上海市徐汇区2014-2015学年高三第一学期一模数学理试卷含答案

2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）
2015.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．已知3
sin 5
θ=-，则cos 2θ=__ ___．
2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ． 3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则z = ． 4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()f x -= ．
5．若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线2
2
13
y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．
6．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与
AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示） 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*11
0()2
n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为 ．
8．若全集U R =，不等式11
111
x x
+≥-的解集为A ，则U A C = ．
9．已知圆2
2
:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线
l 的距离的最大值为 ．
10．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且1
2
AD BC =
，AC 与 BD 相交于O ，设A B a =，D C b =，用,a b 表示BO ，则
BO = ．
11．已知函数()2sin(2)6
f x x π
=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函
数()y g x =的图像．若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ．
12．已知函数22
2111()1()()(1)22
22015
n n n f x x n =+++
++++，其中*n N ∈． 当1 2 3 n =，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞
= ．
13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函
数()()()1lg 01sin 02
x x
f x x x ⎧
>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．
14．设集合(){}{}1
2
3
10,,,
,|1,0,1,1,2,3,
,10i A x x x x x i =
∈-=，则集合A 中满足条件
“1231019x x x x ≤++++≤”的元素个数为 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生
应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15． “14
a ≥”是“实系数一元二次方程2
0x x a ++=有虚数根”的（ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
16．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能
推出m β⊥的是 （ ）
（A ）αβ⊥且m α⊂≠
（B ）αβ⊥且α//m
（C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β
17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类*
()n N ∈，分别编
号为1,2,
,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,
,m ．若
1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品
，则同时购买第1类和第2类商品的
人数是（ ） （A ）1112121222m m a a a a a a ++
+++++（B ）1121112222m m a a a a a a ++++++
+
（C ）1112212212m m a a a a a a +++ （D ）1121122212m m a a a a a a ++
+
18．对于方程为
||1x +|
|1y =1的曲线C 给出以下三个命题： （1）曲线C 关于原点中心对称；
（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴； （3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2．
其中正确的命题是（ ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4
sin()(π
，且2
3)125(
=πf ． （1）求A 的值；
（2）若23)()(=
-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)4
3
(θπ-f ．
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()x x f x k k R -=+⋅∈．
（1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；
（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的1
3
，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角
2
arctan
3
θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．
（1）求陀螺2T 的体积；
（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆22
2:1x y a
γ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．
（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求2
2
m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ⋅的取值范围；
（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的
面积是否为定值，说明理由．
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1． （1）写出公差为(0)d d ≠的等差数列12,,,n a a a L 的序数列}{n p ；
（2）若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是n
n n b )5
3(⋅=(*
n N ∈)，
tn n c n +-=2(*n N ∈)，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；
