复旦固体物理讲义-18能带计算方法简介
《固体能带理论》课件
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
固体物理基础-能带理论
e j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2
NZ ve ri i 1
1 ve ri 2
e2 j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2）单电子近似
• 电子体系的哈密顿量变为：
ˆ T Rm Rn r Rm Rn r 又 ˆ T ˆ r r T R Rm Rn m Rn Rm Rn Rm Rn 将Rn =e Rn 带入得 Rm Rn = Rn + Rm , 仅当 是Rn的线性函数 时满足，因此取 Rn =k Rn , 则
Bloch定理说明
ik Rn r Rn e r
i k r k r e uk r , uk r Rn uk r
用Bloch波函数描述的电子，或遵从周期势单电子薛 定谔方程的电子，称为Bloch电子； 布洛赫波的特征：周期性条幅的平面波；当平移晶 ik R 格矢量 ������ ������ 时，波函数只变化一个相位因子 e n • 表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相 位因子，波函数的大小相同，所以电子出现在不同 原胞的对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的 反映。
将使矢量 ������ 平移 ������ ������ ，即
ˆ f r f r R T n Rn
各平移算符之间互相对易
ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T m n m Rn Rn Rm ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T n m n R R Rm m n ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ T ˆ T ˆ T Rm Rn Rn Rm Rm Rn Rn Rm ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rm
复旦固体物理讲义-17解读能带
http://10.107.0.68/~jgche/ 解读能带
2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a
1,1, 0 , 2 1, 1 ,0
a 1 ,1,0 , 2 1 , 1 ,0 a 1, 0 ,1, 2 1 , 0 ,1 a 1 ,0 ,1, 2 1 ,0 , 1 a 0 , 1 ,1, 2 0 ,1,1 a 0 , 1 , 1 , 2 020 ,1, 1 a
解读能带
8
2、能带填充有多少不等价状态？
• 能带理论最成功的地方就是解释了 什么是金属，什么是绝缘体，什么 是半导体 • 而金属、绝缘体、半导体的性质与 费米能级附近的能带结构有关 • 费米能级是零温时，电子最高的占 据能级 • 所以，要从能带结构解释金属、导 体之前，先要看电子如何填充能带 中有多少状态可供电子占据，即要 在知道了如何确定费米能级后才会 知道
• 此外，3D时，第一布里渊区形状也比较复杂
http://10.107.0.68/~jgche/ 解读能带
19
bcc结构的第一布里渊区
• 体心立方的倒格子是面心立方
* 最近邻倒格点有十二个 * 它们的中垂面围成十二面体，正 好是倒格子原胞的体积
• 如何选取第一B区的k点来表示 能带结构？ • 反映能带结构特征需要取到重 要的高对称点；因此，一般总 是沿着这些高对称轴展示能带
http://10.107.0.68/~jgche/
解读能带
17
对任何k，En(k)<En+1(k) 都成立吗？
• 前面讨论金属、绝缘体和半导体性质都由电子 填充决定。电子总是由低到高地填充一条条能 带。因此，如何填充还需对En的能级次序作出 一个判断 • 一维能带结构比较简单，容易判断，因为En(k) 都是按n由低到高顺序排列 • 二维、三维时，En还是按n大小由低到高地排 列吗？或者问：对任何k，En(k)<En+1(k) 都成 立吗？ • 二维和三维时能带会有什么变化？为什么？
复旦固体物理讲义-15Bloch定理和能带概念
l k R l k R m R p m p
l
l
• 注意：这里α必须是实数，所以k是实数！
* 否则，模不等于1 * 所以不衰减
• 注意：矢量k现在还只是一常矢量因子，还未 与波矢相联系
* 后面会看到，它就是波矢，一个描写状态的物理量
• 于是
10.107.0.68/~jgche/
