上海市徐汇区2014-2015学年高三第一学期一模数学理试卷含答案

2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科（理科）

2015.1

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．

1．已知3

sin 5

θ=-，则cos 2θ=__ ___．

2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ． 3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +?=，则z = ． 4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()f x -= ．

5．若抛物线2

2y px =的焦点与双曲线2

2

13

y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．

6．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与

AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示） 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*11

0()2

n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为 ．

8．若全集U R =，不等式11

111

x x

+≥-的解集为A ，则U A C = ．

9．已知圆2

2

:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线

l 的距离的最大值为 ．

10．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且1

2

AD BC =

，AC 与 BD 相交于O ，设A B a =，D C b =，用,a b 表示BO ，则

BO = ．

11．已知函数()2sin(2)6

f x x π

=+，将()y f x =的图像向左平移?（0?π<<）个单位后得到函

数()y g x =的图像．若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则?的值为 ．

12．已知函数22

2111()1()()(1)22

22015

n n n f x x n =+++

++++，其中*n N ∈． 当1 2 3 n =，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞

= ．

13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函

数()()()1lg 01sin 02

x x

f x x x ?

>??=??

14．设集合(){}{}1

2

3

10,,,

,|1,0,1,1,2,3,

,10i A x x x x x i =

∈-=，则集合A 中满足条件

“1231019x x x x ≤++++≤”的元素个数为 ．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生

应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

15． “14

a ≥”是“实系数一元二次方程2

0x x a ++=有虚数根”的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件

16．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能

推出m β⊥的是 （ ）

（A ）αβ⊥且m α?≠

（B ）αβ⊥且α//m

（C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β

17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类*

()n N ∈，分别编

号为1,2,

,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,

,m ．若

1,1,10,ij i j a i m j n i j ?=≤≤≤≤??第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品

，则同时购买第1类和第2类商品的

人数是（ ） （A ）1112121222m m a a a a a a ++

+++++（B ）1121112222m m a a a a a a ++++++

+

（C ）1112212212m m a a a a a a +++ （D ）1121122212m m a a a a a a ++

+

18．对于方程为

||1x +|

|1y =1的曲线C 给出以下三个命题： （1）曲线C 关于原点中心对称；

（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴； （3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2．

其中正确的命题是（ ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4

sin()(π

，且2

3)125(

=πf ． （1）求A 的值；

（2）若23)()(=

-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)4

3

(θπ-f ．

20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()x x f x k k R -=+?∈．

（1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；

（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的1

3

，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角

2

arctan

3

θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．

（1）求陀螺2T 的体积；

（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知椭圆22

2:1x y a

γ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．

（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求2

2

m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ?的取值范围；

（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ?=?，试探究OMN ?的

面积是否为定值，说明理由．

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1． （1）写出公差为(0)d d ≠的等差数列12,,,n a a a L 的序数列}{n p ；

（2）若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是n

n n b )5

3(?=(*

n N ∈)，

tn n c n +-=2(*n N ∈)，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；

（3）若有穷数列}{n d 满足11=d ，n

n n d d )2

1

(||1=-+*()n N ∈，且}{12-n d 的序数列单调递减，}

{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．

理科参考答案

一、填空题：（每题4分）

1.

7

25

2. 16

3.

4. 2)x >-

5. 2x =-

6. 7. 2*

1,1

23,2,n n n a n n N -=?=??≥∈?

8. (]1,0- 9. 10. 4233a b -+r r 11. 6

π

12. 3- 13. 3 14. 58024

二、选择题：（每题5分）

15. B 16. C 17. C 18. B

三、解答题

19、解：（1）553()sin()121242

f A πππ=+=，3

22

A ?=……………………..2’

A ∴=; ……………………..4’

（2）3()()))42

f f +-=+-+=ππθθθθ，

3

cos )sin cos )]2

+-+=θθθθ，……………………..6’

3

2

=θ，cos =θ，……………………..8’

又)2

,0(πθ∈，sin ∴==θ， ……………………..10’

)4

3

(θπ-f )=-==πθθ．……………………..12’

20、解：（1）()()(1)(22)0x x f x f x k -+-=++=对一切的x R ∈成立，……………………..4’ 所以1k =-……………………..6’

（2）若0k ≤，则函数()f x 在(],2-∞单调递增（舍）……………………..8’

当0k >时，令(]20,4x

t =∈，……………………..9’

则函数()k

g t t t

=+

在(]0,4上单调递减……………………..10’

4≥，……………………..13’ 即16k ≥……………………..14’ 21、解：（1）设陀螺2T 圆锥的高为h ，则2

3

r h =，即32h r =……………………..2’

得陀螺2T 圆柱的底面半径和高为

3

r

……………………..3’ 2

31

=3327

r r V r ππ??= ???柱……………………..5’

23131

=322

V r r r ππ=椎……………………..7’

2329

54

T V V V r π=+=柱椎……………………..8’

（2）设陀螺1T 圆锥底面圆心为O ，

则12PP r π=，……………………..10’