⋅+⋅+=⎩ 3)画基本结构在下述情况的弯矩图：荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让刚臂2发生正的单位转角的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数： (c)：1225;0P P R R =-⋅=kN m ；(d)：11125;2k i k i ==）(e)：21222;11k i k i ==5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。
12275505151z z ii-==6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ⋅+⋅+=27550150217()()515127550150411.1()()515150003 2.9()()512755015248.1()()515127550154234.6()()5151AB BA BC BD DB DE M i kN m i i M i kN m i i M i kN m i M i i kN m i i M i i kN m i iM -=-+⋅+⋅=-⋅-=++⋅+⋅=⋅-=++⋅=-⋅-=-+⋅+⋅=-⋅-=++⋅+⋅=⋅左拉左拉上拉左拉左拉2755.4()()512755.4()()51ED i kN m i M i kN m i =⋅=⋅=-⋅=-⋅下拉下拉 3、清华5-3a 试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。
4i清华 题5-3（a ）解：（1）DE 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。
结构有两个位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：111122*********P P k z k z R k z k z R ⋅+⋅+=⎧⎨⋅+⋅+=⎩'(3)画基本结构在下述情况的弯矩图：荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让附加连杆2发生正的单位线位移的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
(4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：1230;0P P R R =-⋅=kN m ；1122122121567;;i ik i k k k l l====-(5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。
1215060;2323lZ Z i i== (6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ⋅+⋅+=15066002 2.61()()23231506600410.43()()232315030310.43()()2320()()360007.83()()23AC CA CD DC DE BD i lM i kN m i l i i lM i kN m i l i M i kN m iM kN m M i lM kN m l i=+⋅-⋅=-⋅=+⋅-⋅=⋅=-+⋅=-⋅=⋅=-=+-⋅=-⋅左拉左拉上拉上拉左拉8-3c 、试用位移法典型方程计算图示刚架，并做弯矩图，EI =常量。
·解：（1）外伸段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。
结构有两个位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：1111221211222200P Pk z k z R k z k z R ⋅+⋅+=⎧⎨⋅+⋅+=⎩BA （d ）（b ）lV （a ）(3)画基本结构在下述情况的弯矩图：荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让附加连杆2发生正的单位转角的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
(4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：12353104()30;1026.875248P P c R R ⨯⨯=⋅=-⨯--=-⋅：kN m kN m ；1111k i =（d ）22122122624() 1.875;344i i e k i k k i =+===-…(5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。
11111221122112222122 2.097011330003 1.87526.875017.688P P Z k z k z R i z i z ik z k z R i z i z Z i ⎧=⎪⋅+⋅+=⋅-⋅+=⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨⋅+⋅+=-⋅+⋅-=⎩⎩⎪=⎪⎩(6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ⋅+⋅+=2.097617.68817.5044.03()()42.09717.688303036.29()()AB CBi M kN m i i M i kN m i i=-+⨯-⨯=-⋅=+⨯-⋅=⋅左拉上拉2.0971217.6880836.29()()42.0971217.6880444.68()()4CD DCi M i kN m i i i M i kN m i i=+⨯-⨯=-⋅=+⨯-⨯=-⋅右拉左拉讨论：试用力法典型方程计算图示刚架，并做弯矩图，EI =常量。
图15-15（a ）（d ）x（e ）（b ）（c ）解：（1）外伸段段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。
结构有两个力法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：111122*********P P z z z z δδδδ⋅+⋅+∆=⎧⎨⋅+⋅+∆=⎩{（3)画基本结构在下述情况的弯矩图：画荷载单独作用下的P M 图、两单位力分别单独的单位弯矩1M 图和2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
4）图乘求系数：12112215412111254570(204)6323311111330(408)(12541)22211482331181412033P P EI EI EI EI EI EI EIEI EIEI EI EI δδ⨯⨯⨯⨯∆=--⨯⨯⨯+=∆=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯=+=；5)将系数，自由项代入典型方程得x 1、x 2。
12111122112112222212825700044.03233022033036.2903P P x x x x x EI EI EIx x x x x EIEI EI δδδδ⎧⋅+⋅+=⎪⋅+⋅+∆==-⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨⋅+⋅+∆==-⎩⎩⎪⋅+⋅+=⎪⎩ 6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：1212P M M M x M x =+⋅+⋅01(44.032)0(36.29)44.03()()5()()00(44.032)1(36.29)36.29()()00(44.032)1(36.29)36.29()()1251(44.032)1(36.29)44.68()()AB BA CB CD DC M kN m M kN m M kN m M kN m M kN m =+⨯-+⨯-=-⋅=⋅=+⨯--⨯-=⋅=+⨯-+⨯-=-⋅=--⨯--⨯-=-⋅左拉左拉上拉右拉左拉8-4c 、试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。