1 fn 11 12 1 R l , R l ,..., R l 0, R l ,..., 0 n2 f n n2 n21 n22 ... ... R Rl R R l l l n , n ,..., n 0, 0,..., n f n fn fn fn 1 fn 2 l l l l
0 0 ˆ ˆ (H el H el-N ) (r, {R J }) E (r, {R J })
e 1, 1,2m 1
2
[ V (r )] n (r ) En n (r )
2
平移算符
V (r R ) V (r )
ˆ :r r R T R
H与T对 易，有共 同本征解
• 电子平均自由程过小估计？？
* 可比性会不会也是如此即能被离子散射的电子 数被过多估计，导致电子与离子的散射过于频繁？ 就是试图用只有费米能级附近电子能被离子散射 来解释电子几乎不受离子实散射这个事实
• Sommerfeld还局限在这个思路上，错失良机
真是成也费米分布，败也费米分布
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理和能带概念
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理和能带概念
2
第15讲、Bloch定理和能带概念
固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)
需要指出的是：
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易 进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：
N 2 1 Ze2 ˆ H i2 ue (ri ) i 1 2m n 1 4 0 ri Rm NZ
因此可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。 单电子所受的势场为：
T T f r
TT－ T T 晶格周期性：
2 2 T Hf r T r U r f r 2m 2 2 r a U r a f r a 2m
{
H r E r
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。
设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和N3 分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为 N ＝N1N2N3 。
周期性边界条件：
r r N a
i k Rn k r Rn e k r
它表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
e
i k Rn
，它不影响波函数的大小，所以电子出现在不同原胞的
对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。
固体物理-第四章 能带理论
V* , v, V分别是倒易原胞，晶格原胞和整个晶体的 体积, N = N1N2N3是原胞总数。
k-空间中单位体积中的状态密度为V/(2p)3 .每个 布里渊区k的数目为： V*/(V*/N)=N
4.1.基本概念
4.1.4.定态微扰简述 处于定态的粒子体系，受到一个微小的恒定的扰动后体 系的状态和能量等发生微小的变化。对于简并和非简并 情况处理方法不同。 1.非简并微扰 体系的哈密顿算符为 Ĥ=Ĥ0+ĥ (4.1.4.1) Ĥ0的本征值和本征函数是已知的或者可以精确求解的且 不存在简并。Ĥ0的本征方程为： Ĥ0y n (0) = En (0)y n (0) (4.1.4.2) n能级序号，ĥ 微扰项。为便于比较，令ĥ=lĤ’ , l<<1, Ĥ’ 的作用相当于Ĥ0，但Ĥ’不等于Ĥ0。。于是 Ĥ=Ĥ0+ lĤ’
第四章 能带理论
4.1.基本概念 4.2.近自由电子近似 4.3.紧束缚近似 4.4.晶体中电子的速度、准动量及有效质量 4.5.固体导电性能的能带理论解释 4.6.晶体中电子的态密度 4.7.能带理论的局限性
4.1.基本概念
4.1.1.能带理论的基本假定 晶体由离子实（原子核+内层电子）和外层的价电子组成。 价电子的哈密顿量应该考虑：价电子的动能，离子实的动 能，价电子之间，离子实之间，价电子与离子实之间的相 互作用势能。 为了简化用单个电子在静止的周期势场中的运动,来描述 晶体中所有等同电子的状态. 在上述假定下，晶体中价电子的哈密顿算符 Ĥ=-ħ22/2m +V(r) （ 4.1.1.1） 其中, V(r+Rn)=V(r), 它包含代替价电子相互作用的平均势 与离子实的周期势。 格矢,Rn=n1a1+ n2a2 + n3a3, n1, n2, n3为整数, a1,a2 ,a3 为晶胞 的单位矢量. r ，电子的位矢.