（3）若有穷数列}{n d 满足11=d ，n
n n d d )2
1
(||1=-+*()n N ∈，且}{12-n d 的序数列单调递减，}
{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．
理科参考答案
一、填空题：（每题4分）
1.
7
25
2. 16
3.
4. 2)x >-
5. 2x =-
6. 7. 2*
1,1
23,2,n n n a n n N -=⎧=⎨⋅≥∈⎩
8. (]1,0- 9. 10. 4233a b -+r r 11. 6
π
12. 3- 13. 3 14. 58024
二、选择题：（每题5分）
15. B 16. C 17. C 18. B
三、解答题
19、解：（1）553()sin()121242
f A πππ=+=，3
22
A ⋅=……………………..2’
A ∴=; ……………………..4’
（2）3()()))42
f f +-=+-+=ππθθθθ，
3
cos )sin cos )]2
+-+=θθθθ，……………………..6’
3
2
=θ，cos =θ，……………………..8’
又)2
,0(πθ∈，sin ∴==θ， ……………………..10’
)4
3
(θπ-f )=-==πθθ．……………………..12’
20、解：（1）()()(1)(22)0x x f x f x k -+-=++=对一切的x R ∈成立，……………………..4’ 所以1k =-……………………..6’
（2）若0k ≤，则函数()f x 在(],2-∞单调递增（舍）……………………..8’
当0k >时，令(]20,4x
t =∈，……………………..9’
则函数()k
g t t t
=+
在(]0,4上单调递减……………………..10’
4≥，……………………..13’ 即16k ≥……………………..14’ 21、解：（1）设陀螺2T 圆锥的高为h ，则2
3
r h =，即32h r =……………………..2’
得陀螺2T 圆柱的底面半径和高为
3
r
……………………..3’ 2
31
=3327
r r V r ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭柱……………………..5’
23131
=322
V r r r ππ=椎……………………..7’
2329
54
T V V V r π=+=柱椎……………………..8’
（2）设陀螺1T 圆锥底面圆心为O ，
则12PP r π=，……………………..10’
得1
12433
2
PP r POP OP r ππ∠=
==
……………………..12’ 在1POP ∆
中，12
PP
r ==……………………..14’ 22、解：（1）(),OP mOA nOB ma na m n =+=-+， 得(),P ma na m n -+……………………..2’
()
()2
2
1m n m n -++=，即221
2
m n +=
……………………..4’ （2）设(),Q x y ，则()()3,,QS QR a x y a x y ⋅=-----
()()()()2
2
2331x x a x a y x a x a a
=-++=-++-……………………..5’
22
2
21213a x ax a a
-=-+-
()2
2342222
144111
a a a a x a x a a a a ⎛⎫--+=---≤≤ ⎪--⎝⎭……………………..6’ 由1a >，得3
2
1
a a a >-……………………..7’ ∴ 当x a =-时，QS QR ⋅最大值为0；……………………..8’
当x a =时，QS QR ⋅最小值为2
4a -；……………………..9’
即QS QR ⋅的取值范围为24,0a ⎡⎤-⎣⎦……………………..10’
（3）（解法一）由条件得，
122121
y y x x a
=-，……………………..11’ 平方得224222222121212()()x x a y y a x a x ==--,
即2
2
2
12x x a +=……………………..12’
12211
2
OMN S x y x y ∆=
-……………………..13’
=
2
a
=
=……………………..15’ 故OMN ∆的面积为定值2a
……………………..16’
（解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN ∆的面积为2
a
……………………..11’ ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+
()()22
22222221
1210x y a k x kta x a t a
y kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩
……………………..12’ 由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()222
12122222
12,11a t kta x x x x a k a k --+==
++， ()()()222
2
2
1212121222
1t a k y y kx t kx t k x x kt x x x t a k -=++=+++=+
又122121
OM ON y y k k x x a
⋅=
=-，可得22221t a k =+……………………..13’
因为12MN x x =-，……………………..14’ 点O 到直线MN
的距离d =
……………………..15’
121
22OMN
t S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-
2
t =
2
2
t a
=
=
综上：OMN ∆的面积为定值
2
a
……………………..16’ 23、解：(1)当0>d 时，序数列}{n p 为,1,,2,1n n -L ；……………………..2’ 当0<d 时，序数列}{n p 为1,2,,1,n n -L ……………………..4’ (2)因为5
23)5
3(1n
b b n
n n -⋅
=-+，……………………..5’
当1=n 时，易得12b b >，当2≥n 时，n n b b <+1， 又因531=
b ，33)53(3⋅=b ，4
4)5
3(4⋅=b ，314b b b <<， 即2314n b b b b b >>>>>L ，
故数列}{n b 的序数列为2,3,1,4,,n L ，……………………..8’ 所以对于数列}{n c 有2
5
22<<
t ， 解得：54<<t ……………………..10’
(3)由于}{12-n d 的序数列单调递减，因此}{12-n d 是递增数列，故01212>--+n n d d ，于是
0)()(122212>-+--+n n n n d d d d ，
而122)2
1
()
2
1(-<n n
，所以||||122212-+-<-n n n n d d d d ，从而0122>--n n d d ， 122121
222
)1()21(----==-n n n n n d d (1) ……………………..12’ 因为}{2n d 的序数列单调递增，所以}{2n d 是递减数列，同理可得0212<-+n n d d ，故
21221221(1)()22
n n n n
n
d d ++--=-= (2) ……………………..14’ 由(1)(2)得：n
n n n d d 2)1(1
1++-=-……………………..15’
于是 )()()(123121--++-+-+=n n n d d d d d d d d ……………………..16’
122)1(21211--++-+=n n
2
11)21(12111
+--⋅+=-n ……………………..17’
12
)1(3134--⋅+=n n 即数列}{n d 的通项公式为12
)1(3134--⋅+=n n n d (*
n N ∈)……………………..18’。