《固体物理基础教学课件》第4章-能带理论
第 四 章 固体的能带
能带重叠示意图
金刚石的能带
2021/6/20
钠的能带
第 四 章 固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到 周期性势场的作用。
孤立原子中电子的 势阱
2021/6/20
势垒
电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
第 四 章 固体的能带理论
§4.1 能带理论简介 §4.2 固体的能带 §4.3 导体和绝缘体 §4.4 推导能带的近似思想 §4.5 布洛赫定理
2021/6/20
第 四 章 固体的能带理论
研究固体中电子运动的主要理论基础 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 说明了导体、半导体及绝缘体的区别 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
2021/6/20
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
2021/6/20
第 四 章 固体的能带
p2 E
1982 1989
80286 80486
13.4万 120万
1993 pentium
320万
1995
pentium MMX
550万
………
集成度每 10 年增加 1000 倍 ！
2021/6/20
第 四 章 固体的能带理论
复旦固体物理讲义-18能带计算方法简介
非周期性 周期性 对称性 非自旋极化 自旋极化
14
能带计算方法分类
• 各种能带计算方法基本上可分为
* 对晶体势场V(r)的不同近似 * 对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取
根据不同的研究对象、根据计算条件对势场和 基函数作不同的近似处理不同的物理思想
http://10.107.0.68/~jgche/ 能带计算方法简介
5
0 G
X
W
L
G
K
如何考虑问题？
• 布里渊区边界空晶格模型能带简并
* 近自由电子布里渊区边界能带分裂
• 空晶格模型能带
* 能带填充？
http://10.107.0.68/~jgche/
能带计算方法简介
6
解答
•
k F 3 n
2
1/ 3
2 a
9 2
1/ 3
2 1.127 a
• •
边界的高对称点上，简并将打开，此外，由 于K~L完全在布里渊区边界上，各是二重简 并，也将打开； 计算自由电子的费米球半径，kF=? 下面5个高对称点中，W和K点大，计算其波 矢。自由电子的费米能级应该比第一条能带 与W点的交点稍高。考虑到边界散射引起的 费米面畸变，必须稍高于W点处由于边界散 射所引起的能级分裂
• 这是个线性方程组，写成矩阵形式
H E C 0
E 单位矩阵 c1 c2 C ... c n Vij V ( K i K j )
24
T1 V12 V13 ... V1n V21 T 2 V23 ... V2n H ... V V V ... T n n1 n2 n3 Ti ( K i k ) 2
固体能带计算方法
第23卷第1期贵州大学学报(自然科学版)Vol.23No.1 2006年 2月Journal of Guizhou University(Natural Sciences)Feb.2006文章编号 1000-5269(2006)01-0068-05固体能带计算方法3闫万,谢 泉,朱林山,金石声(贵州大学计算机科学与工程学院,贵阳550025)摘 要 作者综述了固体能带常用的计算方法,并采用第一性原理赝势平面波方法计算了Si和Ge的电子能带,对计算结果进行了分析。
关键词 固体能带;赝势平面波方法;第一性原理中图分类号 O48111 文献标识码 A0 引言早期,人们对于晶体中电子能带结构的了解只是定性的,随着科技的发展情况就完全不同了。
一方面由于纯单晶的制备,低温、微波等技术的发展,人们可以通过回旋共振、磁阻、磁光、光谱等实验来直接测定若干晶体的电子能带结构;另一方面,由于电子计算机的广泛应用,在理论上也可以对能带结构进行更精确的计算。
能带理论在材料的研究中已经成为非常有用的工具[1,2]。
对于三维的周期场中的单电子问题,通常采用各种近似方法求解,首先,选取某个具有布洛赫函数形式的完全集,把晶体电子态的波函数用此函数集展开,然后代入薜定谔方程,确定展开式的系数所必须满足的久期方程,据此可求得能量本征值,再依照逐个本征值确定波函数展开的系数。
选择不同的函数集合,有不同的计算方法。
借助快速大容量的电子计算机,使实际的计算更快捷。
本文将对这些常用的计算方法进行论述,并采用第一性原理分子动力学方法对Si和Ge的能带进行了计算。
1 固体能带计算的方法111 原子轨道线性组合法(LCAO)[3]紧束缚方法(Tight2Banding)又称为原子轨道的线性组合法,简称LCAO方法。
第一次由F.B l och在1929年推出的,其中心思想就是用原了轨道的线性组合来作为一组基函数,由此而求解固体的薛定谔方程。
这个方法是基于这样的物理图像,即认为固体中的电子态与其组成的自由原子态差别不大。
复旦大学固体物理课件19能带分析(车静光)
* 虚线H-F，实线LDA * 能隙=14.6eV 实验=14.2eV * 类p态：价带顶在Γ点，三 度简并，离开Γ点就下降 * 类s带也是紧束缚特征
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典型能带结构分析
Ionic crystal (localized features)
• 特征：满壳层，电子交叠少 • 直接能隙，大，绝缘体 • 电荷完全转移，所以非常局 域，几乎没有色散 • 价电子紧紧束缚在Cl上 c a E E • 禁带宽度~ s p • K 的4s和3d态空，近自由 • Cl的3p 色散（变化）很 小，形成很窄的能带 • Cl的3s, 芯态，紧束缚，色 散小
Ri R j R
2
V
pp
V pp ij V pp
http://10.107.0.68/~jgche/ R
H ( k )
e ik R J ( R )中的 J ( R ) 视作参数
典型能带结构分析
17
紧束缚理解能带结构
• 对fcc结构，不考虑s-p作用
http://10.107.0.68/~jgche/
典型能带结构分析
5
最近邻 R
e
ik R
e e
ik x a
e e
ik x a
e
ik y a
杨莉-大物ii课件 第18章.固体的能带结构
导带
如:Na, K, Cu, Al, Ag…
导体的能带特点：都具有一个未被电子填满的能带。
在外电场作用下，这些能带中的电子很容易从一个能
级跃入另一个能级，从而形成电流,所以导体显示出很
强的导电能力。
精选课件ppt
14
§18-4 半导体的导电机构
1. 本征半导体
半导体
0.1~2eV 价 带
半导体禁带宽度较窄，通常温度 下，满带的电子可能受激进入空 带。进入空带的电子和留在满带 中的空穴在外电场作用下都可导 电。这种导电称为本征导电。具 有本征导电的半导体，称为本征 半导体。参与导电的电子和空穴 统称本征载流子。
满带
导带
11
§18-3 半导体 绝缘体 导体的能带
1.半导体和绝缘体(电介质)的能带
E T=0K时（绝缘体） 空带（导带）
禁带
Eg=0.12eV
满带
(a)半导体的能带
E 空空带带
禁带ΔEg=3～6eV 满带 (b)绝缘体的能带
从能带上看，半导体和绝缘体的能带没有本质区别：
都具有填满电子的满带和隔离满带与空带的禁带。不同
导带(空) 施主能级
满带
E=10 -2eV
施主能级与导 带底部之间的 能量差值很小， 通常温度下， 施主能级中的 电子很容易被 激发而跃迁到 导带去。 大量 自由电子的存 在大大提高了 半导体的导电 性能。
施主—不断向空带输送电子。容易看出，N型半导体
的多数载流子是电子。 精选课件ppt
17
(2) P型半导体
从泡利不相容原理出发来研究能带的形成。
1.电子的共有化
晶体中原子排列的很紧
密，因而各相邻原子的波函
数(或者说外电子壳层)将发 生重叠。因此，各相邻原子 Mg
能带论计算方法简介
a
21
三、总结
凝聚态物理的核心问题之一是关于多粒子系统的电子性质，基于单电子近似的能带理 论为解释固体中电子的绝大部分性质提供了一个概念框架：按电学性质把晶体分为金属、 半导体和绝缘体；不但可以解释晶体的导电性质，也可以解释晶体的光学、磁学和热学性 质。因此发展了许多近似方法来计算晶体的能带，本文简单介绍了一些常用的方法，从宏 观上对能带计算方法有一个把握。
布洛赫函数能带计算的两能带计算的两种途径种途径用自由原子用自由原子的轨道的轨道波函数作为波函数作为传导电传导电子波函数基子波函数基用自由电子用自由电子平面波平面波波函数作为波函数作为传导电传导电子波函数基子波函数基不同能带计算方法的特征区别在两个方面1采用不同的函数集来展开晶体波函数
能带计算方法简介
a
2
能带论的中心任务是求解晶体周期势场中的单电子薛定谔方程：
其解应具有Bloch函数形式：
布洛赫函数
a
3
能带计算的两种途径
用自由原子的轨道 波函数作为传导电
子波函数基础
用自由电子平面波 波函数作为传导电
子波函数基础
不同能带计算方法的特征区别在两个方面 （1）采用不同的函数集来展开晶体波函数； （2）根据研究对象的物理性质对晶体势作合理的、有效的近似处理。
a
1
一、引言
能带论是研究固体运动的一个主要理论基础。它是以量子力学的观点发 展起来的。它的出发点是：固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整 个固体内运动。
要确定能带的结构是一个非常复杂的多体问题，难于严格求解，量子力 学能够严格求解的只是二体问题。为求解多体问题，需经绝热近似、静态近 似、单电子近似等把问题简化为单电子问题来处理。单电子理论虽然是一个 近似理论，但实际的发展证明它成为某些重要领域精确概括电子运动规律的 基础或半定量的经典理论。
固体物理中的能带理论
固体物理中的能带理论摘要本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。
还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。
可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。
而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。
关键词：能带理论包络函数近自由电子近似1 引言能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。
在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。
最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。
例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。
在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。
后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。
到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、K.P方法[12]。
人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。
量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。
使得对这些结构的器件的设计有所依据。
并对一些器件的特性进行了合理的解释。
固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。
从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。
固体物理--能带理论 ppt课件
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因此得 kna 2s 1nπ 所以 k 2s 1 π s 0,1,2...
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上讲回顾•金属、绝缘体和半导体*电子如何填充能带→可用原胞内电子填充判断？*满带、空带、禁带。
满带不导电！•结构因子与布里渊边界能级简并的分裂*物理原因同X射线衍射的消光现象→原胞内等价原子波函数在布里渊区边界反射相干•三维空晶格模型的能带结构*为何发生能带重叠？能带简约图如何得到？由于3D布里渊区的复杂结构，与1D不同，高布里渊区能带E(k+K)并不一定比低布里渊区能带高，例子*如何给出能带结构？沿B区边界高对称轴，因为能带在布里渊区边界上简并被打开，发生畸变。
可反映能带特征。
特别对金属，除此外与自由电子类似http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介1本讲要解决的问题及所涉及的相关概念•如何从3D空晶格模型过渡到典型的金属能带?*布里渊区边界简并是否打开？•典型的半导体能带结构?*半导体能带特征*直接带隙、间接带隙、直接跃迁、带间跃迁•能带结构如何得到？→计算→如何计算能带?#对相互作用的合理地截断与近似#对基函数的合理地取舍与近似•两种主要的能带结构计算方法物理思想*赝势方法*紧束缚方法http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介2第18讲、能带计算方法简介1.空晶格能带过渡到典型的金属能带2.半导体能带结构3.能带计算方法的物理思想4.近自由电子近似——平面波方法5.举例——只取两个平面波6.平面波方法评论7.赝势http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介31、空晶格能带过渡到金属能带http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介45如何考虑问题？•布里渊区边界空晶格模型能带简并*近自由电子布里渊区边界能带分裂•空晶格模型能带*能带填充？http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介6free electron band structure in fccG X W L G K 能带计算方法简介82、半导体能带结构•半导体能带存在禁带（能隙）•价带和导带*禁带分隔价带和导带：禁带以下价带，禁带以上导带*电子最高占据的能带，电子最低的未占据能带*费米能级？•费米能级更多地是针对金属。
在半导体中非本征半导体可以定义费米能级。
而对半导体能带结构通常只关心本征半导体的价带顶(VBM)和导带底(CBM)——与带间跃迁有关*价带顶和导带底概念对应化学中分子的最高占据分子轨道和最低未占据分子轨道(HOMO和LUMO)http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介910http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介11•GaAs*直接能隙*与Si 的能带不同之处主要在价带s 带和p 带之间有能隙！全在边界上，即X →W →K？能带计算方法分类•各种能带计算方法基本上可分为*对晶体势场V(r)的不同近似*对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取→根据不同的研究对象、根据计算条件对势场和基函数作不同的近似处理→不同的物理思想*Muffin-tin势*赝势•能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上可分成两大类：*紧束缚近似*近自由电子近似http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介15http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介16能带如何形成——近自由电子观点•近自由电子近似认为晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(k)是连续的能级*由于受周期性势场的微扰，E(k)在Brillouin 区边界产生分裂、突变 禁带，连续的能级形成能带•这时晶体电子行为与自由电子相差不大*因此，可以用自由电子波函数(平面波)的线形组合来构成晶体电子波函数，描写晶体电子行为http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介17能带如何形成——紧束缚观点•紧束缚近似认为晶体电子好象孤立原子的电子一样紧紧束缚在该原子周围*孤立原子的分裂能级由于孤立原子互相靠拢，有相互作用，孤立原子能级从而扩展成能带•由于与周围的束缚在其他原子上的电子仅有很小的相互作用*因此，可以用孤立原子的电子波函数构成晶体波函数，并且只考虑与紧邻原子的相互作用评论•设问：晶体电子共有化与紧束缚思想矛盾？•设问：晶体电子共有化在紧束缚方法中如何体现？•紧束缚方法用局域波函数和周期性的相因子来构成满足Bloch函数的基函数•而近自由电子用平面波基函数是自然的*平面波本身就是非局域的！*平面波本身就是调幅为常数的Bloch函数！http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介184、近自由电子近似——平面波方法•平面波方法——动量空间*平面波波矢大小对应不同的动量•近自由电子（平面波）——价电子•真实情况？•Ze2/r*靠近核区，势变化剧烈*远离核区，势变化平缓•对应的晶体波函数的性质?*靠近核区，波函数振荡→对应平面波波矢大的成分！*远离核区，波函数平滑→对应平面波波矢小的成分！http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介19http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介24[]{}02=-+-+∑K'K ,K )K ,k ()K 'K ()k ()K k (c E V δ•这是个线性方程组，写成矩阵形式())K K ()k K (...C H C H j i i i n n c c c E E -=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-V V T T V V V V V T V V V V T ij 221n3n2n12n 232211n 13121 ... ... ... ... 0单位矩阵http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介286、平面波方法的优劣•二阶当然不够，完备的平面波函数集是无限的，前面行列式的阶数是无限的！？•那么，取多少平面波才是合适的？•由势场傅立叶分量的大小决定*K 小时，V(K)较大，K 大时，V(K)较小，因此，一定K 以后，V(K)小到可以忽略•思考：什么情况下，可以只需较少平面波？•假如势是常数，一个就够了，即自由电子情况*所以，如果势能变化平缓，则所需平面波较少•截断：动能小于某个值的所有平面波*平面波的个数决定了久其方程的维数截断E <+2)K k (评论：平面波方法的特点？•较好的解析形式——傅立叶展开系数基本都可以解析表达(矩阵元)•理论上可以无限制地改善基函数集的完备性——使解收敛•基函数是非局域的，不依赖于原子位置——有好处也有坏处——视所描写的晶体电子的性质而定http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介29评论：平面波方法的困难？•收敛很慢：在靠近原子核区域，电子有很大的动量；而在原离原子核区域，动量较小*因此，即需要小的也需要大的动量的平面波。
即用来展开晶体波函数的平面波基函数需要很多！•比如Al晶体，估计即使用上1016个平面波，也仅能保证1s态收敛，而感兴趣的是靠近费米能级的价态：3s态和3p态*平面波作基函数很好，因为它是本征解；*但没有用平面波在全电子势作用下来计算能带的*想办法修正或对相互作用势作某种程度上的近似#虽然近似，但又要保证和全电子势有同样的解# 赝势方法！其物理思想真可称得上是一绝http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介307、赝势（pseudopotential）•芯态和价态的能谱可以明显地区分：一般芯态在深能级区域构成非常狭窄的，几乎没有色散的能带•化学环境对芯态只有很小的影响，使芯态能带位置有些微移动•固体电子性质主要是由Fermi能级附近的电子决定的！•计入芯态的全电子势方法代价：能带数量增加；收敛很慢；总能量计算相对精度低•理想的选择——只计入价态•如何实现？http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介31赝势方法的思路•不考虑芯态，只考虑价态有可能只需要用少量的平面波•但问题是，这样得到的价态是否真正的价态？•真正的价态波函数应与芯态正交，在芯区变化很大。
用平面波展开这种波函数，也很困难•考虑到，价态波函数在芯区以外很平滑，同时，我们只关心芯区外的性质•赝波函数：芯区外与价态波函数相同，芯区内变得平滑http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介32http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介36•赝波函数的模与全电子势波函数的模在芯区外相同——意味着不但价态能级相同，而且电子分布在芯区以外也相同引自Phys. Rev. Lett. 43, 1494 (1979)http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介38原子从头计算赝势•在芯区，赝势的变化比较平缓，而在芯区以外，与全电子势完全重合•使得到的价态赝势与全电子势相同本讲要点•能带的典型结构*并非所有Brillouin区边界的简并都会分裂*只有贯通整个Brillouin区的能隙才形成禁带•半导体能带结构*带间跃迁*金刚石结构和闪锌矿结构的能带的差别•能带计算近似方法的物理思想*赝势方法，紧束缚方法•平面波方法*波矢与动量，久其方程•赝势http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介39概念要点•基函数（平面波）•紧束缚方法•赝势方法http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介40习题17.(书中3.4题)考虑晶格常数为a和c的简单六角晶体的第一布里渊区，令G为平行于晶格c轴c的最短倒格矢。
1.证明六角密堆积结构，晶体势场V(r)的傅立叶分量V(G c)为零；2.V(2G c)是否也为零？3.为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体？4.为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体？http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介41。